Transcript te073_aula3
Codificação Diferencial
1
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Introdução
Formas de quantização (perdas):
Quantização Escalar Uniforme / não-uniforme Side information Quantização Vetorial Codebook e Codeword Ótimas taxas Complexo computacionalmente TE073 – Processamento Digital de Sinais II 2
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Introdução
Codificação Diferencial Codificação das diferenças Aplicação: Voz Sinal amostrado {x n } d n = { x n – x n-1 } Menor Faixa Dinâmica Menor Variância: Amostras mais centradas em zero.
Ex 1. Senóide TE073 – Processamento Digital de Sinais II 3
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Ex 2. Imagem Sinan Histograma original Histograma das diferenças 99%-> 5bits 8 bits TE073 – Processamento Digital de Sinais II 7 bits 4
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Exemplo 3: Considere a sequência: x={6.2 9.7 13.2 5.9 8.0 7.4 4.2 1.8} A sequência diferença será:
d n
d={6.2 3.5 3.5 -7.3 2.1 -0.6 -3.2 -2.4} 1] Se codificarmos sem perdas, voltamos à seqüência original fazendo: Porém: Quantizando com perdas [-6 -4 -2 0 2 4 6]: d={6 4 4 -6 2 0 -4 -2}
x n
Reconstruindo temos: x q ={6 10 14 8 10 10 6 4} Que corresponde ao erro de quantização: {0.2 -0.3 -0.8 -2.1 -2.0 -2.6 -1.8 -2.2} crescente!
q
k n
1 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 5
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Mesmo erro de quantização tendo média zero, pode causar overflow
x[n] + d[n] z -1 •Solução: x[n-1] 1] Q x[n] d q [n] d q [n] + Q -1 + x q [n-1] x + q d[n] [n-1]
q
d q [n] d q [n] + Q Q -1 + + + z -1 x q [n] 1] TE073 – Processamento Digital de Sinais II x q [n-1] z -1 z -1 x q [n] x q [n] 6
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Ex 4. Sinal senoidal Aproximação I • • Intervalo dinâmico de diferenças: [-0,2 0,2] Passo do quantizador = 0,1 Aproximação II • Intervalo dinâmico de diferenças: [-0,4 0,4] • Passo do quantizador = 0,2 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 7
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Generalização:
Preditor: Se:
q
1],
q
2],
q
3],....,
x q
[0]
q
1] Temos o DPCM (
Differential Pulse Code Modulation
) TE073 – Processamento Digital de Sinais II 8
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Adaptativo
Direto Side information transmitida ao decodificador Separação em blocos (estimativas por bloco) Reverso Não há necessidade de do decodificador.
side info Mais utilizado Algoritmo de Jayant – adaptação obtida da saída TE073 – Processamento Digital de Sinais II 9
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Modulação Delta
Quantizador de 1-bit (2 níveis) Variação da taxa de amostragem Slope overload TE073 – Processamento Digital de Sinais II 10
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Ex.: Codificação de Voz
Principal aplicação de codificadores diferenciais (ADPCM) Vários padrões ITU (G.721, G.723, G.722,...) G.726 Quantização adaptativa reversa Algoritmo de quantização similar a Jayant Predição reversa adaptativa Combinação linear dos 2 últimos valores reconstruídos Uso dos 6 últimos diferenças quantizadas para a predição (40, 32, 24 e 16 kbits) 8000 amostras 5, 4, 3, 2 bits/amostra Comparando com PCM (8bits /amostra): Taxas de compressão 1,6:1 2:1 2,67:1 4:1 respectivamente TE073 – Processamento Digital de Sinais II 11
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Codificação de Imagem
Comparação com JPEG PSNR=31.42dB
PSNR=41.60dB
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 12
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica PSNR=38.28dB
PSNR=41.60dB
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 13
Conceitos Básicos para
Transformadas, Subbandas e Wavelets
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Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Para entendermos os conceitos utilizados em codificação por transformada, subbandas e wavelets é necessário um conhecimento prévio dos seguintes assuntos: • Espaços Vetoriais • Série de Fourier • Transformada de Fourier • Sistemas Lineares • Amostragem • DFT • Transformada Z Já vistos em DSP-I TE073 – Processamento Digital de Sinais II 15
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11.3. Espaços Vetoriais
Representação de um vetor no espaço 2-D: v 4 .
u x
3
u y
v 4 3 3 4 Logo: um vetor pode ser representado como uma decomposição em
vetores base (u x , u y ).
Qualquer vetor neste espaço 2-D pode ser decomposto.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 16
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Então, dado um vetor
A
e um conjunto base, a decomposição significa encontrar os coeficientes os quais ponderam os vetores unitários do conjunto base.
Ferramenta matemática:
Produto Escalar ou Interno
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 17
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11.3.1. Produto Escalar ou Produto Interno
Dado dos vetores: a
a a
2 1
e
b
b b
2 1 O produto interno é definido por: a b
a
1
b
1
a
2
b
2 Dois vetores são ditos ortogonais se seu produto interno é zero.
Um conjunto de vetores é dito ortogonal se cada vetor for ortogonal a todos os outros vetores do conjunto.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 18
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica O produto interno entre um vetor e um vetor unitário de um conjunto base ortogonal nos fornece o coeficiente correspondente a aquele vetor. E pode ser visto também como a projeção do vetor sobre o vetor da base.
