Transcript Ciklois típusú görbék ábrázolása geogebrával
A geogebra alkalmazása matematika és fizika órán Rácz László Dugonics András Piarista Gimnázium Szeged
• I. A fénysebesség mérése Olaf Römer szerint • II. Ciklois típusú görbék ábrázolása geogebrával • III. Szerkesztések
I. A fénysebesség mérése Olaf Römer szerint
• Először Olaf Römer (1644-1710) dán csillagász figyelt fel 1676 -ban egy olyan jelenségre, amely a fény véges sebességére hogy a fény terjedéséhez nincs szükség időre.
utalt.
Előtte úgy gondolták,
Előzmények
• Galilei segédjével egy mérföld távolságra két domb tetejére álltak, letakart lámpával kezükben, majd egyikük lámpavillantással jelzett, a másiknak pedig a fényt látva viszonoznia kellett ezt. A kísérletet aztán jóval nagyobb távolságról is megismételték, de eltérést nem tapasztaltak.
További előzmények
• Távcső, Galilei • Jupiter 4 nagy holdja • További távcsöves megfigyelések • Io keringése 42 óra • Fogyatkozások késése
Eltérések
• A-B-C: a fogyatkozás később következik be. A késések összeadódnak 1000s.
• C-D-A: a fogyatkozás hamarabb a vártnál • A-ban visszaáll az időpont
Römer magyarázata Az Io fogyatkozása később következik be a vártnál. Minden keringési idő egy kicsivel nagyobbnak adódik, a Föld mozgása miatt. Azon idő alatt, míg az Io megkerüli a Jupitert, a Föld távolodik tőle, tehát a fénynek több utat kell megtennie. A második félévben, közeledéskor egy kicsit rövidebbek a mért idők. Az animáción ezek megfigyelehetőek.
A fény sebessége
• Az időeltérések és az akkori Földpálya adatok alapján ennek a sebességnek az értéke 227000 km/s-nak adódott. Mai mérések szerint az időeltérések összeadódása 1000 s összesen. A Földpálya átmérője 300 millió km. Ezekből kapjuk a fénysebességet.
II. Ciklois típusú görbék ábrázolása geogebrával
Ponthalmazok ábrázolása
• Szerkesztés • Függvény megadása • Paraméteres görbe • Mozgatás
Ciklois
• Cikloisnak nevezzük azt a görbét, melyet egy egyenesen csúszásmentesen gördülő kör egy perempontja ír le – kerékgörbe • Paraméteres alakja
R
R
2 ,
g
(
t
) (
r
(
t
sin
t
),
r
( 1 cos
t
))
Rajzolás mozgatással
Paraméteresen • Az egyenes mentén csúszásmentesen gördülő körön kívül eső pont, illetve a körlap egy pontja nyújtott cikloison, illetve zsugorított cikloison mozog.
R
R
2 ,
g
(
t
) (
r
t
b
sin
t
,
r
b
cos
t
)
Ábrázolás mozgatással
Brachistochrone probléma
Zsugorított ciklois
Epicikloisok
• Az r sugarú kör síkjának valamely A pontja írja le, amely a távolságra van az R sugarú kört kívülrőé érintő, a kör csúszásmentesen gördülő kör középpontjától
Ábrázolás mozgatással
Hipociklois A R sugarú kört belűlről érintő kör gördülése
Hipociklois asztrois paraméteresen megadva: R : r = 4 : 1, négy csúcs
R
R
2 ,
g
(
t
) ((
R
r
) cos
t
a
cos(
t
r
r R
), (
R
r
) sin
t
a
sin(
t
r
r R
))
C középpont mozgatással, létra
Végpontok csúsztatása
Kardioid
A kört kívülről érintő gördülő kör R=r esetén. A kerületi pont által leírt epicikloisnak csak egy csúcsa lesz. Ezt az epicikloist kardioidnak, vagyis szívgörbének nevezzük.
Ábrázolás mozgatással gördülő kör egy pontjának a nyomvonala
Kardioid paraméteres ábrázolása
R
R
2 ,
g
(
t
) (cos(
t
) 0 , 5 cos( 2
t
), sin
t
0 , 5 sin( 2
t
))
Kausztikus görbék • Legyen adott egy görbe és egy pont. Bocsássunk fénysugarakat a pontból a görbére, ahonnan azok a fizikai törvénynek megfelelően visszaverődnek. Az így keletkezett egyparaméteres egyenessereg burkolóját kausztikus görbének nevezzük.
Szívgörbe tükrözéssel Fényforrás a körön
Burkológörbe
Nefroid (bögre, vesegörbe)
• Párhuzamos fénysugarak visszaverődése
III. Szerkesztések geogebrával
A trapéz belső szögfelezői húrnégyszög
Newton pályák
A parabola, mint burkológörbe
Csavargörbe
Tórusz
Hullámmozgás
Köszönöm a figyelmet!
• Rácz László • Dugonics András Piarista Gimnázium, Szeged • [email protected]