Transcript Series de Fourier

Funciones Ortogonales y
Series de Fourier
CAPÍTULO 12
Contenidos
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12.1 Funciones Ortogonales
12.2 Series de Fourier
12.3 Series de Fourier de Cosenos y Senos
12.4 Series d eFourier Complejas
12.5 Problema de Sturm-Liouville
12.6 Series de Bessel y Legendre
12.1 Funciones Ortogonales
DEFINICIÓN 12.1
Productos Interiores de Funciones
El producto interior de dos funciones f1 y f2 en un
intervalo [a, b] es el número
b
( f1, f 2 )   f1 ( x) f 2 ( x)dx
a
DEFINICIÓN 12.2
Funciones Ortogonales
Dos funciones f1 y f2 son ortogonales en un
intervalo [a, b] si
b
( f1, f 2 )   f1 ( x) f 2 ( x) dx  0
a
Ejemplo
• Las funciones f1(x) = x2, f2(x) = x3 son
ortogonales en el intervalo [−1, 1] puesto que
1
1 6
( f1 , f 2 )   x ．x d x  x
0
1
6 1
1
2
3
DEFINICIÓN 12.3
Conjunto Ortogonal
Se dice que un conjunto de funciones de valores reales
{0(x), 1(x), 2(x), …} es ortogonal en un intervalo [a, b]
si
b
(2)
(m , n )   m ( x), n ( x) dx  0, m  n
a
Conjuntos Ortonormales
• La expresión (u, u) = ||u||2 se llama norma
cuadrada. Por tanto podemso definir la norma
cuadrada de una función como
b 2
dx,
n
a
n ( x)   
2
n ( x) 
b 2
( x)dx
a n

(3)
Si {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b]
con la propiedad de que ||n(x)|| = 1 para
todo n, entonces se llama conjunto
ortonormal en [a, b].
Ejemplo 1
Demuestre que el conjunto {1, cos x, cos 2x, …}
es ortogonal en [−, ].
Solución
Sea 0(x) = 1, n(x) = cos nx, comprobamos que




(0 , n )   0 ( x)n ( x)dx   cos nxdx
1
 sin nx   0, for n  0
n
Ejemplo 1 (2)
y




(m ,n )   m ( x)n ( x)dx   cos mx  cos nxdx
1 
  [cos(m  n) x  cos(m  n) x]dx
2 

1 sin(m  n) x sin(m  n) x 
 


0
,
m

n
2 m n
m  n  
Ejemplo 2
Determine la norma de cada función del Ejemplo 1.
Solución

0  1, 0   dx  2  0  2
2
n  cos nx,
1 
|| n ||   cos nxdx   (1  cos 2nx)dx  

2 
|| n ||  , n  0
2

2
Analogía con Vectores
• Recordando de la teoría de vectores en 3
dimensiones que
u  c1v1  c2 v 2  c3 v3 ,
tenemos
3
(u, v1 )
(u, v 2 )
(u, v3 )
(u, v n )
u
v 
v 
v 
v
2 1
2 2
2 3
2 n
|| v1 ||
|| v 2 ||
|| v3 ||
n1 || v n ||
(4)
(5)
Así podemos hacer una analogía entre funciones y
vectores.
Desarrollo en Series Ortogonales
• Suponga que {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a,
b]. Si f(x) está definida en [a, b], escribimos primero
f ( x)  c00 ( x)  c11 ( x)    cnn ( x)  ?
Then
(6)
b
a f ( x)m ( x) dx
b
b
a
a
 c0  0 ( x)m ( x) dx  c1  1 ( x)m ( x) dx  
b
 cn  n ( x)m ( x) dx  
a
 c0 (0 , m )  c1 (1 , m )    cn (n , m )  
• Como {n(x)} es un conjunto ortogonal en [a, b], cada
término en el lado derecho es nulo, excepto m = n.
En este caso tenemos
b
a
b
f ( x)n ( x)dx  cn (n ,n )  cn  n ( x)dx
a
b
f ( x)n ( x)dx

cn  a b
,
2
a n ( x)dx
n  0,1,2,...
2
En otras palabras,

f ( x)   cnn ( x),
n 0
(7)
b
cn
f ( x)n ( x) dx

a

|| n ( x) ||
2
(8)
Entonces (7) se transforma en
( f , n )
f ( x)  
 ( x)
2 n
n 0 || n ( x ) ||

(9)
DEFINICIÓN 12.4
Conjunto Ortogonal y Función Peso
Se dice que un conjunto de funciones de valores reales
{0(x), 1(x), 2(x), …} es ortogonal con respecto a una
función peso w(x) en [a, b], si
b
a w( x)m ( x)n ( x)dx  0, m  n
• Bajo la condición de la definición anterior, tenemos
b
cn
f ( x) w( x)n ( x) dx

a

|| n ( x) ||2
b
|| n ( x) ||   w( x)
2
a
2
n ( x)
dx
(10)
(11)
Conjuntos Completos
• Un conjunto ortogonal es completo si la única
función ortogonal continua a cada miembro
del conjunto es función nula.
12.2 Series de Fourier
• Una Serie Trigonométrica
Podemos demostrar que el conjunto

