Transcript 04B polinomi

I POLINOMI
IL CALCOLO LETTERALE
POLINOMI
Si trasformano in
prodotti
SCOMPOSIZIONE
Somme di
prodotti
Definizione
Raccoglimento a fattore comune
Forma normale
Utilizzo dei prodotti notevoli
Polinomi omogenei, ordinati,
completi
Polinomi uguali
Operazioni
ADDIZIONE
CALCOLO
LETTERALE
Trinomio notevole
M.C.D. e m.c.m. di polinomi
FRAZIONI ALGEBRICHE
MOLTIPLICAZIONE
(Prodotti notevoli)
 Definizioni
 Dominio
DIVISIONE
 Semplificazione
Riduzione allo stesso denominatore
INTRODUZIONE AL CALCOLO
LETTERALE
Guardatevi intorno e descrivete il numero di tutto ciò che vedete:
1 cattedra
26 sedie
2 evidenziatori
3 penne
12 libri ecc.
In pratica quando parlate di numeri nel mondo reale avete sempre i
numeri con accanto un'etichetta: il fatto di essere libri o penne.
Non esistono numeri senza una qualità; se dici 2 non ha significato
mentre se dici 2 sedie, 2 mele e così via ha significato.

Anche alle scuole medie hai utilizzato delle formule composte da
lettere es Area del rettangolo, Volume della piramide, ecc.
……………………
PROVATE A FARE QUESTO
GIOCO:




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


Suddivido la classe in piccoli gruppi e distribuisco un foglio dove è
scritto questo gioco:
Pensa un numero,
moltiplicalo per 3
aggiungi 4 al risultato
a quello che hai ottenuto aggiungi ancora il numero di partenza
dividi quello che viene per 4
togli il numero che hai pensato all'inizio
IL RISULTATO E' 1
Come ho fatto?
Provate a pensare un altro numero cosa ottieni?
Ma è sempre vero?
Cercate di capire perché avete ottenuto sempre lo stesso numero
(usate schemi, lettere, simboli, ecc.)
Se la classe fatica ad raggiungere l’obiettivo suggerisco: Prova a
scrivere al posto di un numero una lettera.
Continua il gioco …

Siete giunti alla soluzione: avete fatto alcune operazioni e poi
le stesse operazioni al contrario fino a giungere al risultato e,
qualunque numero voi scegliate, il risultato e' sempre 1

Formalizziamo alla lavagna
pensa un numero
a
moltiplicalo per 3
3a
aggiungi 4 al risultato 3a+4
a quello che hai ottenuto aggiungi ancora il numero di
partenza 3a+4+a=4a+4
dividi quello che viene per 4 (4a+4)/4=a+1
togli il numero che hai pensato all'inizio a+1-a=1
IL RISULTATO E' 1


Esercizio: provate ad inventare altri giochi simili.

Cio' dovrebbe farvi capire l'importanza delle lettere:
possiamo utilizzare nelle operazioni le lettere al posto
dei numeri ed in questo modo potremo fare tantissime
(infinite) operazioni al posto di 1

Inoltre, nelle unità precedenti abbiamo usato le lettere
per esprimere proprietà generali dei numeri.
In questa unità approfondiremo l’argomento e vedremo
come grazie a questo uso delle lettere in matematica si
riescono ad esprimere in modo rigoroso e sintetico
proposizioni che nel linguaggio naturale (in italiano)
possono risultare complicate e confuse.
GLI ALBORI DELL’ALGEBRA





