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Sûreté de Fonctionnement
Gestion des Risques Industriels
ENI de Tarbes, Semestre S8
A. P. Tchangani
1
Déroulement
Volume
Contrôle de connaissances
4 cours de 2 heures
Devoir surveillé (DS)
Compte rendu de TP (TP)
2 TD de 2 heures
2 TP de 3 heures
Note UE = (4*DS+TP)/5
2
Programme
 Introduction & Définitions: FMDS
 Etude du comportement du matériel en service
 Estimation des fonctions de FMDS par des données d ’observation
 Outils d ’évaluation et d ’amélioration des paramètres de FMDS
 Outils d ’analyse des risques
 Maîtrise des risques par la gestion des pièces de rechange
 Maîtrise des risques par un remplacement préventif
3
Sûreté de Fonctionnement
Définitions (NF X60.010)
Ensemble des aptitudes d ’un bien qui lui permettent de remplir
une fonction requise (ou sa fonction) au moment voulu, pendant
la durée prévue sans dommage pour lui même et son
environnement
4
Sûreté de Fonctionnement: composantes
Fiabilité
Reliability
Maintenabilité
Maintenability
Disponibilité
Availability
Sécurité
Safety
FMDS
RAMS
5
Sûreté de Fonctionnement: composantes
Fiabilité (NF X60.010)
Aptitude d ’un bien à accomplir une fonction requise,
dans des conditions données, pendant un intervalle
de temps donné.
Remarque
- on suppose que le bien est en état de remplir
la fonction requise au début de l ’intervalle de temps considéré.
- Cette aptitude est fonction de:
- fiabilité des composants
- architecture du système
- maintenabilité
- logistique
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Sûreté de Fonctionnement: composantes
Fiabilité: indicateurs
Soit T la durée de vie du bien considéré
Fonction fiabilité
R(t )  PrT  t / T  0
Temps moyen de bon fonction
MTTF: Mean Time to Failure pour les biens non réparables
MTBF: Mean Time Between Failures pour les biens réparables
7
Sûreté de Fonctionnement: composantes
Maintenabilité (Norme américaine MIL-STD-72IC)
Mesure de l ’aptitude d ’un dispositif (item) à être maintenu ou remis
dans des conditions spécifiées lorsque la maintenance de celui-ci est
réalisée par des agents ayant les niveaux spécifiés de compétences,
utilisant les procédures prescrites, à tous les niveaux prescrits de
maintenance et de réparation.
8
Sûreté de Fonctionnement: composantes
Maintenabilité (NF X60.010)
Aptitude, dans des conditions données d ’utilisation d ’un bien,
à être maintenu ou rétabli sur un intervalle de temps donné, dans un
état dans lequel il peut accomplir sa fonction requise, lorsque la
maintenance est accomplie dans des conditions données avec des
procédures et des moyens prescrits.
Remarque: la définition américaine est plus précise en ce qui concerne les moyens humains
puisqu ’elle donne des précisions sur la qualification des agents de maintenance.
Indicateurs
- fonction maintenabilité M(t) probabilité que le système
soit rétabli dans son état normal après une défaillances
- MTTR (Mean Time To Repair, Temps moyen de réparation
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Sûreté de Fonctionnement: composantes
Disponibilité (NF X60.010)
Aptitude d ’un bien à être en état d ’accomplir une fonction requise
dans des conditions données, à un instant donné ou pendant un
intervalle de temps donné, en supposant que la fourniture des moyens
extérieurs nécessaires soit assurée.
Indicateurs
- fonction Disponibilité D(t) probabilité que le système
soit état de remplir la fonction requise.
- MUT (Mean Up Time, moyenne des temps pendant lesquels le système est en
fonctionnement actif)
- MDT (Mean Down Time, moyenne des temps pendant lesquels le système est
fonctionnellement hors service)
10
Sûreté de Fonctionnement: composantes
Sécurité
Aptitude d ’une entité à éviter de faire apparaître, dans des conditions
données, des événements critiques ou catastrophiques.
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FMD des systèmes réparables
 Caractéristiques
 Trois niveaux
Propriétés
Ensemble
Toujours réparable
Module
Réparable
ou consommable
Composant
Consommable
parfois réparable
Caractéristique FMD
Disponibilité
Maintenabilité
et fiabilité
Fiabilité
12
FMD des systèmes réparables
 Caractéristiques
 Cas du module (carte électronique, moteur, vérin, etc.) réparable: 2
questions
réparation du module défaillant (risque d ’indisponibilité forte) ou
consommation par échange standard rapide ?
En cas de consommation, réparation (en temps différé) ou rebut ?
Réponse de nature économique par simulation du coût de chaque scénario
en prenant en compte les coûts directs d ’intervention, coûts
d ’indisponibilité, coût du stockage en magasin, ..
13
FMD des systèmes réparables: indicateurs
opérationnels
 Etapes successifs d ’un système réparable au cours de son usage
Mise
en service
Première
défaillance
Bon fonctionnement
Début
d ’intervention
Attente
Remise
en service
Réparation
Deuxième
défaillance
Bon fonctionnement
Durée
d ’usage
MTTR
MUT
MDT
MTTF
MTBF
14
FMD des systèmes réparables: indicateurs
opérationnels
 Synthèse
Arborescence
d ’un système
Ensemble
Module
interchangeable
Composant
Caractéristique
Analyse correspondante
R(t)
M(t)
D(t)
Réparable
Non réparable
(mono coup)
MTBF
MTTR
Dop
MTTF
X
X
Réparable
Consommable
MTBF
MTTR
X
MTTF
X
X
Consommable
MTTF
X
X
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SdF
Comment assurer la SdF ?
Maintenance
16
Maintenance
NF X60.010
Ensemble des activités destinées à maintenir ou à rétablir un bien
dans un état ou dans des conditions données de sûreté de
fonctionnement, pour accomplir une fonction requise. Ces activités
sont une combinaison d ’activités techniques, administratives et de
management.
17
Les Stratégies de Maintenance
Stratégie
Type de Maintenance
Réparer après casse
Maintenance d’urgence
Maintenance corrective
En fonction du calendrier
Maintenance préventive systématique
En fonction du niveau de
dégradation
Maintenance préventive conditionnelle
Maintenance préventive prévisionnelle
Reconception
Maintenance d’amélioration
Recherche d’aléa
Maintenance de ronde
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Les Stratégies de Maintenance
Maintenance d’urgence
Définition
Travail de maintenance nécessitant une
intervention immédiate
But
Supprimer l’immobilisation, réduire le danger ou le
risque associé à la défaillance
 Caractéristiques
Non programmée
Perturbe la charge de travail (pics et vallées)
Chère
Nécessite une grande réactivité et une logistique en conséquence
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Maintenance corrective
Définition
Restaurer le système pour qu’il retrouve un
état opérationnel
But
Permettre l’utilisation du système
 Caractéristiques
Planifiée
Création d’un ordre de travail
Préparation du travail
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Maintenance de routine
Définition
Interventions régulières courtes sur des équipements souvent en
état de marche (lubrification,
inspection, réglages, …)
But
Réduire les pannes et les temps d’immobilisation
Allonger la durée de vie du système
Caractéristiques
Planifiée et préparée
21
Maintenance préventive systématique
Définition
Interventions d’inspection et de remplacement
programmées sur la base d’un calendrier ou d’une
durée de fonctionnement
But
Réduire les pannes et les temps d’immobilisation
Allonger la durée de vie du système
Caractéristiques
Planifiée et préparée
Déterminée à partir d’une probabilité de défaillance
Echéancier
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Maintenance préventive conditionnelle
Définition
Interventions d’inspection et de remplacement
subordonnées au franchissement d’un seuil
prédéterminé significatif de l’état de dégradation du
bien
But
Identifier des anomalies (potentielles ou cachées) pour
enrayer un mécanisme de défaillance
Caractéristiques
Planifiée
Basée sur un niveau de dégradation
Seuils prédéterminés
23
Maintenance préventive prévisionnelle
Définition
Interventions d’inspection et de remplacement
subordonnées à l’analyse de l’évolution surveillée de paramètres
significatifs de la dégradation du bien
But
Identifier des anomalies (potentielles ou cachées) pour enrayer un
mécanisme de défaillance
Caractéristiques
Planifiée
Basée sur un niveau de dégradation
Evolution des paramètres
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 Techniques de maintenance prévisionnelle
Analyse de vibrations
Analyse de lubrifiants et d’huiles
Examen des états de surface
Examens structurels
Dissipation d’énergie
Analyse d’effluents
Contrôle du rendement
Émission acoustique
…
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Maintenance: Indicateurs fondamentaux
La maintenance doit pouvoir être évaluée quantitativement par des indicateurs opérationnels.
Indicateurs de la maintenance préventive
MMH/OH: Maintenance Man-Hours per Operating hour (charge en hommes-heures par heure de
fonctionnement ou d ’utilisation
MTBPMA: Mean Time Between Preventive Maintenance Actions (temps moyen de fonctionnement
ou d ’utilisation entre interventions de maintenance preventive).
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Maintenance: Indicateurs fondamentaux
Indicateurs de la maintenance corrective
MTBUBA: Mean Time Between Unscheduled Maintenance Actions (temps moyen de fonctionnement
ou d ’utilisation entre interventions de maintenance non Programmées).
MTTR: Mean Time To Repair (moyenne des temps techniques de réparation). Il est limité à 4 temps:
- tdg: temps de diagnostic (temps moyen nécessaire pour dérouler le diagnostic au niveau de l ’unité à
déposer ou à remplacer;
- tdp: temps de dépose puis temps de pose (temps moyen pour déposer l ’unité défaillante et à la remplacer
par une pièce saine;
- tv: temps de vérification (temps moyen nécessaire pour valider l ’intervention et vérifier le bon
fonctionnement du bien après intervention;
- ts: temps de mise en service ou temps de redémarrage.
MTTR = tdg + tdp + tv + ts
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Maintenance: Indicateurs fondamentaux
Indicateurs de la maintenance corrective
MMTR: Mean Man-Hours To Repair (charge moyenne en homme-heures pour réparer le bien)
Mc50: 50th percentile of corrective maintenance time
Mc50  t : PrTrepair  t  0.5
Mc90: 90th percentile of corrective maintenance time
Mc50  t : PrTrepair  t  0.9
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Maintenance: Indicateurs fondamentaux
Exemple
Une étude du temps de réparation (en heures) d ’un appareil a donné les résultats suivants
Donner les indicateurs de la maintenance corrective de cet appareil en termes de MTTR, Mc50, Mc90
classe
0.00 - 3.00
3.00 - 3.05
3.05 - 3.10
3.10 - 3.15
3.15 - 3.20
3.20 - 3.25
3.25 - 3.30
3.30 - 3.35
3.35 - 3.40
3.40 - 3.45
3.45 - 3.50
3.50 - 3.55
3.55 - 3.60
Effectif
0
3
6
13
23
39
78
91
72
42
17
9
5
fréquence relative
0
0.0075
0.0151
0.0327
0.0578
0.0980
0.1960
0.2286
0.1809
0.1055
0.0427
0.0226
0.0126
Fréquence cumulée
0
0.0075
0.0226
0.0553
0.1131
0.2111
0.4070
0.6357
0.8166
0.9221
0.9648
0.9874
1.0000
Représentant de la classe
3.00
3.025
3.075
3.125
3.175
3.225
3.275
3.325
3.375
3.425
3.475
3.525
3.575
MTTR = 3.3178 h
29
Maintenance: Indicateurs fondamentaux
Exemple
30
Maintenance: Indicateurs fondamentaux
Exemple
31
Maintenance: Nivaux
Il existe une standardisation sur les niveaux de maintenance utilisables par exemple lors des contrats.
LRU: Line Replaceable Unit (Unité Remplaçable en Première Ligne)
Un LRU est un élément dont il est possible de détecter sans ambiguïté les défaillances « sur le système »,
soit à l ’aide d ’un équipement de test, soit grâce à la mise en œuvre d ’une procédure, et qui peut être
démonté du système et échangé par un identique (de même numéro de configuration) sans:
i) faire de choix pour son bon montage ou pour ses performances,
ii) avoir besoin de démonter ou d ’enlever les éléments de son voisinage.
SRU: Shop Replaceable Unit, est une unité remplaçable en atelier. Ce sont des éléments d ’une unité
déposée qui peuvent être remplacées par des identiques dans un atelier de maintenance approprié.
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Maintenance: Nivaux
Définitions simplifiées
NF X60.501
1. Premier niveau
Primaire
Secondaire
« overhaul »
ou grande maintenance
Toute action
s ’effectuant
sur le matériel
Toute action
s ’effectuant
en dehors
du matériel
Opérations
de grande maintenance
2. Second niveau
- opérations de réglages
- remplacement de consommables
- reprises légères (peinture)
- dépannage par échange standard
- contrôle de bon fonctionnement / inspections
- opérations mineures d ’entretien (graissage)
- concept de LRU
3. Troisième niveau
- interventions hors matériel effectués en atelier ordinaire
- diagnostic plus fin
- réparations au niveau composants
- réparation mécaniques mineures
- programmation d ’éléments informatiques
- concept SRU
4. Quatrième niveau
- interventions de type spécialisé en atelier
- réglage d ’instruments de mesure
- vérification d ’étalons
5. Cinquième niveau
- retour en usine pour réparations profondes
- opérations de grande maintenance
- remise à neuf
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Maintenance
Comment choisir la stratégie de maintenance ?
Etudier le comportement du matériel en service
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Comportement du matériel
Pour mettre en place une politique de maintenance et de gestion de risques, il importe de connaître
le comportement du matériel en service.
Types de défaillances d ’un matériel
Défaillances catalectiques: soudaines et complètes (rupture d ’une pièce mécanique, court-circuit, …)
Difficile d ’observer la dégradation et donc de mettre en œuvre une politique de maintenance conditionnelle
Défaillances par dérive: on voit progresser la dégradation (usure mécanique, augmentation de frottements,
augmentation de la valeur d ’une résistance, …). Elles se prêtent bien à la maintenance prédictive
conditionnelle.
3 phases caractérisent la durée de vie d ’un matériel: courbe en baignoire.
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Comportement du matériel
 Durée de vie d ’un équipement
 La courbe en baignoire: le comportement du taux de défaillance l(t)
d ’un équipement le long de sa vie est composé de trois parties:
période de jeunesse: défaillances précoces (déverminage, rodage), l(t)
décroît,
période de vie utile: défaillances aléatoires, l(t) est presque constant,
période de vieillesse ou d ’usure: l(t) est croissant jusqu ’à l ’obsolescence
l(t)
vie utile
vieillesse
t
jeunesse
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courbe en baignoire
Exploitation de la courbe en baignoire pour la mainetenance
Phase de jeunesse: pratiquer le déverminage (mettre en fonctionnement le matériel pendant un
certain temps avant de le livrer au client).
Phase de maturité: pratiquer la maintenance préventive, corrective, ...
Phase de vieillesse: pratiquer la maintenance préventive conditionnelle
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Comportement du matériel: relations entre le taux de défaillances
et la fonction de fiabilité
Soit T la variable aléatoire représentant la durée de vie d ’un matériel et F(t) sa fonction de répartition
F (t )  PrT  t
R(t), la fonction fiabilité est donnée par
R(t )  1  F (t )
Par hypothèse
F (t  dt)  F (t )
dF (t )
dF (t )
l (t )dt 