2
3

2
3


1
,
cos
x
,
cos
x
,
cos
x
,

,
sin
x
,
sin
x
,
sin
x
,



p
p
p
p
p
p


(1)
es orthogonal en [−p, p]. Así una función f
definida en [−p, p] puede escribirse como
a0  
n
n 
f ( x)     an cos
x  bn sin
x
2 n1 
p
p 
(2)
• Ahora calculamos los coeficientes.
p
 p

p
p
a0 p
n
n


f ( x)dx   dx    an  cos
xdx  bn  sin
xdx  (3)
p
p
2 p
p
p

n 1 
Como cos(nx/p) y sin(nx/p) son ortogonales a 1
en este intervalo, entonces (3) se transforma en
p
 p
p
a0
a0
f ( x)dx   dx  x  pa0
2 p
2 p
p
• Así tenemos
1 p
a0   f ( x)dx
p p
(4)
• Además,
m
 p f ( x) cos p xdx
a0 p
m
  cos
xdx 

p
2
p
p
p
p
m
m
m
n


a
cos
x
cos
x
dx

b
cos
x
sin
x
dx

  n  p p
n  p
p
p
p

n 1 

por ortogonalidad tenemos
m
 p cos p xdx  0, m  0
p
m
n
 p cos p x sin p xdx  0
p
(5)
• y
 0, m  n
m
n
 p cos p x cos p xdx   p, m  n
p
Así (5) se reduce a
n
 p f ( x) cos p xdx  an p
p
y por tanto
1 p
n
an   f ( x) cos
x dx
p p
p
(6)
• Finalmente, si multiplicamos (2) por sin(mx/p)
y usamos
m
 p sin p xdx  0, m  0
p
m
n
 p sin p x sin p xdx  0
p
 0, m  n
m
n
 p sin p x sin p xdx   p, m  n
p
y
obtenemos que
 0, m  n
m
n
 p sin p x sin p x dx   p, m  n
p
(7)
DEFINICIÓN 12.5
Series de Fourier
La serie de Fourier de una función f definida en el
intervalo (−p, p) se determina mediante
a0 
n
n
f ( x)    (an cos
x  bn sin
x)
(8)
2 n1
p
p
donde
1 p
(9)
a0   f ( x) dx
p p
1 p
n
(10)
an   f ( x) cos
x dx
p p
p
(11)
1 p
n
bn   f ( x) sin
x dx
p p
p
Ejemplo 1
  x  0
0,
f ( x)  
0 x 
  x,
Desarrolle
en una serie de Fourier.
Solución
La gráfica de f se muestra en la Fig 12.1 con p = .
a0 
f ( x) dx   0dx   (  x) dx

0
 
 
1

1
2 
1
x 

  x   

2 0 2
0

(12)
Ejemplo 1 (2)
an 

1

f ( x) cos nx dx

 

0dx   (  x) cos nx dx


1
0


0
1
sin nx
 (  x)

n
1 cos nx

n n

0

1 
  sin nx dx
n 0


←cos n = (-1)n
0
 cos n  1 1  (1) n


2
2
n
n
Ejemplo 1 (3)
De (11) tenemos
bn 
1

 0
1
(  x) sin nxdx 
n
Po tanto

1  (1)n

1
f ( x)     2
cos nx  sin nx
4 n1  n 
n


(13)
Fig 12.1
TEOREMA 12.1
Condiciones de Convergencia
Sean f y f’ continuas por partes en el intervalo (−p, p); esto es,
sean f y f’ continuas excepto en un número finito de puntos en
el intervalo y discontinuidades finitas sólo en estos puntos.
Entonces al serie de Fourier de f en el intervalo converge a f(x)
en un punto de continuidad. En un punto de discontinuidad, la
serie de Fourier converge al promedio
f ( x  )  f ( x )
2
donde f(x+) y f(x－) denotan el limite de f en x por la derecha y
por la izquierda, respectivamente.
Ejemplo 2
• La función f en el Ejemplo 1, es continua en
(−, ) excepto en x = 0. Así que la serie (13)
converge a
en x = 0.
f (0  )  f (0 )   0 


2
2
2
Extensión Periódica
• Fig 12.2 es la extensión periódica de la función
f del Ejemplo 1. Así que la discontinuidad en
x = 0, 2, 4, … converge a
f (0  )  f (0) 

2
2
y en x = , 3, … converge a
f ( )  f (0)
0
2
Fig 12.2
Ch12_29
Secuencia de Sumas Parciales
• Secuencia de Sumas Parciales
Para (13), escribimos las sums parciales como
S1 

