Transcript Parciales

Problemas de Valores en la Frontera
en Coordenadas Rectangulares
CAPÍTULO 13
Contenidos
• 13.1 Ecuaciones Diferenciales Parciales Separables
• 13.2 EDP Clásicas y Problemas de Valores en la
Frontera
• 13.3 Ecuación de Calor
• 13.4 Ecuación de Onda
• 13.5 Ecuación de Laplace
• 13.6 Problemas de Valores en la Frontera no
homogéneos
• 13.7 Desarrollos en Series Ortogonales
• 13.8 Series de Fourier con Dos Variables
13.1 Ecuaciones Diferenciales Parciales Separables
• Ecuación Diferencial Lineal Parcial
Se se establece que u denota la variable dependiente
y x, y son variables independientes, la forma general
de una ecuación diferencial lineal parcial de
segundo orden se expresa emdiante
 2u
 2u
 2u
u
u
A 2 B
 C 2  D  E  Fu  G (1)
xy
x
y
x
y
Cuando G(x, y) = 0, (1) es homogénea; de lo contrario,
es no homogénea.
Separación de Variables
• Si suponemos que u = X(x)Y(y), entonces
u
u
 2u
 2u
 X 'Y ,  XY ' , 2  X "Y , 2  XY "
x
y
x
y
Ejemplo 1
Determine las soluciones producto de
 2u
u
4 .
2
y
x
Solución
Sea u = X(x)Y(y) y entonces
X" Y'
X "Y  4 XY ' ,

4X Y
Introducimos una constante de separación real
como −.
Ejemplo 1 (2)
Así que
X" Y'
  
4X Y
X "4X  0, Y ' Y  0
Para los tres casos:
 = 0:
X” = 0, Y’ = 0
 = −2 > 0,  > 0
X” – 42X = 0, Y’ − 2Y = 0
 = 2 > 0,  > 0
X” + 42X = 0, Y’ + 2Y = 0
(2)
(3)
(4)
(5)
Ejemplo 1 (3)
Caso I: ( = 0) Las soluciones de (3) son
X = c1 + c2x y Y = c3. Así
u  XY  (c1  c2 x)c3  A1  B1x
(6)
cuando A1 = c1c3 , B1 = c2c3.
Caso II: ( = −2) Las soluciones de (4) son
2y
X = c4 cosh 2x + c5 sinh 2x y Y  c6e . ASí
2y
u  XY  (c4 cosh 2x  c5 sinh 2x)c6e
or
2y
u  A2e
2y
cosh 2x  B2e
donde A2 = c4c6, B2 = c5c6.
sinh 2x
(7)
Ejemplo 1 (4)
Caso III: ( = 2) Las soluciones de (5) son
 2 y
X = c7 cos 2x + c8 sin 2x e Y  c9e . Así
u  A3e
 2 y
cos 2x  B3e
donde A3 = c7c9, B3 = c8c9.
 2 y
sin 2x
(8)
TEOREMA 13.1
Principio de Superposición
Si u1, u2, …, uk son soluciones de una ecuación diferencial
parcial, entonces al combinación lineal
u = c1u1 + c2u2 + … + ckuk
donde las ci = 1, 2, …, k son constantes, también es una
solución.
DEFINICIÓN 13.1
Clasificación de Ecuaciones
Se dice que la ecuación diferencial parcia lineal de
segundo orden
 2u
 2u
 2u
u
u
A 2 B
 C 2  D  E  Fu  0
xy
x
y
x
y
donde A, B, C, D, E, y F son constantes reales, es
2
B
 4 AC  0
hiperbólica si
2
B
 4 AC  0
parabólica si
2
B
 4 AC  0
elíptica si
Ejemplo 2
Clasifique la siguiente ecuación:
 2u u
(a)3 2 
y
x
 2u  2u
(b) 2  2
x
y
Solución
(a)
2
 2u  2u
(c) 2  2  0
x y
 u u
3 2
 0; A  3,B  0, C  0;
x
y
B 2  4 AC  0 : parabólica
Ejemplo 2 (2)
(b)
 2u  2u
 2  0; A  1, B  0, C  1;
2
x
y
B 2  4 AC  0 : hiperbólica
(c )
 2u  2u
 2  0; A  1, B  0, C  1;
2
x
y
B  4 AC  0 : elíptica
2
13.2 EDP Clásicas y Problemas de Valores en la Frontera
• Introducción
Ecuaciones clásicas:
 2u u
k 2
, k 0
(1)
t
x
2
2