Ex.: Seja a base ortogonal:
u x
1 0 ,
u y
1 0 Claramente:
u x
u y
0 E um vetor
a
pode ser decomposto em: a a
u x
u y
a a
1 1 1 0
a
2
a
2 0 1
a
1
a
2 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 19
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y u
b a
u x
a
O produto interno entre dois vetores pode representar, com um certo cuidado, uma medida de similaridade entre eles é mais próximo de
u x
logo: a
u x
a
u y
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 20
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11.3.2. Espaço Vetorial
Generalizando os conceitos vistos em 2-D e 3-D:
Espaço vetorial
consiste em um conjunto de elementos chamados vetores que têm as operações de adição vetorial e multiplicação escalar definidas. Os resultados destas operações são também elementos deste espaço vetorial TE073 – Processamento Digital de Sinais II 21
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Adição Vetorial:
Sejam os vetores: Definimos:
a
a
1
a
2
a
3 ,
b
b b b
1 2 3
a
b
a
1
a a
3 2
b b
1
b
2 3
Multiplicação Escalar:
Multiplicação de um vetor por um numero real ou complexo.
Para que o conjunto de elementos seja um espaço vetorial é necessário que cumpra os seguintes axiomas: TE073 – Processamento Digital de Sinais II 22
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Seja:
V
um espaço vetorial
x,y,z
vetores e e números escalares 1. x+y=y+x comutatividade 2. (x+y)+z=x+(y+z) e ( )x= ( x) associatividade 3. Existe elemento em
V
tal que x+ =x para todo x
V
4.
(x+y)= x+ y e ( + )x= x+ x distributividade 5. 1.x=x e 0.x= 6. Para todo x
V
existe elemento (-x) tal que x+(-x)= Ex.: Um exemplo de espaço vetorial são os números reais, neste conjunto: zero= TE073 – Processamento Digital de Sinais II 23
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Outro exemplo de espaço vetorial: conjunto das funções f(t) que possuem energia finita:
f
(
t
) 2
dt
Neste caso: (t)=0 E o espaço vetorial é chamado L 2 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 24
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11.3.3. Subespaço
Um subespaço S de um espaço vetorial V é um subconjunto de V cujos membros satisfazem todos os axiomas do espaço vetorial e têm a propriedade adicional que se x e y S, e é um escalar, então x+y e x estão também em S.
Ex.: Considere S o conjunto das funções limitadas ao intervalo [0,1]. Então S é um subspaço de L 2 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 25
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11.3.4. Bases
Uma das formas de se gerar um subespaço é fazendo combinações lineares de um conjunto de vetores.
Se o conjunto de vetores for
linearmente independente
, o conjunto é chamado de base para o subespaço.
Um conjunto de vetores {x 1 ,x 2 ,...} é dito
linearmente independente
se nenhum vetor do conjunto puder ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores do conjunto.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 26
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Teorema: Um conjunto de vetores X={x 1 ,x 2 ,...,x N } é linearmente independente Se e somente se a expressão
N
i
x
i
i
1 Implicar que
i
0 para todo i=1,2,...,N TE073 – Processamento Digital de Sinais II 27
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Ex.: Seja o espaço vetorial
V
dos vetores definidos por [a b] T , onde a e b são números reais.
X
1 1 0 , 1 0
e X
2 1 1 , 1 0 São bases de V. Quaisquer 2 vetores não paralelos formam uma base para V.
O número de vetores necessários para gerar o espaço é chamado
dimensão
do espaço vetorial.
No exemplo: Dimensão 2 No exemplo anterior, espaço das funções limitadas [0,1] de L 2 possui dimensão infinita.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 28
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Ex.: Seja o vetor
a
3 4
a
3 1 0 4 1 0
a
4 1 1 ( 1 ) 1 0 Então a representação de a na base X 1 base X 2 é (4,-1) é (3,4) e na TE073 – Processamento Digital de Sinais II 29
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11.3.5. Definição formal do produto interno
O produto interno pode ser denotado como:
x
y
x
,
y
Satisfaz os seguintes axiomas: 1.
x
,
x
x
É chamada
norma
de x e é análogo à distância TE073 – Processamento Digital de Sinais II 30
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11.3.6.
Conjuntos
Ortogonais e Ortonormais
No espaço Euclidiano, dois vetores são ditos ortogonais se seu produto interno for zero.
Se selecionarmos conjunto base formada por vetores ortogonais e ainda se a norma desses vetores for unitária, o conjunto é chamado Base Ortonormal.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 31
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Dada um espaço vetorial S N com uma base ortonormal {x i } i=1,2..N. Dado um vetor
y
no espaço S N podemos escrever y como uma combinação linear dos vetores x i y
i N
1
i
x
i
Para encontrar os coeficientes i , podemos tirar o produto Interno de ambos os lados com respeito a x i y, x k
i N
1
i
x
i
, x
k
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 32
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Como a base é ortonormal: x
i
, x
k
1 , 0 ,
i i
k k
Logo: y, x k
k
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 33
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Conclusões:
• Vetores não são simplesmente pontos nos espaços 2-D e 3-D.
Funções do tempo podem serem vistas como elementos de um espaço vetorial.
• Conjuntos de vetores que satisfazem a certos axiomas formam um espaço vetorial •Todos os membros de um espaço vetorial podem ser representados como combinações lineares dos vetores bases (podem ter diferentes bases para um mesmo espaço). As bases formadas por vetores de magnitude unitária e ortogonais são conhecidas como bases ortonormais.
•Se uma base é ortonormal os coeficientes podem ser obtidos tirando o produto interno do vetor com cada vetor da base.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 34
Codificação Por Transformada
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Introdução
Fonte é decomposta ou transformada em componentes de modo que a energia fique concentrada em poucas amostras.