1  F (t )
1  F (t )
R(t )
d ’où
t
F (0)  0
F (t )  1  e

 l ( u ) du
0
38
Comportement du matériel: relations fondamentales
t
F (t )  1  e
  l ( u ) du
0
t
R (t )  1  F (t )  e
  l ( u ) du
0
A partir de l ’une des fonctions, on retrouve les autres
et donc calculer les indicateurs de performance
t
  l ( u ) du
dF (t )
f (t ) 
 l (t )e 0
dt
l (t ) 
de FMDS (RAMS) ; en particulier si on connaît
la loi de probabilité de la variable T c ’est-à-dire F(t) ou f(t).
f (t )
R (t )


0
0
MTBF  E (T )   tf (t )dt   R(t )dt
39
Comportement du matériel: quelques lois de probabilité de T
Loi exponentielle (loi à un seul paramètre): une variable aléatoire T suit une loi exponentielle de
paramètre l si sa densité de probabilité f(t) est donnée par
f (t )  le lt
d ’où
F (t )  1  e  lt
R(t )  1  F (t )  e lt

MTBF   R(t )dt 
0
1
l
40
Comportement du matériel: quelques lois de probabilité de T
Loi normale (loi à deux paramètres): une variable aléatoire T suit une loi normale de paramètres
Tm et s si sa densité de probabilité f(t) est donnée par
f (t ) 
d ’où

1
s 2
e
t Tm 2
2s 2
 t  Tm 
F (t )   

s


avec
 (t ) 
1
2
(tables)

t
e


MTBF   tf (t )dt  Tm
2
t
2
0
dt
sT  s
41
Comportement du matériel: quelques lois de probabilité de T
Loi de Weibull (loi à trois paramètres): une variable aléatoire T suit une loi de Weibull de paramètres
b, g et h si sa densité de probabilité f(t) est donnée par



b



b 1
 t g
exp  
  h




b




Taux de défaillances
Fonction de répartition
 t g
F (t )  1  exp  
  h

b t g
f (t )  
h h




f (t ) b
l (t ) 

