Transcript La géométrie au cycle 2 et au cycle 3

La géométrie
au cycle 2 et au cycle 3
Brigitte Bonnet-Philip et Mirène Larguier
du GDM (groupe départemental de mathématiques)
Lunel 19 mai 2010
1
Présentation et objectifs de la formation
Le groupe départemental de mathématiques : qui sommes-nous ?
Quelle place pour la résolution de problèmes dans le domaine de la
géométrie ?
•
« La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est
présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. »
Quel rôle de l’expérimentation en géométrie ?
•
Expérimenter en manipulant des figures :
plier, assembler, découper, décalquer …
•
Expérimenter en vivant des notions mathématiques par son corps :
déplacements en ligne droite, s’aligner, position verticale, faire une ronde ...
Des ressources pour enseigner les mathématiques :
http://www.ac-montpellier.fr
http://math34.ac-montpellier.fr
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ère
1
activité
• Répondre par écrit à la question suivante
•
Identifier les différentes tâches dans le domaine de la
géométrie qui sont demandées aux élèves en faisant un
inventaire à partir des verbes donnés dans les consignes
(exemple : « tracer »).
•
Faire également l’inventaire des outils utilisés pour
l’enseignement de la géométrie en cycle 2 et en cycle 3.
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Les différentes tâches dans le domaine
de la géométrie
Les termes du programme de 2008 :
Reconnaitre, comparer, classer, nommer, décrire,
reproduire, dessiner (avec des instruments ou à main
levée), tracer, vérifier, estimer, construire, utiliser (des
instruments, du vocabulaire), reporter (une longueur)
Et aussi : Voir, observer, assembler des figures,
décomposer des figures, décalquer, représenter, suivre
ou élaborer un programme de construction, faire un plan,
utiliser un logiciel de géométrie
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Le matériel
Règle graduée ou non, compas, équerre, papier calque,
papier uni, papier pointé (réseau carré ou triangulaire),
papier quadrillé, gabarit (pour des angles, des longueurs, des
carrés…).
Corde, papier millimétré, guide âne, miroir
Le corps est aussi un outil (idée de verticale quand on est
debout, estimer une longueur en pas…)
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Le rapporteur est un
instrument découvert
au collège
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Un instrument que l’on peut
utiliser : la « réquerre »
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Voir, observer : développer un regard géométrique
sur un dessin
http://www.banqoutils.education.gouv.fr
Dessin de gauche : ces 6 droites sont-elles parallèles ?
Dessin du milieu : ce quadrilatère est-il un rectangle ?
Dessin de droite : ces deux segments sont-ils de la même longueur ?
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Voir, observer :
développer un regard géométrique sur un dessin
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Voir, observer :
développer un regard géométrique sur un dessin
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Voir, observer :
développer un regard géométrique sur un dessin
Combien vois-tu de rectangles sur ce dessin?
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Voir, observer :
développer un regard géométrique sur un dessin
Combien vois-tu de rectangles sur ce dessin?
Il y a 9 rectangles dans cette figure géométrique.
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Voir, observer, reconnaître
Avec des carrés...
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On dispose de 5 carrés parfaitement
superposables
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Rechercher tous les polygones
que l’on peut obtenir en
juxtaposant les 5 carrés identiques
Contrainte :
2 carrés doivent toujours avoir un côté commun
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P
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Les objectifs
Identifier des figures qui ont ou n’ont pas la même forme et qui
sont donc superposables ou non (géométrie du papier calque)
Classer en fonction de la présence ou non d’axes de symétrie
Classer en fonction du périmètre
(12 ou 10 unités, l’unité étant la
longueur d’un côté du carré)
Identifier des
rectangles*
sous-figures
comme
des
carrés
et
des
Utiliser les pentaminos pour réaliser des assemblages et
former des figures particulières (comme des carrés, des rectangles ...)
