Les projections de la terre

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Transcript Les projections de la terre

Les projections de la terre
Présentation
La terre
La projection
La carte
Sommaire
I La surface de la terre.
II Approche géométrique des projections.
III Approche pseudo-géométrique des projections.
IV Les distorsions.
V Approche qualitative des projections.
VI Les projections en usage en France.
I. La surface de la terre
I.1. Le repérage à la surface de la terre.
Chaque point de la surface terrestre est repérable par sa longitude et par sa latitude.
Pôle Nord
Méridien de Greenwich
Latitude j du point M
Longitude l du point M
Equateur
Pôle Sud
I. La surface de la terre
I.1. Le repérage à la surface de la terre.
Les points de même latitude constituent un parallèle.
Le parallèle choisi pour origine est celui de l’équateur. Sa latitude est 0.
1.2. Le repérage à la surface de la terre.
Le Pôle Nord a pour latitude 90° N, le Pôle Sud a pour latitude 90° S.
Les tropiques sont les parallèles de latitudes 23°26 N (Cancer) et 23°26 S
(Capricorne). Ils délimitent les régions du globe pour lesquelles le soleil peut
passer au zénith. En effet 23°26 est l’angle d’inclinaison du plan de
l’équateur sur le plan de l’écliptique, c’est à dire sur le plan de la trajectoire
de la terre autour du soleil.
La latitude de Carcassonne est 43° 13 N.
Le mille marin (1 852 m environ) est la longueur d’un arc de méridien
intercepté par un angle d’une minute.
I. La surface de la terre
I.1. Le repérage à la surface de la terre.
Les points de même longitude constituent un méridien.
Le méridien origine est celui de Greenwich, faubourg de Londres choisi pour son
observatoire.
La longitude de Carcassonne est celle de Paris : 2° 20 E.
I. La surface de la terre
I.2. Les lignes à la surface de la terre.
I.2.1. Les lignes loxodromiques, les lignes orthodromiques.
Considérons 2 points N et P (N  P) sur la terre.
Le chemin loxodromique de N à P est celui qui est parcouru en maintenant le cap, c’est
à dire en coupant les méridiens sous un angle constant. Il n’est le plus court que si N et
P sont tous deux sur l’équateur ou sur un même méridien. Les chemins loxodromiques
sont encore appelés lignes de rhumb.
Le chemin orthodromique de N à P est celui qui est parcouru en suivant un arc de grand
cercle. C’est lui la ligne géodésique de N à P, c'est-à-dire le plus court chemin de N à P.
I. La surface de la terre
I.2. Les lignes à la surface de la terre.
I.2.2. les distances sur les lignes orthodromiques.
Equateur
On désigne par r le rayon terrestre.
La distance AB sur une ligne géodésique est :
r cos-1 (cos  cos  cos  + sin  sin ).
(Pour le vérifier, calculer le produit scalaire OA.OB = OP.OR + OQ.OS.)
I. La surface de la terre
I.2. Les lignes à la surface de la terre.
I.2.2. les distances sur les lignes orthodromiques.
Exemple : la distance de Paris à Moscou.
 = 49° = 0,8552 rad
Ville
Latitude Longitude
 = 56° = 0,9774 rad
Paris
49° N
2° E
 = 36° = 0,6283 rad
Moscou
56° N
38° E
cos  cos  cos  + sin  sin  = 0,9225
cos-1 (0,9225) = 0,3963
r = 40 000 / 2p = 6 366 Km
r cos-1 (cos  cos  cos  + sin  sin )
Distance de Paris à Moscou : 6 366 x 0,3963 = 2523 Km
II. Approche géométrique des
projections.
Projections planes ou azimutales
 Projections cylindriques
 Projections coniques
 Projections orthographiques
 Projections gnomoniques
 Projections stéréographiques

Projections tangentes
 Projections sécantes

II. Approche géométrique.
Projections planes ou azimutales.
II. Approche géométrique.
Projections cylindriques.
II. Approche géométrique.
Projections cylindriques.
II. Approche géométrique.
Projections coniques.
II. Approche géométrique.
Orthographique : perpendiculairement à la
surface de projection.
 Gnomonique : depuis le centre de la terre.
 Stéréographique : depuis l’antipode du
point terrestre de référence.