Para uma fonte gaussiana a entropia é dada por: 1 2 log 2
e
2 O aumento da variância causa um aumento na entropia, o que mede a quantidade de informação contida no sinal.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 36
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Ex: Analisando a sequência de dois números, representando peso e altura:
Peso
65 75 60 70 56 80 68 50 40 50 69 62 76 64
Altura
170 188 150 170 130 203 160 110 80 153 148 140 164 120 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 37
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Podemos observar que os valores estão ao redor da reta
y=2.5x
Podemos rotacionar o conjunto de valores usando:
Ax x
x
0
x
1
A
cos sin sin cos Onde é o ângulo da reta com eixo x 0 1 68
o
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 38
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A
0 , 37139068 0 , 92847669 0 , 92847669 0 , 37139068
Peso
65 75 60 70 56 80 68 50 40 50 69 62 76 64
Altura
170 188 150 170 130 203 160
1 o
182 202 162 184 141 218 174 110 80 153 148 121 90 161 163 -6 -7 10 -9 140 164 153 181 -6 -9 120 135 TE073 – Processamento Digital de Sinais II -15
2 o
3 0 0 -2 -4 1 -4 39
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica A energia foi compactada no primeiro elemento.
Desenhando o gráfico temos: Podemos ignorar a segunda coordenada de , causando um erro, porém reduzindo a quantidade de dados pela metade!
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 40
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Fazendo a anti-transformação podemos recuperar os dados
x
.
A
1 cos sin sin cos Reconstruído Original
1 o
182 202 162 184 141 218 174 121 90 161 163 153 181 135
2 o
0 0 0 0 0 0 0
x
A
1 .
Peso
68 75 60 68 53 81 65 0 0 0 0 45 34 60 61 112 84 150 151 0 0 57 67 142 168 0 50 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 125
Altura
169 188 150 171 131 203 162
Peso
65 75 60 70 56 80 68 50 40 50 69 62 76 64
Altura
170 188 150 170 130 203 160 110 80 153 148 140 164 120 41
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica O erro de reconstrução foi pequeno pois nessa transformação em particular temos:
i N
1 0
x i
x
ˆ
i
2
i N
1 0
i
ˆ
i
2 Neste exemplo foi utilizada apenas duas dimensões, mas o princípio pode ser expandido para mais dimensões.
Com duas dimensões podemos reduzir os dados em um fator de 2, com mais dimensões esse fator pode aumentar.
Descartar as componentes com menor quantidade de informação (menor entropia) (menor variância) TE073 – Processamento Digital de Sinais II 42
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Prova-se que a melhor compactação ocorre quando descorrelacionamos as amostras da transformada.
A descorrelação de dados discretos foi introduzida em 1933 por Hotteling. Em 1947, Karhunen e em seguida, 1948, Loève desenvolveram a transformação para funções contínuas.
Kramer e Mathew em 1956 utilizaram esses conceitos da descorrelação, para codificação de sinais, gerando então o termo codificação por transformada.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 43
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica A codificação por transformada consiste em três passos: A seqüência de dados é dividida em blocos de tamanho N e mapeada em seqüências transformadas, usando um mapeamento reversível.
Quantizar a seqüência transformada Taxa de bits que eu desejo conseguir?
A estatística dos elementos transformados?
Efeitos de distorções causados pela quantização?
Binary encoding
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 44
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A Transformada
Todas as transformadas que veremos são transformadas lineares, podendo serem representadas por:
n
N i
0 1
x i a n
,
i x n
N i
1 0
b
O tamanho N do bloco é definido por considerações práticas, tais como: Taxa de compressão versus complexidade computacional Em sinal de voz mudanças radicais como a passagem do silêncio para a conversa dificultam a implementação de N grandes. O mesmo acontece em imagem.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 45
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica A transformada pode ser escrita na forma matricial: onde
A
e
B
A
x x
B
são matrizes N×N [
A
]
i
,
j
a i
,
j
[
B
]
i
,
j
b i
,
j
A
: Matriz Transformada Direta
B
: Matriz Transformada Inversa
AB
BA
I
Se a transformada é ortonormal ela tem a propriedade de que a inversa é a própria transposta.
1
T
B
A
A
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 46
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica A eficiência da transformada depende da compactação de energia.
Uma das maneiras de medir a compactação é tirar a média aritmética da variância dos coeficientes de transformação.
G TC
1
N
i N
0 1
i N
0 1 1
i
2
i
2
N
Ganho de Codificação da Transformada TE073 – Processamento Digital de Sinais II 48
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Ex: Considere a matriz
A
1 2 1 1 1 1 Note que a primeira linha representa um filtro passa-baixa e a segunda um passa alta Supondo a sequência de entrada sendo ( , ) 1 0 1 2 1 1 1 1 2 0 Coeficiente de baixa-frequência TE073 – Processamento Digital de Sinais II 49
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Analisando duas outras seqüências (3,1) e (3,-1) A segunda é mais alta frequência que a primeira, pois difere de 4 enquanto a outra de 2. Teremos: 1 0 1 2 1 1 1 1 3 1 2 2 2 1 0 1 2 1 1 1 1 3 1 2 2 2 Observe que a energia da sequência transformada é igual a da original, caracterizando uma transformada ortonormal.
2 2 ( 2 2 ) 2 1 2 3 2 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 50
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Transformada Karhunen-Loéve
As linhas da transformada discreta KLT consiste nos autovetores da matriz de autocorrelação da sequência.
