Transcript PPT - Tampereen yliopisto

Luento 2: Tilastollisen tutkimuksen
peruskäsitteet ja menetelmät
Petri Nokelainen
[email protected]
http://www.uta.fi/~petri.nokelainen
Kasvatustieteiden yksikkö
Tampereen yliopisto
Sisältö
1.
Tilastollisia käsitteitä
1.1
1.2
1.3
1.4
2.
Sijaintiluvut
Hajontaluvut
Todennäköisyysjakaumat
Hypoteesien testaaminen
Tilastollisten analyysimenetelmien
päätyypit
2.1
2.2
2.3
2.4
Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Ryhmäjäsenyyden ennustaminen
Muuttujarakenteen mallintaminen
Tilastollisia käsitteitä
1.1 Sijaintiluvut
• Mediaani
– Järjestettyjen arvojen
keskimmäisin arvo (n+1)/2
• Moodi
– Tyypillisin arvo, esiintyy
useimmin
– Multimodaalinen
Tilastollisia käsitteitä
1.1 Sijaintiluvut
• Keskiarvo (k.a., M)
– Generalized mean
• k = 1 aritmeettinen keskiarvo
• k = -1 harmoninen keskiarvo
• k -> 0 geometrinen keskiarvo
Tilastollisia käsitteitä
1.1 Sijaintiluvut
Tilastollisia käsitteitä
1.1 Sijaintiluvut
Tilastollisia käsitteitä
1.1 Sijaintiluvut
(FSD, http://www.fsd.uta.fi/menetelmaopetus/keskiluvut/keskiluvut.html.)
Tilastollisia käsitteitä
1.1 Sijaintiluvut
•
10
Tynnyrikuvaaja (Boxplot)
9
– Laatikon ääripäät kuvaavat
8
kvartiileja (quartiles)
7
• Ensimmäinen kvartiili on mediaania
pienempien arvojen mediaani, toinen 6
kvartiili on itse mediaani ja kolmas
5
kvartiili on mediaania korkeampien
arvojen mediaani.
4
– Mediaani on merkitty laatikon
3
keskellä kulkevalla viivalla
2
– Laatikon ulkopuolella olevat
1
viivat (whiskers) kuvaavat
pienintä ja suurinta havaintoa.
Sisältö
1.
Tilastollisia käsitteitä
1.1
1.2
1.3
1.4
2.
Sijaintiluvut
Hajontaluvut
Todennäköisyysjakaumat
Hypoteesien testaaminen
Tilastollisten analyysimenetelmien
päätyypit
2.1
2.2
2.3
2.4
Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Ryhmäjäsenyyden ennustaminen
Muuttujarakenteen mallintaminen
Tilastollisia käsitteitä
1.2 Hajontaluvut
Tilastollisia käsitteitä
1.2 Hajontaluvut
• Keskihajonta s (k.h., SD, standard
deviation)
– Varianssin s2 neliöjuuri:
– Edellyttää välimatka-asteikollista muuttujaa.
– Kuvaa havaintojen keskimääräistä etäisyyttä
keskiarvosta.
– Keskihajonta säilyttää alkuperäisen mitta-asteikon
tulkinnassa.
Tilastollisia käsitteitä
1.2 Hajontaluvut
Tilastollisia käsitteitä
1.2 Hajontaluvut
(FSD, http://www.fsd.uta.fi/menetelmaopetus/hajontaluvut/hajontaluvut.html.)
Tilastollisia käsitteitä
1.2 Hajontaluvut
• Normaalijakauman oletukseen
perustuvissa testeissä on
syytä tarkastella
otosjakauman
symmetrisyyttä.
– Vinous g1 (skewness) kuvaa
jakauman vaakapoikkeamaa
g1: oikealle ja vasemmalle
vinot jakaumat
oikealle tai vasemmalle
verrattuna normaalijakaumaan.
