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U.D. 3 – Elementi di logica formale
2a parte
- L’implicazione materiale e le forme di ragionamento
- Enunciati aperti ed insiemi
- Quantificatori e sillogismi
a cura di Elisabetta Boselli – [email protected]
Espressioni logiche
Componendo più variabili logiche mediante i connettivi logici si
ottengono delle espressioni logiche.
Valgono le seguenti definizioni:
Espressioni logiche equivalenti: due espressioni logiche nelle stesse
variabili si dicono equivalenti se, in corrispondenza agli stessi valori di
verità attribuiti a tali variabili, si ottengono uguali valori di verità per
entrambe le espressioni (la loro tavola di verità coincide)
Tautologie: sono quelle espressioni logiche per le quali, in corrispondenza a qualsiasi scelta dei valori di verità attribuiti alle variabili
che le compongono, assumono comunque valore di verità VERO (la
tavola verità assume sempre valore VERO)
Contraddizioni: sono quelle espressioni logiche per le quali, in corrispondenza a qualsiasi scelta dei valori di verità attribuiti alle variabili
che le compongono, assumono comunque valore di verità FALSO (la
tavola verità assume sempre valore FALSO)
Leggi di De Morgan
non(M  N)  non(M)  non(N)
I:
M
N
T
T
F
F
T
F
T
F
MN MN
T
F
F
F
F
T
T
T
M
N
F
F
T
T
F
T
F
T
MN
F
T
T
T
M  N : Marte è un pianeta e il Po è una città
non(M  N ): Non è vero che Marte è un pianeta e il Po è una città
non M  non N:
Marte non è un pianeta o il Po non è una Città
Non è corretto:
Marte non è un pianeta e il Po non è una città
Prima legge di De Morgan
Quindi: La negazione di una congiunzione (tra due proposizioni)
è equivalente alla disgiunzione delle negazioni (delle due proposizioni)
PQPQ
Attenzione agli errori. Osserva infatti:
A:
Il cane è un mammifero
B:
12 è dispari
A  B: Il cane è un mammifero e 12 è dispari
falsa
A  B: Il cane non è un mammifero e 12 non è dispari
falsa
Non può essere la negazione di A  B, in
quanto è falsa così come lo è A  B !
Leggi di De Morgan
non(M  N)  non(M)  non(N)
II:
M
N
T
T
F
F
T
F
T
F
MN MN
T
T
T
F
F
F
F
T
M
N
F
F
T
T
F
T
F
T
MN
F
F
F
T
M  N : Marte è un pianeta o il Po è una città
non(M  N ): Non è vero che Marte è un pianeta O il Po è una città
non M  non N:
Marte non è un pianeta e il Po non è una città
Non è corretto:
Marte non è un pianeta o il Po non è una città
Seconda legge di De Morgan
Quindi: La negazione di una disgiunzione (tra due proposizioni)
è equivalente alla congiunzione delle negazioni (delle due proposizioni)
PQPQ
Attenzione agli errori. Osserva infatti:
A:
Il cane è un mammifero
B:
12 è dispari
A  B: Il cane è un mammifero o 12 è dispari
vera
A  B: Il cane non è un mammifero o 12 non è dispari
vera
Non può essere la negazione di A  B, in
quanto è falsa così come lo è A  B !
L’implicazione materiale
L’implicazione materiale tra due proposizioni A e B è la
proposizione A implica B; essa risulta essere falsa solo
nel caso in cui A sia vera e B sia falsa.
L’implicazione materiale di due proposizioni si indica con
il simbolo  (freccia).
A: “Il numero 5 è primo”
B: “Ildinumero
tavola
verità 6 è pari”
del connettivo freccia
A
B
AB
T
T
T
T
F
F
A  B : “Il numero 5 è primoFimplica
T che il T
numero 6 sia pari”
F
F
T
L’implicazione materiale
A
B
AB
Osservazione 1: Nel linguaggio
naturale ci sono molti modi diversi di esprimere il connettivo
freccia.
T
T
T
T
F
F
F
T
T
AB
F
F
T
si può leggere:
Se A, allora B
B, se A
Solo se B, allora A
Condizione sufficiente per B è A
Condizione necessaria per A è B
Un esempio….
