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工業力学 補足・小テスト・課題
Industrial Mechanics
第 6 回：重 心
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きてください．
● レポート表紙はなくてもOKです．番号・
氏名は忘れずに
知能システム工学科 井上 康介
E2 棟4階 407号室
重心の求め方
重心の求め方
下図の物体にかかる重力ベクトルを考える．
微小部分 (位置 xi，質量 mi) に作用する重力は mig．
そしてその 合力 が重心 (位置 xG) にかかる mg である．ただし
m = Smi．
物体の 並進・回転 に対する影響が等価
y
COG
xG
mi
жx i ц
ч
x i = ззy ч
ч
зи i ш
ч
mig
mg
x
3
重心の求め方
物体の各部分 i にかかる重力 mig によって生じる原点周りの力
のモーメントを合計すると，重心にかかる合力 mg による原点
周りのモーメントに等しい．
例えば重力方向を図のように y 軸 負の方向として，原点周りの
モーメントの方程式を立てると…
y
COG
xG
mi
жx i ц
ч
x i = ззy ч
ч
зи i ш
ч
mig
mg
x
4
重心の求め方
mg・xG = S mig・xi
同様に，重力方向を x 軸に平行にして考えれば，
mg・yG = S mig・yi
両辺に g があるのでこれをとってベクトル表記すると…
y
COG
xG
mi
жx i ц
ч
x i = ззy ч
ч
зи i ш
ч
mig
mg
x
5
重心の求め方
mxG = S mi xi
連続体においては，加算の演算が積分となって，
m xG =
т
物体全体
x dm
y
COG
xG
mi
жx i ц
ч
x i = ззy ч
ч
зи i ш
ч
mig
mg
x
6
重心の求め方
m xG =
т
物体全体
x dm
この式の要点は以下の通り：
(全質量)・(重心位置) =
{(部分の質量)・(部分の位置)}の合算
これを理解すればよい！
教科書 p.35 以降の例題ではすべてこの計算をやっている．
7
結合物体の重心
図のように，質量 m1 の物体 1と質量 m2 の物体 2 が結合してい
るとき，総質量は m1+m2 である．物体 1, 2 の重心をそれぞれ x1,
x2 とし, 結合体全体の重心を xG とする．
m i x2i については
物体 1 について m 1x 1 = е 物体1
，物体
m 2x 2 = е 物体2．m j x j
物体2
物体1
mi g
m 1g
x1
xG
x2
mj g
m 2g
(m 1+ m 2)g
8
結合物体の重心
m
． 1x 1 = е 物体1 m i x i , m 2x 2 = е 物体2 m j x j
物体全体の重心について，
(m 1 + m 2 )x G = е 物体1+ 物体2 m k x k = е 物体1 m i x i +
е
物体2
m jx j
= m 1x 1 + m 2x 2
つまり，
物体2
物体1
(全質量)・(全体の重心)
mi g
m g
= S (各部位の質量)・(部位の重心)
x1
xG
x2
mj g
1
m 2g
(m 1+ m 2)g
9
例題 3.1
12 [cm]
G1
O
8 [cm]
16 [cm]
G
8 [cm]
G2
10 [cm]
y
x
上下に対象なので，重心は対象軸上．
三角形の重心は頂点から 2/3 下りたところ．長方形の重心は
真ん中である．
A1 x 1 + A2 x 2
あとは結合体の重心の式を適用： x G =
A1 + A2
10
例題 3.2
15
10
5
物体の一部を抜いた場合，抜く前の質量・重心を mT，xT，抜い
た部分の質量・重心を mD，xD ，抜いた後の重心を xG とすると，
m T x T - m Dx D
xG =
mT - mD
11
例題 3.2
分母を移項して整理すると，
m T x T = (m T - m D )x G + m Dx D
あわせた質量とあわせた重心の積