– Huipukkuus g2 (kurtosis) kuvaa
jakauman huipun muotoa.
g : huipukas ja tasainen
2
jakauma
Esimerkki vasemmalle vinosta (negatiivisesta) ja huipukkaasta vastausjakaumasta
234 vastaajaa ovat käyttäneet kaikkia 7-portaisen vastausasteikon
vastausvaihtoehtoja. Keskiarvon keskivirheen (n =  /√n = 1.253/ √234 ≈ .082)
avulla voidaan arvioida 95% luottamusväli annetuille vastauksille: 5.28 - 5.60 (5.44
± 1.96*.082). Kaksi kertaa keskivirhettä (.159) suuremman ja itseisarvoltaan 1
lähestyvän skewness (g1) arvon (-.956) perusteella voidaan päätellä että
vastausjakauma on vasemmalle vino (”negatiivinen”). Kurtosis (g2) saa positiivisen,
kaksi kertaa keskivirhettään (.317) suuremman arvon (.923), joten jakauman
voidaan todeta olevan huipukas.
Esimerkki normaalista vastausjakaumasta
234 vastaajaa ovat käyttäneet kaikkia 5-portaisen vastausasteikon
vastausvaihtoehtoja. Keskiarvon keskivirheen (n =  /√n = 1.099/ √234 ≈ .072)
avulla voidaan arvioida 95% luottamusväli annetuille vastauksille: 3.03 – 3.31 (3.17
± 1.96*.072). Jakauma muistuttaa vaakavinoumaltaan normaalijakaumaa, koska
skewness arvo (-.122) on pienempi kuin sen keskivirhe (.160). Jakauma on
muodoltaan hieman tasainen, koska kurtosis saa negatiivisen arvon (-.578), mutta ei
poikkea normaalista koska tuo arvo jaettuna sen keskivirheellä (.320) on pienempi
kuin kaksi (-.578/.320 = 1.81).
Sisältö
1.
Tilastollisia käsitteitä
1.1
1.2
1.3
1.4
2.
Sijaintiluvut
Hajontaluvut
Todennäköisyysjakaumat
Hypoteesien testaaminen
Tilastollisten analyysimenetelmien
päätyypit
2.1
2.2
2.3
2.4
Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Ryhmäjäsenyyden ennustaminen
Muuttujarakenteen mallintaminen
Tilastollisia käsitteitä
1.3 Todennäköisyysjakaumat
• Empiiriset frekvenssijakaumat kuvaavat
havaittujen mittaustulosten jakautumista.
– Diskreeteille muuttujille pylväsdiagrammi
tai viivadiagrammi.
Tilastollisia käsitteitä
1.3 Todennäköisyysjakaumat
• Empiiriset frekvenssijakaumat kuvaavat
havaittujen mittaustulosten jakautumista.
– Jatkuville muuttujille histogrammi
tai tynnyrikaavio (boxplot, laatikko-jana).
Tilastollisia käsitteitä
1.3 Todennäköisyysjakaumat
• Tilastolliset todennäköisyysjakaumat ovat
matemaattisia malleja ilmiöiden
esiintymistodennäköisyyksistä, ts. empiirisesti
havaittuja ilmiöitä voidaan kuvata
matemaattisten mallien avulla.
• Lähes kaikki tilastolliset testit perustuvat
erilaisten todennäköisyysjakaumien käyttöön.
• Diskreettejä jakaumia: binomijakauma, Poisson
–jakauma.
• Jatkuvia jakaumia: Normaalijakauma, Studentin
t-jakauma, 2 –jakauma, F –jakauma.
Tilastollisia käsitteitä
1.3 Todennäköisyysjakaumat
Normaalijakauma

Populaatio


Otos
s
x
Hajonta
Odotusarvo

Tilastollisessa päättelyssä yleisimmin
käytetty jakauma (ns. Gaussin käyrä).
Odotusarvo () ja hajonta () määrittävät
jakauman muodon.


Tilastollisia käsitteitä
1.3 Todennäköisyysjakaumat
2.3%
-3
–2
2.3%
-1
0
1
2
3
Standardoidun normaalijakauman odotusarvo on 0 ja
keskihajonta 1.
X-akselin mittayksikkönä on keskihajonta, joten voimme esim.
päätellä että 68.2% havainnoista on +/- yhden keskihajonnan
mitan päässä keskiarvosta.