R (t ) h
t g

 h



b 1

1
MTBF  E (T )  g  h1    g  Ah
 b
Fonction fiabilité
2
 t g
R(t )  exp  
  h




b

2  
1 
s T  h 1     1     Bh
 b    b 




x
x    t x 1e t dt
0
Fonction eulérienne
de seconde espèce
Les paramètres A et B
sont souvent tablés
suivant les valeurs de b
42
Comportement du matériel: quelques lois de probabilité de T
Loi de Weibull: sigification des paramètres
Paramètre de forme b
Paramètre d ’échelle h
- si b < 1, l(t) décroît: phase de jeunesse
- si b = 1, l(t) = l = 1/h = constant: phase de maturité
- si b > 1, l(t) croît: phase de vieillesse
Cette loi est très utilisée
en maintenance
Paramètre de position g
du fait qu ’elle permet
- g = 0 si les défaillances peuvent débuter à l ’âge 0
de modéliser les
- g > 0 si les défaillances ne peuvent se produire avant l ’âge g
3 phases de durée
- g < 0 si les défaillances ont débuté avant l ’origine des temps
de vie d ’un matériel.
43
Comment obtenir la fonction taux de défaillance
(ou l ’une des fonctions F(t), R(t), f(t)) ?
Estimation à partir des observations
44
Approximation de la fonction de répartition
F(t) à partir des données observées
F (t i )  PrT  t i 
 Il s ’agit d ’estimer
 Approximation à partir des fréquences observées
 Hypothèse d ’un renouvellement à l ’identique
 N dates de défaillances
 Fréquences cumulées: si
classes
t i 1
ti 
N  50
alors en découpant l ’horizon en intervalles ou
et en notant ni le nombre de défaillances sur t i 1
ti 
alors
F (t i ) 
n
j i
 Pour N < 50, on ordonne les temps de bon fonctionnement Ti de manière
j
N
décroissante
 Rangs moyens: si 20  N  50 , la fonction de répartition à la date de Ti est
F (Ti ) 
i
N 1
 Rangs médians: si N  20 , la fonction de répartition à la date Ti est F (Ti )  i  0.3
N  0.4
45
Niveau de confiance de l ’approximation de
la fonction de F(t) ou R(t) par la méthode des
rangs médians (voir Tables en annexe)
On détermine les limites a1 et a2 telles que
Pra1  F (ti )  a 2   0.9
Pr1  a 2  R(ti )  1  a1   0.9
Les tables existent pour les valeurs de a1 et a2 suivant les rangs à 5% et 95%.
PrF (t i )  a 2   0.95
PrF (t i )  a1   0.05
5%
5%
a1
F (t i )
Distribution de F(ti)
a2
46
Niveau de confiance de l ’approximation de
la fonction de F(t) ou R(t) par la méthode des
rangs médians: exemple
Sous l ’hypothèse de renouvellement après défaillances, le relevé de 12 temps de bon fonctionnement
d ’un dispositif donne: 24, 91.5, 69, 46.5, 17.25, 51, 131.25, 31.05, 17.25, 31.05, 41.2, 6.75 (unité = 100 h)
Rang
Ti
F(Ti)
alpha1
alpha2
1
2
4
5
7
8
9
10
11
12
6.75
17.25
24
31.05
41.2
46.5
51
69
91.5
131.25
0.056
0.137
0.298
0.379
0.540
0.621
0.702
0.782
0.863
0.943
0.004
0.030
0.123
0.181
0.315
0.381
0.473
0.562
0.661
0.779
0.220
0.339
0.527
0.609
0.755
0.819
0.877
0.928
0.969
0.996
47
Niveau de confiance de l ’approximation de
la fonction de F(t) ou R(t) par la méthode des
rangs médians: exemple
Bande de confiance
48
Estimation de F(t) ou l(t) par la méthode de l ’actuariat
Hypothèse: nombre N de dates de défaillances et de censure
suffisant (N > 50) .
Découper l ’horizon temporel en intervalles ou classes t i t i 1 
ni = nombre de défaillances sur l ’intervalle t i t i 1 
ci = cumul des temps de fonctionnement sur l ’intervalle t i t i 1 
Si on considère que le taux de défaillance est constant
sur l ’intervalle t i t i 1  alors l (t )  l  n sur t t 
i
i
ci
i
i 1
et
t
i
t
0
k 1
ti
H (t )   l (u )du   l (u )du   l (u )du
i
  l k t k  li 1 t  t i 
k 1
Construire
le tableau
49
Estimation de F(t) ou l(t) par la méthode de l ’actuariat
intervalle
t i
t i 1 
nombre de
défaillances
sur l ’intervalle
ni
cumul des temps
de fonctionnement
sur l ’intervalle
ci
estimation
ponctuelle
de F(ti)
estimation du
estimation
taux li constant ponctuelle
de H(ti)
ni
ci
i
 l t
k 1
k
k
1  e  H ( ti )
50
Estimation de F(t) ou l(t) par la méthode de l ’actuariat
Exemple
On considère les temps de défaillances et de censure de 17 éléments identiques (on choisit délibérément
de ne pas respecter la règle N > 50 pour faciliter de calcul) répartis en classes d ’amplitude 1000 heures.
On dispose des informations suivantes:
- 12 éléments ont fonctionné au moins 2000 heures,
- 5 défaillances ont été enregistrées avant 2000 heures de fonctionnement et le temps de bon
fonctionnement correspondant sont: 200 h, 850 h, 1200 h, 1300 h, 1500 h.
On voudrait déterminer la fiabilité d ’un élément pour
un temps t compris entre 1000 h et 2000h par la méthode
de l ’actuariat.
51
Estimation de F(t) ou l(t) par la méthode de l ’actuariat
Exemple
intervalle
t i
0
t i 1 
1000
1000
nombre de
défaillances
sur l ’intervalle
ni
cumul des temps
de fonctionnement
sur l ’intervalle
ni
ci
ci
2
16050h
3
13000h
2000
15 1000h  200 h  850 h  16050h
estimation
ponctuelle
de F(ti)
estimation du
estimation
taux li constant ponctuelle
de H(ti)
1.25  104
2.31 104
i
 l t
k 1
k
k
1  e  H ( ti )
0.125
0.1175
0.356
0.2995
12  1000 h  200 h  300 h  500 h  13000h
52
Estimation de F(t) ou l(t) par la méthode de l ’actuariat
Exemple
Pour
t  1000 2000
H (t )  0.125  2.31 104 t  1000
 0.106  2.31 10 4 t
et donc
4
4
4
R(t )  e  H (t )  e 0.1062.3110 t   e0.106  e 2.3110 t  1.11e 2.3110 t
Exemple: pour t = 1500 h
R(1500)  0.7862
53
Estimation de F(t) ou l(t) par la méthode des taux de
hasard cumulés
Hypothèse: on considère N éléments identiques non réparables en
état de bon fonctionnement au temps t = 0 avec éventuellement des
censures.
N(t) = nombre d ’éléments en service à la date t.
k(t) = nombre d ’éléments défaillants à l ’instant t.
k(t)/N(t) = taux de hasard observé.
Construire le tableau
54
Estimation de F(t) ou l(t) par la méthode des taux de
hasard cumulés
temps de
fonctionnement
jusqu ’à
défaillance
ti
nombre d ’éléments
ayant atteint l ’âge t
N (ti )
nombre de
défaillances
à la date t
k (t i )
Taux de hasard
observé
k (t i )
N (t i )
estimation
de H(ti)
i
k (t i )

k 1 N (t i )
estimation
de F(ti)
1  e  H ( ti )
55
Ajustement graphique de la loi de Weibull
b t g
f (t )  
h h



b 1
 t g
exp  
  h




b
Il s ’agit de déterminer les 3 paramètres b, g et h de la loi de Weibull par les données d ’observation.
La détermination des paramètres b, g et h à partir des observations se fait graphiquement sur le papier
de Weibull qui comprend 4 axes:
- axe A: axe des temps sur lequel on reporte les temps ti de bon fonctionnement,
- axe B: porte F(t) sur lequel on reporte les valeurs F(ti) calculées par approximation
(fréquences cumulées, rangs moyens, rangs médians),
- axe a: correspond à ln(t),
- axe b: correspond à ln(ln(1/(1-F(t)))) et permet de déterminer la valeur de b.
56




Ajustement de la loi de Weibull: papier de Weibull
B
F(t)
a
ln(t)
A
t
b
b
57
Ajustement graphique de la loi de Weibull
Procédure de détermination de b, g et h
1) calculer F(ti) par l ’approximation appropriée (fréquences cumulées, rangs moyens, rangs médians, ..)
en pourcentage,
2) placer les points (ti, F(ti)) sur le papier de Weibull,
2.1) si ces points forment (à peu près) une droite D1 alors
-g=0
- l ’intersection de D1 avec l ’axe A donne h,
- la parallèle D2 à D1 passant par l ’origine (A = 1, a = 0) coupe l ’axe b en b
2.2) si ces points forment une courbe convexe ou concave alors g  0
- translater tous les points (de proche en proche) d ’une même valeur g pour obtenir
la droite D1, ou
- prendre 3 points sur la courbe équidistants sur l ’axe a ( ou sur l ’axe vertical
passant par (A = 1, a = 0) ) d ’abscisses t1, t2 et t3 et calculer g par g

t 22  t1t 3
2t 2  t1  t 3
et translater tous les points de la valeur précédente de g pour avoir la droite D1 et
procéder comme en 2.1).
58
Ajustement graphique de la loi de Weibull
Exemple
ti
F(ti)
ln(ti)
6.75
17.25
24
31.05
41.2
46.5
51
69
91.5
131.25
5,6
13,7
29,8
37,9
54
62,1
70,2
78,2
86,3
94,3
1.9095
2.8478
3.1781
3.4356
3.7184
3.8395
3.9318
4.2341
4.5163
4.8771
59
Ajustement graphique
de la loi de Weibull
Exemple
g  0, h  50, b  1.4
MTBF  4557.12h
60
Estimation de l(t) par le nombre de survivants
Hypothèse: nombre d ’éléments assez élevé
 Calcul du taux de défaillance moyen
 N0 : nombre initial de dispositifs ou éléments,
 Ns(t) : nombre de survivants à l ’instant t,
 Ns(t+t) : nombre de survivant à l ’instant t+t,
 C(t) = Ns(t) - Ns(t+t) : nombre de défaillances pendant t.
Cas 1: les éléments défaillants sont remplacés
l (t ) 
C (t )
N 0 t
Cas 2: les éléments défaillants ne sont pas remplacés
l (t ) 
C (t )
N s (t )t
61
Estimation de l(t) par par le nombre de survivants
 Calcul du taux de défaillance instantané
 s ’applique aux survivants à l ’instant t et caractérise leur probabilité
conditionnelle de défaillance dans l ’intervalle (t, t+dt)
l (t )  
 ou
 ou
l (t )dt  
1 dN
N (t ) dt
dN
N (t )
t
N (t )  N 0 exp    l (u )du 
 0

62
Pourquoi déterminer l(t) ou F(t) ?
 Optimisation des interventions systématiques
 Optimisation de la gestion des rechanges par la connaissance des
lois de consommation (qui coïncident avec les lois de défaillance)
 Gestion d ’équipement par l ’indicateur disponibilité en connaissant
MTTR et MTBF d ’un équipement
 Constitution de base de données
 Mise en place de la MBF (Maintenance Basée sur la Fiabilité)
63
Amélioration de SdF
 Comment améliorer la fiabilité d ’un système ?
 Améliorer la technologie des composants
 organiser la structure du système pour le rendre plus fiable: redondances
 3 grandes catégories de redondances
 redondances actives
 redondances passives ou stand by
 redondances majoritaires
 Redondances actives
Un certain nombre d ’éléments fonctionnant simultanément constituent le système
64
Amélioration de SdF
 Redondances actives
 Fiabilité à durée de mission fixée
 Hypothèses: défaillances indépendantes, fiabilité des composants ou sous-systèmes déterminés pour
une durée de mission donnée, donc le facteur temps n ’intervient pas.
 Architecture en série: on dit qu ’un système est en série du point de vue de la fiabilité si le
système tombe en panne dès qu ’un élément le composant tombe en panne.
C1
….
C2
Cn
n
Rs   Ri
i 1
Remarque: l ’architecture série n ’améliore pas la fiabilité car
la fiabilité du système est inférieure à la plus petite des fiabilités
65
Amélioration de SdF
 Redondances actives
 Fiabilité à durée de mission fixée
 Architecture parallèle: on dit qu ’un système est en série du point de vue de la fiabilité si pour
que le système tombe en panne il faut que tous les éléments le composant tombent panne.
C1
C2
...
Cn
n
Rs  1   1  Ri 
i 1
66
Amélioration de SdF
 Redondances passives
 Un seul élément fonctionne à la fois; les autres sont en attente.
 Avantage: pas de vieillissement des éléments ne fonctionnant pas
 Inconvénient: il faut un organe de détection et de commutation dont la fiabilité doit être
prise en compte
C1
C2
DC
...
Cn
 Le calcul de la fiabilité se fait en tenant compte du temps ; pour cela il faut connaître la
fonction taux de défaillance lit ou la fonction fiabilité Ri(t) pour chaque composant.
67
Amélioration de SdF
 Redondances passives: calcul de la fiabilité du système
 On montre que si tous les composants ont le même taux de défaillant l constant alors
Rs (t )  exp l DC
 n 1 lt i 
 l t 

i
!
i

0


Exemple
n =2
68
Amélioration de SdF
 Redondances majoritaires
 Le signal de sortie est celui de la majorité des composants
 D = organe de décision, R = fiabilité d ’un composant

nk 
Rs  RD   Cnk R k 1  R  
 k c

n
n!
C 
k!n  k !
k
n
C1
C2
D
...
Cn
Si D parfait alors RD = 1.
Exemple: n = 3, c = 2, RD = 1
Rs  3R 2  2R 3
Rs  R  R  0.5
69
Amélioration de SdF
 Systèmes réparables: fonction maintenabilité
 Trep = variable aléatoire représentant le temps de réparation
 Fonction maintenabilité
M (t )  PrTrep  t
 Taux de réparation m(t)
 g(t) = densité de probabilité de Trep
 Relation entre taux de réparation et fonction maintenabilité