抜いた残りの部分と抜いた部分の質量・重心の積の合算
合体した物体の式と同じ
物体の一部を抜いた場合，抜く前の質量を mT，xT，抜いた部
分の質量・重心を mD，xD ，抜いた後の重心を xG とすると，
m T x T - m Dx D
xG =
mT - mD
12
例題 3.2
15
10
5
抜く前の面積・重心が 150, 7.5 で，抜いた部分の面積・重心が
4p, 10．これを当てはめて，
150 Ч7.5 - 4p Ч10
xG =
= 7.27
150 - 4p
13
例題 3.3
積分で求める例．この場合，微小部分をどのように設定するか
がキモだが，微小部分の位置と質量が簡単な式となっていて，
積分が可能であることが重要
例えば上の例の場合，x 軸や y 軸に沿ってスライスするような
やり方もあり得るが，角度 q で切るのが簡単
14
例題 3.3
図のように微小部分 (長さ dL (= rdq), 点Oからの角度 q) を考
えると，その x 座標は r cosq である．
あとは，教科書 p.36 の通り，以下の計算をすればよい：
( 重心位置) =
т ( 微小部位の位置)( 微小部位の長さ)
т ( 微小部位の長さ)
15
例題 3.4
この例では，図形を縦に細く切り出した幅 dx の短冊を微小部
分としている．
短冊の上の端には直角三角形のような形の部分がくっついて
いる．斜辺は厳密には曲線だが，微小幅なので直線と見なすと，
その傾きは f ’(x)．三角形の底辺は dx で高さは f ’(x)・dx となり，
2
ў
f
(
x
)
dx
2
面積は
．
微小幅 dx の2乗がかかる ので，無視．
f ’(x) dx
よって微小部位の面積は dA = 2x 2 dx
短冊の重心の x 座標は x であり，y 座標は
f (x)
下側の長方形の中心だから，f (x )/2 = x 2．
あとは x, y 座標それぞれについて，
例の積分：
x dA
y dA
dx
т
т
xG =
, yG =
A
A
16
例題 3.4
補足として，短冊重心の x 座標を x としてよいとしたが，厳密に
は中央だから x +dx/2 となる．しかし，この部分は無視して良い．
1
xG =
A
1
=
A
1ж
ж 1 ц
1
1 ц
2
ч
ч
з
з
x
+
dx
dA
=
x
+
dx
2
x
dx
ч
ч
т зи 2 ш
т
ч
ч
з
A 0и
2 ш
1
1 1 2
3
т0 2x dx + A т0 2x dx dx
f ’(x) dx
微小量の2乗は無視してよい
f (x)
dx
17
例題 3.5
y
dq
O
a
q
x
2
r cos q
3
例題 3 と同様に q に基づく微小部分を考える．
微小部分は微小な中心角 dq をもつ扇形であり，これは二等辺
三角形とみなして良い．すると重心は中心から (2/3)r いったと
ころ．角度は q だから，重心位置が求まる．
微小部分の面積は 2 等辺三角形の面積であり，底辺が r dq で
dA = (1/2) r 2 dq
高さが r
18
例題 3.6
y
x
h
x
r = R
h
x
x+dx
R
図のように，yz 平面から距離 x の位置を薄さ dx でスライスした
板を微小部位と考える．
この板の側面は厳密には傾きを持っているが，これにより生じ
る体積の大きさには dx 2 がかかるため，無視する．
すると微小部位は半径 r，厚み dx の円板と考えることができる
dV = pr 2dx
あとは x・dV を積分．
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要点
物体全体の構成要素として微小部位を考え，その位置と質量
(または 長さ，面積，体積) を求める．
あとは以下の通りやればよい．
( 微小部位の位置)( 微小部位の質量)
т
( 重心位置) =
т ( 微小部位の質量)
予告：第6章で扱う慣性モーメントも同様にして微小部位を作っ
て積分を行うことで求められる．こちらでは，
2
(
微小部位と軸との距離
)
( 微小部位の質量)
т
を計算する．
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