A matriz de autocorrelação para um processo randômico X é dada por: [ ]
ij
n
A matriz construída desta forma reduz a variância dos coeficientes da transformada. Resultando na Transformada Ótima do ponto de vista de compactação da energia.
Transformada dependente do sinal: Grande informação Lateral TE073 – Processamento Digital de Sinais II 51
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Transformada Karhunen-Loéve
Ex: KLT tamanho 2 A matriz de autocorrelação de tamanho 2 é:
R
R xx R xx
( 0 ) ( 1 ) Resolvendo a equação
R xx R xx
( 1 ) ( 0 )
I
R
0 Temos os autovalores 1 2
R xx
( 0 )
R xx
( 0 )
R xx
( 1 )
R xx
( 1 ) TE073 – Processamento Digital de Sinais II 52
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Transformada Karhunen-Loéve
Os autovetores associados são
V
1
V
2 Impondo as condições de ortonormalidade 1 2 A matriz da transformada é
K
1 2 1 1 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 1 1 53
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Discrete Cosine Transform (DCT)
Tem este nome porque a matriz de transformada é obtida em função do cosseno, segundo a regra: 1
N
2
N
cos (2
j
1)
i
2
N
cos (2
j
1)
i
2
N i
0,
j
0...
N
1
i
1...
N
1,
j
0...
N
1 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 54
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Funções base da DCT: TE073 – Processamento Digital de Sinais II 55
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Parecida com a DFT porém a DCT é melhor para efeitos de compactação A DFT considera que a seqüência é periódica de período N, introduzindo descontinuidades no final da seqüência, interferindo nas altas frequências.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 56
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica A DCT duplica a seqüência N porém em espelho, não gerando descontinuidades e gerando periodicidade na seqüência 2N.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 57
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Discrete Sine Transform (DST)
A DCT obtém performance tendendo a KLT para coeficientes de correlação altos e a DST para valores baixos de correlação.
É utilizada de forma complementar a DCT em aplicações de áudio e image
ij
N
2 1 sin (
i
N
1 )( 1
j
1 )
i
,
j
0 ,...
N
1 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 58
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Discrete Walsh-Hadamard Transform (DWHT) Baixa complexidade computacional Não tão eficiente quanto a DCT Matrizes de Hadamard DWHT: Ortonormal
H
2
N
H H N N H N
H N
logo:
H
1 1 1
H
2 1 1 2 1 1 1
H
4 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 59
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Quantização dos Coeficientes
Cada coeficiente possui uma quantidade de informação diferente, logo alocar diferentes números de bits para quantizar escalarmente cada coeficiente.
Duas
approaches
: Alocar o número de bits baseado em estatísticas dos coeficientes (variância). Coeficiente com > variância recebe mais bits.
Classificar várias matrizes de quantização de acordo com características do sinal de entrada.
Quantizar vetorialmente o bloco de transformada: Medida da distância ponderada pela variância dos coeficientes.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 60
Codificação por Subbandas
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Introdução
Do que vamos tratar?
Uma descrição geral de sistemas de codificação subbandas.
Uma descrição de uma aproximação popular de alocação de bit.
Aplicações de compressão de áudio e vídeo.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 62
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Introdução
Nós vimos: Quantização Vetorial Quantização Escalar Codificação Diferencial Porém, existem fontes que combinam várias características e é difícil determinar qual tipo de codificação utilizar.
Codificação por Transformada = decompõe o sinal em uma estrutura (bloco) artificial, gerando efeitos indesejáveis de blocagem ( Lapped Orthogonal Transform (LOT) - Malvar 92 ) TE073 – Processamento Digital de Sinais II 63
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Decompor o sinal em diferentes partes sem uma imposição de estrutura.
Usar a técnica de codificação que mais se adeque a cada parte.
Adequar a alocação de bits de acordo com características da percepção humana TE073 – Processamento Digital de Sinais II 64
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Fazendo:
y n
Filtragem PB
x n
2
x n
1
z n
x n
y n
x n
x n
x n
1 2 Filtragem PA
x n
x n
1 2 Desta forma a seqüência {y n } e {z n } podem ser codificadas independentemente, usando o esquema de compressão que é mais adequado para cada seqüência.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 65
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Exemplo:
Suponha que quiséssemos codificar a seqüência: x n = {10, 14, 10, 12, 14, 8, 14, 12, 10, 8, 10, 12} Utilizando DPCM: x n –x n-1 = {10, 4, -4, 2, 2, -6, 6, -2, -2, -2, 2, 2} Então utilizaremos M=2 m níveis de quantização, Faixa dinâmica [-6,6] e o intervalo de quantização (delta) será: 12
M
e o erro máximo de quantização: 2 6
M
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 66
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Vamos gerar então duas novas seqüências {y n } e {z n }: x n =y n +z n Então para y n temos: {10, 12, 12, 11, 13, 11, 11, 13, 11, 10, 9, 11} A sequência y n é mais suave que x n .
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 67
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Considerando a seqüência das diferenças de y n : {10, 2, 0, -1, 2, -2, 0, 2, -2, -1, -1, 2} Note que a faixa dinâmica reduziu de [-6,6] para [-2,2] TE073 – Processamento Digital de Sinais II 68
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Notamos que o passo de quantização agora é 4/M e portanto o máximo erro de quantização será 2/M.
No entanto precisamos ainda transmitir z n {0, 2, -2, 1, 1, -3, 3, -1, -1, -1, 1, 1} Faixa dinâmica: 6, metade da faixa de {x máximo de quantização de 3/M.
n }.