0
0
MT T R   tg (t )dt   1  M (t ) dt
dM
1
dM
g (t )
m (t )dt 
 m (t ) 

1  M (t )
1  M (t ) dt 1  M (t )
t
M (t )  1  e

 m ( u ) du
0
70
Amélioration de SdF
 Systèmes réparables: fonction maintenabilité
 Lois les plus utilisées en réparation
 Loi exponentielle de paramètre m
g (t )  me  mt
M (t )  1  e  mt
1
MT T R 
m
 Loi log-normale (2 paramètres m et s)
g (t ) 
1
st 2

e
ln(t )  m 2
2s 2
MT T R  E (Trep )  e
2

 m s

2







2
2
, s T2rep  e 2 m s  es  1
71
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov = Processus stochastiques à nombre d ’état fini ou dénombrable; nous ne considérerons que le cas fini
Chaîne de Markov à temps discret: matrice de transition et comportement transitoire
X k , k  0, 1, 2, 3, ...
X k  x1 , x 2 , ..., x n 
 
P  p ij
n
p
ij
1
j 1
 i (k )  P rX k  i
   1  2 ...  n 
p ij  P rX k 1  j / X k  i
 (k )   (0) P k
72
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov à temps discret
Exemple: vieillissement d ’une machine
Graphe de transition
Une machine peut se trouver dans 4 états d ’usure différente.
L ’état 1 correspond à une machine fonctionnant correctement ;
l ’état 4 à une machine inutilisable ; les états 2 et 3 dénotent des
stades de dégradation croissante. Les probabilités que la machine
se retrouve dans l ’état j un certain matin sachant qu ’elle était
dans l ’état i la veille au matin sont résumées dans la matrice de
transition P.
0.95
0.01
1
0.04 0.01 0.00
0.90 0.05 0.05
0.00 0.80 0.20

0.00 0.00 0.00
3
1
0.04
0.95
0.00
P
0.00

1.00
0.80
0.20
0.05
2
4
0.05
0.90
73
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov à temps discret: classification des états
Un état j est accessible depuis l ’état i soit si i=j , soit s ’il existe dans le graphe de la chaîne au moins un chemin de i à j.
Si deux états i et j sont accessibles l ’un à partir de l ’autre, on dit qu ’ils communiquent et appartiennent
à une composante fortement connexe.
L ’ensemble de ces composantes constituent une partition du graphe et forme le graphe réduit.
Une classe est persistante si elle forme un sommet sans successeur du graphe réduit, dans le cas contraire
elle est dite transitoire.
Un état est persistant ou récurrent s ’il appartient à une classe persistante; transitoire s ’il appartient à une classe transitoire.
Une chaîne de Markov est irréductible si son graphe est fortement connexe; dans le cas contraire elle est réductible.
Un état est absorbant s ’il forme à lui seul une classe persistante. Une chaîne de Markov est absorbante si tous ses états
persistants sont absorbants.
Un état i est périodique de période d>1, si d est le plus grand diviseur commun des longueurs des circuits du graphe
représentatif passant par i; sinon il est dit apériodique. Les états d ’une classe ont tous la même période.
Une chaîne de Markov irréductible est périodique/apériodique si ses états sont périodiques/apériodiques.
74
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov à temps discret: comportement asymptotique
Chaînes irréductibles et apériodiques
La distribution stationnaire est
l ’unique solution des équations
 *P  *
n

 i*  1
 i*

1
mi
mi = espérance (moyenne) du nombre de transitions
entre deux visites successives de l ’état i
i 1
75
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov à temps discret: comportement asymptotique
Chaînes irréductibles et apériodiques: théorème ergodique
Soit {Xk} une chaîne de Markov irréductible et apériodique de distribution stationnaire * et f une fonction réelle définie
sur l ’espace des états de la chaîne. Alors on a:
k

1
lim
f (X l ) 
k  k  1
l 0
n

*
i
f (i)
i 1
presque sûrement.
Remarque: ce théorème permet d ’estimer des indicateurs à long terme d ’un système.
76
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov à temps discret: comportement asymptotique
Exemple: vieillissement d ’une machine
0.95
0.80
0.01
0.95
0.00
P
0.00

1.00
5
*  
8
0.04 0.01 0.00
0.90 0.05 0.05
0.00 0.80 0.20

0.00 0.00 0.00
1
4
3
32
1
32 
1
3
1
0.04
0.20
0.05
2
4
0.05
0.90
Il y a en moyenne 32 jours entre deux révisions successives
Production moyenne par jour si la production dans chacun des états est: 1000, 750, 400 et 0 pièces respectivement ?
850 pièces
77
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov à temps discret: comportement asymptotique
Chaînes absorbantes
Forme canonique (par réorganisation des états) de P
I 0
P

R
Q


Matrice fondamentale
N  I  Q1
B  NR  I  Q1 R
La composante nij de la matrice N représente le nombre moyen de visites de l ’état transitoire j avant absorption sachant
que le processus débute dans l ’état transitoire i.
Ni = somme des termes de la ième ligne de la matrice N est le nombre moyen de transitions avant absorption en partant
de l ’état transitoire i.
La composante bij de la matrice B représente la probabilité d ’absorption par l ’état absorbant j sachant que le processus
débute dans l ’état transitoire i.
78
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov à temps discret: comportement asymptotique
Chaînes absorbantes: exemple
Une entreprise utilise une machine dont l ’état d ’usure est l ’un des suivants: neuve (N), usée (U), très usée (T) et
inutilisable (I). Chaque jour passé dans l ’un des états rapporte respectivement 1000, 800, 400 et 0 unités monétaires.
Le processus de vieillissement de la machine est modélisé par une chaîne de Markov à temps discret (unité de temps le
jour) de matrice de transition P, les états sont notés dans l ’ordre N, U, T, I.
1) Quelle est la durée de vie moyenne d ’une machine neuve ?
2) Si le remplacement de l ’installation par une machine neuve coûte K unités monétaires et demande une journée complète
de travail, déterminer parmi les deux politiques suivantes, celle qui maximise le gain moyen à long terme de l ’entreprise.
Politique 1: Remplacer la machine dès qu ’elle est inutilisable
Politique 2: Remplacer la machine dès qu ’elle est très usée ou inutilisable
0.6
0.0
P
0.0

0.0
0.2 0.1 0.1
0.7 0.2 0.1
0.0 0.8 0.2

0.0 0.0 1.0 
79
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaînes absorbantes: exemple
80
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov à temps discret: comportement asymptotique
Chaînes réductibles: exemple
Le fonctionnement d ’un dispositif industriel est décrit par 6 états: N (fonctionnement normal), P1 (panne de type 1),
P2 (panne de type 2), FA (fonctionnement approximatif), HS1 (système hors service de type 1) et HS2 (le système hors
service de type 2).
Si le dispositif est en N un matin, il a 80% de chances d ’ être en N, 15% d ’être en P1 et 5% d ’être en P2 le lendemain;
Si le dispositif est en P1 un matin, il a 50% de chances d ’ être en P1, 30% d ’être en N, 10% d ’être en HS1 et 10%
d ’être en FA le lendemain;
Si le dispositif est en P2 un matin, il a 30% de chances d ’ être en P2, 60% d ’être en FA et 10% d ’être en HS2 le lendemain;
Si le dispositif est en FA un matin, il a 80% de chances d ’ être en FA, 10% d ’être en P2 et 10% d ’être en HS2 le lendemain.
Etudier ce système pour évaluer ses performances
81
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov = Processus stochastiques à nombre d ’état fini ou dénombrable; nous ne considérerons que le cas fini
Chaîne de Markov à temps continu: définition
X t , t  0
Pour une chaîne de Markov à temps continu le temps de séjour dans un état i
X t  x1 , x 2 , ..., x n 
dans l ’état i. li = 0 si i est un état absorbant; li > 0 si i est stable
suit une loi exponentielle de paramètre li où 1/ li est le temps moyen de séjour
et li = + infini si i est instantané.
 i (t )  P rX t  i
Une chaîne de Markov possédant un nombre fini d ’état est régulière en ce sens
   1  2 ...  n 
temps fini est fini.
qu ’avec probabilité 1, le nombre de transition effectuée durant un intervalle de
82
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov = Processus stochastiques à nombre d ’état fini ou dénombrable; nous ne considérerons que le cas fini
Chaîne de Markov à temps continu: structure des chaînes régulières
1) lorsque le processus arrive dans un état i, il y reste pendant une durée aléatoire (éventuellement infini si
l ’état est absorbant) distribuée selon une loi exponentielle de paramètre li .
2) lorsque le processus quitte l ’état i (non absorbant) il choisit son nouvel état j (différent de i) avec la probabilité gij..
 
  g ij
n
g
ij
1
La chaîne à temps discret de matrice de transition (changement d ’état) 
est appelée la chaîne sous-jacente ou induite.
j 1
g ii  0 si i transitoir
e
g ii  1 si i absorbant
83
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov = Processus stochastiques à nombre d ’état fini ou dénombrable; nous ne considérerons que le cas fini
Chaîne de Markov à temps continu: matrice génératrice et comportement transitoire
 