II. Approche géométrique.
Projections planes orthographiques.
Ces projections représentent la terre comme on la verrait depuis l’espace.
II. Approche géométrique.
Projections planes gnomoniques.
Les lignes droites correspondent aux lignes géodésiques.
II. Approche géométrique.
Projections planes stéréographiques.
II. Approche géométrique.
Projections cylindriques orthographiques.
(j0 = 30°)
(j0 = 47°)
II. Approche géométrique.
Projections cylindriques gnomoniques.
II. Approche géométrique.
Projections cylindriques stéréographiques.
Projection de James Gall (Ecosse 1855). j0 = 45°.
II. Approche géométrique.
Projections coniques orthographiques.
II. Approche géométrique.
Projections coniques gnomoniques.
II. Approche géométrique.
Projections coniques stéréographiques.
Projection de Braun.
III. Approche pseudo-géométrique.
Projections planes (autour du Pôle Nord)
 Projections cylindriques (autour de
l’équateur)
 Projections coniques(autour du Pôle Nord)

Il y bien d’autres projections …
III. Approche pseudo-géométrique.
III.1. Projections planes.
P a pour coordonnées : x = r sin l et y = - r cos l avec
r fonction décroissante de la latitude j.
III. Approche pseudo-géométrique.
III.2. Projections cylindriques.
P a pour abscisse : x = l cos j 0
L’ordonnée y de P est une fonction croissante de j nulle en 0.
III. Approche pseudo-géométrique.
III.3. Projections coniques.
P a pour coordonnées :
x = r sin (sl) et y = - r cos (sl) avec
s = sin  ( demi-angle d’ouverture du cône)
et r fonction décroissante de la latitude j.
III. Approche pseudo-géométrique.
III.4. Autres Projections.
Il existe des projections qui ne sont ni planes, ni cylindriques, ni
coniques.
La projection de Robinson est basée sur des tables de coordonnées,
pas sur des formules mathématiques.
IV. Les distorsions.
Il est impossible de représenter fidèlement
une surface sphérique sur une surface
plane. Une projection produit
inévitablement des distorsions.
 Les indicatrices de Tissot sont les images
sur la carte de petits cercles sur la terre.
Elles sont en forme d’ellipses. Elles
permettent d’évaluer les distorsions.

IV. Les distorsions.
IV.1. Les indicatrices de Tissot.
Projections azimutales
orthographique
gnomonique
IV. Les distorsions.
IV.1. Les indicatrices de Tissot.
Projection cylindrique orthographique tangente
IV. Les distorsions.
IV.2. De la terre à la carte.
Dans les projections planes, cylindriques ou coniques, les
méridiens et les parallèles se coupent perpendiculairement.
(Ce n’est pas le cas dans toutes les projections.)
On peut donc envisager la schématisation suivante.
On ignore le facteur d’échelle.
IV. Les distorsions.
IV.2. De la terre à la carte.




Sur la terre :
MM1 = |l|.cos j et MM2 = |j|
Pour une projection plane :
PP1 = r.|l| et PP2 = – r.|j|
Pour une projection cylindrique :
PP1 = |l|.cos j0 et PP2 = y.|j|
((Cylindre sécant selon les parallèles de latitudes  j0)
Pour une projection conique :
PP1 = s.r.|l| et PP2 = – r.|j|
(s : sinus du demi-angle d’ouverture du cône)
V. Approche qualitative.
V.1. Un peu de vocabulaire.
Les projections équidistantes conservent les
distances sur les méridiens.
 Les projections équivalentes conservent les
aires.
 Les projections conformes conservent les
formes, c’est à dire les angles.
 Les autres projections sont dites aphylactiques.
Exemple : la projection de Robinson.
 Un parallèle automécoïque est un parallèle sur
lequel il n’y a aucune distorsion.