u

u
2
(2)
a
 2
2
x
t
 2 u  2u
 2 0
2
x y
(3)
Se conocen como la ecuación unidimensional del
calor, ecuación de onda unidimensional, y forma
bidimensional de la ecuación de Laplace,
respectivamente.
Observación:
• La ecuación de Laplace se abrevia como 2u = 0,
donde
2
2

u

u
2
 u 2 2
x y
se llaman Laplaciano bidimensional de u. En tres
dimensiones el Laplaciano de u es
u u u
 u 2 2 2
x y
z
2
2
2
2
Problemas de Valores en la Frontera
2
2

u

u
2
• Resolver: a 2  2 ,
x
t
0 xL ,
Sujeta a :
(BC) u (0, t )  0 , u ( L, t )  0 , t  0
(IC) u ( x, 0)  f ( x) ,
u
t
 g ( x) ,
t 0
t 0
(11)
0 xL
• y
 2u  2u
 2 0 , 0 xa , 0 yb
Resolver:
2
x
y
Sujeta a:
u
 u
0,
0,
0 yb

x xa
(BC)  x x0
(12)
u ( x, 0)  0 , u ( x, b)  f ( x) , 0  x  a
13.3 Heat Equation
• Introducción
La ecuación de calor puede desribirse así:
 2u u
k 2
,
t
x
0 xL ,
t 0
(1)
u (0, t )  0 ,
u ( L, t )  0 ,
t 0
(2)
u ( x, 0)  f ( x) , 0  x  L
(3)
Solución de los PVF
• Usando u(x, t) = X(x)T(t), y − como la constante de
separación:
X  T 

 
X kT
(4)
X   X  0
(5)
T   kT  0
(6)
• Ahora las condicionesde frontera (2) se traducen en
u(0, t) = X(0)T(t) = 0 y u(L, t) = X(L)T(t) = 0. Luego
obtenemos X(0) = X(L) = 0 y
(7)
X   X  0, X (0)  0, X ( L)  0
De las discusiones antriores obtenemos
X ( x)  c1  c2 x,
 0
X ( x)  c1 coshx  c2 sinh x,
   2  0 (9)
X ( x)  c1 cosx  c2 sin x,
 2  0
(8)
(10)
• Cuando las condiciones de frontera X(0) = X(L) = 0 se
aplican a (8) y (9), estas soluciones son sólo X(x) = 0.
Aplicando la primera condición a(10) se obtiene c1 =
0. Por tanto X(x) = c2 sin x. La condición X(L) = 0
implica que
X ( L)  c2 sin  L  0
(11)
Tenemos que sin L = 0 para c2  0 y  = n/L, n = 1,
2, 3, … Los valores n = n2 = (n/L)2, n = 1, 2, 3, … y
las soluciones correspondientes
n
X ( x)  c2 sin
x, n  1, 2, 3, ...
L
(12)
son los valores propios y funciones propias,
respectivamente.
La solución general de (6) es
T  c3e
k ( n2 2 / L2 )t
y por tanto
un  X ( x)(t )T  Ane
donde An = c2c3.
 k ( n 2 2 / L2 ) t
n
sin
x
L
(13)
• Ahora usando las condiciones iniciales u(x, 0) = f(x), 0
< x < L, tenemos
n
un ( x, 0)  f ( x)  An sin
x
(14)
L
Por el principio de superposición la función


n
 k ( n 2 2 / L2 ) t
u ( x, t )   un   Ane
sin
x
(15)
L
n 1
n 1
debe cumplir (1) y (2). Si ponemos t = 0, entonces

n
u ( x, 0)  f ( x)   An sin
x
L
n 1
• Se conoce como un desarrollo de semiintervalo para
f en a en una serie seno. Si ponemos An = bn, n = 1, 2,
3, … entonces:
2 L
n
An   f ( x) sin
x dx
L 0
L
(16)
Llegamos a la conclusión de que la solución del PVF
descrito por (1), (2) y (3) se expresa mediante la serie
infinita
u ( x, t )
2  L
n
n (17)

 k ( n 2 2 /L2 ) t
    f ( x) sin
x dx e
sin
x
L n1  0
L
L

• Por ejemplo, u(x, 0) = 100, L = , y k = 1,
entonces
200  1  (1) n 

,
An 
  n 
n

200
1  (1)  n2t

e sin nx
u ( x, t ) 