A  a ij
  l i si i  j
a ij  
l i g ij si i  j
n
a
ij
0
j 1
Comportement transitoire de la chaîne
d (t )
  (t ) A
dt
 (t )   (0)e At
n
La quantité -aii = li est appelée l ’intensité de passage hors de i.
  (t )  1
i 1
i
84
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov à temps continu
Comportement asymptotique de la chaîne
lim  i (t )   i ()   i*
t 
  *A  0



 n
*
  1
i

 i 1



a ji *j  li  i* ,  i
 j  (i )


n

 i*  1


i 1
  (i)  ensem ble des parents de i
  (i)  ensem ble des enfants de i

En résolvant ce système, on peut déduire certaines performances
de SdF comme: MUT, MTTR, Disponibilité, ...
85
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov à temps continu
Temps moyen avant absorption
Déduire la matrice  de la chaîne sous-jacente à partir de la matrice génératrice A et la mettre sous forme canonique
Calculer la matrice fondamentale N. Comme nij est le nombre moyen de transitions par l ’état transitoire j avant absorption
en partant de l ’état transitoire i et 1/lj le temps moyen de séjour dans l ’état j,
le temps moyen avant absorption en partant de i est
Ti abs 
 nij

l
j transitoire  j





Remarque: estimation de durée de vie, temps moyen de fonctionnement avant révision d ’un système, etc.
86
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov à temps continu: théorème ergodique
Tout processus irréductible ne possédant qu ’un nombre fini d ’états est ergodique en ce sens qu ’il est récurrent non nul.
Soit {Xt} un chaîne de Markov à temps continu ergodique et * sa distribution stationnaire. Soit f une fonction réelle
définie sur l ’espace des états et vérifiant
n

*
i
f (i)  
i 1
Alors pour une réalisation quelconque de la chaîne on a
presque sûrement
1
lim
t  t
t

0
n

f ( X u )du 
*
i
f (i)
i 1
Remarque: ce théorème permet d ’estimer les performances d ’un système modélisé modélisé par une chaîne ergodique.
87
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov à temps continu
Exemple: composant réparable (calcul de disponibilité)
l
l, m
OK
OFF
m
l = taux de pannes, 1/l = temps moyen de bon fonctionnement
m = taux de réparation, 1/m = temps moyen de réparation
X = état du composant
X t  OK, OFF
A(t )   OK (t )  P rX t  OK
Le fonctionnement du composant permet un gain de g unités monétaires par unité de temps et sa réparation coûte c
unités monétaires par unité de temps. Quel est le gain moyen par unité de temps ? Condition de rentabilité ?
88
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov à temps continu
Exemple: composants non réparables en redondances passives
l
1) Déterminer la fonction fiabilité de ce système
2) Quelle est la durée de vie moyenne de ce système ?
DC
l
l = taux de pannes d ’un composant
Rappels sur la transformée de Laplace
1
L1    1,
 p
 1 
  e  at ,
L1 
p

a



1
L1 
 ( p  a) 2


  te  at ,




 1
1
  1  e  at
L1 
p
(
p

a
)

 a

1
L1 
 p( p  a) 2



 1

1  e  at  ate at
 a2

Hypothèse: organe de détection
et de commutation parfait

89
Evaluation des indicateurs de SdF
par les chaînes de Markov
Chaîne de Markov à temps continu
Exemple: performance d ’une machine de production
Une machine de production peut se trouver dans 4 états d ’usure différente. L ’état 1 correspond à une machine
fonctionnant correctement ; l ’état 4 à une machine inutilisable devant subir une révision complète; les états 2 et 3
dénotent des stades de dégradation croissante. Le temps moyen de séjour dans chacun des états est de 40 h, 40 h, 20 h et 10 h
respectivement. La matrice de transition de la chaîne sous-jacente est donnée par .
On voudrait déterminer les indicateurs suivants:
1) sur 1000 h de fonctionnement quel est le nombre moyen d ’heures pendant lesquelles la machine est en révision ?
2) le taux horaire moyen de production de la machine si le taux de production dans chacun des états est 1000, 750, 400 et 0
pièces respectivement.
3) Quel est le temps moyen de fonctionnement avant révision d ’une machine neuve ?
0.00
0.00

0.00

1.00
0.60 0.30 0.10
0.00 0.80 0.20
0.00 0.00 1.00

0.00 0.00 0.00
3
3
1 
 1

 40 200 400 400 

1
1
1 
 0.00 

40
50
200


A
1
1 

 0.00 0.00  20 20 
 1
1

0.00 0.00  
10 
 10
90
Outils d ’analyse pour la maîtrise
de risques: AMDEC
 AMDEC = Analyse des Modes de Défaillances et de leurs Effets et de leur Criticité
 permet de mieux appréhender les risques de défaillances par les actions suivantes:






redondance des éléments
technologie plus performante
surveillance des points névralgiques
maintenance préventive plus efficace
diagnostic des pannes plus rapide
etc.
 AMDEC se rapporte généralement à des systèmes complexes




unité de production (atelier, chaîne de transformation, puits de pétrole, …)
usine (centrale nucléaire, raffinerie, …)
mission (fusée, avion, …
etc.
 Utilisation plus large que le seul cadre de maintenance; outil précieux de construction de la
fiabilité pour




modélisation
conception
qualité
contrôlabilité
91
Outils d ’analyse pour la maîtrise
de risques: AMDEC
 Méthodologie
 Fonder un groupe de travail dont les outils seront
 expériences des avaries mises en mémoire (banque de données)
 expérience des participants dans le domaine
 décomposition du système
 critères pour prescrire les recommandations
 utilisation d ’une procédure
 etc.
 Etudier chaque composant, chaque sous système, .. , séparément en envisageant divers
modes de dégradation et de leurs conséquences et former un tableau
92
Outils d ’analyse pour la maîtrise
de risques: AMDEC
Tableau récapitulatif
(a)
(b)
(c)
(d)
No.
D
é
n
o
m
i
n
a
t
i
o
n
F
o
n
c
t
i
o
n
Mode
de
défaillance
(e)
(f)
Fonctionnement
Taux
résultant
de
et effet sur
défaillance
équipement,
sous système,
système
(g)
Symptômes
observable
(h)
Méthode
de prévention
ou de
compensation
(i)
Criticité
(j)
Recommandations
et
Remarques
93
Outils d ’analyse pour la maîtrise
de risques: AMDEC
 Signification des colonnes du tableau récapitulatif
(a): numéro d ’ordre de l ’élément envisagé
(b): désignation de l ’organe considéré
©: fonction de cet organe
(d): mode de défaillance présumé (rupture d ’un organe mécanique, desserrage dû à des
vibrations, corrosion, fissuration, court-circuit, …)
 (e): probabilité d ’occurrence de l ’événement envisagé, évaluée par classe












classe
classe
classe
classe
A: événement quasi impossible (P < 10-9)
B: événement très improbable (10-9 < P < 10-6)
C: événement improbable (10-6 < P < 10-3)
D: événement possible (P > 10-3)
(f): la conséquence de l ’événement envisagé sur l ’organe, le sous système ou le système
(g): symptômes observables pouvant aider à la maintenance conditionnelle
(h): méthode de compensation ou de prévention
((i): niveau de gravité sur le système
 1: très grave
 3: pas grave
2: grave
4: sans influence
 (j) recommandations
94
Outils d ’analyse pour la maîtrise
de risques: AMDEC
 Matrice de criticité
Echelle d ’occurence
Classe de gravité
Quasi
impossible (A)
Très
improbable (B)
Improbable (C)
Possible (D)
Sans influence (4)
Pas grave (3)
Grave (2)
Très grave (1)
95
Outils d ’analyse pour la maîtrise
de risques: AMDEC
 Matrice de criticité à plusieurs entrées
 Critère de maintenabilité
 (a): MTTR < t1
 (b): t1 < MTTR < t2
 (g): MTTR >t2
 Critère de disponibilité
 E: arrêt de fonctionnement < t1
 F: t1 < arrêt de fonctionnement < t2
 G: t2 < arrêt de fonctionnement < t3
 G: arrêt de fonctionnement > t3
96
Outils d ’analyse pour la maîtrise de
risques: AMDEC
Probabilité
d ’occurrence
Matrice de criticité à plusieurs entrées
4
3
2
1
A
B
C
DD
H
Gravité
G
F
E
Disponibilité
zone critique
97
Outils d ’analyse pour la maîtrise de
risques: AMDEC
 Utilisation: à partir de l ’étude AMDEC, on peut entreprendre certaines actions
 établir la liste des points critiques
 implanter des systèmes de surveillance
 proposer des améliorations
 prévoir les rechanges
 établir des opérations de maintenance correctives ou préventives
 ...
L ’analyse AMDEC peut être complétée par les arbres de défaillances et de maintenance
98
Outils d ’analyse pour la maîtrise de
risques: Arbres de défaillances
 Cette analyse permet
 d ’améliorer la conception d ’un système
 de faire un diagnostic rapide
 de prévoir une meilleure logistique
 Pour établir cet arbre, il est utile de s ’aider d ’une analyse AMDEC
 Analyse déductive
 partir d ’une défaillance présumée (racine de l ’arbre)
 rechercher toutes les causes élémentaires (feuilles de l ’arbre) ou agencement de causes
pouvant conduire à la défaillance présumée
 Possible d ’ attribution d ’une classe de probabilité à chaque événement: recherche
de chemin critique
 Calcul
 algèbre de Boole
 calcul des probabilité
 réseaux bayésiens
99
Outils d ’analyse pour la maîtrise de
risques: Arbres de défaillances
Symboles
E
Y
X1
E
X1
E
X2
X3
t
X2
X3
ET
DELAI
ET avec CONDITION
E
Y
X1
X1
OU
X2
X3
E
SI
E
Y
X2
X3
OU avec CONDITION
100
Outils d ’analyse pour la maîtrise de
risques: Arbres de défaillances binaires
 Les plus utilisés en maintenance
 Etats binaires des événements (oui/non, OK/OFF, …)
 Evénement sommet = fonction logique des événements élémentaires (feuilles de
l ’arbre)
 Détermination des ensembles minimaux d ’événements élémentaires pouvant
conduire à l ’événement sommet en utilisant les règles de l ’algèbre de Boole
 Règles de l ’algèbre de Boole
 nX = X; Xn = X; XY = YX; X+Y = Y+X; XY+X = X(1+Y) = X
 Exemple
S = (X+Y)(X+Z)
= X2+XZ+XY+YZ
= X+XZ+XY+YZ
Outil informatique: CabTree (TP)
= X+XY+YZ
= X+YZ
101
Outils d ’analyse pour la maîtrise de risques:
Arbres de défaillances à plusieurs états
Approche par réseaux bayésiens
Présentation
Structure
X1
X2
…..….
Xi
Xk
X
Paramètres
Probabilité à priori ou marginale
PrX i 
pour les nœuds sans parents
Probabilité conditionnelle
PrX i /   ( X i )
pour les nœuds ayant des parents
  ( X i )  ensembledes parents de X i
Nœuds (ovale) = variables en interaction
Relation fondamentale
arcs = relation (causalité, corrélation,
indépendance, …) entre les variables d ’un
domaine de connaissance