I simboli e le modalità di calcolo dell’algebra sono in realtà frutto
di un lavoro di rielaborazione di molti secoli.
I Babilonesi, (secondo millennio a.C.) che sotto molti aspetti sono
considerati i fondatori dell'algebra, non facevano uso di simboli e
si limitavano a descrivere nel linguaggio naturale le procedure
risolutive di vari problemi.
Presso i Greci l'algebra ebbe il suo periodo di maggior splendore
nel periodo ellenistico (III secolo d. C.), soprattutto a opera di un
matematico di Alessandria, Diofanto, che per primo elaborò un
sistema di simboli adatti a rappresentare, mediante segni speciali, la
variabile, e qualche operazione.
Notevoli passi avanti vennero fatti molti secoli dopo da due
matematici italiani, Luca Pacioli e Raffaele Bombelli (XV-XVI sec).
Nella seconda metà del Cinquecento il francese Francois Viète,
considerato il "padre dell' algebra“, ebbe per primo l'intuizione di
"operazione astratta", ne codificò la notazione simbolica e arrivò a
formulare il cosiddetto calcolo letterale attuale.
Espressioni algebriche letterali



Scrivo alcune espressioni algebriche alla lavagna e
constatiamo che esse sono composte da una lettera o da
sequenze di simboli che indicano operazioni da
compiere su oggetti matematici (lettere e numeri).
Distinzione tra espressione razionale intera e fratta
Una volta assegnate alle lettere di una espressione
letterale dei valori, l’espressione si trasforma in un
espressione algebrica numerica e poi, eseguendo le
operazioni indicate si ottiene un VALORE
NUMERICO dell’espressione letterale.
Espressione algebrica e funzione



Consideriamo l’espressione algebrica
(3x-2)/(x+1) calcoliamo alcuni valori di
questa espressione. Le operazioni in essa
indicate sono razionali e si possono sempre
eseguire, tranne quando il denominatore si
annulla x=-1.
Se indichiamo con D l’insieme dei valori che
posso attribuire a x nell’espressione abbiamo
D= Q-{1}. Questo insieme prende il nome
di dominio o insieme di esistenza dell’espressione.
Nella tabella a fianco sono indicati i valori di
x scelti in modo arbitrario e, nella stessa riga,
i valori assunti dall’espressione. Ora
possiamo osservare che l’insieme delle
infinite coppie ordinate formate da x e dal
corrispondente valore dell’espressione, è una
funzione f perché ad ogni elemento di D
associa un solo valore.
x
Valore
numerico esp.
algebrica
-5
17/4
-3
11/2
-2
8
1
½
3
7/4
ESERCIZI:
Le espressioni algebriche letterali
Passaggio dal registro linguistico naturale a quello matematico e
viceversa
Esempio 1: Scrivi le espressioni algebriche che esprimono in forma
sintetica le operazioni descritte dalle seguenti espressioni
linguistiche:
Aggiungi al numero a il doppio del numero b;
Esempio 2: Esprimi in linguaggio comune le operazioni
corrispondenti alle seguenti espressioni algebriche.
a-2b; 3b+2a; (2a-b)2.
 Calcola i valori numerici delle seguenti espressioni per a=1, b=-2
3b+2a-(2a-b)2

Problemi sulle espressioni
INTRODUZIONE AI POLINOMI

Prendiamo una scatola senza coperchio e dopo averla
completamente aperta calcoliamo l’area della seguente
figura h
a

b
che rappresenta lo sviluppo piano della scatola suddetta
di dimensioni a,b e h.
Insieme definiamo che la superficie totale della scatola è
data dalla somma dell’area delle 5 facce che possiamo
esprimere nel seguente modo:
a.h + a.h + b.h + b.h +ab=2 a.h +2 b.h +ab
per la proprietà distributiva
QUESTO È UN POLINOMIO CON TRE TERMINI
INTRODUZIONE AI POLINOMI 2

Supponiamo di voler esprimere l’area di un triangolo
in funzione della sua base (b) e altezza (h)
Area=(b.h)/2
h


b
Anche questo è un polinomio ed è formato da un
solo termine.
Ora siamo pronti per dare la definizione…
DEFINIZIONE DI POLINOMIO






