Transcript 双曲型方程式

2012年8月6日（月）-10日（金） 千葉大学アカデミックリンクセンター
宇宙磁気流体・プラズマシミュレーションサマースクール
HLLD法に基づく
磁気流体方程式の差分解法
三好 隆博
広島大学大学院理学研究科
安心してHLLD法をお使いいただくために．．．
内容
 はじめに
 双曲型保存則
 MHD方程式
 近似リーマン解法
 HLL近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法
 近似リーマン解法の多次元化
 磁場発散の数値処理
 HLLD近似リーマン解法の展開
はじめに
 宇宙プラズマにおける流体現象の特徴
 保存性、非線形性、圧縮性、多次元性
 流れの支配方程式
 線形移流方程式
 Burgers方程式
 Euler方程式
 MHD方程式
 ・・・・
u
u u 
a

 au  0
t
x t x
2

u
u u  u 
u

    0
t
x t x  2 
U
 F  0
t
U

  A   U  0  
t
双曲型保存則
 1次元システム方程式の保存則
U F

0
t
x
U ：保存変数ベクトル
F ：流束ベクトル
U
U
F
A
 0, A 
t
x
U
W
W
1 U
1
1 U
R
 R ARR

Λ
 0 , AR  RΛ
t
x
t
x
W ：特性変数ベクトル
A ：ヤコビ行列
Λ ：固有値行列 ⇒ 独立の実固有値
双曲型方程式
R ：右固有ベクトル
双曲型保存則
 連立移流方程式
W
W
Λ
 0 , dW  R 1dU
t
x
 w1   1 0  0   w1 
  
  
    w2 
  w2   0 2

0






 0 x 
t 
  
  
 wm   0  0 m   wm 
k  const.
k  const. 非線形移流方程式
t
t
dx dt  const.
x
dx dt  const.
x
双曲型保存則
 非線形移流方程式
 Burgers方程式
u
u u f
u2
u


 0, f 
t
x t x
2
 u x, t   u x  u x,0t ,0
u
非線形双曲型保存則
非線形結合で高次モード生成
有限時間で不連続解を形成
x
双曲型保存則
 弱解（weak solution）
 U F 
0   x, t  t  x dxdt
   


 
   U
F
dxdt    x,0U x,0dx  0
0

x 
 t


 x, t ：無限回微分可能かつ無限遠で0の任意関数
 不連続解を含むより一般的な解
 解の一意性消失
 物理的な解はエントロピー条件を満足
双曲型保存則
 双曲型保存則の数値解法
 保存型解法
Lax-Wendroffの定理[1960]
Ut    F  0
 数値解が収束すれば、その解は保存則の弱
解に収束
Hartenのエントロピー条件[1980]
 数値解がエントロピー条件を満足し、収束すれ
ば、その解は保存則の物理解に収束
 非保存型解法
Ut   A  U  0
Hou-LeFlochの定理[1994]
 数値解が収束したとしても、衝撃波を含むその
解は非物理的解に収束
双曲型保存則
 保存型解法
 有限差分法
 有限要素法
 有限体積法
 xi 1/ 2
Udx  F U  xi 1 / 2 , t   F U  xi 1 / 2 , t   0

x
t i 1/ 2
Ui


x
F F 0
t
i 1 / 2
Fi3/ 2
Ui 1
i 1 / 2
Fi1/ 2
Ui
x
Fi*1/ 2
Fi1/ 2 ：数値流束
Ui 1
Fi3/ 2
MHD方程式
 MHD方程式（保存形式）
 
 t    v   0 ,




B2 
  v 
 t     vv   p  2  I  BB  0 ,






 B    E  0 ,
 t

2




e

v
p 
   
v  E  B  0 ,



 t
 1
 2


  B  0 , E   v  B ideal,
p    1e  v 2 2  B 2 2 ,
MHD方程式
 1次元MHD方程式
U F

 0 , Bx  const .,
t
x
T
U   , u, v, w, B y , Bz , e ,
F  u, uu  pT , vu  Bx B y , wu  Bx Bz ,
T





B y u  Bx v, Bz u  Bx w, e  pT u  Bx vB y  wBz ,
p    1e   u 2  v 2  w2  2  Bx2  B y2  Bz2  2  ,
pT  p  B y2  Bz2  Bx2  2 ,
1  u  c f , 2  u  ca , 3  u  cs , 4  u,
5  u  cs , 6  u  ca , 7  u  c f
MHD方程式
 MHD方程式の波の性質
 特性波
2
2 2
2 

c  B  , c   p  B  p  B   4pBx  2


1  2  3  4  5  6  7
 Rankine-Hugoniotの関係式
F   0, u  0
（速進衝撃波、遅進衝撃波）
2
2
    p  By  Bz   0 ,   v   By ,   w  Bz 
2
a
2
x
2
f ,s
v   w  By   Bz    p  0 , Bx  0
p  B
2
y