 

PrX i   Pr X i /   ( X i ) Pr   ( X i )
102
Outils d ’analyse pour la maîtrise de risques:
Arbres de défaillances à plusieurs états
Approche par réseaux bayésiens: exemple
On considère un système S formé de 2 composants C1 et C2 identiques montés en parallèle en termes de fiabilité. On a
constaté que dans 5 cas sur 1000, le système ne fonctionne pas bien qu ’on soit sûr que les 2 composants fonctionnent
correctement. Si les 2 composants ne fonctionnent pas alors le système non plus et fonctionne dans 98 cas sur 100 avec le
seul composant 1 et dans 92 cas sur 100 avec le composant 2 seulement. On ignore complètement l ’état à priori de
chaque composant (incertitude totale).
1) Quelle est la probabilité que le système fonctionne ?
2) Si le système fonctionne, quelle est la probabilité pour chacun des composants d ’être OFF ?
103
Outils d ’analyse pour la maîtrise de risques:
Arbres de défaillances à plusieurs états
Approche par réseaux bayésiens: exemple
Réseau Baysésien
Classique
C1
C1
C1 , C2 , S  OK, OFF
C2
C2
s
PrS  OK / C1 , C2 
C1
C2
OK
OK
0.995
C1
C2
S
OK
OFF
OK
OK
OK
OFF
OK
0.98
0.92
OK
OFF
OK
OFF
OFF
0
OFF
OK
OK
OFF
OFF
OFF
PrS  OFF / C1 , C2   1  PrS  OK / C1 , C2 
PrS  k   PrS  k / C1  i, C2  jPrCi  iPrC2  j
i, j
104
Outils d ’analyse pour la maîtrise de risques:
Arbres de défaillances à plusieurs états
Approche par réseaux bayésiens: exemple
P rS  OK   P rS  OK / C1  OK , C 2  OK P rC1  OK P rC 2  OK  
P rS  OK / C1  OK , C 2  OFFP rC1  OK P rC 2  OFF 
P rS  OK / C1  OFF, C 2  OK P rC1  OFFP rC 2  OK  
P rS  OK / C1  OFF, C 2  OFFP rC1  OFFP rC 2  OFF
 0.995 0.5  0.5  0.98  0.5  0.5  0.92  0.5  0.5  0.00  0.5  0.5
 0.7238 72.38 %
105
Outils d ’analyse pour la maîtrise de risques:
Arbres de défaillances à plusieurs états
Approche par réseaux bayésiens: exemple (calcul avec le Logiciel Netica
106
Outils d ’analyse pour la maîtrise de risques:
Arbres de défaillances à plusieurs états
Réseaux Bayésiens Dynamiques: Présentation
Paramètres
Structure
Tables de probabilité conditionnelle


Pr BN(t ) /   ( BN(t )), BN(t  1), BN(t  2), ...
….
BN(t-k)
…..
BN(t-1)
BN(t)
Plusieurs tranches temporelles indiquant l’horizon
historique.
A chaque tranche: un réseau bayésien décrivant
l’interaction instantanée entre variables.
107
Outils d ’analyse pour la maîtrise de risques:
Arbres de défaillances à plusieurs états
Approche par réseaux bayésiens (dynamiques): exemple
On considère un système S formé de 2 composants C1 et C2 identiques montés en parallèle en termes de fiabilité. On a
constaté que dans 5 cas sur 1000, le système ne fonctionne pas bien qu ’on soit sûr que les 2 composants fonctionnent
correctement. Si les 2 composants ne fonctionnent pas alors le système non plus et fonctionne dans 98 cas sur 100 avec le
seul composant 1 et dans 92 cas sur 100 avec le composant 2 seulement. On ignore complètement l ’état à priori de
chaque composant (incertitude totale). Chaque composant a un taux de défaillance de li pannes par unité de temps.
108
Outils d ’analyse pour la maîtrise de risques:
Arbres de défaillances à plusieurs états
Approche par réseaux bayésiens (dynamiques): exemple
C1(t-1)
P1  e A1
C1(t) C2 (t) PrS (t )  OK / C1 (t ), C2 (t )
C1(t)
P2  e A2
C2(t-1)
C2(t)
s(t-1)
 l l1 
 l
A1   1
, A2   2

0
 0
 0
s(t)
OK
0.995
OK
OFF
OFF
OK
0.98
0.92
OFF
OFF
0
PrS (t )  OFF / C1 (t ), C2 (t )  1  PrS (t )  OK / C1 (t ), C2 (t )
l2 
0 
OK
PrCi (t )  k   Pi  j, k  PrCi (t  1)  j
j
PrS (t )  k   PrS (t )  k / C1 (t )  i, C2 (t )  jPrCi (t )  iPrC2 (t )  j
i, j
109
Approche par réseaux bayésiens (dynamiques): exemple
PrC1 (t )  OK  P1 OK, OK  PrC1 (t  1)  OK  P1 OFF, OK  PrC1 (t  1)  OFF
PrC1 (t )  OFF  P1 OK, OFF PrC1 (t  1)  OK  P1 OFF, OFF PrC1 (t  1)  OFF
PrC2 (t )  OK  P2 OK , OK  PrC2 (t  1)  OK  P2 OFF, OK  PrC2 (t  1)  OFF
PrC2 (t )  OFF  P2 OK , OFF PrC2 (t  1)  OK  P2 OFF, OFF PrC2 (t  1)  OFF
l1  103 , l2  0.5 102
0.999 0.001
P1  e A1  
1 
 0
0.995 0.005
P2  e A2  

0
1


PrC1 (t )  OK  0.999PrC1 (t  1)  OK
PrC1 (t )  OFF  0.001PrC1 (t  1)  OK  PrC1 (t  1)  OFF
PrC2 (t )  OK  0.995PrC2 (t  1)  OK
PrC2 (t )  OFF  0.005PrC2 (t  1)  OK  PrC2 (t  1)  OFF
PrS (t )  OK  0.995PrC1 (t )  OKPrC 2 (t )  OK 
0.98PrC1 (t )  OKPrC 2 (t )  OFF 
0.92 PrC1 (t )  OFFPrC 2 (t )  OK
110
Outils d ’analyse pour la maîtrise de risques:
Arbres de défaillances à plusieurs états
Approche par réseaux bayésiens (dynamiques): exemple
111
Outils d ’analyse pour la maîtrise de risques:
Arbres de défaillances à plusieurs états
Réseaux Bayésiens (Dynamiques): utilisation
 Inférence: étant donnés la structure et les paramètres du réseau, propager une
évidence (connaissance certaine de l ’état de certains nœuds) pour découvrir l ’état
probable des nœuds non observés.
 Application: diagnostic, prévision,
 Apprentissage: A partir des données d ’expérience ou d ’expertise,
 établir la structure (apprentissage de structure)
 déterminer les paramètres d ’une structure donnée (apprentissage de paramètres)
 l ’apprentissage de structure est difficile en général
 Il existe des algorithmes (plus ou moins) efficace d ’apprentissage et d ’inférence
112
Application de l ’inférence en RBD: Aide à la décision par simulation
 Diagnostic, Pronostic, ….
 O = ensemble des nœuds dont l ’état est observé (symptômes) à chaque instant t
 Déterminer l ’état probable X*(t) d ’un nœud caché X à l ’instant t étant donné O(t) pour
t1  t  t 2
X * (t )  arg maxx PrX (t )  x / O(t ), t1  t  t 2 
 Réactivité par rapport à l ’évolution de l ’environnement
 C(X) : ensemble des états critiques pour une variable X (composant)
 Hors ligne: établissement des plans d ’action suivant l ’état de l ’environnement


Intervenir si Pr X (t 0  t )  C( X ) / w(t )  1  g , 0  g  1
 En ligne: estimation du temps moyen nécessaire de réaction à un changement de
l ’environnement