Scrivo alla lavagna
POLIMONIO dal greco poli: molti, nomos: termine, parte,
MONOMIO dal greco monos: un solo, unico nomos: termine,
parte
Scrivo a questo punto altri polinomi:
Es. 3x2y-s6, 5a+4-2z, -y, 3, 1200-2x-w, 67/3h-3w, ecc
Insieme alla fine scriviamo la definizione che poi possiamo
confrontare con il libro e anche con il vocabolario di matematica.
Si chiama polinomio un monomio o una somma di più
monomi. Ciascun monomio si chiama termine del polinomio.
Definiamo monomio un’espressione algebrica letterale intera
costituita da un numero o da una lettera oppure da un prodotto
di fattori numerici e letterali. (Trigiante Fazio).
RIFLETTIAMO SU ALCUNI
TERMINI





Un polinomio si dice monomio se ha un termine, binomio se ha 2 termini,
trinomio se ha 3 termini, quadrinomio se ha 4 termini e poi polinomio a 5
termini ecc..
Ciascun termine del polinomio (monomio) può essere scritto in modo che si
abbia un solo fattore numerico detto coefficiente e ciascuna lettera (parte
letterale) vi compaia una sola volta.
Per ridurre un termine del polinomio a forma normale sottolineiamo che si
applicano le proprietà delle operazioni
M= 4xy23x3z5y5;
si ha successivamente
Per la proprietà commutativa M= 4 .3. 5 . x. x3 . y2y5 . z;
Per la proprietà associativa M= [4 .3. 5 ] . x. x3 . y2y5 . z;
Per le proprietà delle potenze M= 60 x4 y7 z
Monomio simili monomi che hanno la stessa parte letterale
Si dice che il polinomio è ridotto a forma normale se non contiene monomi
simili.
Polinomi uguali se i monomi che li compongono hanno stessa parte letterale e
numerica.
Polinomio nullo un polinomio avente tutti i termini con coefficiente 0: Es:
0x2y-p6 + 0x5z+0
CONVENZIONI
o semplificazioni di scrittura




In base alla definizione che abbiamo dato scrivete vari polinomi
sul vostro quaderno.
ciascun alunno ne scrive uno alla lavagna e cerco di far scaturire
le seguenti convenzioni:
Per convenzione non si scrive il coefficiente 1 davanti alle lettere
cioè si scrive -a²b invece di -1a²b
Per convenzione non si scrive il segno + davanti ad un monomio
si scrive 7ab² invece di + 7ab²
Si preferiscono mettere le lettere in ordine alfabetico
Esempio invece di scrivere +1ba scriveremo semplicemente ab
IL GRADO DI UN POLINOMIO



Definiamo il grado di un polinomio, non nullo, rispetto
ad una sua lettera, l’esponente massimo con cui quella
lettera compare nei vari termini del polinomio. Per
grado assoluto o grado del polinomio non nullo
s’intende il massimo della somma degli esponenti delle
lettere che compaiono nei termini del polinomio.
Es: -8a²b+ a3 y2 è di grado assoluto 5 mentre è di grado
3 rispetto alla lettera a
Facciamo diversi esercizi con polinomi di diversi grado
e anche con polinomi di gradi 0 e 1.
RIFLETTI ancora sul grado




Il polinomio 5 può essere scritto come 5a0b0c0 e il suo
grado è 0. In generale un numero diverso da 0 è un
polinomio di grado 0.
Il caso del polinomio nullo è un caso a sé: essendo
0=0x3+0x2y7+0x10z4n… il suo grado non è definito.
Inoltre, esiste una funzione che associa ad ogni polinomio
(non nullo) un numero naturale, cioè il suo grado.
Se indichiamo con grad questa funzione e con A un
generico polinomio si ha esempio
Grad(1/2x3+3x2y7-10x3z4)=9
Se un polinomio contiene una sola variabile, il suo grado è
uguale a quello del monomio in cui la variabile compare con
esponente maggiore.
Domanda: Osservate questi polinomi cosa notate?
A) -2/7a²b+5ab²-7abc B) 2x3a+3/4 x2a2-10x-1 D) x²
C) -3x+x²-3x3+1
E) 3z4+z²-1
 Un polinomio è omogeneo se tutti i suoi monomi hanno uguale grado.
 Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze crescenti (o
decrescenti) di una variabile se gli esponenti delle potenze di quella lettera
si succedono da sinistra verso destra in ordine crescente (o decrescente).
B)
 Un polinomio scritto in forma normale, si dice completo rispetto ad una
lettera quando contiene tutte le potenze di questa lettera da quella di
grado massimo presente fino a quella di grado zero (il termine noto).
C) è un polinomio completo.
 N.B.: Un polinomio incompleto si può sempre rendere completo, basta
aggiungere i termine mancanti dando loro per coefficiente il numero 0
Es. E) può diventare 3z4+0z3-z²-0z+1
A) è un polinomio di grado 3 ed è omogeneo.
D) è un p. ordinato
B) è un polinomio completo rispetto alla lettera x E) è un p. ordinato
ma non completo
C) è completo ma non ordinato
ESERCIZI 1a PARTE
I POLINOMI