4

, S2 
4

2

cos x  sin x,
1
S3   cos x  sin x  sin 2 x
4 
2
Fig 12.3.
2

Fig 12.3
12.3 Series de Fourier de Coseno y Seno
• Funciones Pares e Impares
– par si
f(−x) = f(x)
– impar si
f(−x) = −f(x)
Fig 12.4 Función Par
Fig 12.5 Función Impar
TEOREMA 12.2
Propiedades de Funciones Pares
e Impares
(a) El producto de dos funciones pares es par.
(b) El producto de dos funciones impares es impar.
(c) El producto de una función par y uan función impar
es impar.
(d) La suma (diferencia) de dos funciones pares es par.
(e) La suma (diferencia) de dos funciones impares es
impar.
a
a
a f ( x)dx  20 f ( x)dx
(f) Si f es par, entonces
(g) Si f es impar, entonces a f ( x)dx  0
a
Series de Cosenos y Senos
• Si f es par en (−p, p) entonces
1 p
2 p
a0   f ( x)dx   f ( x)dx
p p
p 0
1 p
n
2 p
n
an   f ( x) cos xdx   f ( x) cos xdx
p p
p
p 0
p
1 p
n
bn   f ( x) sin
xdx  0
p p
p
• De manera similar, si f es impar en (−p, p) entonces
2 p
n
an  0, n  0,1,2,...
bn   f ( x) sin
xdx
0
p
p
DEFINICIÓN 12.6
Series de Fourier de Cosenos y Senos
(i) La serie de Fourier de una función par f en el
intervalo (−p, p) es la serie de cosenos
donde
a0 
n
f ( x)    an cos
x
2 n1
p
2 p
a0   f ( x) dx
p 0
2 p
n
an   f ( x) cos
x dx
p 0
p
(1)
(2)
(3)
(continuación)
DEFINICIÓN 12.6
Series de Fourier de Cosenos y Senos
(ii) La serie de Fourier de una función impar f en el
intervalo (−p, p) es la serie de senos

n
f ( x)   bn sin
x
(4)
p
i 1
donde
2 p
n
bn   f ( x) sin
x dx
(5)
p 0
p
Ejemplo 1
Desarrolle f(x) = x, −2 < x < 2 en una serie de Fourier.
Solución
Estudio de la Fig 12.6, muestra que es una función
par en (−2, 2) y p = 2.
2
n
4(1)n1
bn   x sin
x dx 
0
2
n
Así

(1)
f ( x)  
 n1 n
4
n 1
n
sin
x
2
(6)
Fig 12.7 es la extensión periódica de la función del
Ejemplo 1.
Fig 12.6
Fig 12.7
Ejemplo 2
 1,    x  0
f ( x) 
0 x 
 1,
• L afunción
representada en la Fig 12.8 es impar en (−, )
con p = .
De (5),
bn 
y por tanto
2

 0
2 1  (1)n
(1) sin nx dx 

n

1  (1)
f ( x)  
sin nx
 n1 n
2
n
(7)
Fig 12.8
Fenómeno de Gibbs
• Fig 12.9 muestra las sumas parciales de (7).
Podemos ver qeu la gráfica tiene picos
pronunciados cerca de las discontinuidades.
Este “exceso” SN no se alisa sino que
permanece constante aun cuando el valor de
N sea grande. Este comportamiento se conoce
como el fenómeno de Gibbs.
Fig 12.9
Desarrollos en Semiintervalos
•
Si una función f está definida sólo para 0 < x < L,
podemos suministrar una función arbitraria para
−L < x < 0.
• Si y = f(x) está definida para 0 < x < L,
(i) Reflejar al gráfica respecto al eje y en −L < x < 0;
la función hora es par. Fig 12.10.
(ii) Reflejar la gráfica por el origen sobre −L < x < 0;
la función ahora es impar. Fig 12.11.
(iii) definir f en −L < x < 0 mediante f(x) = f(x + L).
Fig 12.12.
Fig 12.10
Fig 12.11
Fig 12.12
Ejemplo 3
Desarrolle f(x) = x2, 0 < x < L, (a) en una serie de
cosenos, (b) en una serie de senos (c) en una serie de
Fourier.
Solución
La gráfica está representada en la Fig 12.13.
Ejemplo 3 (2)
(a)
2 L 2
2 2
a0   x dx  L ,
L 0
3
2 L 2
n
4 L2 (1) n
an   x cos x dx 
L 0
L
n 2 2
Entonces
L2 4 L2  (1) n
n
f ( x)   2  2 cos
x
3  n1 n
L
(8)
Ejemplo 3 (3)
(b)
2 L 2 n
2 L2 (1)n1 4 L2
bn   x sin
x dx 
 3 3 [(1)n  1]
L 0
L
n
n
De ahí que
(1)n1
 n
2
n
f ( x) 
 3 2 [(1)  1] sin
x (9)


 n1  n
L
n

2 L2

Ejemplo 3 (4)
(c) Con p = L/2, n/p = 2n/L, tenemos
2 L 2
2 2
2 L 2
2n
L2
a0   x dx  L , an   x cos
xdx  2 2
0
0
L
3
L
L
n
2 L 2
2n
 L2
bn   x sin
xdx 
L 0
L
n
Por tanto
L2 L2   1
2n
1 2n 
f ( x)     2 cos
x  sin
x
3  n1  n 
L
n
L  (10)
La gráfica de esta extensión se muestra en la
Fig 12.14.
Fig 12.14
Fuerza Impulsora Periódica
• Considere el siguiente sistema físico
2
d x
m 2  k x  f (t )
dt
donde
n
x p (t )   Bn sin
t
p
n 1
(11)