Tilastollisia käsitteitä
1.3 Todennäköisyysjakaumat
2.3%
-3
–2
2.3%
-1
0
1
2
3
WAIS-R –testillä mitattujen älykkyysosamäärien keskiarvo
Suomessa on 100 ja keskihajonta 15. Älykkyys on normaalisti
jakautunut ominaisuus, joten testipistemäärien jakauma
noudattelee normaalijakaumaan parametrein  = 100 ja  = 15.
Saat MENSAn järjestämästä testistä pistemääräksesi 131 – miten
menee?!
Tilastollisia käsitteitä
1.3 Todennäköisyysjakaumat
2.3%
-3
z
–2
X 

2.3%
-1
0
1
2
3
131  100

 2.06
15
Älykkyysosamäärä 131 sijaitsee yli kahden keskihajonnan mitan
päässä keskiarvosta. Vain 2.3 prosenttia ihmisistä saa vastaavia
tai korkeampia älykkyysosamääräpisteitä.
Sisältö
1.
Tilastollisia käsitteitä
1.1
1.2
1.3
1.4
2.
Sijaintiluvut
Hajontaluvut
Todennäköisyysjakaumat
Hypoteesien testaaminen
Tilastollisten analyysimenetelmien
päätyypit
2.1
2.2
2.3
2.4
Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Ryhmäjäsenyyden ennustaminen
Muuttujarakenteen mallintaminen
1.4 Hypoteesien testaaminen
• Hypoteesi sisältää tutkijan ”valistuneen
arvauksen” aineiston
tutkimuskysymykseen antamasta
vastauksesta.
• Hypoteesin testaamisen avulla
arvioidaan, voidaanko otoksen
perusteella tehdä populaatiota koskevia
luotettavia päätelmiä.
1.4 Hypoteesien testaaminen
• Nollahypoteesi (H0) tarkoittaa sitä, että
aineiston antama tulos ei esiinny
populaatiossa, se on syntynyt esim.
epäedustavan otoksen vaikutuksesta.
• Vastahypoteesi (H1), tai vaihtoehtoinen
hypoteesi, olettaa päinvastaista:
Aineistossa esiintynyt ilmiö on
löydettävissä myös populaatiosta.
1.4 Hypoteesien testaaminen
• Otannalla on suuri merkitys tilastollisen
tutkimuksen tulosten yleistettävyydelle:
otos määrittelee sen populaation johon
tulokset voidaan yleistää.
– Mihin populaatioon yliopisto-opiskelijoiden silmien
väriä koskevat tulokset voidaan yleistää?
– Entäpä jos tutkitaan loogista ajattelua?
1.4 Hypoteesien testaaminen
• Tutkimuskysymyksissä esitettyjä
hypoteeseja testataan aineistosta
tilastollisten testien avulla.
• Testit laskevat todennäköisyyden (ns.
”p-arvo”) aineistolle jos nollahypoteesi
pitää paikkansa: P(D|H0).
• P-arvot vaihtelevat välillä
0 = epätosi .. 1 = tosi.
1.4 Hypoteesien testaaminen
• Nollahypoteesin hylkäämistä silloin kun
se oikeasti pitääkin paikkansa
kutsutaan tyypin yksi virheeksi (Type I
error, ).
• Nollahypoteesin virheellinen
hyväksyminen johtaa tyypin kaksi
virheeseen (Type II error, ).
1.4 Hypoteesien testaaminen
• P-arvoille on asetettu yleisiä raja-arvoja
(kriittinen  -arvo), joita käytetään
apuvälineinä tulkittaessa
tutkimuslöydösten tilastollista
merkitsevyyttä:
p < .05 tilastollisesti melkein merkitsevä
Tämä on yleisin merkitsevyysraja (5%).
p < .01 tilastollisesti merkitsevä
p < .001 tilastollisesti erittäin merkitsevä.
1.4 Hypoteesien testaaminen
• Esim. jos t-testi tuottaa tulokseksi t(49)=3.4,
p=.04, voidaan todeta että on olemassa vain
neljän prosentin todennäköisyys saada
vastaavan suuruinen ero kahden verrattavan
ryhmän välille, jos otos edustaa populaatiota
jossa nollahypoteesi on tosi.
• Vaikka kahden ryhmän välinen ero on
tilastollisesti merkitsevä, se ei automaattisesti
tarkoita tieteellisessä mielessä merkityksellistä
eroa.