Tra le seguenti espressioni indica quali sono monomi, quali binomi, quali
trinomi, e i polinomi nulli.
Scrivere un polinomio che ridotto a forma normale sia un monomio.
Dato un polinomio dire se è completo, ordinato, omogeneo, grado
complessivo e il grado rispetto alle varie lettere che lo compongono.
Scrivi un polinomio nelle due lettere x e y, di 5° omogeneo, completo,
ordinato secondo le potenze decrescenti di x e crescenti di y.
Calcola il valore del polinomio per i valori delle lettere indicate
Distingui i seguenti polinomi a seconda dell’insieme numerico a cui
appartengono i coefficienti dei termini che li compongono:



2x3+3/4 x2-10x-1
2/7a²b+5/3 ab²-7abc
(2)1/3 x3+1/4 x2-x-1
Z
Q
R
NB In questa unità opereremo solo i polinomi i cui coefficienti sono interi o razionali,
rimandiamo ad altra unità i polinomi a coefficienti irrazionali.
ESERCIZI
a
1
PARTE
Completa la seguente tabella
Polinomio
Grado
assoluto
Grado
Grado
Grado
rispetto ad a rispetto a b rispetto a x
2x3a+b2-1
x3ab+x2
…
Completa i termini dei seguenti polinomi in modo che
Risultino omogenei
Sia completo rispetto alla x
Esercizio
FUNZIONE POLINOMIA


Abbiamo visto che il
polinomio è una particolare
espressione algebrica e come
tale descrive una funzione.
Consideriamo il polinomio 2x2, allora l’immagine F(x) di x
è data dalla formula
F(x)= -2x2, in tal caso il
dominio è tutto R.
x
-3
-2
-1
0
1
F(x)= -2x2
-18
-8
-2
0
-2
Puntualizziamo

Esiste una differenza tra il polinomio e la
funzione polinomio:
•
•

un polinomio è un’espressione letterale intera
la funzione è un insieme di coppie (nel caso di una
variabile) ordinate di numeri.
I polinomi descrivono un tipo di funzioni, le
funzioni polinomie.
COSTANTI, VARIABILE,
PARAMETRO




Per evitare errori di interpretazione con esempi chiariamo
quando una lettera è una
VARIABILE: lettere che rappresentano numeri che
possono variare più o meno arbitrariamente:
2x3a+b2-1 dove a, x, b sono variabili
COSTANTE: lettere che rappresentano numeri noti.
PARAMETRO:
es. calcola il valore di p per cui i due polinomi sono
uguali. 3x3p+5x2+x
5x3+x2p+x
p è un parametro
LE IDENTITA’






Consideriamo due polinomi non nulli:
A(x)=-2/3x2+3x+1 B(x)= 1 - 2/3x2 +3x con x Є R
È facile notare che i due polinomi sono costituiti dagli
stessi monomi quindi possiamo considerarli uguali
A(x)= B(x):
DEF: Due polinomi non nulli si dicono uguali,
identici se ridotti a forma normale, sono composti
dagli stessi monomi.
Dunque, due polinomi uguali hanno lo stesso grado e i
monomi simili hanno gli stessi coefficienti.
Teorema: Due polinomi uguali assumono valori uguali
per tutti i valori attribuiti alle loro variabili.
PRINCIPIO DI IDENTITA’ DEI
POLINOMI


Se supponiamo di avere due polinomi i cui
coefficienti appartengono agli insiemi Z,Q, R,
vale il teorema detto
PRINCIPIO DI IDENTITA’ DEI POLINOMI
se due polinomi nella stessa variabile assumono
valori uguali della variabile allora sono uguali
come polinomi.
Domanda: come si ottiene la successione dei
coefficienti di un polinomio?