V. Approche qualitative.
V.2. Les projections équidistantes.
Elles conservent les distances sur les méridiens.
Projection azimutale équidistante autour du Pôle Sud.
V. Approche qualitative.
V.2.1 Les projections équidistantes planes.
Ici : a = p/2
V. Approche qualitative.
V.2.2. Les projections équidistantes cylindriques.
V. Approche qualitative.
V.2.3. Les projections équidistantes coniques.
V. Approche qualitative.
V.3. Les projections équivalentes.
Elles conservent les aires.
Projection (équivalente) homolographique de Babinet (ou de Mollweide).
V. Approche qualitative.
V.3.1 Les projections équivalentes planes.
Ici : a = 2
V. Approche qualitative.
V.3.1 Les projections équivalentes planes.
Voici la projection plane
équivalente de Lambert centrée
sur le point de latitude et de
longitude nulles. Comme toute
projection plane, elle ne
représente que la moitié de la
terre. Pour obtenir toute la
terre, on lui applique la
transformation de Aïtoff.
La transformation de Aïtoff consiste à diviser les longitudes par 2 et,
en compensation, à multiplier les abscisses par 2.
Cette transformation n’affecte pas l’équivalence.
V. Approche qualitative.
V.3.1 Les projections équivalentes planes.
On obtient la projection de Hammer-Aïtoff.
Elle est équivalente. Elle n’est plus une projection plane.
V. Approche qualitative.
V.3.2 Les projections équivalentes cylindriques.
Ici : j0 = 0. Il s’agit de la projection cylindrique orthographique.
V. Approche qualitative.
V.3.3 Les projections équivalentes coniques.
Projection conique équivalente d’Albers.
Parallèle automécoïque : 15° Nord.
V. Approche qualitative.
V.4. Les projections conformes.
Elles conservent les formes, c’est-à-dire les angles.
V. Approche qualitative.
V.4.1 Les projections conformes planes.
Projection azimutale stéréographique (a = 2)
V. Approche qualitative.
V.4.2 Les projections conformes cylindriques.
Projection de Mercator. Les lignes droites
correspondent aux lignes de rhumb.
V. Approche qualitative.
V.4.2 Les projections conformes cylindriques.
Dans la projection « Universal Transverse Mercator » (UTM), la terre
est partagée en zones UTM d’amplitudes 6° en longitude et 8° en
latitude, depuis la latitude 80° sud jusqu’à la latitude 84° nord.
Chaque zone est repérée par un nombre pour la longitude et par une
lettre pour la latitude. La carte de chaque bande nord-sud (repérée par
un nombre) est obtenue par la projection transverse de Mercator
s’appuyant sur le méridien central.
V. Approche qualitative.
V.4.2 Les projections conformes cylindriques.
V. Approche qualitative.
V.4.3 Les projections conformes coniques.
Projection conique conforme de Lambert.
Parallèles automécoïques : 30° et 60°.
VI. Les projections en usage en France.
1. Jusqu’en 1920 : la projection de Bonne.
 2. Ensuite : les projections coniques
conformes de Lambert.
 3. Au-delà des projections : les systèmes
géodésiques.

VI. Les projections en usage en France.
VI.1. La projection de Bonne.
Charles Marie Rigobert Bonne (Ardennes 1727-1795) a
repris et amélioré une projection cartographique élaborée en
1511 par Bernardus Sylvanus (Venise). La projection de
Bonne a été choisie pour servir de support à la « carte
d’état-major » du Dépôt de la Guerre, puis du Service
Géographique de l’Armée (SGA, précurseur de l’IGN).
L’échelle de la carte était le 80 000ème. Cette carte a été
remplacée progressivement à partir des années 1920 par la
carte de base moderne en projection conique conforme de
Lambert, projection exposée plus loin.
VI. Les projections en usage en France.
VI.1. La projection de Bonne.
Planisphère de Bernardus Sylvanus
Projection de Bonne
VI. Les projections en usage en France.
VI.1. La projection de Bonne.
La projection de Bonne est équivalente.
Elle conserve les distances sur tout parallèle.
Elle possède un unique parallèle automécoïque.
VI. Les projections en usage en France.
VI.2. Les projections Lambert France.
Les projections Lambert France sont coniques conformes.
La terre n’est pas considérée comme sphérique mais comme ellipsoïdale.
La France est découpée en 4 zones du nord au sud.
VI. Les projections en usage en France.
VI.2. Les projections Lambert France.
On choisit sur la terre un point origine M0(l0, j0). On choisit sa longitude l0
comme origine des longitudes. On adopte le repérage décrit ci-dessous.
y = r0 + Y + N
Y = –r cos (s(l – l0))
P0
X = r sin (s(l – l0))
X0  0
Y0   r0
N
E

