Transcript Grafo planar

Aula 10
Grafos Planares
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Planaridade
GÁS
LUZ
ÁGUA
• É possível levar gás, luz e água às
três residências sem cruzamento de
tubulações?
• Grafo planar: um grafo G é planar se
existir uma representação gráfica de G
no plano sem cruzamento de arestas.
K4 é planar?
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Planaridade
• Grafos de Kuratowski: K5 e K3,3
K5: grafo não planar
com o menor número de
vértices
K3,3: grafo não planar
com o menor número
de arestas
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Planaridade
Propriedades em comum entre K5 e K3,3:
1. Ambos são regulares
2. Ambos são não planares
3. A remoção de uma aresta ou um
vértice torna o grafo planar
4. K5 é o grafo não-planar com o menor
número de vértices e o K3,3 com o
menor número de arestas
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Planaridade
• TEOREMA: Qualquer grafo planar
simples pode ter sua representação
planar utilizando apenas linhas retas
• Região (ou face): uma representação
gráfica planar de um grafo divide o
plano em regiões ou faces. Cada
região é caracterizada pelas arestas
que a contornam.
• Região infinita: é a porção infinita do
plano que não é contornada por
arestas
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Planaridade
• TEOREMA (Fórmula de Euler): Seja G
um grafo conexo planar com n vértices e
e arestas. O número de faces do grafo é
f  en 2
• COLORÁRIO: Em um grafo simples,
conexo e planar com n vértices, e
arestas e f faces, tem-se que:
3
f  e  3n  6
2
Condição necessária,
mas não suficiente
para um grafo ser
planar
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Homeomorfismo
• Dizemos que um grafo H é
homeomorfo a G se H puder ser
obtido de G pela inserção de
vértices de grau 2 em pontos
intermediários de suas arestas
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Detecção de Planaridade
• Um grafo é planar sss nenhum
de seus subgrafos puder ser
contraído em K5 ou em K3,3
(WAGNER)
• Exemplo: Grafo de Petersen
pode ser contraído em K5.
• Um grafo é planar sss nenhum
de seus subgrafos for
homeomorfo a K5 ou em K3,3
(KURATOWSKI)
• Exemplo: Grafo de Peterson
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Complemento vs. Planaridade
• Seja G um grafo não dirigido com
n vértices e C(G) o seu
complemento.
• Se n < 8, então G ou C(G) é
planar
• Se n > 8, então G ou C(G) é não
planar
• Se n = 8, nada pode ser dito
– K4,4: Não-planar com
Complemento Planar
– K3,3 + {x,y}: Não-planar com
Complemento Não-planar
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Planar e Hamiltoniano
• Todo grafo planar 4-conexo é
hamiltoniano (Tutte)
– Exemplo: icosaedro
• Grafo Planar Maximal: todas as
faces são triângulares
• Triângulo separador: triângulo de
arestas no grafo que não
constitui uma face
• Todo grafo planar maximal que
não possui triângulo separador é
hamiltoniano (Whitney)
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Grafos Periplanares
• Um grafo é periplanar (opg) se
todos os seus vértices estiverem
na fronteira de uma mesma face
• Um grafo é um periplanar sss
não possuir subgrafo
homeomorfo a K4 ou a K2,3.
• Todo gpp 2-conexo é
hamiltoniano
• MOP: todas as faces internas são
triangulares: leque, serpentina,
coroa
• K(mop) = 2
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