 n1  n 

(18)
13.4 Ecuación de Onda
• Introducción
Considere la ecuación de onda
u u
a
 2 , 0 xL ,
2
x
t
2
2
2
u (0, t )  0 ,
t 0
u ( L, t )  0 ,
u
u ( x, 0)  f ( x) ,
t
 g ( x)
t 0
t 0
(1)
(2)
(3)
Solución del PVF
• Con la suposición u(x, t) = X(x)T(t), de (1) se
obtiene
X  T 
 2  
X aT
de modo que
X   X  0
T   a 2T  0
(4)
(5)
• Empleando que X(0) = 0 y X(L) = 0, se tiene
X   X  0, X (0)  0, X ( L)  0
(6)
Sólo  = 2 > 0,  > 0 lleva a una solución no
trivial. Por tanto la solución general de (4) es
X  c1 cos  x  c2 sin  x
X(0) = 0 y X(L) = 0 implican que c1= 0 y
c2 sin L = 0. Por tanto se tiene que  = n/L,
n = 1, 2, 3, …
• Los valores propios y las funciones propias son:
n
n  n  / L , X ( x)  c2 sin
x, n  1,2,3,...
L
La solución generalde (5) es
na
na
T (t )  c3 cos
t  c4 sin
t
L
L
2
2
2
• Sean An = c2c3, Bn = c2c4, soluciones que
satisfacen (1) y (2) son
na
na 
n

un   An cos
t  Bn sin
t  sin
x
L
L 
L

(7)
y

u ( x, t )  
n 1
 A cos na t  B sin na t  sin n x
 n

n
L
L 
L

(8)
• Al sustituir t = 0 en (8) y usando u(x, 0) = f(x) se
obtiene

n
u ( x,0)  f ( x)   An sin
n 1
L
x
Puesto que esta última expresión es un desarrollo
en semiintervalo para f en una serie de senos,
podemos identificar An = bn:
2 L
n
An   f ( x) sin
x dx
0
L
L
(9)
• Para determinar Bn se deriva (8) con respecto
a t y fijando t = 0:
u  
na na
na
na  n
    An
sin
t  Bn
cos
t  sin
x
t n1 
L
L
L
L 
L
na  n

x
 sin
t 0  g ( x )    Bn
L 
L
n 1 
na 2 L
n
Bn
  g ( x) sin
dx
0
L
L
L
u
t

Así se obtiene
2 L
n
Bn 
g ( x) sin
dx

0
na
L
(10)
Ondas Estacionarias
• Es fácil transformar (8) en
na
n


un ( x, t )  Cn sin 
t  n  sin
x
L
 L

An
Bn
2
2
Cn  An  Bn , sin n  , cosn 
Cn
Cn
(11)
• Cuando n = 1, u1(x, t) se llama primer onda
estacionaria, primer modo normal o modo
fundamental de vibración. La frecuencia
f1 = a/2L del primer modo normal se llama la
frecuencia fundamental o primera armónica.
Observe Fig 13.9.
a
1 T
f1 

2L 2L 
Fig 13.9
13.5 Ecuación de Laplace
• Introducción
Considere el siguiente problema de valores en
la frontera
u u
 2 0, 0 xa, 0 yb
2
x y
2
2
(1)
u
u
0,
0, 0 yb
x x0
x xa
(2)
u ( x, 0)  0 , u ( x, b)  f ( x) , 0  x  a
(3)
Solución del PVF
• Con u(x, y) = X(x)Y(y), (1) se transforma en
X"
Y"
   
X
Y
X "X  0
Y "Y  0
(4)
(5)
Las tres condiciones homogéneas de frontera
en (2) y (3) se traducen en X’(0) = 0, X’(a) = 0,
Y(0) = 0.
• Por tanto disponemos de siguientes ecuaciones
X   X  0, X (0)  0, X ( a )  0
(6)
Para  = 0, (6) se transforma en
X” = 0, X’(0) = 0, X’(a) = 0
La solución es X = c1 + c2x. X’(0) = 0 implica que
c2 = 0 y X = c1 también satisface la condición X’(a)
= 0. Así X = c1, c1  0 es una solución no trivial.
• Para  = −2 < 0,  > 0, (6) no posee ninguna
solución no trivial.
• Para  = 2 > 0,  > 0, (6) se transforma en
X” + 2X = 0, X’(0) = 0, X’(a) = 0
Aplicando X’(0) = 0 a la solución X = c1 cos x + c2 sin x,
se tiene que c2 = 0 y por tanto X = c1 cos x .
De la condición X’(a) = 0 se obtiene −c1  sin a = 0, y
tiene que ser  = n/a, n = 1, 2, 3, …. Los valores
propios de (6) son n = (n/a)2, n = 1, 2, …
• Relacionando 0 con n = 0, las funciones propias de (6)
son
n
X  c1, n  0; X  c1 cos
x, n  1,2,...
a
Para Y” – Y = 0, cuando 0 = 0, la solución es Y = c3 +
c4y. Y(0) = 0 implica c3 = 0 y por tanto Y = c4y.
• Para n = (n/a)2, n = 1, 2, …, la solución es
Y = c3 cosh (ny/a) + c4 sinh (ny/a)
Y(0) = 0 implica c3 = 0 y por tanto
Y = c4 sinh (ny/a).
• Las soluciones un = XY son
n
n
A0 y, n  0; An sinh
y cos
x, n  1,2,...
a
a
A0  c1c4 for n  0; An  c1c4 for n  1,2,...
• El principio de superposición conduce a que
n
n
u ( x, y )  A0 y   An sinh
y cos
x
a
a
n 1