 Bz2  2  0 , Bx  0
（回転不連続）
（接触不連続）
（接線不連続）
はじめに
 MHD衝撃波管問題（リーマン問題）
t
U  U x t ;U R , U L 
FS / FR RD SS / SR CD SS / SR RD FS / FR
UL
UR
（ここでは複合波は無視）
x
近似リーマン解法
 近似リーマン解法（Godunov型解法）
 U F 
  t  x dxdt   Udx  Fdt  0
U
 物理量分布を一定と仮定
x
近似リーマン解法
 近似リーマン解法（Godunov型解法）
 U F 
  t  x dxdt   Udx  Fdt  0
U
 物理量分布を一定と仮定
 リーマン問題厳密解・近似解
x
近似リーマン解法
 近似リーマン解法（Godunov型解法）
 U F 
  t  x dxdt   Udx  Fdt  0
U
 物理量分布を一定と仮定
 リーマン問題厳密解・近似解
 厳密解・近似解の空間積分
x
近似リーマン解法
 近似リーマン解法（Godunov型解法）
 U F 
  t  x dxdt   Udx  Fdt  0
U
 物理量分布を一定と仮定
 リーマン問題厳密解・近似解
 厳密解・近似解の空間積分
x
 数値流束による形式（時空間保存則から評価）

xi 1 / 2
xi 1 / 2

xi 1 / 2
xi
U n 1dx  
xi 1 / 2
xi 1 / 2
t n 1
t n 1
t
t
U n dx   n Fi 1 / 2 dt   n Fi 1 / 2dt  0
 x  xi 1/ 2 n n 
U
;Ui , Ui 1 dx  xi 1/ 2  xi Uin  t Fi 1/ 2  Fi n   0
 t

近似リーマン解法
 近似リーマン解法（Godunov型解法）
 U F 
  t  x dxdt   Udx  Fdt  0
 x  xi 1/ 2 n n 
U
;Ui , Ui 1 
xi 1 / 2
n 1
n
t
Ui   U x, t  t dx


x
i 1 / 2


t n  t
U
n
i 1
U
Uin1
n
i
xi 1 / 2
xi 1/ 2
t n  t
Fi 1/ 2   n
t
F xi 1/ 2 , t dt
tn
HLL近似リーマン解法
 HLL近似リーマン解法 [Harten+, 1983]
 衝撃波近似
 2-wave近似
t
SL
SR
FL
FR
UL
SR  maxuL  cL , uR  cR ,0
SL  minuL  cL , uR  cR ,0
UR
i 1/ 2
SR,L：最大/最小情報伝播速度
x
 U F 
  t  x dxdt   Udx  Fdt  0
HLL近似リーマン解法
 HLL近似リーマン解法 [Harten+, 1983]
 衝撃波近似
 2-wave近似
t
SL
SR
U
FL
FR
UL
SR  maxuL  cL , uR  cR ,0
SL  minuL  cL , uR  cR ,0
UR
i 1/ 2
SR,L：最大/最小情報伝播速度
x
 U F 
  t  x dxdt   Udx  Fdt  0
 SR  SL U *  SRUR  SLUL  FR  FL  0
HLL近似リーマン解法
 HLL近似リーマン解法 [Harten+, 1983]
 衝撃波近似
 2-wave近似
t
SL
SR
U
F
FL
UL
FR
SR  maxuL  cL , uR  cR ,0
SL  minuL  cL , uR  cR ,0
UR
i 1/ 2
SR,L：最大/最小情報伝播速度
x
 U F 
  t  x dxdt   Udx  Fdt  0
SR FL  SL FR  SR SL U R  U L 
*
*


 F  FR ,L  SR ,L U  U R ,L 
SR  SL
HLL近似リーマン解法
 HLL近似リーマン解法 [Harten+, 1983]
 衝撃波近似
 2-wave近似
S RU R  S LU L  FR  FL
U 
SR  SL

S R FL  S L FR  S R S L U R  U L 
F 
 F U  
SR  SL
*
固有ベクトルの計算不要
 正値性保存 [Einfeldt, et al., 1991]
 MHDについては [Miyoshi, Kusano, 2005]
 接触不連続の分解不可能

HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 衝撃波近似
 5-wave近似
リーマンファンで移流速度一定
 リーマンファンで全圧力一定

SR
t
SL
SR,L ：速進磁気音波
FL
FR
UL
UR
i 1/ 2
x
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 衝撃波近似
 5-wave近似
リーマンファンで移流速度一定
 リーマンファンで全圧力一定

SR
t
SL
SM , pT
FL
UL
FR
UR
i 1/ 2
x
SR,L ：速進磁気音波
S M ：エントロピー波
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 衝撃波近似
 5-wave近似
リーマンファンで移流速度一定
 リーマンファンで全圧力一定

SL
SL* t
SM
SR*
U L U L U R U R
SM , pT
FL
UL
SR
FR
SR* ,L ：アルフェン波
UR
i 1/ 2
SR,L ：速進磁気音波
S M ：エントロピー波
x
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 エントロピー波の評価 [Batten, et al., 1997]

u  SR  uR  RuR  SL  uL  LuL  pTR  pTL
SM   
SR  uR R  SL  uL L


 全圧力の評価
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 速進磁気音波に対するジャンプ条件


   
   
 SM
 u


   

 
 2

2
2
 SM  pT  Bx
 u  pT  Bx


  S M  
  u  

 


   v  
 v  

v
S

B
B

v
u

B
B
  M
x y
  
x y
   


   


S   w   
  S   w   

 w SM  Bx Bz
 w u  Bx Bz


   

 


B
B
By SM  Bx v
By u  Bx v


 y  
 y  



 Bz  
 Bz  
Bz S M  Bx w
Bz u  Bx w

    

 


 
 e   e  pT S M  Bx v  B 
 e   e  pT u  Bx v  B 


v  S M , v , w , B  Bx , B y  , Bz ,   R, L


HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 エントロピー波の評価 [Batten, et al., 1997]

u  SR  uR  RuR  SL  uL  LuL  pTR  pTL
SM   
SR  uR R  SL  uL L


 全圧力の評価
pT  pTL   L SL  uL SM  uL 
 pTR   R SR  uR SM  uR 

SR  uR  R pTL  SL  uL  L pTR   L  R SR  uR uR  uL 

SR  uR  R  SL  uL  L
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 速進磁気音波に対するジャンプ条件


   
   
 SM
 u


   

 
 2

2
2
 SM  pT  Bx
 u  pT  Bx


  S M  
  u  

 


   v  
 v  

v
S

B
B

v
u

B
B
  M
x y
  
x y
   


   


S   w   
  S   w   

 w SM  Bx Bz
 w u  Bx Bz


   

 


B
B
By SM  Bx v
By u  Bx v


 y  
 y  



 Bz  
 Bz  
Bz S M  Bx w
Bz u  Bx w

    

 


 
 e   e  pT S M  Bx v  B 
 e   e  pT u  Bx v  B 


v  S M , v , w , B  Bx , B y  , Bz ,   R, L


HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]

 HLLD解： U
  
S  u
S  SM
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 速進磁気音波に対するジャンプ条件


   
   
 SM
 u


   

 
 2

2
2
 SM  pT  Bx
 u  pT  Bx


  S M  
  u  

 


   v  
 v  

v
S

B
B

v
u

B
B
  M
x y
  
x y
   


   


S   w   
  S   w   

 w SM  Bx Bz
 w u  Bx Bz


   

 


B
B
By SM  Bx v
By u  Bx v


 y  
 y  



 Bz  
 Bz  
Bz S M  Bx w
Bz u  Bx w

    

 


 
 e   e  pT S M  Bx v  B 
 e   e  pT u  Bx v  B 


v  S M , v , w , B  Bx , B y  , Bz ,   R, L


HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]

 HLLD解： U
  
S  u
S  SM
S M  u
 
vt  vt  Bx Bt  S  u S  S   B 2
 


M
x


vt  0, v, w, Bt  0, By , Bz 
2
2
 S  u   Bx
 B  B
t
 t
 S  u S  S M   Bx2
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 速進磁気音波に対するジャンプ条件


   
   
 SM
 u


   

 
 2

2
2
 SM  pT  Bx
 u  pT  Bx


  S M  
  u  

 


   v  
 v  

v
S

B
B

v
u

B
B
  M
x y
  
x y
   


   


S   w   
  S   w   

 w SM  Bx Bz
 w u  Bx Bz


   

 


B
B
By SM  Bx v
By u  Bx v


 y  
 y  



 Bz  
 Bz  
Bz S M  Bx w
Bz u  Bx w

    

