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Numerical Optimization and applications
PART 1: Introduction and examples
Laurent Dumas, Tahar Boulmezaoud
Laboratoire de Mathématiques de Versailles,
Université de Versailles Saint Quentin en Yvelines
http://www.math.uvsq.fr/~dumas/ecp2011
Numerical Optimization and applications, ECP 2011
1.1 Four optimization problems
(i) Configuration of a molecule of minimal energy
(chemistry)
(ii) Optimization of a factory production
(economy)
(iii) Construction of an optical fiber with optimal properties
(telecommunications)
(iv) Debluring and denoising of a barcode image
(new technologies)
Numerical Optimization and applications, ECP 2011
(i) Configuration d’une molécule d’énergie minimale
N=4 atomes
N=7 atomes
•Objectif: déterminer la position de N atomes minimisant le potentiel de Lennard
Jones de la molécule associée: V( r )=1/r12 – 2/r 6 pour 2 atomes à une distance r.
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(ii) Optimisation de la production d’une entreprise
•Objectif: déterminer la quantité optimale des articles à produire pour une entreprise
pour maximiser ses gains.
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(iii) Fibre optique aux propriétés optimales
• Principe d’un FBG (Fiber Bragg Grating): transmettre un grand nombre de canaux
(ie longueurs d’onde) sur une seule fibre optique en filtrant certaines fréquences.
• Objectif: construire la fonction d’apodisation du FBG se rapprochant du cas idéal.
Numerical Optimization and applications, ECP 2011
(iii) Fibre optique aux propriétés optimales
• Modèle mathématique: bT, bR amplitude des 2 modes principaux dans le FBG
avec les conditions aux limites:
• Spectre de réflectivité:
• Fonction objectif:
Numerical Optimization and applications, ECP 2011
(iii) Fibre optique aux propriétés optimales
• Quatre exemples de spectres de réflectivité (L=20cm, n0=1.45, lB=1550nm):
reflectivité
1
reflectivité
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
|r|2
|r|2
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
1.5494
0.5
1.5496
1.5498
1.55
1.5502
lambda
1.5504
1.5506
0
1.5494
1.5508
-6
x 10
FBG avec apodisation constante ( dn=1E-4)
1.5496
1.5498
1.55
1.5502
lambda
1.5504
1.5506
1.5508
-6
x 10
FBG avec forte apodistion (dn=4E-4)
reflectivité
1
reflectivité
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
enveloppe de l'indice
1.4504
0.7
1.4503
0.6
0.6
enveloppe de l'indice
1.4504
1.4504
1.4503
0.5
dn(z)
dn(z)
1.4503
1.4503
1.4503
|r|2
|r|2
1.4504
1.4502
0.4
1.4503
1.4501
1.4502
0.4
1.4502
1.4502
0
0.005
0.01
0.5
0.3
z
1.45
0
0.005
0.01
z
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
0
1.5494
1.5496
1.5498
1.55
1.5502
lambda
1.5504
1.5506
1.5508
-6
x 10
FBG avec apodisation gaussienne
0
1.5494
1.5496
1.5498
1.55
1.5502
lambda
1.5504
1.5506
1.5508
-6
x 10
FBG avec apodisation en raised-cosinus
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(iv) Décodage d’une image de code barre floue et bruitée
Code à 13 chiffres
•Objectif: à partir d’une image floue et bruitée d’un code barre, être capable
d’identifier ce code barre
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Principales caractéristiques de ces 4 problèmes
chimie
économie
telecom
Paramètres
position
des
atomes
Quantités de
fonction
signal 1D
biens à produire d’apodisation
Fonction coût
simple
Simple
(linéaire)
Issue d’une
EDO
Issue d’une
convolution
Calcul du
gradient
explicite
explicite
non explicite
non explicite
Minimas
locaux
oui
oui
oui
oui
Contraintes
non
linéaires
non linéaires
linéaires
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Nouvelles
technologies