A : “Mario è milanese”
B : “(Mario) è lombardo”
AB
Se A, allora B :
Se Mario è milanese, allora è lombardo
B, se A :
Mario è lombardo, se è milanese
Solo se B, allora A :
Solo se Mario è lombardo, allora è milanese
Condizione sufficiente per B è A :
Condizione sufficiente perché Mario sia
lombardo è che sia milanese
Condizione necessaria per A è B :
Condizione necessaria perché Mario sia
milanese è che sia lombardo
L’implicazione materiale
Osservazione 2: Il connettivo
freccia ha la tavola di verità
equivalente a quella della
espressione logica
AB
A
B
AB
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T
AB AB
A
B
B
T
T
F
F
T
T
F
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
F
T
L’implicazione materiale
1) A  B corrisponde a:
Non può essere vero sia A
sia la negazione di B
(e noi sappiamo che in un ragionamento logicamente valido da premesse vere devono
derivare conseguenze vere)
AB AB
A
B
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T
F
T
T
2) Il connettivo freccia può essere espresso mediante i connettivi non ed et; in generale, possono ritenersi fondamentali i tre
connettivi non, et e vel, che permettono di costruire espressioni
logiche con tavole di verità equivalenti a quelle di tutti gli altri
connettivi.
connettivo AUT
L’implicazione materiale
Osservazione 3: Nel comporre
una proposizione mediante il
connettivo freccia non si richiede che ci sia un nesso tra le
due proposizioni elementari considerate (questo del resto vale
anche per gli altri connettivi)
A
B
AB
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
p.e. “Se Marte è un satellite, allora 6 è un numero pari”
(che è un’affermazione vera)
Ecco perché parliamo di “implicazione materiale” e non di
“implicazione logica” (per la quale si addotta un simbolo
diverso:  ).
La doppia implicazione
La doppia implicazione tra due proposizioni A e B è la
proposizione A equivale a B; essa risulta essere vera nei
casi in cui A e B siano entrambe vere o entrambe false.
La doppia implicazione fra due proposizioni si indica con
il simbolo  (doppia freccia).
A
B
AB
A: “Il numero 5 è primo”
T
T
T
tavola di verità
B: “Il numero 6 è pari”
del connettivo
T
F
F
A doppia
B : “Ilfreccia
numero 5 è primo equivale a il numero
6 è pari”
F
T
F
F
F
T
La doppia implicazione
Osservazione: Si può verificare
l’equivalenza tra la tavola di verità del connettivo doppia freccia
e quella dell’espressione logica:
(A  B)  (B  A)
A
B
AB
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
Questo significa che la proposizione A  B si potrà leggere:
A se, e solo se, B
Condizione necessaria e sufficiente per A è B
Attenzione! A volte, nel linguaggio naturale, interpretiamo
le implicazione come se fossero doppie implicazioni.
Forme di ragionamento
((A  B)  A)  B
((A  B)  B)  A
Si verifica che queste due espressioni logiche sono delle
tautologie (verificarlo a casa per compito!).
Sono quindi espressioni logiche che risultano comunque
vere, indipendentemente dalla verità o falsità delle proposizione elementari coinvolte.
Questo suggerisce che corrispondano a schemi di ragionamento logicamente validi: si tratta infatti di due forme di
ragionamento che prendono rispettivamente il nome di:
modus ponens
modus tollens
Modus ponens
((A  B)  A)  B
ci suggerisce il seguente schema di ragionamento:
Se A implica B e vale A, allora vale anche B
Un esempio, che parte dalle proposizioni
A : Piove
B : Prendo l’ombrello
AB:
Se piove, prendo l’ombrello
B
A:
Prendo
Piove l’ombrello
A
B:
Piove
Prendo l’ombrello
Modus tollens
((A  B)  B)  A
ci suggerisce il seguente schema di ragionamento:
Se A implica B e non vale B, allora non vale neppure A
Un esempio, che parte dalle proposizioni
A : Piove
B : Prendo l’ombrello
AA
BB: :
Se
Sepiove,
piove,prendo
prendol’ombrello
l’ombrello
AB: :
Non
Nonpiove
prendo l’ombrello
BA: :
Non
Nonprendo
piove l’ombrello
Per fissare le idee...