(7)
Sustituimos y = b, entonces
n
n
u ( x, b)  f ( x)  A0b   An sinh b cos
x
a
a
n 1

es le desarrollo de semiintervalo de f en una
serie de cosenos.
• Si se hacen las identificaciones A0b = a0/2 y
An sin (nb/a)= an, n = 1, 2, …., se tiene
2 a
2 A0b   f ( x)dx
a 0
1 a
A0   f ( x)dx
ab 0
n
2 a
n
xdx
b   f ( x) cos
An sin
0
a
a
a
a
n
2
xdx
f ( x) cos
An 

n 0
a
b
a sin
a
(8)
(9)
Problema de Dirichlet
• Demostrar que la solución del siguiente
Problema de Dirichlet
 2u  2u
 2  0,0  x  a,0  y  b
2
x y
u (0, y )  0, u (a, y )  0
u ( x,0)  0, u ( x, b)  f ( x)
es
n
n
u ( x, y )   An sinh
y sin
x
a
a
n 1
a
2
n
An 
f ( x) sin
xdx

nb 0
a
a sinh
a

(10)
Superposition Principle
• Queremos dividir el siguiente problema
 2u  2u
 2 0, 0 xa, 0 yb
2
x y
u (0, y )  F ( y ) , u (a, y )  G ( y ) , 0  y  b
u ( x, 0)  f ( x) , u ( x, b)  g ( x) , 0  x  a
(11)
en dos problemas, cada uno de los cuales
tenga condiciones homogéneas de frontera en
fronteras paralelas, como se muestra en las
siguientes tablas.
• Problema 1:
 2u1  2u1
 2  0,0  x  a,0  y  b
2
x
y
u1 (0, y )  0, u1 (a, y )  0,0  y  b
u1 ( x,0)  f ( x), u1 ( x, b)  g ( x),0  x  a
• Problema 2:
 2u 2  2u 2
 2  0,0  x  a,0  y  b
2
x
y
u2 (0, y )  F ( y ), u2 (a, y )  G ( y ),0  y  b
u2 ( x,0)  0, u2 ( x, b)  0,0  x  a
• Suponemos que u1 y u2 son soluciones del
problema 1 y problema 2, respectivamente. Si
definimos u = u1 + u2, entonces
u (0, y )  u1 (0, y )  u2 (0, y )  0  F ( y )  F ( y )
u ( x, b)  u1 ( x, b)  u2 ( x, b)  g ( x)  0  g ( x)
etcétera. Fig 13.15.
Fig 13.15
• Se deja como ejercicio determinar que la
solución del problema 1 es
n
n  n

u1 ( x, y )    An cosh
y  Bn sinh
y  sin
x
a
a 
a
n 1 
2 a
n
An   f ( x) sin
xdx
a 0
a
1
2 a
n
n 

Bn 
g ( x) sin
xdx  An cosh
b


nb  a 0
a
a

sinh
a

• La solución del problema 2 es
n
n  n

u2 ( x, y )    An cosh
x  Bn sinh
x  sin
y
b
b 
b
n 1 
2 b
n
An   F ( y ) sin
ydy
0
b
b
1
2 b
n
n 

