FPB dan KPK

Konsep Habis Dibagi

• • Definisi: Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan dengan a|b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan bulat c demikian sehingga b = ac. Jika a membagi b, maka dapat dikatakan bahwa : a pembagi b a faktor b b kelipatan a b habis dibagi a

Pemfaktoran prima

• • Bilangan komposit dapat ditulis sebagai hasil kali semua pembaginya yang prima. Ada dua metode yang umum digunakan untuk menemukan semua faktor prima bilangan komposit.

Pemfaktoran prima (2)

• • • Metode pertama adalah dengan melakukan pembagian berulang dimulai dengan bilangan prima terkecil 2, dan diteruskan sampai semua faktor prima yang diperoleh terakhir tersebut Contoh: Carilah faktor prima dari 180 180 = 2.90

90 = 2.45

45 = 3.15

15 = 3.5

180 = 2.2.3.3.5

Pemfaktoran prima (3)

• • Metode kedua adalah melakukan pemfaktoran bilangan ke dalam sebarang dua faktor yang dikenal dan kemudian memfaktorkan faktor faktor tersebut: 180 = (15) (12) = (5.3)(4.3) = (5.3)(2.2.3) = 2.2.3.3.5

Selain kedua metode tersebut, ada cara lain yakni dengan menggunakan pohon faktor.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

• • • Definisi: Faktor persekutuan terbesar (disingkat FPB) dari dua bilangan bulat positif, p dan q, adalah bilangan bulat positip terbesar r demikian sehingga r|p dan r|q.

Dari definisi di atas, jelas bahwa FPB dari dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat terbesar yang membagi keduanya. Hal ini dinotasikan sebagai berikut: r = FPB (p,q).

FPB (2)

• Cara Menentukan FPB 1. Pemfaktoran 2. Pemfaktoran Prima 3. Algoritma Euclid

FPB (3)

• • • • • • • 1. Pemfaktoran Contoh dengan metode pemfaktoran, menentukan FPB dari 84, 198, dan 210. Kita tentukan masing-masing faktornya : Factors of 84 Faktor dari 198 Factors of 210 : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 : 1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 33, 66, 99, 198 : 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210 Dari ketiga bilangan yang memiliki faktor yang sama yaitu 6. Sehingga FPB (84, 198, 210) = 6.

FPB (84,198) = 6 FPB (198,210) = 6 FPB (84, 210) = 42

• • • •

FPB (4)

• 2. Pemfaktoran Prima Tulis bilangan-bilangan tersebut sebagai perkalian bilangan prima, dan hasil perkalian bilangan prima yang merupakan faktor persekutuan kedua bilangan tersebut adalah FPB-nya.

Faktorisasi prima dari, 270 = 2 x 3 3 x 5 504 = 2 3 x 3 2 x 7 Dapat juga dinyatakan 270 = (2 x 3 2 ) x (3 x 5) 504 = (2 x 3 2 ) x (2 2 x 7) Sehingga (2 x 3 2 ) sebagai faktor persekutuan terbesar 270 dan 504. FPB (207, 504) = 18

•

FPB (5)

• 3. Algoritma Euclid Dengan cara seperti di atas tidak praktis jika bilangan yang akan dicari FPB bilangan yang besar. Dalam hal demikian diperlukan metode yang lebih praktis untuk menemukan FPB-nya. Metode ini mendasarkan pada Algoritma Pembagian dengan berulang.

FPB (6)

• • • • Menurut Algoritma Pembagian, bilangan bulat positip a dan b, a ≥ b selalu dapat ditulis sebagai : a = bq + (r), dengan q bulat positif, r bilangan cacah, dan 0 ≤ r < b.

Metode menemukan pembagi persekutuan terbesar dengan menggunakan Algoritma Pembagian tersebut dikenal sebagai Algoritma Euclides. Jadi, menurut Algoritma Euclides, jika a dan b bilangan bilangan bulat positip dengan a ≥ b , dan r adalah sisa jika a dibagi oleh b, maka FPB (a, b) = FPB (b, r).

FPB (7)

• • • Contoh Penggunaan Algoritma Euclid FPB (1071,1029) = 21 FPB (589,494) = 19

a

1071 1029 42 21

b

1029 42 21 0

r

42 21 0

a

589 494 95 19

b

494 95 19 0

r

95 19 0

Relatif Prima

• • • • Definisi: Jika faktor persekutuan terbesar dua bilangan bulat positif p dan q adalah 1, maka p dan q disebut relatif prima.

Contoh : 3 dan 5 adalah relatif prima karena FPB(3, 5) = 1 31 dan 120 adalah relatif prima karena FPB(31, 120) = 1.

9 dan 132 bukan relatif prima karena FPB(9, 132) = 3.

Perhatikan bahwa semua bilangan bulat positif kurang dari bilangan prima p adalah relatif prima terhadap p. Misalkan setiap bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah relatif prima terhadap bilangan prima 7.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

• • • Definisi: Bilangan bulat positip m adalah kelipatan persekutuan terkecil (disingkat KPK) dua bilangan bulat positip p dan q jika dan hanya jika m adalah bilangan bulat positip terkecil yang dapat dibagi oleh p dan q.

Dari definisi di atas, jelas bahwa kelipatan persekutuan terkecil dua bilangan bulat adalah bilangan bulat positip yang habis dibagi kedua bilangan tersebut. Hal ini ditulis: m = KPK (p,q) Contoh : KPK (5,4)= 20 KPK (7, 6) =42 KPK (15, 12) = 60.

KPK (2)

• Cara Menentukan KPK 1. Menemukan himpunan kelipatan persekutuan dan kemudian memilih yang terkecil 2. Pemfaktoran Prima 3. Rumus [FPB (p,q)] x [KPK (p,q)] = p x q

KPK (3)

• 1. Menemukan himpunan kelipatan persekutuan dan kemudian memilih yang terkecil contoh Kelipatan Persekutuan Terkecil dari: 10, 12, dan 18 Kelipatan dari 10 : 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180,190 Kelipatan dari 12 Kelipatan dari 18 : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204 : 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198 Jadi KPK (10,12,18) = 180

KPK (4)

• • 2. Pemfaktoran Prima KPK (3600, 1080, 672) Contoh menggunakan faktorisasi prima : 3600 = 2 1080 = 2 672 = 2 5 4 3 x 3 2 x 5 x 3 3 x 5 2 x 3 x 7 Bilangan yang merupakan faktor prima : 2,3,5, 7 Pangkat maksimum 2 adalah 5 3 adalah 3 5 adalah 2 7 adalah 1 Oleh karena itu, KPK adalah 2 5 x 3 3 x 5 2 x 7 = 151.200

KPK (5)

• 3. Rumus: [FPB (p,q)] x [KPK (p,q)] = p x q KPK(146,124) = (146 x 124) ÷ FPB (146, 124 = 18104 ÷ 2 = 9052

• • • •

KPK (6)

KPK tiga atau lebih bilangan bulat positip dapat ditemukan dengan terlebih dahulu mencari KPK dari bilangan-bilangan itu; sepasang demi sepasang. Misalkan akan dicari KPK dari p, q, r, s, maka dicari dulu KPK bilangan p dan q misalkan terdapat m 1 , kemudian dicari KPK bilangan r dan s misalkan terdapat m 2 .

Maka KPK (p,q,r,s) = KPK (m Contoh : 1 , m 2 ).

Carilah KPK dari 42, 96, 104. 18.

Jawab: KPK (42. 96) = 672 dan KPK (104, 18) = 936 KPK (42, 96, 104, 18) = KPK (672, 936) = 26208