- Studiare par. 4 cap. 2 vol. B+, integrando con gli appunti
presi in classe
- Inventare due proposizioni composte mediante il connettivo
freccia, e riscriverle in tutti i modi visti in classe
- Verificare che le espressioni logiche
((A  B)  A)  B e ((A  B)  B)  A
sono tautologie
- Inventare due ragionamenti che seguano lo schema del
modus ponens.
- Inventare due ragionamenti che seguano lo schema del
modus tollens.
- Eseguire gli esercizi dal n. 108 al n. 115 pag. 261 (vol. B+)
Oltre le proposizioni….
A: “3 è un numero primo”
è una proposizione vera.
Consideriamo ora la seguente scrittura:
…. è un numero primo
Questa non è una proposizione, ma lo può diventare se
nello spazio “libero” (quello rappresentato dai puntini)
collochiamo un numero: a seconda di quello che verrà
scelto, si otterrà una proposizione vera oppure falsa.
La logica si occupa anche di “oggetti” di questo genere,
preferendo però scriverli in un’altra forma:
x è un numero primo
Enunciati aperti
Sono quelle affermazioni che contengono almeno
una variabile e che si trasformano in proposizioni
(in senso matematico) quando tutte le variabili
vengono sostituite con valori, che devono essere
scelti all’interno dell’insieme universo U.
Per indicare un enunciato aperto che contiene la
variabile x utilizzeremo una scrittura del tipo A(x)
(si legge A di x).
In generale, indicheremo un enunciato aperto con
una lettera maiuscola accompagnata, in parentesi,
dall’elenco delle variabili che esso contiene.
Qualche esempio
1) n è un numero pari?
UZ
Non è un enunciato aperto
2) c è un capoluogo di provincia,
U  insieme delle città d’Italia
È un enunciato aperto
3) x è un bipede,
U  insieme dei mammiferi
È un enunciato aperto
4) 2 + x = 5,
U Q
È un enunciato aperto
5) 20 > y,
UN
È un enunciato aperto
6) a è un bravo attore,
U  insieme degli attori italiani
Non è un enunciato aperto
7) Sono compagno di banco di y,
U  insieme degli alunni di 2Bl
È un enunciato aperto
Insieme di verità
di un enunciato aperto
Un enunciato aperto non ha un proprio valore di
verità; ne assume uno quando lo si “chiude”
mediante la sostituzione di tutte le variabili che esso
contiene con elementi contenuti nel suo insieme
universo.
Tutti e soli gli elementi dell’insieme universo che,
sostituiti alla/e variabile/i dell’enunciato aperto, lo
trasformano in una proposizione vera costituiscono
l’insieme di verità dell’enunciato.
Un esempio
Consideriamo l’enunciato aperto:
A(y): 12 è maggiore di y,
U  {10,11,12,13,14,15}
Effettuiamo tutte le possibili sostituzioni:
12 è maggiore di 10
V
12 è maggiore di 13
F
12 è maggiore di 11
V
12 è maggiore di 14
F
12 è maggiore di 12
F
12 è maggiore di 15
F
Quindi l’insieme di verità dell’enunciato A(y) sarà:
V  {10,11}
Osservazione 1:
A(y): 12 è maggiore di y,
 insieme di verità
U1  {10,11,12,13,14,15}
V1  {10, 11}
ma:
A(y): 12 è maggiore di y,
 insieme di verità
U2  {8,10,12,14,16}
V2  {8,10}
Quindi: L’insieme di verità di un enunciato aperto dipende
strettamente dall’insieme universo rispetto al quale lo
si considera; per questo è indispensabile, ogni volta
che si considera un enunciato aperto, specificare anche
il suo insieme universo
Osservazione 2:
P(x):

x è un numero primo,
insieme di verità
VP  {3, 5, 7}
Q(x): x è un numero dispari,

insieme di verità
U  {3, 4, 5, 6, 7, 8}
U  {3, 4, 5, 6, 7, 8}
VQ  {3, 5, 7}
I due enunciati aperti P(x) e Q(x), che hanno lo stesso
insieme universo, hanno anche il medesimo insieme di
verità: questo significa che, rispetto a quel dato insieme
universo, essi risultano equivalenti.