 


 
 e   e  pT S M  Bx v  B 
 e   e  pT u  Bx v  B 


v  S M , v , w , B  Bx , B y  , Bz ,   R, L


HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]

 HLLD解： U
  
S  u
S  SM
S M  u
 
vt  vt  Bx Bt  S  u S  S   B 2
 


M
x


vt  0, v, w, Bt  0, By , Bz 
2
2
 S  u   Bx
 B  B
t
 t
 S  u S  S M   Bx2






S

u
e

p

p

B
v

B

v

B
x 



e     T T

S  SM
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 アルフェン波に対するジャンプ条件


   
   
SM
 SM


   
   
 2

2
 2

2
 SM  pT  Bx
 SM  pT  Bx


  S M  
  S M  


 
 


  v  
   v  

v
S

B
B

v
S

B
B
  M
x y
  M
x y
   
   









S  w   
  S   w   

wSM  Bx Bz
 w SM  Bx Bz


   
   




By SM  Bx v
By SM  Bx v


 By  
 By  




 Bz  
 Bz  
Bz SM  Bx w
Bz S M  Bx w
     
    

 


 
 e   e  pT SM  Bx v  B 
 e   e  pT S M  Bx v  B 
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]

 HLLD解： U
  

R
S  SM 
Bx


R
t
SL

L
, S  SM 
Bx
 L
SM
 L
L
SR
 R
R
i 1/ 2
x
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 アルフェン波に対するジャンプ条件


   
   
SM
 SM


   
   
 2

2
 2

2
 SM  pT  Bx
 SM  pT  Bx


  S M  
  S M  


 
 


  v  
   v  

v
S

B
B

v
S

B
B
  M
x y
  M
x y
   
   









S  w   
  S   w   

wSM  Bx Bz
 w SM  Bx Bz


   
   




By SM  Bx v
By SM  Bx v


 By  
 By  




 Bz  
 Bz  
Bz SM  Bx w
Bz S M  Bx w
     
    

 


 
 e   e  pT SM  Bx v  B 
 e   e  pT S M  Bx v  B 
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 アルフェン波に対するジャンプ条件
det M vt , Bt   0
 エントロピー波に対するジャンプ条件
  L vtL    L vtLSM  Bx BtL 
  R vtR    R vtRSM  Bx BtR 
  SM      

SM      
 
 



 BtL   BtL SM  Bx vtL 
 BtR   BtR SM  Bx vtR 

vtL  vtR
 vt, BtL  BtR  Bt for Bx  0
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 
 
 
 








v

v

v





R tR
R t
L t
L vtL 
SR  SR     SR  SM     SM  SL     SL  SRL   
 BtR 
 Bt 
 Bt 
 BtL 
  R vtR 
  L vtL    R vtRuR  Bx BtR    L vtLuL  Bx BtL 
  SL 


0
 SR 







B
B
B
u

B
v
B
u

B
v
x tR  
tL L
x tL 
 tR 
 tL   tR R
SL
SL* t
SR*
SR

, BtR
vtL , BtL vt , Bt vtR
vtR , BtR
vtL , BtL
i 1/ 2
x
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]

 HLLD解： U
  
 
 L vtL   R vtR  BtR  BtL sgn Bx 
vt 
 L   R


 L BtR   R BtL   L  R vtR  vtL sgn Bx 
 
 Bt 





L
R

HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 アルフェン波に対するジャンプ条件


   
   
SM
 SM


   
   
 2

2
 2

2
 SM  pT  Bx
 SM  pT  Bx


  S M  
  S M  


 
 


  v  
   v  

v
S

B
B

v
S

B
B
  M
x y
  M
x y
   
   









S  w   
  S   w   

wSM  Bx Bz
 w SM  Bx Bz


   
   




By SM  Bx v
By SM  Bx v


 By  
 By  




 Bz  
 Bz  
Bz SM  Bx w
Bz S M  Bx w
     
    

 


 
 e   e  pT SM  Bx v  B 
 e   e  pT S M  Bx v  B 
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]

 HLLD解： U
  
 
 L vtL   R vtR  BtR  BtL sgn Bx 
vt 
 L   R


 L BtR   R BtL   L  R vtR  vtL sgn Bx 
 
 Bt 





L
R

e  e   v  B  v  B sgn Bx 
 : R ,  : L
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 単純波近似
 5-wave近似
*
SL t S M
SL
S
*
R
U L U L U R U R