1.4 Hypoteesien testaaminen
• Hypoteesintestaukseen liittyy kaksi
virhetyyppiä:
– Tyypin I virhe (Type I error,  error)
• Oikeasti paikkansa pitävä H0 hylätään ja H1 astuu
virheellisesti voimaan.
• Löydetään tutkimustulos jota ei oikeasti ole olemassakaan.
– Tyypin II virhe (Type II error,  error)
• Oikeasti paikkansa pitävä H1 hylätään ja H0 jää
virheellisesti voimaan.
• Tämä on ns. ”nollatutkimusta” josta usein puuttuu voima
(power), mutta ei hätää – myöhempi tutkimus kyllä
ennemmin tai myöhemmin löytää asioiden oikean laidan!
Sisältö
1.
Tilastollisia käsitteitä
1.1
1.2
1.3
1.4
2.
Sijaintiluvut
Hajontaluvut
Todennäköisyysjakaumat
Hypoteesien testaaminen
Tilastollisten analyysimenetelmien
päätyypit
2.1
2.2
2.3
2.4
Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Ryhmäjäsenyyden ennustaminen
Muuttujarakenteen mallintaminen
2. Tilastollisten analyysimenetelmien
päätyypit
1.
Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
– Korreloiko vastaajien ikä työhön sitoutumista mittaavan
muuttujan arvojen kanssa, ja jos korreloi, niin minkä
suuntaisesti?
2. Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
– Onko eri ikäryhmien välillä eroja työhön sitoutumisessa?
3. Ryhmäjäsenyyden ennustaminen
– Mitkä työhön sitoutumista mittaavat muuttujat ennustavat
parhaiten mihin ikäryhmään vastaajat kuuluvat?
4. Muuttujarakenteen mallintaminen
– Millaisiin ulottuvuuksiin (”faktoreihin”) käsite ”työhön
sitoutuminen” on jaettavissa?
– Selittävätkö esimiehen johtamistaidot ja työn psyykkinen
rasittavuus työhön sitoutumista?
2. Tilastollisten analyysimenetelmien
päätyypit
1.
Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
– Khiin neliötesti (2), korrelaatioanalyysi (r), regressioanalyysi
(R), kanoninen korrelaatioanalyysi
2. Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
– t-testi, varianssianalyysi (ANOVA),
monimuuttujavarianssianalyysi (MANOVA),
kovarianssianalyysi (ANCOVA)
3. Ryhmäjäsenyyden ennustaminen
– Erotteluanalyysi (DA), logistinen regressioanalyysi (LOGIT),
ryhmittely eli klusterianalyysi
4. Muuttujarakenteen mallintaminen
– Eksploratiivinen faktorianalyysi (EFA),
pääkomponenttianalyysi (PCA), rakenneyhtälömallinnus (SEM,
alalajina polkuanalyysi PATH ANALYSIS ja konfirmatorinen
faktorianalyysi CFA)
S
P
S
S
S
P
S
S
SPSS Extension
AMOS
MPlus
(Nokelainen, 2008.)
Sisältö
1.
Tilastollisia käsitteitä
1.1
1.2
1.3
1.4
2.
Sijaintiluvut
Hajontaluvut
Todennäköisyysjakaumat
Hypoteesien testaaminen
Tilastollisten analyysimenetelmien
päätyypit
2.1
2.2
2.3
2.4
Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Ryhmäjäsenyyden ennustaminen
Muuttujarakenteen mallintaminen
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Khiin neliötesti (Chi square test, 2)
– Millainen riippuvuussuhde on iän ja työhön sitoutumisen
välillä?
• 1 nominaali/järjestysasteikollinen riippumaton (IV)
muuttuja (ikä luokiteltuna kolmeen luokkaan)
• 1 nominaali/järjestysasteikollinen riippuva (DV)
muuttuja (työhön sitoutuminen asteikolla 1 - 5)
Olemme kiinnostuneita kuhunkin
luokkaan X {X1, X2, X3} kuuluvien
ihmisten vastauksista {Y1, Y2, Y3,
Y4,Y5} kysymykseen Y.
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
Feij 
f oi  f o j
N
Taulukosta näemme, että tulos
2(1)=20.822 on
tilastollisesti merkitsevä yhden
promillen riskitasolla (p < .001).