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des rectangles
d’autres formes
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Réaliser des formes superposables
en utilisant des pentaminos différents
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et de nombreuses autres situations à découvrir sur :
•
http://pagespersoorange.fr/therese.eveilleau/pages/
jeux_mat/textes/pentaminos.htm
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Observer, reconnaître, vérifier, nommer à
partir d’une activité de manipulation
Avec des triangles...
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Rechercher tous les polygones
que l’on peut obtenir en
juxtaposant les 2 triangles identiques
Contrainte :
2 triangles doivent être juxtaposés en faisant
coîncider 2 côtés de même longueur
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Combien de figures obtiendrait-on avec 2 triangles
équilatéraux ?
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Nature du triangle Nombre de figures
Objectifs d’apprentissage
Perpendiculaires et parallèles
Quelconque
6
Description de polygones avec
l’inventaire de leurs propriétés
Symétrie axiale
Rectangle
Tracés avec différents
instruments sur différents
supports
6
Reproduction de figures
Rectangle
isocèle
Perception de sous figures
dans une figure complexe
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Aire et périmètre
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Variantes didactiques
Donner aux élèves la quantité suffisante de triangles identiques
pour qu’ils puissent rechercher, puis coller les assemblages
Faire réaliser le contour des figures pour matérialiser les
assemblages
Faire reproduire ces figures sur un quadrillage identique à celui
figurant sur les modèles
Faire reproduire ces figures sur un quadrillage plus petit que
celui figurant sur les modèles
Faire reproduire les figures sur un papier uni
(cela nécessite de
reproduire un triangle connaissant les longueurs de ses 3 côtés avec le
compas)
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Des situations de
formulation
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Nommer, décrire,
écrire un programme de construction.
Situations de formulation
Principe sous-jacent :
Le travail langagier oral et écrit est fondamental dans la construction des apprentissages.
Nous distinguons plusieurs types de travail langagier :
•
•
Les productions langagières demandées par l’enseignant :

« explique comment tu as fait » : demande scolaire classique ;

« prouve que tu as raison » : situation de débat ou d’argumentation, de justification ;
Les productions langagières nécessitées par la situation-problème :
Ces situations sont les plus propices à développer le langage car elles donnent une raison
d’être à la production langagière :

Exemple du jeu de la carte d’identité et du jeu du portrait dès le cycle 2 ;

Exemple des programmes de constructions en cycle 3.
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Nommer, décrire,
écrire un programme de construction.
Jeu de la carte
d’identité
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But du jeu :
deviner la figure choisie en posant des questions
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Les objectifs
Favoriser une production langagière orale ou écrite
Utiliser
un
vocabulaire
de
plus
en
plus
précis
Réinvestir, renforcer des notions de repérage d’objets
les uns par rapport aux autres déjà rencontrées
:
dessus, dessous, entre, au milieu de ...
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Variantes
Phase 1
Le professeur choisit une figure, les élèves doivent
deviner laquelle.
Un élève choisit une figure, les autres doivent deviner
laquelle.
But : Apprendre à poser des questions de plus en plus pertinentes.
Se familiariser avec le vocabulaire spécifique lié à l’activité.
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Phase 2
Une carte par groupe :
==> chaque groupe doit rédiger « la carte d’identité » de la
figure qui lui a été confiée.
Les groupes échangent 2 à 2 leur production et doivent
identifier la figure décrite dans un ensemble de figures
données.
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Phase 3
Réunir toutes les cartes d’identité et associer les
dessins et les cartes
Phase 4
Travail par groupe
Créer une nouvelle figure, rédiger sa carte d’identité
et demander, à un autre groupe, de dessiner la figure.
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Nommer, décrire, réinvestir
les propriétés de figures géométriques
Jeu du portrait
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Les objectifs
Favoriser une production langagière orale
Réinvestir le vocabulaire introduit lors des séances en
classe
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La mise en oeuvre
Chaque élève dispose d’une fiche plastifiée et d’un feutre
pour tableau blanc.