t ( )  inft Pr X (t0  t )  C( X ) / w(t ), t0  t  T  1   , 0    1
 Evaluation des politiques d ’action
 une action a domine stochastiquement une autre action b si et seulement si
PrX (t 0  t )  C( X ) / a  PrX (t 0  t )  C( X ) / b, t  t 0 T 
113
Application de l ’apprentissage des paramètres en RBD: Estimation
des performances de SdF par simulation
 Proportion de temps passé dans un état i (MTTR, MUT, …)
 Nombre moyen de transitions entre deux visites d ’un état i (MTBF)
 Temps moyen de séjour dans un état i à partir d ’un état j (temps moyen de
fonctionnement approximatif)
 Temps moyen avant absorption (durée de vie moyenne)
 Probabilité d ’absorption à partir d ’un état i (sécurité)
 ….
114
Outils d ’analyse pour la maîtrise de
risques: Arbres de maintenance
 Cheminement des tests à effectuer pour un diagnostic
 Classer les opérations de tests des plus probables vers les moins probables pour
minimiser le temps de diagnostic
 réseaux bayésiens
 Outil informatique (CabTree, facteur d ’importance)
Bon
Symboles
M
E
Mauvais
TEST
CONTROLE
R
REPARATION
ETAPE
C
REGLAGE
CONTROLE
115
Outils d ’analyse pour la maîtrise de
risques: Arbres de maintenance
Pas de lumière
Exemple
Arbre de maintenance
de l ’éclairage d ’une salle
Bon
Mauvais
Vérifier
lampes
Remplacer
lampes
Bon
Vérifier
alimentation
Mauvais
Remplacer
fusibles
Rétablir
alimentation
Contrôler
Contrôler
Contrôler
116
Outils d ’analyse pour la maîtrise de
risques: Analyse ABC ou de Pareto
 Cette analyse permet d ’identifier les tâches ou ressources prioritaires
 Méthodologie
 classer les pannes par ordre décroissant de coût, chaque panne se rapportant à une
rubrique ou machine
 construire le tableau
 ci: coût des pannes par machine classé par ordre décroissant
 Sci : somme des coûts de 1 à i
 Sci /CT: pourcentage par rapport au coût total CT
 Npi: nombre de pannes attribuées à une machine
 SNpi : somme des pannes de 1 à i
 SNpi /NPT: pourcentage par rapport au nombre total de pannes
117
Outils d ’analyse pour la maîtrise de
risques: Analyse ABC ou de Pareto
 Méthodologie
Numéro
de machine
Ni
Classement
par ordre
décroissant
de coût
ci
Cumule
des coûts
Sci
Pourcentage
des coûts
Sci /CT
Nombre
de pannes
par machine
Npi
Cumule
des pannes
SNpi
Pourcentage
des pannes
SNpi /NPT
 Construire la courbe de Pareto
118
Outils d ’analyse pour la maîtrise de
risques: Analyse ABC ou de Pareto
Courbe de Pareto
Pourcentage
de coût
100%
95%
80%
A
C
B
20%
50%
100
%
Pourcentage
de type
de pannes
119
Outils d ’analyse pour la maîtrise de
risques: Analyse ABC ou de Pareto
 Analyse de la courbe ABC
 Zone A: environ 20% des pannes représentent 80% de coût, ces pannes sont prioritaires
 Zone B: les 30% de pannes suivantes ne coûtent que 15%
 Zone C: les 50% des pannes restantes ne reviennent qu ’à 5% des coûts
 Utilisation de la courbe ABC
 Zone A
 organisation d ’une maintenance préventive systématique, prévisionnelle ou conditionnelle
 surveillance permanente des points clés
 amélioration de la fiabilité de ces éléments
 prévision des stocks de pièces de rechange avec une plus grande attention
 Zone B
 moins exigeant
 Zone C
 pas de maintenance préventive
120
Outils d ’analyse pour la maîtrise de
risques: Analyse ABC ou de Pareto
Exemple
Un système industriel est composé de 10 éléments fondamentaux. Afin de déterminer les éléments qui causent le
plus d'indisponibilité du système, une étude des pannes des différents éléments a été réalisée pendant une année
dont le résultat est donné par le tableau ci-dessous.
Eléments Temps d'arrêt en minutes
A
50
B
35
C
40
D
20
E
497
F
10
G
25
H
8
I
298
J
17
Total des temps d ’arrêt: 1000 minutes
121
Outils d ’analyse pour la maîtrise de
risques: Analyse ABC ou de Pareto
Exemple
122
Outils d ’analyse pour la maîtrise de
risques: Analyse ABC ou de Pareto
Exemple
Etude avancée des temps de bon fonctionnement des éléments E et I
E: 110 - 208 - 170 - 190 - 155 - 230 - 340 - 150 - 160 - 195 - 280 - 250 (heures)
I: 55 - 40 - 70 - 120 - 150 - 270 - 200 - 190 (heures)
Fonctions fiabilités RE(t) et RI(t) par Weibull
Périodicité d ’intervention T0 avec risque a ?
123
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange
 A prévoir
 quantité à commander
 dates de réapprovisionnement
 En minimisant
 coût de passation de commandes ou coût d ’acquisition
 varie en fonction du nombre de commandes
 occasionne des frais dans les services
•
service achat
•
service gestion des stocks
•
service réception (contrôle qualité)
•
service magasin
•
service comptable
 coûts des matériels commandés (coût d ’achat)
 coût de possession des matériels: coût de ce que pourrait rapporter à l ’entreprise les
capitaux dégagés par une diminution de stock moyen (calculé en général sur une année)
 taux de possession annuelle, i qui est fonction de l ’intérêt du capital immobilisé et des frais de
stockage (locaux, impôts, assurance, …)
 valeur du stock immobilisé
 coût de pénurie (difficile à évaluer)
124
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
 Paramètres
 K: consommation annuelle prévisionnelle (en nombre)
 Q: quantité commandée à chaque réapprovisionnement
 N: nombre de commandes annuelles
 Pu: prix unitaire des matériels
 i: taux d ’intérêt appliqué à la valeur moyenne du stock annuel
 Ca: coût d ’acquisition par commande
125
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
Hypothèse: variation linéaire du stock
Q
Stock
moyen
Q/2
Stock de
sécurité
Ss
T1
CT  KPu
Coût
total
 KPu
Coût
d ’achat
 Ca N
 Ca
T2
T3
Q
Pu i
2
Q

Pu i
2

K
Q
Coût
de possession
Coût
d ’acquisition
126
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
Quantité économique de commande: formule de Wilson
KC
dCT
  2a
dQ
Q

1
Pu i  0
2
Qe 
2 KC a
Pu i
N commandes par an d ’une durée de T0 entre commandes
T0 
12Qe
1 an Qe

années
m ois
N
K
K
127
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
Différents modes de gestion de stock
Mode de gestion
Point de commande
Plan d ’approvisionnement
Quantité commandée
Fixe
Variable
Programme d ’approvisionnement
Fixe
Cas des pièces de sécurités
Variable
Temps entre commande
Variable
Fixe
Fixe
Variable
128
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
Méthode du point de commande
Commander la quantité économique lorsque le stock atteint un stock d ’alerte Sa
Q
Stock d ’alerte, Sa
T1
T2
T3
Délai d ’approvisionnement, d
129
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
Méthode du point de commande
Premier cas: la sortie des matériels est gaussienne et les fluctuations du délai
négligeable devant celles des sorties
- C : consommation moyenne par unité de temps (mensuelle)
Probabilité de
- d: délai d ’approvisionnement
rupture de stock
- s: écart-type de la distribution des quantités sorties par
unité de temps (mensuellement)
- k: nombre d ’écart-type correspondant au niveau de
Cd
sécurité souhaitée
 (t ) 
S a  Cd  ks d
1
2
t
e

t2
2
dt

 (k )  1  a
Consommation
moyenne pendant
le délai
Stock de sécurité
pendant le délai
Probabilité de
rupture de stock
130
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
Méthode du point de commande
Premier cas (loi de Gauss)
Mois
Quantité
janvier
février
mars
avril
mai
juin
juillet
septembre
octobre
novembre
décembre
20
30
25
15
30
10
35
40
25
40
15
Exemple
- coût lié aux commandes: 700 UM
- taux de possession de stock, 30%
- coût unitaire de matériel, 50 UM
- délai d ’approvisionnement, 1 mois
- risque de rupture, 5%
Stock d ’alerte ?
131
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
Méthode du point de commande
Deuxième cas: la sortie des matériels suit une loi de Poisson (faible sortie, P(X = 0) n ’est pas nulle; la
moyenne de sorties m est sensiblement égal à la variance
e M M x
PrX  k   
x!
x 0
k
- X: nombre de sorties par unité de temps
- m : moyenne des sorties par unité de temps
- M = md: moyenne des sorties durant la période de risque
Suivant le niveau de couverture souhaité (probabilité de ne pas manquer de pièces de rechange),
on détermine k qui constitue le stock d ’alerte
132
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
Méthode du point de commande
Deuxième cas (loi de Poisson)
Exemple
- délai d ’approvisionnement, 1 mois
Mois
Quantité
janvier
février
mars
avril
mai
juin
juillet
septembre
octobre
novembre
décembre
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
- risque de rupture, 5%
Stock d ’alerte ?
133
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
 Méthode du point de commande
 Avantages
 grande sécurité de fourniture des pièces de rechanges
 évite les périodicités et inventaires
 Inconvénient
 stock d ’alerte périodiquement calculé en fonctions des variables délai et consommations
 nombre de commandes multiples
 80% de pratique en entreprises
134
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
Méthode du plan d ’approvisionnement
Commander des quantités variables à dates fixes
Nombre annuel moyen de commande
N
K

Qe
K 2 Pu i

2 KC a
KPu i
2C a
Périodicité en mois
T0 
2C a
12
 12
N
KPu i
La quantité à commander Qc doit faire face à
- consommation pendant le délai d
- consommation entre 2 commandes
Qc  C d  T0   M
S s  kT0 d  T0
reste en magasin
135
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
 Méthode du plan d ’approvisionnement
 Avantages
 facilite les achats, ordonnancement des commandes, contrôle qualité, magasinage
 Inconvénients
 risque accru d ’avoir une rupture de stock en cas d ’augmentation brusque de consommation
 10% de pratique en entreprise
136
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
Méthode du programme d ’approvisionnement
Commander des quantités fixes à dates fixes
Périodicité en mois
T0 
2C a
12
 12
N
KPu i
Quantité à commander
Qc  C T0
Le risque de rupture de stock est d ’autant plus grand que la période couverte est longue
137
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
 Méthode pour pièces de sécurité
 pièces vitales pour l ’entreprise
 probabilité de rupture de stock doit être très faible (improbable)
 étude de sécurité éventuelle (analyse par arbre de défaillances)
 5% de stock dans l ’entreprise en général
 prendre en compte dans Wilson le coût consécutif à la rupture de stock
 Soit W le coût de pénurie par pièce manquante et par an, il intègre
 pertes de production
 coût de solution compensatoires
138
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
Méthode pour pièces de sécurité
r  (1  a)T
Hypothèse: les réapprovisionnement sont
effectués après une durée r telle que
période
d ’approvisionnement
économique
taux de pénurie
Q
Stock moyen
aQ
T
1
a 2Q
Q (T ) dT 
T 0
2
aT
r
aT
T
r
aT
2T
r
3T
139
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
Méthode pour pièces de sécurité
Stock moyen
T
1
a 2Q
Q (T ) dT 
T 0
2
Le nombre de pièces manquantes
varient de 0 à (1-a)Q
(1-a)Q
Moyenne des pièces manquantes
1  (1  a)Q  (1  a)T  (1  a) 2 Q
 
T 
2
2
r = (1-a)T
140
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle classique
Méthode pour pièces de sécurité
Coût
total
réel
CTr 
KPu
Coût
d ’achat

KC a
Q
Q
 a
Pu i 
2
Coût
d ’acquisition
2
(1  a) 2
QW
2
Coût
de pénurie
Coût
de possession
Quantité économique
Taux de pénurie optimale
CTr
W
0 a
a
Pu i  W
1 a 
Pu i

Pu i  W
i
W
i
Pu
2 KC a
CTr
 0  Qe 
Q
a 2 Pu i  (1  a) 2 W
 2 KC a
Qe  
 Pu i
 W  Pu i 