Precisamos apenas 6/M níveis. Dando um erro Erro de quantização total = 5/M TE073 – Processamento Digital de Sinais II 69
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Então: Para um mesmo número de bits teremos menos erro!
PORÉM Teremos o dobro da taxa de bits! Pois temos o dobro do número de amostras a quantizar e transmitir.
Como evitar?
Transmitindo apenas os número pares.
z y
2
n
2
n
x
2
n
2
x
2
n
1
x
2
n
2
x
2
n
1 Na reconstrução:
y
2
n y
2
n
z
2
n
z
2
n
x
2
n
x
2
n
1 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 70
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Exemplo – (Conclusão)
Decompondo a seqüência {x valores a serem transmitidos.
n } em subseqüência, não resulta num incremento dos As duas subsequencias são distintas e podem ser codificadas diferentemente.
Nós podemos usar a mesma aproximação na decomposição das duas seqüências.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 71
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Então:
z y n n
x n
x n
2
x n
1 2
x n
1 Podemos implementar estas operações usando filtros discretos.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 72
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Filtros
Magnitude da Função de Transferência – relação da magnitude da entrada e saída do filtro em função da freqüência.
Filtro Ideal x Filtro Real TE073 – Processamento Digital de Sinais II 73
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Filtros
Critério de Nyquist : f a = 2.f
o Sinais Passa-Banda: f a =2.B
Aliasing
.
Forma geral da relação de entrada-saída de um filtro: FIR IIR
y n
i N
0
a x i
i M
1
b y i
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 74
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Alguns Filtros Usados na Codificação Subbanda Filtros QMF ( Quadrature Mirror Filter ) – PR ( Perfect Reconstruction Filtros Espelhados em Quadratura de Reconstrução Perfeita ) Propriedades do Filtro QMF - Johnston: Passa baixa -> {h n } Passa alta -> {(-1) n .h
N-1-n } O filtro é simétrico ou seja: h N-1-n = h n n=0,1,...,N/2 -1 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 75
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Passa Passa
Baixas Altas
h n n h N n
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 76
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II 77
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Filtro Johnston Filtro Smith-Barnwell A freqüência de corte do filtro smith barnwell é bem melhor definida do que a freq. do filtro de Johnston.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 78
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Algoritmo de Codificação Subbanda
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 79
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Quantização e Codificação
Alocação de bits entre as subbandas.
Cada subbanda possui uma quantidade diferente de informação.
Exemplo: Forma de alocar 4 bits em 4 subbandas.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 80
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Síntese
Upsampling – insere zeros – filtragem pelos filtros de reconstrução- Soma das componentes 3 maiores componentes do sistema: análise e síntese de filtros; esquema de alocação de bits; esquema de codificação.
Separação em bandas ->Possibilidade de formas inovadora para o uso dos algoritmos de compressão.
Percepção humana (audio e visual) depende da frequência, logo podemos alocar melhor os bits.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 81
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Design de Bancos de Filtros
Vamos analisar: downsampling upsamplig síntese de operação TE073 – Processamento Digital de Sinais II 82
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Design de Bancos de Filtros
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 83
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Design de Bancos de Filtros
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 84
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Dowsampling e Upsampling
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 85
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Dowsampling e Upsampling
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 86
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Reconstrução Perfeita Usando Bancos de Filtros de 2 Canais
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 87
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Filtros de QMF-PR de dois canais.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 88
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Filtros FIR Fortemente Simétricos
Neste método o aliasing, distorção de amplitude e fase podem ser completamente eliminados.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 89
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Banco de Filtros QMF com M-Bandas
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 90
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Banco de Filtros QMF com M-Bandas
Somente utilizá-los é do filtro é boa.
viável quando a característica espectral Quando o número de estágios entre as aumentam ocorre a sobreposição bandas e consequentemente aliasing.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 91
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Banco de Filtros QMF com M-Bandas
o conjunto de filtros pode ser substituído por apenas um filtro e em seguida ser feito a redução das amostras.
A
(
z
)
H L
(
z
).
H L
(
z
2 ).
H L
(
z
4 ) TE073 – Processamento Digital de Sinais II 92
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Alocação de Bits
Quanto recurso de codificação deve ser usado para codificar a saída de cada filtro sintetizado. Em outras palavras, precisamos alocar os bits entre as subbandas.
Suponhamos um sistema dividido em M subbandas onde a média de bits por amostra é conhecida, então:
R
1
M k M
1
R k
Desejamos encontra R k seja mínimo.
tal que R seja minimizado e o erro de reconstrução Onde na curva de distorção eu devo operar para que eu possa minimizar a distorção média?
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 93
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Alocação de Bits
Yaacov Shoham e Allen Gersho (1988)
J k
D k
.
R k
Como deve ser o valor de λ e como ele deve variar entre as subbandas?
Deve-se buscar o lambda que melhor cumpra os requerimentos do seu problema.
Mesmo lambda para todas as subbandas TE073 – Processamento Digital de Sinais II 94
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica
Alocação de Bits
Normalmente não temos a curva de taxa de distorção.
Caso o número de amostras em cada subbanda é o mesmo.
Do contrário: É dado peso para cada subbanda, então:
J k
D k
.
k R k J
De forma geral:
k
w k D k
.
k R k
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 95
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Aplicação para Codificação de Voz – G.722
Padrão da ITU para codificação em bandalarga.
Codificação de alta qualidade à 64kbps (56kbps e 48kbps).