es un desarrollo en serie de senos en un
semiintervalo.
(12)
Ejemplo 4
• Recurriendo a (11), m = 1/16 de slug, k = 4 lb/pie, la
fuerza f(t) con período 2 se muestra en la Fig 12.15.
Aunque f(t) actúa en el sistema para t > 0, podemos
ampliar al gráfica con período 2 al eje t negativo para
obtener una función impar. Con p = 1, de (5)
obtenemos
1
2(1)n1
bn  2 t sin ntdt 
0
n
De (11) obtenemos
2
n 1

1d x
2(1)
 4x  
sin n t
2
(13)
16 dt
n
n 1
Ejemplo 4 (1)
Para hallar la solución particular xp(t),
sustituimos (12) en (13). Así
1 2 2
2(1) n1
( n   4) Bn 
16
n
32(1) n1
Bn 
2 2
n(64  n  )
Por tanto
32(1) n1
x p (t )  
sin nt
2 2
n 1 n(64  n  )

(14)
12.4 Series de Fourier Complejas
• Formula de Euler
eix = cos x + i sin x
e-ix = cos x  i sin x
(1)
Series de Fourier Complejas
• De (1), tenemos
eix  eix
eix  eix
(2)
cos x 
, sin x 
2
2i
Usando (2) para remplazar cos(nx/p) y sin(nx/p),
se tiene
a0   ein x/p  ein x/p
ein x/p  ein x/p 
  an
 bn

2 n1 
2
2

a0   1
1
in x/p
    (an  ibn )e
 (an  ibn )e in x/p 
2 n1  2
2


 c0   cne
n 1
in x/p

  cne
n 1
in x/p
(3)
donde c0 = a0/2, cn = (an  ibn)/2, c-n = (an + ibn)/2.
Donde la función f es real, cn y c-n son números
complejos conjugados.
Tenemos
1 1 p
c0  ．  f ( x) dx
2 p p
(4)
1
cn  (an  ibn )
2
1 1 p
n
1 p
n

   f ( x) cos x dx  i  f ( x) sin
x dx 

p

p
2 p
p
p
p

1 p
n
 n

f ( x)cos x  i sin

2 p p
p
p

1 p
  f ( x)e in x / p dx
2 p

x  dx

(5)
cn
1
 (an  ibn )
2
1 1 p
n
1 p
n

   f ( x) cos x dx  i  f ( x) sin
x dx 

p

p
2 p
p
p
p

1 p
n 
 n

f ( x) cos x  i sin  dx

2 p p
p
p

1 p
  f ( x)ein x / p dx
2 p
(6)
DEFINICIÓN 12.7
Series de Fourier Complejas
Las Series de Fourier Complejas de función f definida
en un intervalo (p, p) están dadas por
f ( x) 

in x / p
c
e
n
(7)
n 
donde
1 p
in x / p
cn 
f
(
x
)
e
dx, n  0,  1,  2,  (8)

2 p p
• Si f satisface la hopótesis del Teorema 12.1,
una serie d eFourier compleja converge a f(x)
en un punto de continuidad y al promedio
f ( x  )  f ( x )
2
en un punto de discontinuidad.
Ejemplo 1
Desarrolle f(x) = e-x,  < x <, en una serie de
Fourier compleja.
Solución
con p = , (8) se obtiene
1   x inx
1  (in 1) x
cn 
e e dx 
e
dx






2
2
1

[e(in 1)  e(in 1) ]
2 (in  1)
Ejemplo 1 (2)
Empleando la fórmula de Euler
e(in 1)  e (cos n  i sin n )  (1) n e
e(in 1)  e (cos n  i sin n )  (1) n e
De ahí se tiene que


(
e

e
)
n
n sinh  1  in
cn  (1)
 (1)
2(in  1)
 n2  1
(9)
Ejemplo 1 (3)
Entonces la serie de Fourier compleja es
f ( x) 
sinh 


1  in inx
 (1) n2  1e
n  
n
(10)
La serie (10) converge al desarrollo de período
2 de f.
Frecuencia Fundamental
• El período fundamental es T = 2p y por tanto
p = T/2.
La serie de Fourier se transforma en
a0 
  (an cos nx  bn sin nx)
2 n1

in x
c
e
n
(11)
n  
donde  = 2/T se llama frecuencai angular
fundamental.
Espectro de Frecuencias
• Si f es periódica y tiene período fundamental T,
el conjunto de puntos (n, |cn|) se llama
espectro de frecuencias de f.
Ejemplo 2
• En el Ejemplo 1,  = 1, por lo cual n ecibe
valores de 0, 1, 2, …
Usando   i   2   2 , vemos de (9) que
| cn | 
Fig 12.17.
sinh 