W



141
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle à une période
Cas d ’une commande unique (annuelle, mensuelle, hebdomadaire, journalière, ….)
 Le coût total (acquisition, stock, pénurie,..) dépend de la demande D et de la
quantité commandée Q, CT = C(D, Q) qui peut s ’écrire comme
 C(D, Q) = coQ + termes ne dépendant pas de Q si D <= Q, co est le coût unitaire de sur stockage (overstocking cost)
 C(D, Q) = - cuQ + termes ne dépendant pas de Q si D >= Q+1, cu est le coût unitaire de
sous - stockage (understocking cost)
 Le coût moyen est alors
E (Q) 
 C(D, Q) Pr(D)
qui est en général une fonction convexe, donc
D
admettant un minimum Q* qui sera la quantité à commander
 Si D <= Q, le passage de Q à Q+1 augmente le coût de co, la variation moyenne du coût
total est alors
1 E (Q)  c o P r(D  Q)
 Si D >= Q, le passage de Q à Q+1 diminue le coût de cu, la variation moyenne du coût total
est alors
 2 E (Q)  cu P r(D  Q)
142
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle à une période
Cas d ’une commande unique
 La variation total du coût est alors
E (Q)  E (Q  1)  E (Q)  c o P r(D  Q)  cu P r(D  Q)
 c o P r(D  Q)  cu 1  P r(D  Q)
 c o  cu  P r(D  Q)  cu
 La quantité optimale Q* à commander est telle que
E (Q * )  0
 soit

cu 
Q *  inf Q : P r(D  Q) 

co  cu 

143
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle à une période
cu
co  cu
Q* = première valeur
rencontrée après celle - ci
144
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle à une période
Cas d ’une commande unique
La consommation annuelle d ’une pièce de rechange est distribue suivant le tableau suivant. On considère
que les pièces non consommées sont obsolètes l ’année suivante et le coût de pénurie par pièce est estimée à 4 fois
le coût d ’achat de la pièce. Combien de pièces faut il commander au début de l ’année ?
consommation
probabilité
100
150
200
250
300
0,3
0,2
0,3
0,15
0,05
145
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle à une période
Cas où le bien géré est continu
Le résultat précédent reste valable même si le bien géré est une matière continue (fuel, huile, …)
et dans ce cas il existe une unique valeur Q* telle que
P r(D  Q*) 
cu
co  cu
cu
co  cu
Q*
146
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle à une période
Cas d ’une commande unique
Exemple
Le responsable de maintenance d ’un atelier de production doit déterminer au début de chaque mois,
quelle quantité d ’une matière entrant dans la maintenance d ’une machine faut - il commander.
Le coût total d ’achat d ’une unité de cette matière est ca.
A la fin du mois la quantité non consommée est perdue et le coût de l ’immobilisation de la machine suite
au manque de cette matière est estimée à ci unités monétaires par unité de matière manquant avec ci> ca .
On estime que la consommation mensuelle de cette matière suit une loi normale de moyenne 50 et
d ’écart-type 10. Quelle est la quantité optimale à commander chaque mois ?
147
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle à une période
Cas d ’une commande unique
Exemple
c a  200, c i  250
DQ
achat
ca Q
perte
c a (Q  D)
total
2c a Q  c a D  c o  2c a  400
DQ
achat
ca Q
immobilisation
c i ( D  Q)
total
(c a  c i )Q  c i D  (c i  c a )Q  c i D
 c u  c i  c a  50
148
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle à une période
Cas d ’une commande unique
Exemple
Quantité optimale à commander


cu
ci  c a
c  ca
50 1
Q *  inf Q : P r(D  Q) 

 i

  0.11
c o  c u 2c a  ci  c a c a  ci 450 9


Comme la demande suit une loi normale de paramètres
On a
Donc
D  50,
s  10
 D  D Q * D 
P r

  0.11
s
s


Q * D
s
 1.23  Q*  D  1.23s  37.7
149
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange: modèle Markovien
Utilisation des chaînes de Markov
Exemple
La gestion de stock d ’une pièce de rechange se déroule de la manière suivante:
1) Au début de chaque semaine, le niveau du stock est examiné et, s ’il est inférieur à 2 unités, une
commande prend place de manière à ramener le niveau du stock à 3 unités. Le prix unitaire d ’achat
d ’une pièces est c = 2 et, pour chaque commande, un coût fixe K = 2 doit être payé.
2) La commande est réceptionné le jour même avant toute demande.
3) Pendant la semaine la demande est satisfaite immédiatement dans les limites du stock disponible. En
cas de rupture, elle est mise en attente jusqu ’à la réception de la prochaine commande. La demande de
chaque semaine est comprise entre 0 et 4 unités suivant la loi de probabilité (3/10, 3/10, 2/10, 1/10, 1/10).
4) A la fin de la semaine, un coût unitaire de stockage de h = 2 doit être payé pour chaque pièce non utilisée
et un coût unitaire de pénurie p = 4 est encouru pour chaque demande non satisfaite.
150
Maîtrise de risques par la Gestion des pièces
de rechange
Utilisation des chaînes de Markov
Exemple
L ’état du système est donné par Xk le niveau du stock et des demandes non satisfaites au début de la semaine k.
X k  2,  1, 0, 1, 2, 3
Niveau moyen du stock réel ?
Probabilité de rupture de stock (demande en attente) ?
Coût lié aux commandes suivant l ’état i du système c(i) ?
Coût lié à la gestion (stock + pénurie) suivant l ’état i du système g(i) ?
0
0

1 0
P

10 0
1

0
1 1 2 3 3
1 1 2 3 3
1 1 2 3 3

1 1 2 3 3
1 2 3 3 0

1 1 2 3 3
Coût moyen hebdomadaire de réapprovisionnement et de gestion ?
c  12 10 8 6 0 0
* 
1
3 10 13 23 30 21
100
g  8 4 0 2 4 6
151
Maîtrise de risques par un remplacement
préventif
 Hypothèse: distributions des durées de vie connues
 Modèle ARP (Age Replacement Policy): remplacer un composant par un neuf au coût
c1 dès qu ’il atteint l ’âge T; une défaillance avant l ’âge T entraîne un coût de
défaillance c2 (coût de remplacement par un neuf + perte de production)
 Espérance de durée de fonctionnement du composant
T
 R(t )dt
0
 Espérance de de coût associé à un cycle de fonctionnement (intervalle de temps
entre deux remplacements)
c1 R(T )  c2 1  R(T )
 Coût de maintenance par unité de temps (durées d ’interventions négligées)
C (T ) 
c1 R(T )  c2 1  R(T ) 
T
 R(t )dt
0
152
Maîtrise de risques par un remplacement
préventif
 Modèle ARP (Age Replacement Policy): choix de la politique (préventif versus
correctif)
 Coût du préventif
C (T ) 
c1 R(T )  c2 1  R(T ) 
T
 R(t )dt
0
 Coût du correctif
C () 
c2

Préventif mieux que correctif si
C (T )  C () 
c1 R (T )  c 2 1  R(T ) 
T
 R(t )dt
 R(t )dt
0

c2

 R(t )dt
0
0
T

 R(t )dt
0

 R(t )dt
 1  (a  1) R(T ), a 
c1
c2
0

y (T )  1  (a  1) R(T )  a  (1  a ) F (T )
153
Maîtrise de risques par un remplacement
préventif
 Modèle ARP (Age Replacement Policy): choix de la politique (préventif versus
correctif)
y(T)
1
Préventif mieux que correctif si
a
a
1
T
T0
F(T)
T  T0  F 1 (a )
0
Calcul de l ’âge optimal: problème d ’optimisation avec d ’autres critères éventuellement
154
Maîtrise de risques par un remplacement
préventif
 Modèle du remplacement périodique
 Modèle de Base: un composant est changé au coût c1 avec périodicité T quelque soit son
âge; si une défaillance survient au cours de la période T, un remplacement sous défaillance
est effectué au coût c2 > c1
 m(T): nombre moyen de défaillances au cours du cycle T
 coût moyen par unité de temps
C (T ) 
c1  c 2 m(T )
T
 m(T) est difficile à calculer et satisfait l ’équation de renouvellement
T
m(T )   1  m(T  t )  f (t )dt
0
155
Maîtrise de risques par un remplacement
préventif
 Modèle du remplacement périodique
 Modèle BH (Barlow & Hunter) de la réparation minimale: approximation du modèle de base
 Une défaillance brutale est corrigée par une réparation minimale (une réparation qui ne modifie pas
le taux de défaillance du matériel)
 Le nombre de défaillances par cycle est égal au nombre de réparations minimales défini par la
fonction hasard cumulé
T
H (T )   l (t )dt
0
 Coût moyen par unité de temps
C (T ) 
c1  c 2 H (T )
T
 Dans le cas de la loi de Weibull avec g = 0 et b > 1
 1

c1  c2  b T b 
b
b
1
h
  c1h  c2T
H (T )  b T b  C (T ) 
T
h
h bT
 Périodicité optimale
 D ’autres modèles existent
1
 c1
b
dC(T )

 0  Topt  h 


dT
c
b

1
 2

156
SdF: bibliographies
 F. Monchy (2003), Maintenance: Méthodes et organisations, Collection Technique et
Ingénierie, Edition: Dunode / L ’Usine Nouvelle.
 C. Pellegrin (1997), Fondements de la Décision de Maintenance, Collection, P.I.Q.,
Edition: Economica.
 P. Lyonnet (1986), La Maintenance: Mathématiques et Méthodes, Collection Technique
et Documentation, Edition: Lavoisier.
 AFNOR (1988), Fiabilité, Maintenabilité, Disponibilité, Recueil de Normes Françaises.
 AFNOR (1988), Maintenance industrielle, Recueil de Normes Françaises.
 Hêche J.-F., Liebling T.M. et Werra (de) D. (2003), Recherche Opérationnelle pour
Ingénieurs II, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes
157
Annexe
Tables de paramètres A et B de la loi de Weibull
b
A
B
158
Annexe
Tables de paramètres A et B de la loi de Weibull
b
A
B
159
Annexe
Tables de paramètres A et B de la loi de Weibull
b
A
B
160
Annexe
Tables de a1 de la méthode des rangs médians en %
161
Annexe
Tables de a1 de la méthode des rangs médians en %
162
Annexe
Tables de a1 de la méthode des rangs médians en %
163
Annexe
Tables de a2 de la méthode des rangs médians en %
164
Annexe
Tables de a2 de la méthode des rangs médians en %
165
Annexe
Tables de a2 de la
méthode des rangs
médians en %
166