Due enunciati aperti si dicono equivalenti se, a parità di
insieme universo, risultano avere lo stesso insieme di verità.
Osservazione 3:
x, y {3,2,1,0,-1,-2,-3}
E(x, y): x - y = 1,
Poiché questo enunciato contiene due variabili, l’insieme
universo dovrà essere costituito non più da singoli elementi,
bensì da coppie di elementi:
detto A  {3,2,1,0,-1,-2,-3}
avremo che
U  A  A  {(3;3), (3;2), (3;1), (3;0), (3;-1), (3;-2), (3;-3),
(2;3), (2;2), (2;1), (2;0), (2;-1), …………..…..
Prodotto
cartesiano di
(1;3), (1;2), (1;1), (1;0), (1;-1), …………..…..
insiemi
………………., (-3;0), (-3;-1), (-3;-2), (-3;-3)}

insieme di verità
VE  {(3;2), (2;1), (1;0), (0;-1), (-1;-2), (-2;-3)}
Per fissare le idee...
1) Le seguenti proposizioni sono state ottenute “chiudendo”
degli enunciati aperti: individuali.
A: “20 è un numero pari”
B: “20 è multiplo di 3”
C: “7 è minore di 11”
D: “Milano è una provincia della Lombardia”
E: “3 + 2 = 6”
2) Inventa quattro enunciati aperti, specificando il loro insieme
universo. Di ciascuno di essi, poi, individua l’insieme di verità.
Enunciati aperti composti
A partire da enunciati aperti semplici che hanno lo stesso
insieme universo, è possibile ottenere degli enunciati
aperti composti, ricorrendo ai connettivi logici già
studiati.
A(x):
“x è un numero primo”,
B (x): “x è un numero pari”,
U  {2, 3, 7, 8, 11, 12, 15}
U  {2, 3, 7, 8, 11, 12, 15}
A(x):
“x non è un numero primo”
A(x)  B (x):
“x è un numero primo ed è pari”
A(x)  B (x):
“x è un numero primo e/o è pari”
A(x)  B (x): “Se x è un numero primo allora è pari”
Enunciati aperti composti e operazioni tra insiemi
• 11
•2
•3
•7
A(x):
“x è un numero primo”,
• 12
• 15
•8
U  {2, 3, 7, 8, 11, 12, 15}
 VA  {2, 3, 7, 11} insieme di verità dell’enunciato A(x)
A(x):

“x non è un numero primo”
VA  {8, 12, 15}
VA corrisponde al complementare dell’insieme VA
rispetto all’insieme universo U: VA  VA
Enunciati aperti composti e operazioni tra insiemi
• 11
•2
•3
•7
A(x):

“x è un numero primo”,
• 12
• 15
•8
U  {2, 3, 7, 8, 11, 12, 15}
VA  {2, 3, 7, 11} insieme di verità dell’enunciato A(x)
B(x):
“x è un numero pari”,
 VB  {2, 8, 12}
A(x)  B (x):
U  {2, 3, 7, 8, 11, 12, 15}
insieme di verità dell’enunciato B(x)
“x è un numero primo ed è pari”
C’è un solo valore in U che, sostituito alla x, trasforma questo
enunciato in una proposizione vera: il 2  VAB  {2}
VAB corrisponde all’intersezione degli insiemi di verità
di A(x) e B(x):
VAB  VA  VB
Enunciati aperti composti e operazioni tra insiemi
•• 11
11
•• 22
•• 33
•• 77
A(x):

•• 12
12
• 15
•• 88
“x è un numero primo”,
B (x): “x è un numero pari”,
con U  {2, 3, 7, 8, 11, 12, 15}
VA  {2, 3, 7, 11},
A(x)  B (x):
VB  {2, 8, 12}
“x è un numero primo o è pari”
Sia i valori di A sia quelli di B, sostituiti alla x, trasformano questo
enunciato in una proposizione vera  VAB  {2, 3, 7, 8, 11, 12}
VAB corrisponde all’unione degli insiemi di
verità di A(x) e B(x):
VAB  VA  VB
Enunciati aperti e quantificatori
Un enunciato aperto può essere “chiuso” anche vincolando la
variabile mediante un quantificatore:
P(x):
“x è un numero pari”,
U  {1, 2, 3, 4}
Consideriamo ora le seguenti affermazioni:
• Per ogni x appartenente ad U, x è un numero pari
• Esiste almeno un x appartenente ad U, tale che x è un numero
pari
Entrambe sono proposizioni (la prima falsa, la seconda vera), e
non enunciati aperti; infatti, p.e., non avrebbe senso dire:
Per ogni 2 appartenente ad U, 2 è un numero pari
N.B. In enunciati con due o più variabili, è possibile vincolare mediante quantificatori separatamente le singole variabili: per “chiudere”
l’enunciato è necessario che tutte le variabili risultino vincolate.