Bn 
G ( y ) sin
ydy  An cosh
a


0
na  b
b
b 
sinh
b

13.6 PVF no homogéneos
• Introducción
Un típico PVF no homogéneo para la ecuación de
calor es 2
u
u
k 2  F ( x , t )  , 0  x  L, t  0
t
x
u (0, t )  u0 (t ), u ( L, t )  u1 (t ), t  0
u ( x, 0)  f ( x), 0  x  L
(1)
Cuando se genera calor a una rapidez r en una
varilla, la ecuación de calor de (1) toma la forma
 2u
u
k 2 r 
t
x
está demostrado que la ecuación (2) no es
separable.
(2)
Cambio de Variables Dependientes
• u = v + ,  es una función a determinar.
EDP y CF Independientes del Tiempo
• EDP y CF Independientes del tiempo
Primero considere la fuente de calor F y que
las condiciones en la frontera son
independientes del tiempo:
 2u
u
k 2  F ( x )  , 0  x  L, t  0
t
x
u (0, t )  u0 , u ( L, t )  u1, t  0
u ( x, 0)  f ( x), 0  x  L
• PDE -> EDP ecuaciones diferenciales parciales ??????
• BC -> CF condiciones en la frontera ??????
(3)
• En (3), u0 y u1 son constantes.
Si permitimos que sea u(x, t) = v(x, t) + (x),
(3) puede reducirse a ods problemas:
P rombla1 : {k " F ( x)  0, (0)  u0 , ( L)  u1
  2 v v
k 2 
t
 x
P rombla2 : v(0, t )  0, v( L, t )  0
v( x,0)  f ( x)  ( x)


Ejemplo 1
Resolver (2) sujeta a
u (0, t )  0, u (1, t )  u0 , t  0
u ( x,0)  f ( x),0  x  1
Solución
Si permitimos que sea u(x, t) = v(x, t) + (x),
entonces
 2u  2v
u v
 2   ,

2
t t
x
x
puesto que t = 0.
(4)
Ejemplo 1 (2)
Sustituyendo (4) en (3) se tiene
 2v
v
k 2  k   r 
t
x
(5)
La ecuación (5) se reduce a una EDP homogénea si
se exige que  sea una función que satisfaga la EDO
Así se tiene
r
k " r  0 ó  "  
k
r 2
 ( x)   x  c1x  c 2
2k
(6)
Ejemplo 1 (3)
Además,
u (0, t )  v(0, t )   (0)  0
u (1, t )  v(1, t )   (1)  u0
Se tiene que v(0, t) = 0 y v(1, t) = 0, si elegimos
(0) = 0 y (1) = u0
Aplicando estas condiciones a (6) se tiene c2 = 0,
c1 = r/2k + u0.
Ejemplo 1 (4)
En consecuencia
r 2  r
 ( x)   x    u0  x
2k
 2k

Por último, la condición inicial u(x,0) = v(x, 0) +
(x) implica que v(x,0) = u(x, 0) − (x) = f(x) –
(x). Tenemos el nuevo PVF homogéneo:
 2v v
k 2  , 0  x  1, t  0
t
x
v(0, t )  0, v(1, t )  0, t  0
r 2  r
v( x,0)  f ( x)  x    u0  x, 0  x  1
2k
 2k

Ejemplo 1 (5)
• De manera usual se encuentra


v( x, t )   An e
n 1
 kn2 2t

sin nx
Con la condicióninicial v( x,0), se tiene

r 2  r
 
An  2   f ( x) 
x    u0  x  sin nxdx (7)
0
2k
 2k
 

1
Ejemplo 1 (6)
Una solución del problema original es

r 2  r

kn2 2t
u ( x, t )   x    u0  x   Ane
sin nx (8)
2k
 2k

n 1
Observe que
u ( x, t )  ( x) as t   : solución de estado estable
v( x, t )  0 as t   : solución transitoria
EDP y BF Dependientes del Tiempo
• En esta situación, una nueva forma de solución es
u(x, t) = v(x, t) + (x, t)
Puesto que
 2u  2v  2
u v 
 2 2 y
 
2
x
x
x
t t t
(9)
(1) se transforma
 2v
 2
v 
k 2  k 2  F ( x, t )  
(10)
t t
x
x
v(0, t )   (0, t )  u0 (t ), v( L, t )   ( L, t )  u0 (t )
v( x, 0)  f ( x)   ( x, 0)
• Las CF en v en (10) pasan a ser homogéneas si
exigimos que
(11)
 (0, t )  u0 (t ),  ( L, t )  u0 (t )
Ahora construimos una función  que satisfaga
ambas condiciones en (11). Una función de esta
forma es
x
(12)
u ( x, t )  u0 (t )  [u1 (t )  u0 (t )]
L
Observe que xx = 0. Si sustituimos
x
u ( x, t )  v( x, t )  u0 (t )  [u1 (t )  u0 (t )]
L
el problema en (1) se transforma en
(13)
 2v
 2
v 
k 2  k 2  F ( x, t )  
x t
x
x
v(0, t )   (0, t )  u0 (t ), v( L, t )   ( L, t )  u0 (t )
v( x, 0)  f ( x)   ( x, 0)
donde G(x, t) = F(x, t) – t.
(14)
• Antes de resolver (14), señalamos la estrategia
básica:
Suponemos que se pueden hallar
coeficientes dependientes del tiempo vn(t) y
Gn(t) tales que v(x, t) y G(x, t) en (14) pueden
desarrollarse en serie
n
v( x, t )   vn (t ) sin
x
L
n 1