Une fiche agrandie est à la disposition de la classe.
Consignes de jeu :
Un élève choisit une figure sans la nommer
Les autres doivent tenter de deviner laquelle, en posant
des questions mettant en jeu les spécificités de chacune
d’entre-elles.
L’élève qui a choisi la figure ne répond que par oui ou par
non.
Des figures seront éliminées au fur et à mesure pour
tenter d’identifier celle choisie .
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Les élèves apprennent à
devenir de plus en plus précis
et de plus en plus performants
dans le choix et la formulation
des questions.
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Avec des solides...
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«La main dans le
sac»
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Matériel
Un sac pas
transparent
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Consignes de jeu :
Un élève met la main dans le sac et choisit un objet
(figure ou solide) qu’il ne montre pas.
Les autres doivent tenter de deviner la nature de
l’objet en posant des questions
ou
ils doivent donner le nom de l’objet en prenant en
compte les indices donnés par l’élève.
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Variante
Jouer par binôme (ou équipe) : l’un a le sac, l’autre
les formes visibles devant lui mais non visibles par
celui qui a le sac.
Celui qui a le sac doit tenter de trouver la forme
dans son sac en suivant les indications de l’autre
élève.
ou inversement
Celui qui a le sac, donne les indications et son
partenaire doit retrouver la forme parmi celles qu’il
a devant lui.
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Des situations de
formulation
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Des situations de formulation
Cet exercice a été posé à plusieurs reprises dans les évaluations nationales de début de 6e.
Celui qui est proposé a été donné en 2000.
Écrire votre réponse personnelle à cette question avec vos connaissances
d’adulte sans chercher à vous mettre dans le rôle d’un élève.
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Des situations de formulation
Analyse de productions d’élèves de début de 6e
Mildred :
Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de
diamètre.
Najoua :
Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout
en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm.
Michel :
Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du
carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre.
Meredith :
Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet de
droite du haut doit être au centre du cercle.
Anaïs :
Trace un cercle dont le rayon est de 2,2.
Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme un
carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur.
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Des situations de formulation
Pourquoi ce type d’erreur ? Quelle conception exprime-t-elle ?
Mildred :
Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de
diamètre.
Najoua :
Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout
en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm.
Michel :
Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du
carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre.
Meredith :
Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet de
droite du haut doit être au centre du cercle.
Anaïs :
Trace un cercle dont le rayon est de 2,2.
Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme un
carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur.59
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Des situations de formulation
Pourquoi ce type d’erreur ? Quelle conception exprime-t-elle ?
Mildred :
Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de
diamètre.
Najoua :
Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite
tout en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm.
Michel :
Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite
du carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre.
Meredith :
Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet
de droite du haut doit être au centre du cercle.
Anaïs :
Trace un cercle dont le rayon est de 2,2.
Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme
un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur.
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Des pratiques enseignantes vues à travers des manuels pour
expliquer la logique des erreurs précédentes
La clé des maths CE1 Belin 2009
Cap Maths CE2 Hatier 2007
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Brigitte BONNET PHILIP - Mirène LARGUIER G
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Des situations de formulation
Mildred :
Tracer un carré de 5,5 de largeur et de 5,5 de longueur. Tracer un rond de 2,2 de
diamètre.
Najoua :
Trace un carré qui a pour dimension d'une droite : 5cm et 5mm. A l'angle de droite tout
en haut, trace un cercle qui a pour rayon 2cm et 2mm.
Michel :
Fais un carré de 5,5cm de chaque côté. Prends l'angle droit qui est en haut à droite du
carré. Prends ton compas et trace un cercle de 2,2 cm de diamètre.
Meredith :
Trace un cercle de 2cm 2mm de diamètre et un carré de 5cm 5mm dont le sommet de
droite du haut doit être au centre du cercle.
Anaïs :
Trace un cercle dont le rayon est de 2,2.