Enunciati aperti e quantificatori
P(x): “x è un numero pari”,
U  {1, 2, 3, 4}
Vincolando la variabile mediante il quantificatore “per ogni”
abbiamo ottenuto:
Per ogni x appartenente ad U, x è un numero pari
(che è una proposizione falsa: infatti non è vero che tutti gli
elementi di U sono dei numeri pari)
Il quantificatore utilizzato in questo caso si dice universale.
In simboli:
 x U, x è un numero pari
che equivale a scrivere la seguente proposizione composta :
(1 è pari)  (2 è pari)  (3 è pari)  (4 è pari)
(che infatti risulta vera se, e solo se, tutte le proposizioni elementari che la compongono sono a loro volta vere) .
Enunciati aperti e quantificatori
P(x): “x è un numero pari”,
U  {1, 2, 3, 4}
Vincolando la variabile mediante il quantificatore “esiste
almeno un” abbiamo ottenuto:
Esiste almeno un x appartenente ad U,
tale’che’x’è’un’numero’pari
(che è una proposizione vera: infatti c’è addirittura più di un
elemento di U che è un numero pari)
Il quantificatore qui utilizzato si dice esistenziale.
In simboli:
 x U | x è un numero pari
che equivale a scrivere la proposizione composta seguente:
(1 è pari)  (2 è pari)  (3 è pari)  (4 è pari)
(che infatti risulta vera qualora almeno una delle proposizioni
elementari che la compongono è a sua volta vera) .
Osservazione 1:
Volendo scrivere la negazione
della proposizione:
A: Esiste almeno un x  U, tale che x è un numero pari
(vero)
possiamo certamente scrivere (anche se è una soluzione …banale!):
A: Non è vero che esiste almeno un x  U, tale che è un
numero pari
(proposizione falsa)
Questo equivale forse a dire che:
Esiste almeno un x  U, tale che x non è un numero pari
?
Ricordando la II legge di De Morgan (la negazione di una disgiunzione equivale alla congiunzione delle negazioni), possiamo
concludere che è invece corretto scrivere:
Per ogni x  U, x non è un numero pari
Osservazione 2:
Volendo scrivere la negazione
della proposizione:
B: Per ogni x  U, x è un numero pari
(falsa)
possiamo ancora facilmente scrivere:
B: Non è vero che per ogni x  U, x è un numero pari
(vera)
Questo equivale forse a dire che:
Per ogni x  U, tale che x non è un numero pari
?
Ricordando la I legge di De Morgan (la negazione di una congiunzione equivale alla disgiunzione delle negazioni), possiamo
concludere che è invece corretto scrivere:
Esiste almeno un x  U, tale che x non è un numero pari
Un caso particolare di “enunciato aperto”…
A(x): x è un numero positivo o nullo,
xN
corrisponde ad un enunciato aperto, per il quale l’insieme
universo coincide con l’insieme N
[equivale a : x è un numero positivo o nullo,
UN ]
Ovviamente tale enunciato risulta verificato da ogni elemento
di U; consideriamo infatti la seguente proposizione:
xN, x è un numero positivo o nullo
Si tratta di una proposizione VERA.