Scrivo questo polinomio alla lavagna:
1-2/3x2+3x4
Scrivete la successione dei suoi coefficienti

Dopo (5 min.) chiamo uno studente alla lavagna e
formalizziamo: per ottenere la successione dei
coefficienti di un polinomio
1. ordino il polinomio 3x4-2/3x2+1
2. lo rendo completo 3x4+0x3-2/3x2+0x+1
3. La successione dei suoi coefficienti è (3, 0, -2/3, 0, 1).
Ora possiamo parlare di operazioni con i polinomi.

LE OPERAZIONI CON I
POLINOMI

Consegna della scheda A
cercare di risolvere gli esercizi senza consultare il
libro
tempo:15minuti
raccolta delle schede compilate
SCHEDA A.

Calcola la somma algebrica dei seguenti polinomi
utilizzando le proprietà delle operazioni:
commutativa, associativa, distributiva:
1.
3a+2a+7a=
4a2+3b+6a2=
7/3x+1/2xy+2+5=
(5ax2+3ax)-(6ax2+ax)=
(2bc2+7b)-(3bc2+b+9)=
3a.(5c2+b)=
2.
3.
4.
5.
6.
ADDIZIONE TRA I POLINOMI

Addizione dei polinomi:
Dati due polinomi A(x) e B(x) A(x) +
B(x)=C(x) e si riduce all’addizione dei
coefficienti dei monomi simili applicando le
proprietà commutativa, associativa, distributiva.
1. 3a+2a+7a = (3+2+7)a =12a
2. 4a2+3b+6a2= 4a2+6a2+3b=(4+6) a2+3b=10a2+3b
2. ADDIZIONE TRA I POLINOMI
Addizione dei polinomi:
Anche con i polinomi si può eseguire l’addizione in colonna
così come imparata alla scuola elementare:
Scrivere i due polinomi completi e ordinati su due righe in
modo che nella stessa colonna compaiono monomi simili:
A
3x4+0x3-7x2+0x+1 +
A 3 0 7 0 1 +
B
2x4+3x3+0x2+5x+9
B 2 3 0 5 9
A+B 5x4+3x3-7x2+5x+10 A+B 5 3 7 5 10
La seconda scrittura può essere utilizzata per semplificare
l’algoritmo utilizzando le successioni dei coefficienti.
Domanda RAGAZZI: Ma quale dobbiamo utilizzare tra le due
tipologie per eseguire l’addizione tra p.?
Risposta: In queste prime lezioni le utilizzeremo sempre entrambi
poi potrete scegliere la vostra preferita.

L’opposto di un polinomio




Osserviamo che la somma di polinomi è nulla se
e sole se i due polinomi sono opposti. L’opposto
di un polinomio si ottiene cambiando i segni dei
suoi coefficienti.
ES: Dato il polinomio 12x4+3x2 - 5x+10
Il suo opposto è
-12x4-3x2+5x-10
La somma tra un polinomio e il suo opposto è il
polinomio nullo.
PROPRIETA’ DELL’ADDIZIONE


L’addizione tra i polinomi è un’operazione
interna agli insiemi Z(x), Q(x), R(x).
Consideriamo i polinomi P e Q analizziamo le
proprietà dell’addizione
Vale la proprietà commutativa: P+Q=Q+P
 Vale la proprietà associativa
(P+Q)+R=P+(Q+R)
 Osserviamo ancora che per ogni polinomio P
P+0=P e questo indica che il polinomio nullo è
l’elemento neutro rispetto all’addizione.

