Transcript TEOREMI CLASSICI DELL`ANALISI
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE
Michel Rolle (1652-1718)
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE
tangente
a
curva
Punto a tangente orizzontale b Una curva regolare (ovvero senza salti o spigoli) che unisce due punti di uguale ordinata deve avere per forza un
punto a tangente orizzontale
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE
tangente curva
Punto a tangente orizzontale Per rendere questo un teorema matematico è necessario formularlo in modo rigoroso e poi dimostrarlo a b
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE
• Senza salti = funzione continua • Senza spigoli = funzione derivabile • Punti a uguale ordinata: f(a)=f(b) • Punto a tangente orizzontale: f’(c)=0
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE
Quindi: Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b] • continua su tale intervallo • derivabile salvo al più agli estremi • e sia f(a)=f(b)
Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che f’(c)=0
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE
Dimostrazione CASO 1: sia f una funzione costante In tal caso il teorema è banale perché una funzione costante ha derivata ovunque uguale a zero, quindi c è un punto qualsiasi dell’intervallo
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE
Caso f costante
curva tangente
Punti a tangente orizzontale: TUTTI!
a b
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Dimostrazione CASO 2: sia f non costante Poiché la funzione è continua su un intervallo chiuso, per il teorema di Weierstrass essa ammette un massimo assoluto, M, e un minimo assoluto, m.
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE
Poiché la funzione non è costante massimo e minimo sono diversi (M≠m), il che significa che massimo e minimo non possono cadere entrambi agli estremi dell’intervallo [a,b], altrimenti sarebbero uguali: infatti f(a)=f(b)
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE
M curva
F(a)=F(b) Caso f non costante; qui per esempio il massimo cade all’interno dell’intervallo a b
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE
Supponiamo che sia M a cadere all’interno dell’intervallo e che c sia la sua ascissa f(c)=M In tal caso c, oltre a essere punto di massimo assoluto, è anche punto di massimo relativo
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE
Ma il teorema di Fermat dice che nei punti di massimo relativo la derivata è uguale a zero, quindi f’(c)=0
CVD
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE
Il teorema di Rolle fornisce una condizione sufficiente ma non necessaria per avere un punto stazionario: una funzione può avere un punto stazionario anche senza soddisfarne le ipotesi
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE
Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e non hanno punti stazionari • y=fraz(x) • y=|x| • y=x [0,1] [-1,1] [0,1]
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI ROLLE
Queste funzioni non soddisfano una delle ipotesi del teorema (quale…?) e hanno punti stazionari • y=D(x) • y=|x 2 -1| • y=x 2 [0,1] [-2,2] [-1,2]
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Questa non è derivabile agli estremi, ma questa ipotesi non è richiesta e quindi la funzione cade sotto il dominio del teorema di Rolle Y=√(1-x 2 ) [-1,1]
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY
Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY
Siano f e g definite su un intervallo chiuso [a,b] • continue su tale intervallo • derivabili salvo al più agli estremi • e sia g(a)≠g(b), g’(x)≠0
Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:
f g
(
b
(
b
) )
g f
( (
a a
) )
f g
' ' ( (
c c
) )
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Dimostrazione
TEOREMA DI CAUCHY
Consideriamo la funzione ausiliaria F(x) così definita:
F
(
x
)
f
(
x
)
K
g
(
x
) Dove K è una costante presa in modo che F soddisfi tutte le ipotesi del teorema di Rolle
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY
Poiché f e g sono continue e derivabili anche F lo è, quindi basta fare in modo che sia: F(a)=F(b) Sostituendo:
f
(
a
)
K
g
(
a
)
f
(
b
)
K
g
(
b
)
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY
Con qualche calcolo si ricava il valore di K
K
f
(
b
)
g
(
b
)
f
(
a g
(
a
) )
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY
Poiché con questo valore di K la funzione F soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, allora esiste un punto c interno all’intervallo in cui risulta: F’(c)=0
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY
Ma poiché F è:
F
(
x
)
f
(
x
)
K
g
(
x
) Derivando:
F
' (
x
)
f
' (
x
)
K
g
' (
x
) E uguagliando a zero: 0
f
' (
x
)
K
g
' (
x
)
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Ovvero:
K
f
' (
x
)
g
' (
x
) E ricordando che K è:
K
f
(
b
)
g
(
b
)
f
(
a g
(
a
) ) Sostituendo:
CVD
f
(
b
)
g
(
b
)
f
(
a g
(
a
) )
f
' (
c
)
g
' (
c
)
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI LAGRANGE
Giuseppe Luigi Lagrange (1736-1813) Il teorema è un caso particolare di quello di Cauchy
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI LAGRANGE
Sia f definita su un intervallo chiuso [a,b] • continua su tale intervallo • derivabile salvo al più agli estremi
Allora esiste un punto c interno all’intervallo [a,b] tale che:
f
(
b
)
f
(
a
)
f
' (
c
)
b
a
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
Dimostrazione
TEOREMA DI CAUCHY
Basta ricordare la formula di Cauchy
f
(
b
)
g
(
b
)
f
(
a g
(
a
) )
f g
' ' ( (
c
)
c
) E prendere g(x) = x
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI TEOREMA DI CAUCHY
Infatti se g(x)=x allora:
g
(
a
)
a g
(
b
)
b g
' (
c
) 1 E inserendo questi risultati nella formula:
f
(
b
)
g
(
b
)
f
(
a g
(
a
) )
f
' (
c
)
g
' (
c
)
CVD
f
(
b
)
b
a f
(
a
)
f
' (
c
)
F(b)
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
curva tangente corda
Il teorema di Lagrange ha un evidente significato geometrico F(a) a c b
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
F(b) F(a)
A
a
curva C tangente B corda
c b
A(a,f(a)) B(b,f(b))
Infatti:
f
(
b
)
f
(
a
)
b
a
È il coefficiente angolare della retta AB, corda sottesa dall’arco di curva
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
F(b) F(a)
A curva C tangente B corda
Mentre:
f
' (
c
) È il coefficiente angolare della tangente alla curva in C c a b
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
F(b) F(a)
A
a
curva C tangente B corda
Il teorema di Lagrange dice che questi coefficienti sono uguali
f
(
b
)
b
a f
(
a
)
f
' (
c
) c b
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
F(b) F(a)
A curva C tangente B corda
Ma se due rette hanno lo stesso coefficiente angolare allora sono parallele c a b
TEOREMI CLASSICI DELL’ANALISI
F(b) F(a)
A
a
curva C tangente B corda
Quindi: in un arco di curva regolare c’è sempre un punto in cui la tangente è parallela alla corda sottesa all’arco c b