Processo: Saída de áudio passa por um filtro de 7kHz para prevenir aliasing em seguida é amostrada em 16.000 amostras/s.
Cada amostra é quantizada com 14bits/amostra através de uma quantizador uniforme.
As amostras são passadas em um banco de filtros (2 filtros FIR) de 24 coeficientes cada. TE073 – Processamento Digital de Sinais II 96
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Aplicação para Codificação de Voz – G.722
P.B -> freqüências menores que 4kHz. P.A. outras.
A saída do filtro é decimada por um fator de 2.
A sequencia decimada é codificada utilizando ADPCM.
O sistema ADPCM usa 6 bits/amostra para o filtro P.B. e 2 bits/amostra para o P.A.
O sistema portanto possui:
Tx
( 6 [
bits
] 2 [
bits
]).
8
k
[
amostras
/
s
] 64
kbps
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 97
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Aplicação para Codificação de Áudio – MPEG Áudio
Esquema de codificação de áudio proposto pelo MPEG.
Atualmente já propôs 3 esquemas de codificação: Layer 1, Layer 2 e Layer 3 – Todos com back compatibility (decoder layer N pode decodificar os anteriores).
Layers 1 e 2 – Banco de 32 filtros, dividindo a entrada em 32 bandas, cada um com uma banda de fs/64.
f s permitidas são: 32k, 44,1k e 48k amostras/s.
A saída é quantizada utilizando um quantizador uniforme com um número variado de bits. Número de bits é determinado pelo modelo psicoacústico.
Sinal de amplitude alta em uma freq. afeta a audibilidade do sinal em outra freq., então podemos tolerar mais erros de quantização nas bandas vizinhas e usar poucos bits.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 98
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Aplicações na Compressão de Imagens.
O que fazer quando temos seqüências de dados bidimensionais?
Utilizar filtros bidimensionais, ou seja, que separem a saída da fonte em componentes baseadas nas freq. verticais e horizontais.
Normalmente implementado em 2 x 1 dimensional. Chamados filtros “separáveis”.
Filtros bidimensionais não-separáveis são extremamente complexos.
Geralmente a imagem é filtrada linha a linha utilizando filtros P.A. e P.B.
A saída do filtro é decimada por um fator de 2.
O mesmo é feito com as colunas.
Resultando numa imagem N/2 x N/2.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 99
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II 100
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II 101
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II 102
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II 103
Codificação baseada em
wavelets
104
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INTRODUÇÃO
Por que wavelets ?
Transformada de Fourier Apenas resolução na freqüência, sem resolução no tempo.
Função temporal f(t) resolução na freqüência.
Apenas resolução no tempo, sem Problema com a STFT ( Largura fixa da janela Short-Term Fourier Transform ) TE073 – Processamento Digital de Sinais II 105
STFT
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WAVELETS
TE073 – Processamento Digital de Sinais II
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Representação de função em termos de
wavelets
localização no tempo e na freqüência alta resolução em freqüência em baixas freqüências (janela de tempo maior) alta resolução no tempo em altas freqüências (janela de tempo menor) TE073 – Processamento Digital de Sinais II 107
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Itens:
construção de
wavelets
; descrição de como obter uma decomposição de um sinal utilizando análise em multiresolução; descrição de alguns esquemas populares para compressão de imagens TE073 – Processamento Digital de Sinais II 108
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Transformada wavelet contínua
w s
,
s
, (
t
),
f
(
t
)
f
(
t
)
s
, (
t
)
dt
s = variável escala = variável translação
Transformada wavelet inversa:
f
(
t
)
w
(
s
, )
s
,
d
ds
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 109
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As wavelets são geradas a partir de uma única wavelet básica (wavelet mãe),
(t), através de translações e escalamentos:
s
, (
t
) 1
s s
s = fator de escala = fator de translação
s
= normalização de energia As funções base wavelets não são especificadas. Esta é uma diferença entre a transformada outras transformadas wavelet e TE073 – Processamento Digital de Sinais II 110
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Propriedades de wavelets
Condição de admissibilidade ( ) 2
d
Pode ser utilizada para analisar e reconstruir um sinal sem perda de informação.
Implica que: Wavelets têm espectro de potência passa-faixa ( ) 2 0 0 O valor médio da que ser oscilatória).
wavelet no domínio do tempo é zero (tem (
t
)
dt
0 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 111
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica •
Condição de regularidade
• A função wavelet deve ser suave • diminuir rapidamente com a escala s • ter concentração nos domínios do tempo e da freqüência.
• Exemplo de
wavelet
mãe Wavelet de Haar: (
t
) 1 0 1 0,5 t t 1 0,5 TE073 – Processamento Digital de Sinais II 112
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Wavelets discretas
As versões discretas dos parâmetros de escala e de translação devem estar relacionadas entre si: se a escala é tal que as funções de base são estreitas, o passo de translação deve ser pequeno, e vice-versa.
Selecionaremos s e da seguinte maneira:
s
0
j
0 0
j
Portanto:
j
,
k
(
t
)
s
0
j
/ 2 (
s
0
j t
k
0 )
j
,
k
Z
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 113
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica • Normalmente, escolhemos s 0 =2, de tal maneira que a amostragem do eixo da freqüência seja diádica.
• Escolhemos o fator de translação como seja diádica.
0 =1, de modo que a amostragem no eixo do tempo também
j
,
k
(
t
) 2
j
/ 2 ( 2
j t
k
) Os coeficientes wavelet são dados por:
w j
,
k
f
(
t
),
j
,
k
(
t
) A função f(t) coeficientes pode ser reconstruída a partir dos wavelet :
f
(
t
)
j k w j
,
k
j
,
k
(
t
) TE073 – Processamento Digital de Sinais II 114
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Filtro passa-faixa
É necessário um número infinito de escalamentos e translações para calcular a transformada wavelet.