Trace une droite de 5,5 cm partant du centre du cercle. A partir de cette droite forme
un carré de 5,5 de longueur et 5,5 de largeur.
L’orientation doit-elle être un critère à retenir pour construire la figure ?
Les instruments à utiliser doivent-ils être précisés ?
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Brigitte
PHILIP - Mirène LARGUIER
Un terme du vocabulaire géométrique
méconnu
: BONNET
sommet.
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Des situations de formulation
Des critères à enseigner aux élèves pour élaborer un texte qui est un texte de
programme de construction géométrique :
 L’orientation du dessin ne doit pas être prise en compte (penser que c’est le
papier calque qui validera la construction) ;
 Les instruments ne doivent pas être précisés ;
 Les termes mathématiques les plus précis possibles doivent être utilisés ;
 Toutes les informations nécessaires doivent être données, rien ne doit être
deviné (un cercle est défini par un centre et un rayon, ou un centre et un
diamètre) ;
 Ce texte écrit en français respecte évidemment les règles d’orthographe et de
grammaire de la discipline du français.
Prise de conscience pour le professeur :
 Plusieurs programmes de construction sont en général possibles ;
 La figure donnée aux élèves doit être très simple, ce qui ne l’empêche pas d’être
riche pour développer des connaissances géométriques.
Prolongation de ce type de travail :
faire rédiger le programme de construction en utilisant le moins de mots possibles
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Synthèse relative aux situations présentées
Les notions rencontrées :
Figures de même forme, ou figures superposables :
« la géométrie du papier calque » ;
Angles droits, et angles qui ne sont pas droits !
Droites parallèles, ou bien perpendiculaires ;
Figure possédant un axe de symétrie ;
Notion d’aire (ou quantité de surface) et de périmètre (longueur du pourtour de la
figure) ;
Langage spécifique des mathématiques :
 Nom des figures usuelles ;
 Vocabulaire de description : sommet, côté, diagonale, angle droit, côtés
parallèles, milieu, cercle, centre, rayon ….
 Expressions langagières spécifiques des mathématiques :
« un carré de 5,5cm de côté »
Décomposition d’une figure en sous-figures et composition d’une figure complexe
à partir de figures simples.
Repérage des verbes d’action des différentes tâches géométriques :
Observer, vérifier, assembler, décomposer, reconnaitre, tracer, décrire, nommer,
écrire ou interpréter un programme de construction.
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Autres types d’activités géométriques
Travailler la notion d’alignement
Reproduire
Trier et classer
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Alignement
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Une situation-problème dont l’objectif
d’apprentissage est bien caché aux élèves !
(situation proposée par le groupe IREM premier degré)
Consigne
:
En utilisant les 8 points, tracer le poisson uniquement avec la règle
sans utiliser de mesures (la règle ne sert qu’à tracer des traits droits)
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L’alignement : un outil de résolution du
problème des huit points.
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Reproduire
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Reproduire à partir du cycle 2
Évaluations nationales
CE2
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Reproduire à partir du cycle 2
Évaluations nationales
CE2
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Reproduire à partir du cycle 2
Évaluations nationales CE2
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Reproduire à partir du cycle 2
Évaluations nationales CE2
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Reproduire à partir du cycle 2
Évaluations nationales CE2
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Reproduire en cycle 3
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Reproduire en cycle 3
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Reproduire
Reproduire un dessin en faisant varier certaines contraintes :
La reproduction est de la même dimension (échelle égale à 1) ou pas ;
Elle a la même orientation dans la feuille ou pas ;
Tous les instruments de géométrie sont autorisés ou pas ;
Le support de la reproduction est un papier uni, quadrillé, à réseau pointé, c’est un écran
d’ordinateur ;
Le dessin à reproduire est réalisé ou non à main levée ;
La reproduction est une déformation du dessin original (ce n’est ni un agrandissement ni
une réduction)
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