T
FL
SM , p
UL
SR
FR
SR* ,L ：アルフェン波
UR
i 1/ 2
SR,L ：速進磁気音波
S M ：エントロピー波
x
SR ,L U R* ,L  U R ,L   FR*,L  FR ,L , SR* ,L U R**,L  U R* ,L   FR*,*L  FR*,L ,
1 SR t
n 1


SM U  U   F  F ,
U
x
,
t
dx  SRU R  SLU L  FR  FL  0

S

t
t L
**
R
**
L
**
R
**
L
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 数値流束
F1/ 2  FL if 0  SL
F1/ 2  FL  SLUL  SLUL  FL if SL  0  SL
t 0
SL
U L
F1/ 2
FL
UL
x
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 数値流束
F1/ 2  FL if 0  SL
F1/ 2  FL  SLUL  SLUL  FL if SL  0  SL
F1/ 2  FL  SLU L  SL  SL U L  SLU L
 FL  SLU L  SLU L  FL if SL  0  SM
SL
SL
U
FL

L
t 0
U L
F1/ 2
UL
x
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 数値流束
FL
F 
 L
FL
F1 / 2   
FR
FR

FR
if 0  S L
if S L  0  S L
if S L  0  S M
if S M  0  S R
if S R  0  S R
if S R  0
F/  F /, SM , vt/, Bx , Bt/, e/, pT 
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 孤立した接線不連続（TD）の分解
t SM
UL  UL
S M  u, Bx  0
U R  U R
x
i 1/ 2
S M U   F 
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 孤立した接線不連続（TD）の分解
 孤立した接触不連続（CD）の分解
t
UL  UL  UL
SM
UR  UR  UR
x
i 1/ 2
S M  u, Bx  0
S M U   F 
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 孤立した接線不連続（TD）の分解
 孤立した接触不連続（CD）の分解
 孤立した回転不連続（RD）の分解
SR
t

L

L
UL  U  U  U

R
S u
*
R
U R  U R
x
i 1/ 2
Bx

SR* U   F 
, Bx  0
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 孤立した接線不連続（TD）の分解
 孤立した接触不連続（CD）の分解
 孤立した回転不連続（RD）の分解
 孤立した速進衝撃波（FS）の分解
t
SR
UL  UL  UL  UR  UR
UR
x
i 1/ 2
SR U   F 
HLLD近似リーマン解法
 MHDの正値性
 物理的な解の集合

G  U |   0, e   v
2
2 B
2

20
 物理的な解の重み付き平均値
U1,2  G  U  1   U1  U2  G 0    1
  1   1  2  0
p  1    p1  p2

  1     1 v 1 2   B
2
2
 20
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
 HLLD解の正値性
   0
 
   0

2
2






 p    1 e   v 2  B 2   0



 

  2
 2

  0


p



1
e


v
2

B
2

 







HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
  SR  uR  0,  SR  SM  0,  SM  uR
 密度の正値性

    R  0


R

R
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
  SR  uR  0,  SR  SM  0,  SM  uR
 圧力の正値性

  2
 2

    eR   R vR 2  BR 2 


2


B
 R 
pR
tR

2

1



p


R
2
2   R  Bx 
 1


2


B
 R 
pR
tR

2

1
  pR 
 
2
2 

2   R c fR  Bx 
 1


一生懸命テキストの方に書きました。
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
  SR  uR  0,  SR  SM  0,  SM  uR
 圧力の正値性
D   0     0



HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
  SR  uR  0,  SR  SM  0,  SM  uR
 圧力の正値性
2

 2
BtR
2  R pR 
2
  0
D    pR 
1
  1   R c 2fR  Bx2 

  1 pR 
 
1

2
2 R

1

BtR
    1 c 2fR
2
2 
 R c fR  Bx 
2
 1
S R  uR 
c fR
2
2
HLLD近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法 [Miyoshi, Kusano, 2005]
  SR  uR  0,  SR  SM  0,  SM  uR
 圧力の正値性

  2
 2

p    1 eR   R vR 2  BR 2 


 pR  0

R
 正値性保存の条件
 1
 1
SR  uR 
c fR , SL  uL 
c fL
2
2
HLLD近似リーマン解法
 HLL型近似リーマン解法
 HLLD近似解の重み付き平均値
 正値性保存
(MHD HLL-type)
HLLD近似リーマン解法
 HLL型近似リーマン解法
 正値性保存HLLC法 [Miyoshi, Kusano, 2007]
 S L  S L U L  S L  S M U L