As translações das wavelets são limitadas superiormente pela duração do sinal em questão. Quantas escalas precisamos para analisar o sinal? Como conseguimos uma fronteira inferior?
A wavelet tem um espectro de freqüências passa faixa. Sabemos que a compressão no tempo equivale ao alargamento do espectro e a um deslocamento para frente.
F
f
| 1
a
|
F
a
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 115
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica • Isso significa que uma compressão no tempo por um fator 2 alargará o espectro da wavelet e deslocará todos os componentes de freqüência por um fator 2.
• Podemos, então, cobrir o espectro finito do sinal com os espectros de que cobrimos o sinal no domínio do tempo com wavelets wavelets transladadas dilatadas, da mesma forma TE073 – Processamento Digital de Sinais II 116
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica • Logo, se uma wavelet pode ser vista como um filtro passa-faixa, uma série de wavelets dilatadas pode ser vista como um banco de filtros passa-faixas.
• A razão entre a freqüência central de um espectro de wavelet as e a largura deste espectro é a mesma para todas wavelets .
• Esta razão é normalmente chamada fator de fidelidade Q de um filtro. No caso das wavelets , temos, então, um banco de filtros com fator Q constante.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 117
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Função de escalamento
Como cobrir o espectro até a freqüência zero?
Neste caso, seria necessário um número infinito de wavelets .
Solução: Utilizar uma espécie de “rolha” para tapar o buraco, quando ele for suficientemente pequeno: um espectro passa-baixas, que pertence à função de escalamento.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 118
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Podemos considerar a função de escalamento como um sinal com um espectro passa-baixas. Desta forma, podemos decompô-lo em componentes wavelet : (
t
)
j
k
,
w j
,
k
j
,
k
(
t
) A expressão acima utiliza um número infinito de determinada escala j.
wavelets até uma Se analisarmos um sinal utilizando uma combinação de função de escalamento e wavelets, a função de escalamento cobre o espectro até a escala j, enquanto o restante do espectro é coberto por wavelets.
Se uma função de escalamento é um filtro passa-baixas, então (uma série de wavelets wavelet pode ser vista como um filtro passa-faixa e uma dilatadas + uma função de escalamento) pode ser vista como um banco de filtros.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 119
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica
Codificação sub-banda
Transformada
wavelet
banco de filtros Transformada de um sinal pode ser feita passando o sinal através deste banco de filtros.
As saídas dos diferentes estágios de filtros são os coeficientes das funções
wavelet
e escalamento.
Codificação sub-banda Análise de um sinal através de sua passagem por um banco de filtros.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 120
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica • Dividimos o espectro do sinal em duas partes iguais: uma passa-baixas e outra passa-altas.
• A parte passa-altas contém os detalhes menores nos quais estamos interessados e podemos parar aqui.
• Agora há duas faixas. Apesar disso, a parte passa-baixas ainda contém alguns detalhes e podemos dividi-la novamente.
• E novamente, até estarmos satisfeitos com o número de faixas de freqüência criadas.
• Desta maneira, construímos o banco de filtros.
Vantagem – Temos que projetar apenas dois filtros.
Desvantagem – A cobertura do espectro do sinal é fixa. TE073 – Processamento Digital de Sinais II 121
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Banco de filtros dividindo o espectro de freqüências do sinal TE073 – Processamento Digital de Sinais II 122
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Observamos, na figura anterior, que, após a repetida divisão do espectro de freqüências, temos uma série de bandas passa-faixa com duplicação da largura de faixa e uma banda passa-baixas.
Isto é o mesmo que aplicar a transformada wavelet ao sinal.
As
wavelets
nos dão as bandas passa-faixa, com duplicação da largura de faixa, e a função de escala fornece a banda passa-baixa.
A partir disso, conclui-se que a transformada Q constante.
wavelet é equivalente ao esquema de codificação sub-banda, utilizando um banco de filtros com Logo, se implementarmos a transformada wavelet filtros iterado, não é necessário especificar as como um banco de wavelets explicitamente.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 123
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica
Transformada wavelet discreta
Em aplicações práticas (como compressão de imagens), o sinal de interesse é amostrado.
É necessário, portanto, que a transformada
wavelet
seja também discreta.
As
wavelets
discretas não são discretas no tempo (somente os passos de translação e de escala são discretos).
Intuitivamente, deve-se implementar o banco de filtros como um banco de filtros digitais TE073 – Processamento Digital de Sinais II 124
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Se adicionarmos um espectro de vezes mais larga que a primeira.