1
n 1
2
Fig 12.17
Ejemplo 3
• Halle el espectro de la onda mostrada en Fig12.18. La
onda es la extensión periódica de la función f:
0,

f ( x)  1,
0,

 12  x   14
 14  x  14
1
4
 x  12
Ejemplo 3 (2)
Solución
Aquí T = 1 = 2p so p = ½. Como f es 0 en (½, ¼) y (¼,
½), (8) se transforma en
12
cn  
1 2
f ( x )e
2 inx
14
dx  
1 4
(1)e
2 inx
dx
e 2inx 1 4
1 ein / 2  e in / 2


2in  1 4 n
2i
1
n
cn 
sin
n
2
Ejemplo 3 (3)
Es fácil de comprobar que
1
c0   dx 
1 4
2
14
Fig 12.19 ilustra el espectro de frecuencias de f.
Fig 12.19
12.5 Problema de Sturm-Liouville
• Valores propios y funciones propias
Recuerde el ejemplo Ejemplo 2, Sec 3.9
y  y  0 ,
y (0)  0 ,
y ( L)  0
(1)
Esta ecuación posee soluciones no triviales sólo
cuando  toma valores n = n22/L2, n = 1, 2, 3,…
llamados valores propios. Las soluciones no triviales
correspondientes y = c2 sin(nx/L) o simplemente y
= sin(nx/L) se llaman funciones propias.
Ejemplo 1
• Se deja como ejercicio demostrar que los tres
casos posibles:  = 0,  = 2 < 0,  = 2 > 0,
( > 0), que los valores propios y las funciones
propias para
y  y  0 ,
y(0)  0 ,
y( L)  0
(2)
son respectivamente n = n2 = n22/L2, n = 0,
1, 2, …y y = c1 cos(nx/L), c1  0.
Problema Regular de Sturm-Liouville
• Sean p, q, r y r funciones de valores reales
continuas en [a, b], y sea r(x) > 0 y p(x) > 0 para
todo x en el intervalo. Entonces se dice que
Resolver
Sujeta a
d
[r ( x) y]  (q ( x)  p ( x)) y  0 (3)
dx
1 y(a)  1 y(a)  0
(4)
 2 y(a)   2 y(a)  0
(5)
es un problema regular de Sturm-Liouville. Los
coeficientes en (4), (5) se suponen reales e
independientes de .
TEOREMA12.3
Propiedades del Problema Regular
de Strum-Liouville
(a) Existe un número infinito de valores propios reales
que se pueden arreglar en orden creciente
1 < 2 < 3 < … < n < … tal que n →  cuando n → .
(b) Para cada vlor propio hay sólo uan función propia
(excepto para multiplos constantes no nulos).
(c) Las funciones propias que corresponden a diferentes
valores propios son linealmente independientes.
(d) El conunto d efunciones propias que corresponden
al conjunto de valores propios es ortogonal con
respecto a la función pesop(x) en el intervalo [a, b].
Ch12_79
Demostración de(d)
Sean ym e yn be funciones propias correspondientes a
valores propios m y n. Entonces
d
[r ( x) ym ]  (q ( x)  m p ( x)) ym  0
dx
d
[r ( x) yn ]  (q ( x)  n p ( x)) yn  0
dx
(6)
(7)
De (6)yn  (7)ym tenemos
d
d
(m  n ) p ( x) ym yn  ym r ( x) yn '  yn r ( x) ym '
dx
dx
Integrando la ecuación anterior de a a b, se tiene
b
(m  n )  p ( x) ym yn dx
a
 r (b)[ ym (b) yn (b)  yn (b) ym (b)]
 r (a )[ ym (a ) yn (a )  yn (a ) ym (a )]
Como todas las soluciones deben satisfacer las
condiciones de frontera (4) y (5), de (4) tenemos
A1 ym (a)  B1 ym ' (a)  0
A1 yn (a)  B1 yn ' (a)  0
(8)
Para que A1 y B1 no nulas ambas, satisfagan el
sistema, el determinante de los coeficientes debe
valer cero
ym ( a ) yn ' ( a )  yn ( a ) ym ' ( a )  0
De manera similar de (5), tenemos
ym (b) yn ' (b)  yn (b) ym ' (b)  0
Así el lado derecho de (8) vale cero.
De ahí tenemos la relación de ortogonalidad
b
a p( x) ym ( x) yn ( x) dx  0, m  n
(9)
Ejemplo 2
Resolver
y  y  0, y (0)  0, y (1)  y(1)  0
(10)
Solución
Se debería verificar que para  = 0 y  < 0, (10) sólo
posee la solución trivial. Para  = 2 > 0,  > 0, la
solución general es y = c1 cos x + c2 sin x. Ahora la
condición y(0) = 0 implica c1 = 0, así que y = c2 sin x.
La segunda condición y(1) + y(1) = 0 implica c2 sin  +
c2 cos. = 0.
Ejemplo 2 (2)
Escogiendo c2  0, tenemos
(11)
tan  
De Fig 12.20, vemos que hay infinitas soluciones para 
> 0. Es fácil obtener los valores de  > 0. Así que los
valores propios son n = n2, n = 1, 2, 3, …
y las funciones propias correspondientes son
yn = sin nx.
Fig 12.20
Problema Singular de Sturm-Liouville
• Existen varias condiciones para (3)
– r(a) = y se especifica una condición de frontera
del tipo provisto en (5) en x = b;
(12)
– r(b) = 0 y se especifica una condición de frontera
del tipo provisto en (4) en x = a.
(13)
– r(a) = r(b) = 0 y no se especifica ninguna condición
de frontera en x = a ni en x = b;
(14)
– r(a) = r(b) y las condiciones de frontera y(a) = y(b),
y’(a) = y’(b).
(15)
Observaciones:
• La ecuación (3) que satisface (12) y (13) es un
problema singular de valores en la frontera.
La ecuación (3) que satisface (15) es un problema
periódico de valores en la frontera.
• Al suponer que las soluciones de (3) están
acotadas en [a, b], de (8) se tiene
– Si r(a) = 0, entonces la relación de ortogonalidad
(9) se cumple sin ninguna condición en la frontera
en x = a;
(16)
– Si r(b) = 0 , entonces la relación de ortogonalidad
(9) se cumple sin ninguna condición en la frontera
en x = b;
(17)
– Si r(a) = r(b) = 0, entonces la relación de
ortogonalidad (9) se cumple sin ninguna condición
en la frontera en x = a ni en x = b;
(18)
– Si r(a) = r(b), entonces la relación de
ortogonalidad (9) se cumple con las condiciones
de frontera periódicas y(a) = y(b), y’(a) = y’(b). (19)
Forma Autoconjunta
• En realidad (3) es al misma que
r ( x) y  r( x) y  (q( x)  p( x)) y  0
(20)
Así podemos escribir la ecuación diferencial
de Legendre (1  x 2 ) y"2 xy' n(n  1) y  0 como
d
[(1  x 2 ) y]  n(n  1) y  0
dx
(21)
Aquí hallamos que el coeficiente de y es al
derivada del coeficiente de y.
• Además, si los coeficientes son continuos y a(x)  0
para todo x en un intervalo, entonces cualquier
eduación diferencial de segundo orden
a( x) y  b( x) y  (c( x)  d ( x)) y  0
(22)
swe puede reformular en la llamada forma
autoadjunta (3).
• Para entender el hecho anterior, empezamos desde
a1(x)y + a0(x)y = 0
Sea P = a0/a1,  = exp( Pdx),  = P, entonces
y + Py = 0, y + Py = 0,
Así d(y)/dx = 0.
• Ahora para (22), sea Y = y, el factor de integración
e [b(x)/a(x)] dx.
En este caso (22) se transforma en
b ( x ) / a ( x ) dx
b( x)  b( x ) / a ( x ) dx
d   b( x ) / a ( x ) dx 