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Khiin neliön suhteellinen tulkitseminen on
vaikeaa, koska sillä ei ole ylärajaa
– riippuvuuslukuna käytetään usein
kontingenssikerrointa (C)

2
20.822
C

 .48
2
n
70  20.822
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Cmax ei ole 1, vaan se riippuu taulukon
rivien (h) ja sarakkeiden (g) lukumäärästä
seuraavan kaavan mukaisesti:
, jossa k = min(g,h)
k
2
0.71
3
0.82
4
0.87
5
6
0.89
0.91
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Khiin neliötestin tulos
– Khiin neliötestin perusteella miesten ja naisten
hiihto ja luistelutottumukset poikkesivat toisistaan
tilastollisesti merkitsevästi, 2(1) = 20.822, p <
.001, C = .48 (Cmax = 0.71).
– Naiset raportoivat tasaisempaa kiinnostusta
kahteen edellä mainittuun talviurheilulajiin kuin
miehet, jotka selvästi suosivat hiihtämistä.
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Raportointiesimerkkejä:
– Khiin neliötestin perusteella tytöt saavat poikia
parempia kouluarvosanoja: 2(1) = 5.432, p =
.031.
• 2 = Khiin neliö, (1) = vapausasteet (df, degrees of
freedom), 5.432 = Khiin neliötestin arvo, ei kerro muuta
kuin sen, että sukupuolten välillä on eroa (poikkeaa
nollasta), p = 0.31 tarkoittaa sitä, että sukupuolten välillä
on tilastollisesti melkein merkitsevä ero 5 prosentin
riskitasolla.
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Raportointiesimerkkejä:
– Khiin neliötestin perusteella tytöt saavat poikia
parempia kouluarvosanoja: C(1) = 0.39, p = .031
(Cmax = 0.71).
• C = Kontingenssikerroin, (1) = vapausasteet, 0.39 kertoo
ryhmien välisen eron merkitsevyyden, p = .031 tarkoittaa
sitä, että sukupuolten välillä on tilastollisesti merkitsevä ero
5 prosentin riskitasolla (.031 < .05), Cmax = 0.71 on tässä
taulukossa ryhmien välisen eron yläraja.
• Kun C = 0.39, voidaan todeta, että ero ei ole tieteellisesti
kovin merkittävä, vaikka onkin sitä tilastollisesti.
• Jos arvo olisi esim. 0.60, voisimme olla enemmän
riemuissamme sukupuolten välisestä erosta (koska tällöin
ollaan lähempänä ryhmien välisen eron ylärajaa 0.71).
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Korrelaatioanalyysi (rp tai rs)
– Onko iän ja työhön sitoutumisen välillä riippuvuussuhde? Jos
on, niin minkä suuntainen?
• 2 jatkuvaa muuttujaa (rp) (ikä vuosina, työhön
sitoutumista mittaavan testin pistemäärä)
• 2 järjestysasteikollista muuttujaa (rs) (ikä luokkina, työhön
sitoutuminen asteikolla 1 – 5)
Olemme
kiinnostuneita kunkin
vastaajan antamista
vastauksista kahteen
muuttujaan X ja Y.
=KORRELAATIO(E7:E10,F7:F10)
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Testin nollahypoteesi (H0) = muuttujien
korrelaatio perusjoukossa on 0.
• Tietokoneohjelmat laskevat korrelaation
yhteydessä merkitsevyysluvun (p,
significance) olettaen että
normaalijakauman ehto täyttyy,
• p -arvo
– ilmoittaa todennäköisyyden sille että otoksesta laskettu
korrelaatio on vähintään saadun suuruinen mikäli H0 pitää
paikkansa
– ilmoittaa kuinka paljon on ”todisteita” nollahypoteesia
vastaan, mitä pienempi p (0 < p < .05), sitä enemmän
todisteita
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Yleinen merkitsevyystaso on 5 prosenttia
p < 0.05 (5%)
p < 0.01 (1%)
p < 0.001 (0,1%)
*
tilastollisesti melkein merkitsevä
** tilastollisesti merkitsevä
*** tilastollisesti erittäin merkitsevä
• Jos luku jää etukäteen sovitun
merkitsevyystason alapuolelle, H0 hylätään
ja vaihtoehtoinen hypoteesi H1 hyväksytään.