x=X+E
VI. Les projections en usage en France.
VI.2. Les projections Lambert France.
L’ellipsoïde retenu est celui de Clarke (1880) pour lequel
a = 6 378 249,2 m et b = 6 356 515 m.
Le méridien choisi pour origine est le méridien de Paris de longitude
l0 = 2,33 722 917°.
Projection
j 0 (en grades)
µ
E
N
Lambert I (Nord)
55 grades
0,999 877 34 600 000 m
200 000 m
Lambert II (Centre)
52 grades
0,999 877 42 600 000 m
200 000 m
Lambert III (Sud)
49 grades
0,999 877 50 600 000 m
200 000 m
Lambert IV (Corse) 46,85 grades 0,999 944 71 234,358 m 185 861,369 m
Pour les projections Lambert carto, on ajoute devant N le chiffre de la zone Lambert
Lambert I carto
55 grades
0,999 877 34 600 000 m
1 200 000 m
Lambert II carto
52 grades
0,999 877 42 600 000 m
2 200 000 m
Lambert II étendu
Lambert III carto
49 grades
0,999 877 50 600 000 m
3 200 000 m
Lambert IV carto
46,85 grades 0,999 944 71 234,358 m 4 185 861,369 m
µ est le coefficient réducteur des distances sur le parallèle de latitude j0.
VI. Les projections en usage en France.
VI.3. Les systèmes géodésiques.
VI. Les projections en usage en France.
VI.3. Les systèmes géodésiques.
Le géoïde est la surface normale, en tout point de la Terre, à la verticale du lieu et
coïncidant avec le niveau moyen des mers, abstraction faite des marées. Le géoïde
correspond conventionnellement à l’altitude 0.
Le triplet des coordonnées géodésiques d’un point terrestre M est : (X, Y, Z). Il est
théoriquement intrinsèque. Mais en pratique le repère terrestre est déduit d’observations
et de calculs. Il y a donc un choix conventionnel à opérer.
Le triplet des coordonnées géographiques de M est (l, j, h) avec l longitude, j latitude
et h hauteur ellipsoïdale. Il dépend du choix de l’ellipsoïde.
Le couple (x, y) des coordonnées planes de M est celui du point qui représente M sur
une carte. Il dépend de la projection choisie.
Un système géodésique est l'ensemble des constantes et algorithmes permettant
d’estimer les coordonnées cartésiennes, géographiques et planes dans une région
terrestre donnée. Il suppose en particulier la définition d’un repère terrestre, d’un
ellipsoïde et d’une projection.
VI. Les projections en usage en France.
VI.3. Les systèmes géodésiques.
VI.3.1. La Nouvelle Triangulation de la France (NTF).
La Nouvelle Triangulation de la France est le système géodésique
en usage en France depuis la fin du 19ème siècle. Elle est plus
connue sous le nom de « Système Lambert » parce qu’elle est
associée à des projections de Lambert. Elle est encore utilisée mais
elle tend à être remplacée. Elle est matérialisée par 80 000 sites
géodésiques régulièrement répartis sur le territoire national. La
précision relative moyenne est de l’ordre de 10–5 (quelques
centimètres entre deux points voisins).
L’ellipsoïde est celui de Clarke.
Les projections sont celles de Lambert I, II, III, IV, Etendu.
VI. Les projections en usage en France.
VI.3. Les systèmes géodésiques.
VI.3.2. Le Réseau Géodésique Français (RGF93).
La nécessité d’intégrer les technologies de positionnement par
satellite et d’assurer une compatibilité avec les références
européennes et même mondiales conduit au passage de la NTF
au RGF93.
Le RGF93 correspond à la réalisation française du système
européen ETRS89 (European Terrestrial Reference System
1989), lui-même compatible avec les systèmes mondiaux
WGS84 (World Géodetic System) et ITRS (International
Terrestrial Reference System).
VI. Les projections en usage en France.
VI.3. Les systèmes géodésiques.
VI.3.2. Le Réseau Géodésique Français (RGF93).
Le RGF93 est matérialisé par trois réseaux :
- Le RRF, ou Réseau de Référence Français est défini par les coordonnées de 23
sites qui constituent la partie française du réseau européen EUREF. Ces
coordonnées RGF93 ont été déterminées avec les méthodes de positionnement
satellitaire GPS les plus précises, et la précision relative entre deux sites du RRF
est centimétrique, soit mieux que 10-7. Elles sont publiées depuis 1995.
- Le RBF, ou Réseau de Base Français est constitué de 1 009 sites déterminés par
technique GPS (précision 10-6) observés en 1994, 1995 et 1996.
- Le RDF, ou Réseau de Détail Français est constitué en particulier de points de la
NTF et de canevas géodésiques appuyés sur le RBF.
L’ellipsoïde est l’ellipsoïde GRS 1980. La projection est celle de Lambert 93.
VI. Les projections en usage en France.
VI.3. Les systèmes géodésiques.
VI.3.2. Le Réseau Géodésique Français (RGF93).
La projection
Lambert 93. Elle est
conique conforme.
y = r0 + Y + N
Y = –r cos (s(l – l0))
P0
X = r sin (s(l – l0))
X0  0
Y0   r0
N
E

x=X+E
VI. Les projections en usage en France.
VI.3. Les systèmes géodésiques.
VI.3.2. Le Réseau Géodésique Français (RGF93).
Ellipsoïde
Projection Lambert 93
Ellipsoïde GRS 1980
a = 6 378 137,0 m
b = 6 356 752,314 m
Longitude du point origine
l0 = 3°
Latitude du point origine
j0 = 46°30
Latitudes des parallèles automécoïques
j1 = 44° et j2 = 49°
Constante E
700 000 m
Constante N
6 600 000 m
Il existe des algorithmes et des tables pour les conversions entre coordonnées
NTF et coordonnées RGF93. Le logiciel Circé 2000, conçu et diffusé
gratuitement par l’IGN, opère ces conversions.