SOTTRAZIONE







La definizione di differenza tra polinomi è analoga a
quella data per i numeri relativi.
P (x)-Q (x) = D(x)
(P (x)-Q (x)) + Q (x) = P(x)
D(x)=P (x)-Q (x)
P (x)=D(x) + Q (x)
Poiché P(x), Q(x) indicano numeri per ogni valore di x,
applicando la regola per calcolare la differenza tra due
numeri abbiamo
P (x)-Q(x)=P(x)+ (-Q (x))
La differenza tra due polinomio si ottiene addizionando
al polinomio minuendo l’opposto del sottraendo.
MOLTIPLICAZIONE
CASO A: Moltiplicazione tra un polinomio e un monomio


Riprendiamo l’esercitazione svolta in classe e
discutiamo le varie soluzioni.
Applicando la proprietà distributiva
3a.(5c2+b)=3.a.5.c2+3.a.b=…
INTERPRETAZIONE
GEOMETRICA
CASO A: Moltiplicazione tra un polinomio e un monomio

a(x+y)=ax+ay

Se a, x, y sono numeri positivi, l’area del rettangolo la
cui base misura a e la cui altezza misura (x+y) è data
da a(x+y).
Il rettangolo è anche formato dall’unione del
rettangolo di base a e altezza x con il rettangolo di
base a e altezza y. L’area totale è dunque ax+ay.
Pertanto poiché le due aree, calcolate nei due modi
diversi sono uguali fra loro si conclude:


a(x+y)=ax+ay
y
ay
x
ax
a
MOLTIPLICAZIONE
CASO B: Moltiplicazione tra due polinomi

In questo caso dobbiamo applicare la proprietà
distributiva più volte
iniziamo dal caso più semplice
(a+b)(x+y)=ax+ay + bx+ by
Proseguiamo con l’interpretazione geometrica
INTERPRETAZIONE
GEOMETRICA



CASO B: Moltiplicazione tra un polinomio e un polinomio
(a+b)(x+y)=ax+ay + bx+ by
Se a,b, x, y sono numeri positivi, l’area del rettangolo ABCD, la
cui base misura (a+b) e la cui altezza misura (x+y) è data da
(a+b)(x+y). Il rettangolo è anche formato dall’unione di 4
rettangoli le cui aree sono
ax, ay, bx, by (vedi fig.)
Pertanto poiché le due aree, calcolate nei due modi diversi sono
uguali fra loro si conclude: (a+b)(x+y)=ax+ay + bx+ by
y
x
ay
by
ax
bx
a
b
PROPRIETA’ MOLTIPLICAZIONE






La moltiplicazione tra i polinomi è un’operazione interna agli
insiemi Z(x), Q(x), R(x).
Consideriamo i polinomi P e Q
Vale la proprietà commutativa: P . Q = Q . P
Vale la proprietà associativa (P . Q) . R = P . (Q . R)
Osserviamo ancora che per ogni polinomio P
P . 1=P e questo indica che il polinomio unità è l’elemento
neutro rispetto all’addizione.
Si verifica inoltre che P . 0=0 e 0 . P=0 tale proprietà si esprime
dicendo che il polinomio nullo è assorbente rispetto alla
moltiplicazione.
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione:
P . (Q + R) = (P . Q) + (P . R)
ESERCIZI
Completa la seguente tabella
A
B
A+B
A-B
B-A
A.B
2x3a+b2-1 x3ab+x2
…
Esegui le seguenti operazioni tra polinomi e riduci i termini
simili.
Caccia all’errore: controllare la soluzione dei seguenti
esercizi e correggere eventuali errori.
(10x-3y)-(5x+9y)= 10x-3y-5x+9y=5x+6y
Determinare il polinomio P(x) che:
sommato ad A(x)= 2x3+x2-1 dà B(x)=3x2+2x
PROBLEMI


Esprimi la somma tra la terza parte di un
termine e il termine stesso. (Indico con x… 4/3)
Un trapezio isoscele ha i lati obliqui di misura
a+3, la base minore uguale al doppio di un lato
obliquo e la base maggiore uguale al triplo della
base minore. Calcola il perimetro.