SL  SM
U








S

S
U

S

S
U
R
R
R
M
R
 R

SR  SM

F1 / 2
 
FL  S L



FR  S R


S L  S M

U L  U L 
SL  SM
S R  S M

U R  U R 
SR  SM
for S L    S M
for S M    S R
if S M  0
if S M  0
HLLD近似リーマン解法
 精度・計算速度の検証
 ロバスト性の検証
[Mignone et al., 2007]
まとめ
 はじめに
 双曲型保存則
 MHD方程式
 近似リーマン解法
 HLL近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法
 近似リーマン解法の多次元化
 磁場発散の数値処理
 HLLD近似リーマン解法の展開
内容
 はじめに
 双曲型保存則
 MHD方程式
 近似リーマン解法
 HLL近似リーマン解法
 HLLD近似リーマン解法
 近似リーマン解法の多次元化
 磁場発散の数値処理
 HLLD近似リーマン解法の展開
時間と体力はありますか？
近似リーマン解法の多次元化
 近似リーマン解法の多次元化
 多次元の特性の理論に基づく多次元解法
Euler方程式でも容易ではない
MHD方程式では想像を絶する
 磁場による波動の指向性
 磁場のソレノイダル性   B  0
近似リーマン解法の多次元化
 近似リーマン解法の多次元化
 多次元の特性の理論に基づく多次元解法
Euler方程式でも容易ではない
MHD方程式では想像を絶する
 磁場による波動の指向性
 磁場のソレノイダル性   B  0
 1次元数値解法の利用
U n1  Lnx Lny Lnz  U n
Split法
n 1
n 
n
U

L

U
Unsplit法


数値的な磁場発散の生成


近似リーマン解法の多次元化
 数値的な磁場発散の影響
（補正なし）
（補正あり）
 非物理的な磁気力が解全体に影響
    pT I  BB  j  B  B  B
 数値的な磁場発散の処理は必須！
磁場発散の数値処理
 プロジェクション法
 ソレノイダルベクトル場への射影
課題：連立一次方程式の計算コスト
 移流拡散法
 数値的な磁場発散の移流、拡散
課題：磁場発散の停留、蓄積
 Constrained-Transport（CT）法
 ソレノイダル条件を維持する離散化
課題：高安定化、高次精度化
磁場発散の数値処理
 プロジェクション法 [Brackbill, Barnes, 1980]
B  B n  LU n t    A  
B n 1  B  
  B n 1    B      0      B
 ソレノイダル条件を満足する最小補正ベクトル場
 各ステップの計算後に連立一次方程式の計算
i 1, j  i 1, j
i , j 1  i , j 1

Bx i , j  B 
, By i , j  By i , j 
2x
2x
i 2, j  2i , j  i 2, j i , j 2  2i , j  i , j 2








B
i, j
2
2
4x
4y

xi, j
チェッカーボード現象
磁場発散の数値処理
 境界プロジェクション法 [Miyoshi, Kusano, 2011]
i 1, j  i , j 
b



2
x

n



b
0

Bx i , j 1  Bx i , j i , j 1  i , j 
n
by i , j 1 / 2 


2
y

i 1, j  2i , j  i 1, j i , j 1  2i , j  i , j 1
n







B
i, j
2
2
x
y
Bx i 1, j  Bx i , j
n
x i 1 / 2 , j
B
n 1
 B  LU , b t
n
n
n
 各ステップの計算前に連立一次方程式の計算
数値流束の段階で非物理的磁気力を排除
磁場発散の数値処理
 移流拡散法（8-wave法） [Powell, 1994]
0
 0 






0
U
 B 


  B    
   F  

v
  B  
t




 B  v
 B    B 
 磁場発散はエントロピー波で移流
  Bt    v  B  2   B
 非保存型解法
 流れのよどみ点での磁場発散の蓄積
拡散項は実効的ではない
磁場発散の数値処理
 移流拡散法（9-wave法） [Dedner+, 2002]
2
B

c
   E    0 ,
 ch2  B   h2 
t
t
cp
 磁場発散は追加された固有値で等方的に移流
  Btt  ch2
c2p   Bt  ch22   B  0
cp  ：波動方程式
ch  ：拡散方程式
 固有値は流れと直接的には無関係
 保存型解法
 非保存（Powell型のソース項）への拡張も可能
磁場発散の数値処理
 CT法 [Evans, Hawley, 1988]
b
n
x i 1 / 2 , j
byn i , j 1 / 2
t