Se per un enunciato aperto accade che l’insieme di verità
coincide con l’insieme universo (V  U), tale enunciato non
può considerarsi aperto in senso proprio: esso è
sostanzialmente una proposizione, il cui valore di verità è
uguale a VERO.
Un altro caso particolare di “enunciato aperto”…
B(x): x è un numero negativo,
xN
è un altro enunciato aperto, per il quale l’insieme universo
coincide ancora con l’insieme N
[equivale a scrivere: x è un numero negativo,
UN ]
Al contrario dell’esempio precedente, questo enunciato non
risulta verificato da alcun elemento di U; consideriamo infatti
la seguente proposizione:
 xNx è un numero negativo
Si tratta di una proposizione FALSA.
Se per un enunciato aperto accade che l’insieme di verità
coincide con l’insieme vuoto (V  ), tale enunciato non può
considerarsi aperto in senso proprio: esso è sostanzialmente
una proposizione, il cui valore di verità è uguale a FALSO.
Altre relazioni tra proposizioni e insiemi
Analizziamo la proposizione (della classe universale negativa):
Nessun siciliano è milanese
Infatti in essa compare il quantificatore universale applicato in
forma negativa, poiché la proposizione equivale a dire:
Tutti i siciliani non sono milanesi
Mettiamo ora in evidenza la variabile quantificata e otteniamo:
xS, x non è milanese,
S  insieme dei cittadini siciliani
Ovvero: xS, x M, con M  insieme dei cittadini milanesi
Viceversa, varrà anche che:
xM, x S
Gli insiemi S ed M sono pertanto
tra loro disgiunti:
S M  
S
M
Altre relazioni tra proposizioni e insiemi
Analizziamo la proposizione (della classe particolare affermativa):
Qualche alunno di 2 Bl ha già compiuto 16 anni.
In essa compare il quantificatore esistenziale QUALCHE. Trasformiamo la proposizione in modo da far comparire esplicitamente la
variabile vincolata da tale quantificatore:
xCx ha già compiuto 16 anni,
C{alunni di 2 Bl}
Se A  insieme dei ragazzi che hanno già compiuto 16 anni, possiamo anche scrivere:
xCxA
Vale anche il viceversa, poiché qualche ragazzo che ha già compiuto 16 anni, è un alunno di 2 Bl, quindi:
xAxC
Gli insiemi A e C pertanto non
possono essere disgiunti:
A C  
A
C
Altri schemi di ragionamento:
il sillogismo universale affermativo
termine medio
premessa
maggiore
 xB, xC :
Ogni lombardo è italiano
 xA, xB :
Ogni milanese è lombardo
 xA, xC :
Ogni milanese è italiano
premessa
minore
conclusione
B
C
A
•x
Altri schemi di ragionamento:
il sillogismo universale negativo
termine medio
premessa
maggiore
 xB, xC :
Nessun lombardo è inglese
 xA, xB :
Ogni milanese è lombardo
 xA, xC :
Nessun milanese è inglese
premessa
minore
conclusione
C
B
A
•x
Altri schemi di ragionamento:
Il sillogismo particolare affermativo:
 xA, xB :
Ogni milanese è lombardo
 xC, xA :
Qualche avvocato è milanese
 xC, xB :
Qualche avvocato è lombardo
Il sillogismo particolare negativo:
 xA, xB :
Nessun lombardo è inglese
 xC, xA :
Qualche avvocato è lombardo
 xC, xB :
Qualche avvocato non è inglese
Anche questi schemi si possono dimostrare ricorrendo a delle opportune rappresentazioni insiemistiche.
Per fissare le idee...
- Studiare il par. 6 - unità 2 del vol. B+
- Eseguire i seguenti esercizi (dal vol. B+)
nn. 140, 141, 142 pag. 264
nn. 143 (ex guida), 144, 146 pag. 265
nn. 155 (ex guida), 156, 159 pag. 266
- Inventare due schemi di ragionamento sviluppati secondo le
regole del sillogismo universale affermativo, mettendo in evidenza anche la rappresentazione insiemistica.
- Inventare due schemi di ragionamento sviluppati secondo le
regole del sillogismo universale negativo, mettendo in evidenza anche la rappresentazione insiemistica.