e
Y '
e
Y  ... 
e
Y  ...

a ( x)
dx 
En resumen, (22) puede transformarse en
( b / a ) dx
b( x)  (b / a ) dx

e
y"
e
y'
a( x)
d ( x)  (b / a ) dx 
 c( x)  (b / a ) dx

e

e
y  0
a( x)
 a( x)

(23)
• Además, (23) es la misma que (3)
d   (b / a ) dx    (b / a ) dx
d ( x)  (b / a ) dx 
 y  0
e
y '   e

e

dx 
a ( x)
 

( b / a ) dx
( b / a ) dx
d ( x)  (b / a ) dx


donde r ( x)  e
, q ( x)  e
, p ( x)  
e
a ( x)
Ejemplo 3
• En la Sec 5.3, vimos que la solución general de al
ecuación diferencial paramétrica de Bessel
es
x 2y" xy'( 2 x 2  n 2 ) y  0, n  0, 1, 2, ...
y  c1 J n (x)  c2Yn (x)
Dividiendo la ecuación de Bessel entre x2 y
multiplicando la ecuación resultante por el factor de
integración e [(1/x)] dx = eln x = x, tenemos
2
2
n
d
n
xy'  ( 2 x  ) y  0
xy" y'( 2 x  ) y  0, or
x
dx
x
donde r  x, q  n 2 / x, p  x,    2
Ejemplo 3 (2)
Ahora r(0) = 0, y de las dos soluciones Jn(x) y Yn(x)
sólo Jn(x) está acotada en x = 0. De (16), el
conjunto {Jn(ix)}, i = 1, 2, 3, …, es ortogonal con
respecto a la función peso p(x) = x en [0, b].
Así
b
(24)
 xJ n (i x) J n ( j x) dx  0, i   j ,
0
Siempre quei y por consiguiente los valores
propios i = i2 se definen por medio de un
acondición límite en x = b del tipo provisto en (5):
A2Jn(b) + B2Jn(b) = 0
(25)
Ejemplo 4
• De (21), identificamos q(x) = 0, p(x) = 1 y  = n(n + 1).
Recuerde de la Sec 5.3 que cuando n = 0, 1, 2, …, la
ED de Legendre posee soluciones polinomiales Pn(x).
Observamos que r(−1) = r(1) = 0 junto con el hecho
de que Pn(x) son las únicas soluciones de (21) que
están acotadas en [−1, 1], para concluir que el
conjunto {Pn(x)}, n = 0, 1, 2, …, es ortogonal con
respecto a la función peso p(x) = 1 en [−1, 1]. Así
1
-1 Pm ( x) Pn ( x)dx  0, m  n
12.6 Series de Bessel y Legendre
• Series de Fourier-Bessel
Hemos demostrado que{Jn(ix)}, i = 1, 2, 3, …es
ortogonal con respecto a p(x) = x en [0, b] cuando i
esté definida por medio de
A2 J n (b)  B2 J n (b)  0
(1)
Esta serie ortogonal, o serie de Fourierde generalizada,
el desarrollo de una función f definida en (0, b) en
términos de este conjunto
ortogonal es