E z i 1 / 2, j 1 / 2  E z i 1 / 2 , j 1 / 2 
y
t


E z i 1 / 2, j 1 / 2  E z i 1 / 2, j 1 / 2 
x
 Field-CT法
 Flux-CT法 [Balsara, Spricer, 1999]
E z i 1 / 2 , j   FB y , x
E z i 1 / 2 , j 1 / 2 
i 1 / 2 , j
, E z i , j 1 / 2  FBx , y i , j 1 / 2
E z i 1 / 2, j  E z i 1 / 2, j 1  E z i , j 1 / 2  E z i 1, j 1 / 2
4
磁場発散の数値処理
 CT法
 HLL-Flux-CT法 [Miyoshi, Kusano, 2011]
E z i 1 / 2, j 1 / 2 
E z i 1 / 2, j  E z i 1 / 2, j 1  E z i , j 1 / 2  E z i 1, j 1 / 2
4

y  E z 
 E z
 
 y

x  E z 

 E z 




x

i 3 / 4, j 1 / 2 


8  y i 1 / 2, j 1 / 4


8  x i 1 / 4, j 1 / 2




i 1 / 2, j 3 / 4 
1次元近似リーマン解法とコンシステント
電場の微分をHLL数値流束で評価
磁場発散の数値処理
 CT法
 HLL-Flux-CT法 [Miyoshi, Kusano, 2011]
E z i 1 / 2, j 1 / 2
E
 E zi   E zi   E zj   E zj  

 
4

i 1 / 2, j 1 / 2
j
z i 1 / 2 , j 1 / 2
 E z i 1 / 2, j 
E zi  i 1 / 2, j 1 / 2  E z i , j 1 / 2 
y  E z 


2  y i 1 / 2, j 1 / 4
x  E z 


2  x i 1 / 4, j 1 / 2
1次元近似リーマン解法とコンシステント
[Gardiner, Stone, 2005]
電場の微分をHLL数値流束で評価
磁場発散の数値処理
 数値実験
 HLLD近似リーマン解法
2次MUSCL+minmod制限関数
2次Runge-Kutta-TVD法
ヤコビ法（連立一次方程式）
 Orszag-Tang渦問題
v   sin y, sin x, 0, B   sin y, sin 2 x, 0
Field loop
 Field loop移流問題
v  v0 cos , sin  , 0, Az  max A0 R  r , 0,   2 106
 爆発風問題


B  10 2 ,10 2 ,0 , core  2 , ambient  2 103
|B|2
磁場発散の数値処理
 Orszag-Tang渦問題
Projection
T
8-wave
B
T
  B max  0.7 103
Face-projection
T
B
  B max  0.2 108
flux-CT
B
T
  B max  0.6 1012
  B max  12.9
9-wave
T
B
HLL-flux-CT
B
  B max  1.35
T
B
  B max  0.5 1012
Field loop移流問題
 Field loop問題
Projection
8-wave
v0=0
flux-CT
v0=0
v0=0
|B|2
|B|2
|B|2
|B|2
|B|2
|B|2
Face-projection
9-wave
v0=0
HLL-flux-CT
v0=0
v0=0
|B|2
|B|2
|B|2
|B|2
|B|2
|B|2
磁場発散の数値処理
 爆発風問題
Projection
8-wave
flux-CT
P
P
P
y=0.3
y=0.3
y=0.3
Face-projection
9-wave
HLL-flux-CT
P
P
P
y=0.3
y=0.3
y=0.3
磁場発散の数値処理
 連立一次方程式の処理の手抜き
literation= 10
literation = 1000
literation = 1000
T
T
literation= 10
  B max  0.2 108
  B max  0.6 101
 エネルギー補正: ek 1  e  | B |2  | B |2  2
Face-projection
HLL-flux-CT + E-fix
flux-CT + E-fix
HLLD近似リーマン解法の展開
 横方向速度（接線速度）を一定と仮定
S L*t
SL
utL
S R*
ut
SR
SR
ut