– Ongelmana on se, että H1 ei ole ollut mukana
analyyseissa eikä siten ole välttämättä H0:n
vastakohta ..
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Korrelaation yhteydessä on syytä kommentoida
muuttujien välistä yhteistä varianssia (coefficient
of determination), joka lasketaan korottamalla
korrelaatiokertoimen arvo toiseen potenssiin.
– Esim. jos muuttujien välillä on r = .3 suuruinen
korrelaatio, niillä on 9 prosenttia (.3*.3=.09)
yhteistä vaihtelua (total variance).
– Onko se paljon vai vähän, riippuu
tutkimustehtävän luonteesta eli analyysin
tuloksille asetetuista tieteellisistä oletuksista.
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Cohen (1988) on lisäksi määritellyt korrelaatioille
tieteellisen vaikuttavuuden (effect size) arvot:
–
–
–
–
Small effect size
Medium effect size
Large effect size
Much larger than typical
r
r
r
r
>
>
>
>
0.1
0.3
0.5
0.7
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Pearsonin (tulomomentti)
korrelaatiokerroin (rp) on tarkoitettu
välimatka- ja suhdeasteikollisille
muuttujille.
• Mittaa muuttujien välistä lineaarista
yhteyttä (correlation).
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
Pearsonin tulomomenttikorrelaatio (rP)
x:n ja y:n kovarianssi:
Korrelaatiokerroin saadaan
jakamalla kovarianssi x:n
keskihajonnan ja y:n
keskihajonnan tulolla:
SPSS –ohjelman
tuloste:
SPSS –ohjelman
tuloste:
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
• Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin
(rs)
– Spearman´s Rank Order Correlation (rho)
• Vaatii muuttujilta vähintään
järjestysasteikollista mittaustasoa ->
perustuu järjestyksen vertaamiseen.
• Mittaa muuttujien välistä yhteyttä
(association), joka voi olla lineaarista
tai epälineaarista.
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
SPSS-ohjelman
tuloste:
2.1 Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
Korrelaatio (rp)
+/- .10 - +/- .29
+/- .30 - +/- .49
+/- .50 - +/- 1.00
Varianssi (%)
1.0 - 8.4
9.0 - 24.0
25.0 - 100.0
Sisältö
1.
Tilastollisia käsitteitä
1.1
1.2
1.3
1.4
2.
Sijaintiluvut
Hajontaluvut
Todennäköisyysjakaumat
Hypoteesien testaaminen
Tilastollisten analyysimenetelmien
päätyypit
2.1
2.2
2.3
2.4
Muuttujien välisten riippuvuussuhteiden voimakkuus
Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Ryhmäjäsenyyden ennustaminen
Muuttujarakenteen mallintaminen
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
• t-testi (t)
– Vertaillaan kahden ryhmän keskiarvoja.
– Voidaan käyttää sekä saman että
erisuuruisten varianssien tapauksessa.
– Muuttujien tulee olla normaalisti
jakautuneita.
William ”Student” Gosset
1876-1937
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
• Riippumattomien otosten t-testi
– Independent-samples
H0: nainen = mies
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
• Riippuvien otosten t-testi
– Dependent-samples, paired test
H0: ennen = jälkeen
H0: ennen - jälkeen = 0
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
• Yhden otoksen t-testi
– One-sample
H0:  = 100
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
s
n

x
0
Otoskeskihajonta
Lukumäärä
Odotusarvo
Otoskeskiarvo
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Riippumattomien otosten t-testi
H0
H1a
H1b
Naiset ja miehet kokevat esimiehen
arvostavan työtään yhtä paljon.
Sukupuolet kokevat esimiehen
arvostuksen eritavoin.
Miehet kokevat esimiehen
arvostavan työtään enemmän.