n
and G ( x, t )   Gn (t ) sin
x
L
n 1

(15)
• donde sin(nx/L), n = 1, 2, … son las funciones
propias de X”+ X = 0, X(0) = 0, X(L) = 0
correspondientes a los valores propios
n = n2 = n22/L2
Ejemplo 2
Resolver
 2u u
k 2  , 0  x  1, t  0
t
x
u (0, t )  cos t , u (1, t )  0, t  0
u ( x, 0)  0, 0  x  1
Solución
Hacemos corresponder este problema con (1) para
obtener k = 1, L = 1, F(x, t) = 0, u0(t) = cos t, u1(t) = 0,
f(x) = 0.
De (12) obtenemos
 ( x, t )  cos t  x[0  cos t ]  (1  x) cos t
y entonces como se indica en (13), sustituimos
(16)
u ( x, t )  v( x, t )  (1  x) cos t
Ejemplo 2 (2)
Para obtener el PVF para v(x, t):
 2v
v
 (1  x) sin t  , 0  x  1, t  0
2
t
x
v(0, t )  0, v(1, t )  0, t  0
(17)
v( x, 0)  x  1, 0  x  1
Los valores propios y las funciones propias del
problema de Sturm-Liouville
X +X = 0, X(0) = 0, X(1) = 0
son n = n2 = n22 y sin nx, n = 1, 2, ….
Ejemplo 2 (3)
Con G(x, t) = (1 – x) sin t, suponemos a partir de
(15) y para t fijo, v y G pueden escribirse como
series de seno d eFourier:

v( x, t )   vn (t ) sin nx
n 1
y
(18)

(1  x) sin t   Gn (t ) sin nx
n 1
(19)
Ejemplo 2 (4)
Tratando t como un parámetro,
2 1
Gn (t )   (1  x) sin t sin nxdx
1 0
2
 2 sin t  (1  x) sin nxdx 
sin t
0
n
1
Por lo tanto

2
(1  x) sin t   sin t sin nx
n 1 n
(20)
Ejemplo 2 (5)
De (18), tenemos
 2v 
2 2

v
(
t
)(

n
 ) sin nx

n
2
x
n 1
(21)
v
y
  vn (t ) sin nx
t n 1

La EDP se transforma en




2 sin t
 vn ' (t )  n  vn (t ) sin nx   n sin nx
n 1
n 1
2 sin t
2 2
vn ' (t )  n  vn (t ) 
n
2
2
Ejemplo 2 (6)
Para cada n, la solución general de la EDO es:
2  n2 2 sin t  cos t 
n2 2t

  Cne
vn (t ) 
4 4
n 
n  1

donde Cn denota la constante arbitraria. De ahí
 n2 2 sin t  cos t
n2 2t 
v( x, t )   2
 Cne
 sin nx (22)
4 4
n (n   1)
n1 


Ejemplo 2 (7)
Cn puede determinarse la condición inicial v(x, 0)
a (22). De l serie de Fourier



2
x 1  
 Cn  sin nx
4 4

n 1  n ( n   1)
1
2
 Cn  2  ( x  1) sinnxdx
4 4
0
n (n   1)
2
2
 Cn 
4 4
n
n (n   1)
Ejemplo 2 (8)
Por tanto
2
2
Cn 

4 4
n (n   1) n
2  n 2 2 sin t  cos t  e n  t e n 
v ( x, t )   