utR
utR
utL
t
SL
utR
utL
x
i 1/ 2
x
i 1/ 2
HLLD近似リーマン解法の展開
 横方向速度（接線速度）を一定と仮定
 Ut  v, w
： UtR,L  R* ,LUt*  *
 Un   , u, Bx , By , Bz , e ： HLLD解
SL
S L*t S M S R*
*
**
**
U R*
U nL
U nL
U nR
FnL
UL
UR
SR
SL
FnR
FtL
x
i 1/ 2
t
UtL
SM
U tR
SR
FtR
U tL
U tR
x
i 1/ 2
 Ut に付加的に数値粘性
 衝撃波安定のcontact-preserving解法（HLLD－法）
HLLD近似リーマン解法の展開
 odd-evenデカップリング
(HLLD)
(HLLD－)
 カーバンクル現象
(HLLC)
(HLLC－)
(HLLD)
(HLLD－)
HLLD近似リーマン解法の展開
 背景ポテンシャル磁場を除去したMHD
U   , u, B1 , e1  ,
T
F  u, uu  pT 1 I  BB  B0 B0 ,
uB  Bu, e1  pT 1  B1  B0 u  B1 u  B1   B  u  B0  ,
T
B1  B  B0 , pT 1  p  B12 2  B1  B0 ,
p    1e1  u 2 2  B12 2 
 セル境界のリーマン問題でB0 を一定と仮定
 数値実験：
太陽風-磁気圏
p on y=0
p on z=0
HLLD近似リーマン解法の展開
 多成分・一般化状態方程式のMHD
T


U   , u, B, e, 1 ,,  m ,
F  u, uu  pT I  BB,
T
uB  Bu, e  pT u  Bu  B , 1u,,  m u, ,
p  p ,  ,     , p , e     u 2 2  B 2 2  , a 2  p
 s
 一般化状態方程式に依存した固有ベクトル不要
 数値実験：
van der Waals
  1 
  C1 2   C1 2
p ,    
 1  C2  
B
B
T on y=0
T on z=0
HLLD近似リーマン解法の展開
 保存型Boris修正MHD [Gombosi, et al., 2002]


U   , 1  B c u, B, e ,
2
2
T
F  u, uu  pT I  BB,uB  Bu, e  pT u  Bu  B  ,
T
pT  p  B 2 2 , p    1e  u 2 2  B 2 2
 強磁場付近で慣性が増大
2
2


B
c
 セル境界のリーマン問題において A
を一定と
仮定（磁場とは非連動）
c
c5
 min  1.0478
 max  6.2140
 min  1.0451
 max  6.3383
 数値実験：
非定常問題
“Orszag-Tang渦”
HLLD近似リーマン解法の展開
 ラグランジュ質量座標系におけるMHD

d
dU
  u  , dξ   dr ,
   F  0,
dt t
dt
t
u


 
 p I  BB 
u
T
,
U   , F  
 Bu


B


 


B

u
B

u
p
E
 

 T
i 1/ 2
 1  ,E  e  ,
pT  p  B 2 2 , p    1 E  u 2 2   B 2 2  
 正値性保存
 見通しのよい定式化

HLLD近似リーマン解法の展開
 等温MHD-HLLD [Mignone, 2007]
T
T
U   , u, B , F  u, uu  pT I  BB,uB  Bu ,
pT  p  B 2 2 , p  a 2 
 リーマン問題を4-waveで近似
 相対論的MHD-HLLD [Mignone, et al., 2009]
T
U   , m, B,   ,

F  u,  wuu  pT I  bb,uB  Bu, m ,
2
T
m   2 wu  b0b,    2 w  b0b0  pT , pT  p  B 2 2 ,
w    p   1  b2 , b  B    u  B B, b0   u  B 
 5-wave近似（全圧一定と仮定）
 速度は一定でないため収束計算が必要
HLLD近似リーマン解法の展開
 衝撃波安定のcontact-and-rotational-preserving解法
 Liou’s conjecture [Liou, 2001]
()
m  m1 2  D   D u  D p
(u )
( p)
（圧力拡散項）
衝撃波不安定性が成長するための必要条件：
D( p )  0 , M
（Roe、HLLC（HLLD）など高解像度法）
衝撃波安定であるための十分条件：
D
( p)
 0 , M
（FVS、HLLなど低解像度法、AUSM+など）
 質量流束（粒子速度）の選択が重要
HLLD法では保存則から粒子速度を評価
ただし、粒子速度（全圧力）の評価は一意でない
HLLD近似リーマン解法の展開
 粒子速度と全圧力の選択
 近似リーマン解法とのハイブリッド
S Mmodified  S M  1   S Mupwind


PTmodified  1  M 2  2  PT L   Lu L S M  u L



 1  M 2  2  PT R   R u R S M  u R
  1  min1, M 12 

 a

2
2
M 12  unR
 ut21R  ut22 R  unL
 ut21L  ut22 L


M 2  max  1, min 1, 2S Mmodified S R  S L


a 2  p  , b 2  Bx2  B y2  Bz2 
M
 1 のとき D( p )  0
2
R

 bR2  aL2  bL2

HLLD近似リーマン解法の展開
 数値実験結果
HLLD
修正HLLD
(carbuncle)
(odd-even)