H1a Kaksisuuntainen
H1b Yksisuuntainen
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Riippumattomien otosten t-testi
• Levenen testin avulla selvitetään ryhmien
varianssien samankaltaisuutta (H0: V1 = V2)
– Jakaumilla on sama muoto = pooled-variance t test
• Levenen testin Sig. > .05 = Equal variances assumed
– Jakaumilla on eri muoto = separate-variance t test
• Levenen testin Sig. < .05 = Equal variances not assumed
• Vapausasteet pienenevät (=laskennassa käytetty
otoskoko pienenee) erisuuruisten varianssien vuoksi.
• Vapausasteet pienenevät sitä enemmän mitä
suuremmasta varianssien erosta on kysymys.
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Riippumattomien otosten t-testi
Sig. = p-arvo
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Riippumattomien otosten t-testi
• Esimiehen arvostusta eri sukupuolten välillä
vertailtiin riippumattomien otosten t-testillä.
Tutkimukseen osallistui 233 miestä ja 126 naista.
Tulokset osoittivat että miesten (M = 4.2, SD =
.67) ja naisten (M = 3.9, SD=1.02) välillä on
tilastollisesti merkitsevä ero sen suhteen, kuinka
esimiehen arvostus omaa työtä kohtaan koetaan,
t(357) = -2.26, p = .03.
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Tieteellinen merkitsevyys
• Effect size (efektikoko)
– Tuloksilla on tilastollinen ja tieteellinen
merkitsevyys.
– Cohen (1988) ehdottaa tieteellisen
merkitsevyyden arviointia seuraavien
tilastollisten arvojen perusteella:
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Tieteellinen merkitsevyys
• Effect size (efektikoko)
– Koska edellä suoritettiin t-testi, tieteellisen
merkitsevyyden arviointi voidaan suorittaa
etan neliön (2) avulla:
2 =
t2
t2 + (N1+N2-2)
.01 = small effect
.06 = moderate effect
.14 = large effect
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Tieteellinen merkitsevyys
t(357) = -2.26, p = .03
2 =
-2.262
= .01
-2.262 + (233+126-2)
.01 = small effect
.06 = moderate effect
.14 = large effect
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Riippumattomien otosten t-testi
• Esimiehen arvostusta eri sukupuolten välillä
vertailtiin riippumattomien otosten t-testillä.
Tutkimukseen osallistui 233 miestä ja 126 naista.
Tulokset osoittivat että miesten (M = 4.22, SD =
.67) ja naisten (M = 3.87, SD=1.02) välillä on
tilastollisesti merkitsevä ero sen suhteen, kuinka
esimiehen arvostus omaa työtä kohtaan koetaan,
t(357) = -2.26, p = .03. Tulos on kuitenkin
tilastollisesta merkitsevyydestä huolimatta
Cohenin (1988) mukaan efektikooltaan pieni, 2
= .01.
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Mann-Whitney U, Wilcoxon W
• Perustuvat järjestykseen (rank), testaavat
kahden mediaanin eron tilastollista
merkitsevyyttä.
– Mittaustasovaatimuksena järjestysasteikko.
– Testattavien jakaumien tulee olla saman muotoisia
(mutta ei normaalijakautuneita).
• Käytetään kun t-testin edellytykset eivät ole
voimassa muuttujamuunnoksenkaan jälkeen.
– Epäparametriset testit sopivat t-testiä paremmin
pienelle otoskoolle (esim. alle 50 havaintoa).
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Mann-Whitney U, Wilcoxon W
• Mann-Whitney U
– Lasketaan kuinka monta kertaa pienemmän
otoskoon havainto on järjestyksessä
suurempi kuin suuremman otoskoon
havainto.
• Wilcoxon W
– Lasketaan järjestämällä kahden otoksen
yhteen liitetyt havainnot ja selvittämällä
pienemmän otoksen järjestyslukujen
summa.
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Mann-Whitney U, Wilcoxon W
• Erityispiirteitä:
– Summaavat vakioon
m
m(m + 2n + 1)
U+W=
2
– Samat z arvot
n
pienemmän
ryhmän havainnot
suuremman ryhmän
havainnot
SEX, v2
1,1,2,2,2,4,4,5 (0 = _ )
1,5+1,5+4+4 11
0=
=
= 2,75
4
4
4+6,5+6,5+8 25
1=
= 4 = 6,25
4
N1(N1+1)
U = N1N2+
-T1= 26-25=1
2
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Mann-Whitney U, Wilcoxon W
• Onko naisten ja
miesten välillä
eroa esimiehen
arvostuksen
suhteen?