(2)
f ( x)   ci J n ( i x)
b
donde
ci
i 1
x J n ( i x) f ( x) dx

0

J n ( i x)
2
(3)
La norma cuadrada Jn(ix) se define mediante
b
J n (i x)   xJ n2 (i x)dx
2
0
(4)
Esta serie (2) se llama series de Fourier-Bessel.
Relaciones de Recurrencia Diferenciales
• Recordando (20) y (21) da la Sec 5.3, tenemos
las relaciones de recurrencia diferenciales
como
d n
[ x J n ( x)]  x n J n1 ( x)
dx
d n
n
[ x J n ( x)]   x J n1 ( x),
dx
(5)
(6)
Norma Cuadrada
• El valor de (4) depende de i = i2. Si y = Jn(x)
tenemos que
2

d
n 
2
xy'   x   y  0
dx
x

Al multiplicar por 2xy’, se tiene
d
2
2 2
2 d
2
xy'   x  n [ y ]  0
dx
dx


• Integrandopor partes [0, b], se obtiene
2
0 xy dx  xy'
2 b
2
2
 ( x  n ) y
2 2
2

2 b
0
Como y = Jn(x), el límite inferior es 0 para n > 0,
porque Jn(0) = 0. Para n = 0,
en x = 0. Así
2
2 b
0
xJ n2 (x) dx
  2b 2 [ J n (b)]2  ( 2b 2  n 2 )[ J n b)]2 ,
donde y = Jn(x).
(7)
• Ahora se consideran tres casos de (1).
– Caso I: Si se elige A2 = 1 y B2 = 0, entonces (1) es
J n (b)  0
(8)
Hay un número infinito de raíces positivas xi = ib
de (8) (see Fig 5.3), que definen i = xi/b.
Los valores propios son positivos y i = i2 = (xi/b)2.
De las raíces negativas de (8) no resulta ningún
nuevo valor propio puesto que Jn(−x) = (−1)nJn(x).
El número 0 no es un valor propio de para ningún
n puesto que Jn(0) = 0, n= 1, 2, 3, … y J0(0) = 1.
Cuando (6) se escribe como xJn(x) = nJn(x) –
xJn+1(x), de (7) y (8) se deduce
2
b 2
|| J n i ( x) ||  J n1 ( ib).
2
2
(9)
– Caso II: Si se elige A2 = h  0 y B2 = b, entonces (1)
es
hJ n (b)  bJ n (b)  0.
(10)
Hya un número infinito de raíces positvas xi = ib
para n = 1, 2, 3, …. Como antes, i = i2 = (xi/b)2.
 = 0 no es un valor propio para n = 1, 2, 3, ….
Sustituyendo ibJn(ib) = – hJn(ib) en (7), se
tiene
2 2
2
2

b

n

h
2
|| J n ( i x) ||2  i
J
n ( i b).
2
2 i
(11)
– Caso III: Si h = 0 y n = 0 en (10), i se definen da
las raíces
J 0 ( b)  0
(12)
Aunque (12) es sólo un caso especial de (10), es la
única solución para la cual  = 0 es un valor propio.
Para n = 0, el resultado en (6) implica que
J0(b) = 0 es equivalente a J1(b) = 0.
Como x1 = 1b = 0 es una raíz de la última
ecuación y puesto que J0(0) = 1 no es trivial,
deducimos de 1 = 12 = (x1/b)2 que 1 es un valor
propio. Pero no podemso utilizar (11) cuando
1 = 0, h = 0, n = 0, y n = 0. Sin embargo de (4)
tenemos
2
b
|| 1 ||2   x dx 
0
2
b
(13)
Para i > 0 podemos usar (11) con h = 0 y n = 0:
2
b 2
|| J 0 ( i x) ||  J 0 ( ib).
2
2
(14)
DEFINICIÓN 12.8
Serie de Fourier-Bessel
La serie de Fourier-Bessel de una función f definida en
el intervalo (0, b) se expresa mediante