wavelet ao espectro de função de escala, teremos uma nova função de escala, duas Podemos, então, expressar a primeira função de escala em termos da segunda. Formulação de multiresolução ou relação entre duas escalas: ( 2
j t
)
h j
1 (
k
) ( 2
j
1
t
k
) (*)
k
Podemos expressar,também, as anterior: wavelets nesta escala em termos das funções de escala transladadas da escala ( 2
j t
)
k g j
1 (
k
) ( 2
j
1
t
k
) (**) TE073 – Processamento Digital de Sinais II 125
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Uma vez que o sinal f(t) pode ser expresso em termos de wavelets dilatadas e transladadas até uma escala j-1, f(t) pode ser expressa em termos de funções de escala dilatadas e transladadas em uma escala j:
f
(
t
)
k
j
(
k
) ( 2
j t
k
) Se utilizarmos uma escala de j-1, temos que adicionar wavelets , a fim de que tenhamos o mesmo nível de detalhes:
f
(
t
)
k
j
1 (
k
) ( 2
j
1
t
k
)
k w j
1 (
k
) ( 2
j
1
t
k
) TE073 – Processamento Digital de Sinais II 126
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica (
t
j
1
w j
1 são encontrados a partir dos produtos internos: (
k
)
j
,
k
(
t
)
j
1 (
k
)
f
(
t
),
j
,
k
(
t
)
w j
1 (
k
)
f
(
t
),
j
,
k
(
t
) (
t
j
,
k
(
t
) versões escaladas e transladadas de (*) e (**) e manipular um bit, levando em consideração que o produto interno também pode ser escrito como integração, chegamos a:
j
1 (
k
)
w j
1 (
k
)
m
m h
(
m g
(
m
2
k
2
k
) )
w j j
(
m
) (
m
) TE073 – Processamento Digital de Sinais II 127
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica • h(k) Filtro passa-baixas Filtro de escalamento • g(k) Filtro passa-altas Filtro wavelet • É possível implementar a transformada filtros digitais.
wavelet como um banco de • Os filtros de escalamento e wavelet têm um passo de 2 na variável k. Portanto, o número de amostras do estágio seguinte é metade do número de amostras do estágio atual.
• Normalmente, as iterações param quando o número de amostras é menor que o tamanho do filtro de escalamento ou do filtro wavelet .
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 128
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Compressão de imagens
Uma das aplicações mais populares de compressão de imagens.
wavelets O padrão JPEG 2000 utiliza wavelets fazer a decomposição da imagem.
é na ao invés de DCT para Na discussão anterior, sempre nos referimos a um sinal unidimensional. Imagens, porém, são sinais bidimensionais.
Há duas maneiras de se fazer decomposição sub-banda de um sinal bidimensional: utilizando filtros bidimensionais ou transformadas separadas, que podem ser implementadas usando filtros unidimensionais primeiro nas linhas e depois nas colunas (como o JPEG 2000) TE073 – Processamento Digital de Sinais II 129
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Começamos com uma imagem N X M. Filtramos cada coluna e sub-amostramos, obtendo duas imagens N X M/2. Então filtramos cada coluna e sub-amostramos as saídas dos filtros, obtendo 4 imagens N/2 X M/2.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 130
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TRANSFORMADA WAVELET DIRETA
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 131
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica
TRANSFORMADA WAVELET INVERSA
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 132
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Exemplo: Utilizando o filtro 4-tap Daubechies (Decomposição de primeiro nível) TE073 – Processamento Digital de Sinais II 133
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Imagem de Sinan codificada com 0,5 bits/pixel, utilizando o filtro 8-tap Johnson (codificação sub-banda) Imagem de Sinan codificada com 0,5 bits/pixel, utilizando o filtro wavelet 4-tap Daubechies TE073 – Processamento Digital de Sinais II 134
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Uma das decomposições mais populares é a (a). Após cada decomposição, a imagem LL é decomposta em mais 4 sub-imagens, resultando em 10 sub-imagens (organização de Mallat).
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 135
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ORGANIZAÇÃO DE MALLAT
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 136
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EXEMPLO DE ORGANIZAÇÃO DE MALLAT
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 137
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SISTEMA DE COMPRESSÃO WAVELET BÁSICO
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 138
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Embedded Zerotree Wavelet (EZW) Coder
• Uma característica particular utilizada pelo EZW é que há coeficientes de wavelets em diferentes sub-bandas que representam a mesma localização espacial na imagem.
• Se a decomposição é tal que os tamanhos das sub bandas são diferentes (caso da organização de Mallat), um único coeficiente na sub-banda menor pode representar a mesma localização espacial que múltiplos coeficientes nas outras sub-bandas.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 139
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica a – raiz da árvore com descendentes – a1, a2, a3 a1 – tem descendentes a11, a12, a13, a14 a2 a21, a22, a23, a24 a3 a31, a32, a33, a34 Cada um desses coeficientes tem 4 descendentes – total de 64 coeficientes nesta árvore.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 140
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica TE073 – Processamento Digital de Sinais II 141
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Limiar T 0 – Freqüentemente, um coeficiente tem magnitude menor que um determinado limiar, e todos os seus descendentes também são menores que T 0.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 142
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica Se determinarmos que todos os coeficientes partindo de uma determinada raiz têm magnitudes menores que T 0 e informarmos o decodificador, então necessitamos apenas de 2 bits por amostra para este ramo da árvore.
Na figura anterior, o primeiro bit é o bit de sinal e o segundo bit é o bit mais significativo da magnitude. A informação de que um conjunto de coeficientes tem valor menor que T 0 equivale a dizer que o bit mais significativo é 0.
Se há N coeficientes na árvore, isto poupará N bits. TE073 – Processamento Digital de Sinais II 143
Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Elétrica
JPEG 2000
O padrão atual JPEG tem excelente performance em taxas acima de 0,25 bits/pixel. Apesar disso, em pequenas taxas, há uma grande degradação na qualidade da imagem reconstruída. O padrão JPEG-2000 é baseado na transformada wavelet discreta, utilizando Daubechies.
wavelets biortogonais de O padrão JPEG-2000 também utiliza modos recentes de quantização escalar, modelamento no contexto e codificação aritmética.
TE073 – Processamento Digital de Sinais II 144