4 4
 n1 
n
n(n   1)
u ( x, t )  (1  x cos t )
2 2

 n  sin t  cos t  e
 
 n1 
n(n 4 4  1)
2

2
2
 n 2 2t
t
2 2

e

 sin nx

 n 2 2t 
n

 sin nx

13.7 Desarrollos en Series Ortogonales
• Ejemplo 1
La temperatura de una varilla de unidad
unitaria se determina de
 u u
k 2  , 0  x  1, t  0
t
x
u
u (0, t )  0,
x 1   hu (1, t ), h  0, t  0
x
u ( x, 0)  1, 0  x  1
2
Determine u(x, t).
Ejemplo 1 (2)
Solución
Si suponemos que u(x, t) = X(x)T(t) y usamos − 
como la constante de separación, tenemos
X   X  0
(1)
T   kT  0
(2)
X (0)  0,
X (1)  hX (1)
(3)
Ejemplo 1 (3)
(1) y (3) constituyen un problema regular de
Sturm-Liouville
X   X  0, X (0)  0, X (1)  hX (1)  0
(4)
Como en Ejemplo 2 de Sec 12.5, (4) posee
soluciones no triviales sólo para  = 2 > 0,  > 0.
La solución general es X = c1 cos x + c2 sin x.
X(0) = 0 implica c1 = 0. Aplicando la segunda
condición en (4) a X = c2 sin x, se tiene
 cos  h sin   0 or tan   

h
(5)
Ejemplo 1 (4)
Por el hecho de que la gráfica de y = tanx e y =
−x/h, h > 0, tengan un número infinito de
intersecciones para x > 0, (5) tiene un número
infinito de raíces. Si las raíces positivas consecutivas
se denotan n, n = 1, 2, …, entonces los valores
propios son n = n2 y las funciones propias
correspondientes son X(x) = c2 sin nx, n = 1, 2, ….
La solución de (2) es
 k n2t
k n2t
T (t )  c3e
, and so un  XT  Ane
sin  n x

u ( x, t )   Ane
n 1
 k n2t
sin  n x
Ejemplo 1 (5)
Ahora en t = 0, u(x, 0) = 1, 0 < x < 1, de forma que
(6)
1   An sin n x
n 1
(6) es un desarrollo de u(x, 0) = 1 en términos de las
funciones ortogonales que surgen del problema
regular de Sturm-Liouville (4). El conjunto {sin nx}
es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1.
De (8) de Sec 12.1, tenemos
1
sin n x dx

0
(7)
An  1
2
sin
0 n x dx
Ejemplo 1 (6)
Determinamos que
1
0
sin 2 n x dx

1 1
1
1
  [1  cos 2n x] dx  1 
sin 2n 
20
2  2n

(8)
Ut ilizando sin 2 n  2 sin  n cos n
y a part irde (5), n cos n   h sin  n , (8) se t ransforma en
1
2
sin

xdx

(
h

cos
 n ),
n
0
2
1
1 1
1
0 sin n xdx    n cos n x 0   n (1  cos n )
1
2
Ejemplo 1 (7)
De ahí (7) se transforma en
2h(1  cos n )
An 
2
 n (h  cos  n )
Por último,
2h(1  cos n ) k n 2t
u ( x, t )  
e
sin  n x
2
n 1  n ( h  cos  n )

Ejemplo 2
• Observe Fig 13.19. La EDP se describe
mediante
2
2




2
a
 2 , 0  x  1, t  0
2
x
t

 (0, t )  0,
x 1  0, t  0
x

 ( x, 0)  x, t 0  0, 0  x  1
t
Fig 13.19
Ejemplo 2 (2)
Solución
De manera similar, tenemos
X   X  0
T   a 2T  0
X (0)  0 y X (1)  0
(9)
(10)
(11)
(9) junto con la condición homogénea en la
frontera en (11),
X   X  0, x(0)  0, X (1)  0
es un problema regular de Sturm-Liouville.
(12)
Ejemplo 2 (3)
Para  = 0 y  = −2,  > 0, la única solución es X = 0.
Para  = 2,  > 0, aplicando X(0) = 0 y X(1) = 0 a la
solución X = c1 cos x + c2 sin x se tiene c1 = 0,
c2 cos  = 0. Por tanto n = (2n – 1)/2 y los valores
propios son n = n2 = (2n – 1)22/4, y las funciones
propias correspondientes son
2n  1 

X ( x)  c2 sin  n x  c2 sin 
x, n  1,2,3,...
 2 
Ejemplo 2 (4)
La condición inicial t(x, 0) = 0 implica X(x)T(0) = 0 ó
T(0) = 0. Aplicada a T(t) = c3 cos ant + c4 sin ant
de (10) implica c4 = 0, T(t) = c3 cos ant =
c3 cos a((2n – 1)/2)t. Por tanto
2n  1 
2n  1 


 n  XT  An cos a
t sin 
x
 2 
 2 

2n  1 
2n  1 


 ( x, t )   An cos a
t sin 
x
 2 
 2 
n 1
(13)
Ejemplo 2 (5)
Cuando t = 0, se tiene que tener, para 0 < x < 1,