(i)
f ( x)   ci J n ( i x)
(15)
i 1
b
2
ci  2 2
x J n ( i x) f ( x) dx

0
(16)
b J n1 ( ib)
donde i se definen mediante Jn(b) = 0.
(continuación)
DEFINICIÓN 12.8
(ii)
Serie de Fourier-Bessel

f ( x)   ci J n ( i x)
i 1
b
2
ci  2 2
x J n ( i x) f ( x) dx

2
2
2
( i b  n  h ) J n ( ib) 0
2
i
(17)
(18)
donde i se definen mediante hJn(b) + bJ’n(b) = 0.
(continuación)
DEFINICIÓN 12.8
(iii)
Serie de Fourier-Bessel

f ( x)  c1   ci J 0 ( i x)
i 2
(19)
b
2 b
2
c1  2  x f ( x) dx, ci  2 2
x J 0 ( i x) f ( x) dx(20)

0
0
b
b J 0 ( ib)
donde the i se definen mediante J’0(b) = 0.
TEOREMA 12.4
Condiciones para Convergencia
Si f y f’ son continuas por partes en el intervalo abierto
(0, b), entonces un desarrollo de Fourier-Bessel de f
converge a f(x) en algún punto donde f es continua y
al promedio [f(x+) + f(x-)] / 2 en algún punto donde
f es discontinua.
Ejemplo 1
Desarrolle f(x) = x, 0 < x < 3, enn una serie de
Fourier-Bessel , usando función de Bessel de
orden uno que satisfacen la condición límite
J1(3) = 0.
Solución
Empleamos (15) donde ci se expresan mediante
(16) con b = 3:
3 2
2
ci  2 2
x J1 ( i x)dx

3 J 2 (3 i ) 0
Ejemplo 1 (2)
Sea t = i x, dx = dt/i, x2 = t2/i2, y use (5) en la
forma d[t2J2(t)]/dt = t2J1(t):
ci 
2
3 i
9 i J 2 (3 i ) 0
3
2
d 2
2
[t J 2 (t )]dt 
dt
 i J 2 (3 i )
P or t ant oel desarrolloes

2
f ( x )  2
J1 ( i x)
i 1  i J 2 (3 i )
Ejemplo 2
• Si las i del Ejemplo 1 se definen mediante
J1(3) + J1(3) = 0, lo único que cambia en el
desarrollo es el valor de la norma cuadrada. Como
3J1(3) + 3J1(3) = 0 que concuerda con (10)
cuando h = 3, b = 3 y n = 1. Así (18) y (17) producen a
su vez
18 i J 2 (3 i )
ci 
2
2
(9 i  8) J1 (3 i )

f ( x)  18
i 1
 i J 2 (3 i )
(9 i
2

J1 ( i x)
2
 8) J1 (3 i )

DEFINICIÓN 12.9
Serie de Fourier-Legendre
La serie de Fourier-Legendre de una función f definida
en el intervalo (－1, 1) se expresa mediante

(i)
f ( x)   cn Pn ( x)
(21)
n 0
2n  1 1
cn 
f ( x) Pn ( x) dx

2 1
donde i se definen mediante Jn(b) = 0.
(22)
TEOREMA 12.5
Condiciones de Convergencia
Si f y f’ son continuas por partes en el intervalo abierto
(－1, 1), entonces un desarrollo en serie de
Fourier-Legendre (21) converge a f(x) en algún punto
donde f es continua y al promedio [f(x+) + f(x-) / 2 en un
punto donde f es discontinua.
Ejemplo 3
Escriba los cuatro primeros términos no nulos del
desarrollo de Fourier-Legendre de
0,  1  x  0
f ( x)  
1, 0  x  1
Solución
De la página 269 y (22):
1 1
1 1
1
c0   f ( x) P0 ( x)dx   1  1dx 
2 1
2 0
2
3 1
3 1
3
c1   f ( x) P1 ( x)dx   1  xdx 
2 1
2 0
4
Ejemplo 3 (2)
5 1
5 1 1 2
c2   f ( x) P2 ( x)dx   1  (3 x  1)dx  0
2 1
2 0 2
7 1
7 1 1 3
7
c3   f ( x) P3 ( x)dx   1 (5 x  3x)dx  
2 1
2 0 2
16
9 1
9 1 1
c4   f ( x) P4 ( x)dx   1 (35x 4  30x 2  3)dx  0
2 1
2 0 8
11 1
11 1 1
11
5
3
c5   f ( x) P5 ( x)dx   1 (63x  70x  15x)dx 
2 1
2 0 8
32
De ahí que
1
3
7
11
f ( x)  P0 ( x)  P1 ( x)  P3 ( x)  P5 ( x)  ...
2
4
16
32
Véase Fig 12.22.
Fig 12.22
Otra Forma de la Serie
• Si se establece x = cos , x = 1 implica que  = 0,
x = −1 implica que  = . Como dx = −sin  d, (21) y
(22) se transforma, respectivamente, en

F ( )   cn Pn (cos  )
(23)
n 0
2n  1 
cn 
F ( ) Pn (cos  ) sin  d ,

0
2
donde f(cos ) se ha remplazado por F().
(24)