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Riippuvien otosten t-testi
• Paired-samples t-test, repeated
measures
– Samasta otoksesta kerätään dataa useita
kertoja (eri olosuhteissa, eri aikoina).
• Pre-test – post-test –asetelmat
– Mittaus 1 – KOE – mittaus 2
• Matched pairs –asetelmat
– Testataan uutta opetusmenetelmää kahdessa
ryhmässä (toinen on kontrolli- ja toinen koeryhmä).
– Ryhmien jäsenet on valittu ”pareittain”
koulumenestyksen ja sukupuolen perusteella.
– Jakson lopussa molemmat ryhmät tekevät saman
testin, suorituksia verrataan pareittain.
t=
3.29
11.856
7
t(6)=.733, p=.491
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Riippuvien otosten t-testi
Matched pairs -asetelma
t=
-3.4286
3.59894
7
t(6)=-2.52, p=.045
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Wilcoxon signed rank -test
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Friedmanin testi
• Testaa nollahypoteesina sitä, että
ryhmien välillä ei ole eroja = kunkin
vastaajan arvot ovat sattumanvaraisia.
• Testin arvot jakautuvat 2 –jakauman
tavoin.
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Friedmanin testi
• Kuutta opiskelijaa pyydettiin
asettamaan kolme eri karkkilajiketta
paremmuusjärjestykseen (1,2,3).
• Onko karkkilajikkeiden välillä eroja?
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Friedmanin testi
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Yhden otoksen t-testi
• Testataan yhden näytteen poikkeamaa
populaation oletetusta arvosta:
– Kahden kontrolliryhmän (peruskoulun 5 lk.)
keskiarvo tietokoneenkäyttötaitoa
mittaavassa testissä on 32 pistettä. Sama
testi suoritetaan tietokoneiden
opetuskäytön mahdollisuuksia tutkivan
kokeilukoulun viidesluokkalaisille. Tutkija
haluaa selvittää poikkeaako kokeilukoulun
39 pisteen keskiarvo merkittävästi
kontrollikoulujen keskiarvosta.
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Yhden otoksen t-testi
Keskimääräinen älykkyysosamäärä on
tutkimustulosten mukaan 100. Tämän kurssin
keskiarvo on 120,7. Ovatko kurssilaiset
keskimääräistä älykkäämpiä?
H0:  = 100
2.2 Ryhmien välisten erojen merkitsevyys
Yhden otoksen t-testi
• Tilastokurssin opiskelijoiden standardoidun
älykkyystestin pistemäärää verrattiin yliopistoopiskelijoiden keskimääräiseen älykkyystestin
pistemäärään. Tulokset osoittivat että kurssin
opiskelijoiden testin mittaama älykkyys
(M = 120.7, SD = 23.77) on keskimääräistä
(M = 100.0) korkeampi, mutta ero ei ole
tilastollisesti merkitsevä, t(6) = 2.31, p = .06.
Lähteet
Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences.
Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Cronbach, L. J. (1951). Coefficient alpha and the internal structure of
tests. Psychometrika, 16, 297-334.
Gulliksen, H. (1950). Theory of Mental Tests. New York: John Wiley &
Sons.
Howell, D. (1997). Statistical Methods for Psychology. Belmont, CA:
Wadsworth Publishing Company.
Lähteet
Kuder, G. F., & Richardson, M. W. (1937). The theory of the estimation
of test reliability. Psychometrika, 2, 151-160.
Metsämuuronen, J. (2003). Tutkimuksen tekemisen perusteet
ihmistieteissä. Helsinki: International Methelp Ky.
Nummenmaa, L. (2009). Käyttäytymistieteiden tilastolliset menetelmät.
Ensimmäinen painos, uudistettu laitos. Helsinki: Tammi.
Pierce, C. A., Block, R., & Aguinis, H. (2004). Cautionary note on
reporting Eta-squared values from multifactor ANOVA designs.
Educational and Psychological Measurement, 64(6), 916-924.
Tabachnick, B ., & Fidell, L. (1996). Using Multivariate Statistics.
Third Edition. New York: HarperCollins.