2n  1 

 ( x, 0)  x   An sin 
 x
 2 
n 1
(14)
Como en Ejemplo 1, el conjunto
{sin((2n – 1)/2)x} es ortogonal con respecto a la
función peso p(x) = 1 en [0, 1]. Tenemos
2n  1 

0 sin  2 xdx 8(1)n1
An 

2 2
1
(
2
n

1
)

2  2n  1 
sin

xdx
0  2 
1
Ejemplo 2 (6)
Por último

n 1
(1)
2n  1 
2n  1 


 ( x, t )  2 
cos a
t sin 
x
2
 n1 (2n  1)
 2 
 2 
8
13.8 Series de Fourier con Dos Variables
• Ecuación de Onda y de Transmisión de Calor en
Dos Dimensiones
Ecuación de calor en dos dimensiones:
  2u  2u  u
k  2  2  
 x y  t
(1)
Ecuación de onda en dos dimensiones:
2
2
2



u

u

u
2
a  2  2   2
 x y  t
(2)
Fig 13.21
Ejemplo 1
Determine la temperatura u(x, y, t) en la placa si la
temperatura inicial es f(x, y) y los límites se matienen
a temperatura cero durante el tiempo t > 0.
Solución
tenemos que resolver
  2u  2u  u
k  2  2  
,0  x  b,0  y  c, t  0
y  t
 x
sujeta a u (0, y, t )  0, u (b, y, t )  0,0  y  c, t  0
u ( x,0, t )  0, u ( x, c, t )  0,0  x  b, t  0
u ( x, y,0)  f ( x, y ),0  x  b,0  y  c
Ejemplo 1 (2)
Si ponemosu = XYT, obtenemos
k ( X YT  XY T )  XYT  ó
X 
Y  T 
 
X
Y kT
(3)
De manera similar, podemos obtener
de modo que
X"
Y" T '
 
 
X
Y kT
X   2 X  0
(4)
Y  T 
2


Y kT
(5)
Ejemplo 1 (3)
Por la misma razón, introducimos otra constante
de separación − en (5), entonces
Y"
T'
  ,    
Y
kT
Y " Y  0, T ' k (   )T  0
(6)
Ahora las condiciones homogéneas
u(0, y, t )  0, u(b, y, t )  0 
 X (0)  0, X (b)  0
 implican 
u( x, 0, t )  0, u( x, c, t )  0 
 Y (0)  0, Y (c)  0
Ejemplo 1 (4)
De esta manera obtenemos dos problemas, uno en x
(7)
X   X  0, X (0)  0, X (b)  0
y otro en y
Y   Y  0, Y (0)  0, Y (c)  0
(8)
De forma similar tenemos dos conjuntos
independientes de valores propios y funciones
propias definidos por sin b = 0 y sin c = 0. Esto es
m
n
m  2 , y  n  2
b
c
2
2
2
2
(9)
Ejemplo 1 (5)
m
X ( x)  c2 sin
x, m  1, 2, 3, ...
b
n
e Y ( y )  c4 sin
y, n  1, 2, 3, ...
c
(10)
Después de sustituir los valores de (9) en (6), su
solución general es:
umn ( x, y, t )  Amne
 k [( m / b ) 2  ( n / c ) 2 ]t
m
n
sin
x sin
y
b
c
Ejemplo 1 (6)
Usando el principio de superposición en la forma de
una suma doble
u ( x, y , t )


  Amn e
 k [( m /b ) 2  ( n /c ) 2 ]t
m1 n 1
m
m
sin
x sin
y
b
c
(11)
En t = 0, tenemos
m
n
u ( x, y, 0)  f ( x, y )   Amn sin
x sin
y (12)
b
c
m

1
n

1
y
4 c b
m
n
Amn    f ( x, y ) sin
x sin
y dx dy (13)
bc 0 0
b
c


La ecuación (11) se llama serie de senos con dos
variables. La serie de cosenos con dos variables
es dada por
m
f ( x, y )  A00   Am 0 cos
x
b
m 1

 
n
m
n
  A0 n cos
y   Amn cos
x cos
y
c
b
c
n 1
m 1 n 1
1 c b
A00    f ( x, y )dxdy
bc 0 0

2 c b
m
Am 0    f ( x, y ) cos
xdxdy
bc 0 0
b
2 c b
n
A0 n    f ( x, y ) cos
ydxdy
bc 0 0
c
2 c b
m
n
Amn    f ( x, y ) cos
x cos
ydxdy
bc 0 0
b
c