Transcript Parciales
Problemas de Valores en la Frontera
en Coordenadas Rectangulares
CAPÍTULO 13
Contenidos
• 13.1 Ecuaciones Diferenciales Parciales Separables
• 13.2 EDP Clásicas y Problemas de Valores en la
Frontera
• 13.3 Ecuación de Calor
• 13.4 Ecuación de Onda
• 13.5 Ecuación de Laplace
• 13.6 Problemas de Valores en la Frontera no
homogéneos
• 13.7 Desarrollos en Series Ortogonales
• 13.8 Series de Fourier con Dos Variables
13.1 Ecuaciones Diferenciales Parciales Separables
• Ecuación Diferencial Lineal Parcial
Se se establece que u denota la variable dependiente
y x, y son variables independientes, la forma general
de una ecuación diferencial lineal parcial de
segundo orden se expresa emdiante
2u
2u
2u
u
u
A 2 B
C 2 D E Fu G (1)
xy
x
y
x
y
Cuando G(x, y) = 0, (1) es homogénea; de lo contrario,
es no homogénea.
Separación de Variables
• Si suponemos que u = X(x)Y(y), entonces
u
u
2u
2u
X 'Y , XY ' , 2 X "Y , 2 XY "
x
y
x
y
Ejemplo 1
Determine las soluciones producto de
2u
u
4 .
2
y
x
Solución
Sea u = X(x)Y(y) y entonces
X" Y'
X "Y 4 XY ' ,
4X Y
Introducimos una constante de separación real
como −.
Ejemplo 1 (2)
Así que
X" Y'
4X Y
X "4X 0, Y ' Y 0
Para los tres casos:
= 0:
X” = 0, Y’ = 0
= −2 > 0, > 0
X” – 42X = 0, Y’ − 2Y = 0
= 2 > 0, > 0
X” + 42X = 0, Y’ + 2Y = 0
(2)
(3)
(4)
(5)
Ejemplo 1 (3)
Caso I: ( = 0) Las soluciones de (3) son
X = c1 + c2x y Y = c3. Así
u XY (c1 c2 x)c3 A1 B1x
(6)
cuando A1 = c1c3 , B1 = c2c3.
Caso II: ( = −2) Las soluciones de (4) son
2y
X = c4 cosh 2x + c5 sinh 2x y Y c6e . ASí
2y
u XY (c4 cosh 2x c5 sinh 2x)c6e
or
2y
u A2e
2y
cosh 2x B2e
donde A2 = c4c6, B2 = c5c6.
sinh 2x
(7)
Ejemplo 1 (4)
Caso III: ( = 2) Las soluciones de (5) son
2 y
X = c7 cos 2x + c8 sin 2x e Y c9e . Así
u A3e
2 y
cos 2x B3e
donde A3 = c7c9, B3 = c8c9.
2 y
sin 2x
(8)
TEOREMA 13.1
Principio de Superposición
Si u1, u2, …, uk son soluciones de una ecuación diferencial
parcial, entonces al combinación lineal
u = c1u1 + c2u2 + … + ckuk
donde las ci = 1, 2, …, k son constantes, también es una
solución.
DEFINICIÓN 13.1
Clasificación de Ecuaciones
Se dice que la ecuación diferencial parcia lineal de
segundo orden
2u
2u
2u
u
u
A 2 B
C 2 D E Fu 0
xy
x
y
x
y
donde A, B, C, D, E, y F son constantes reales, es
2
B
4 AC 0
hiperbólica si
2
B
4 AC 0
parabólica si
2
B
4 AC 0
elíptica si
Ejemplo 2
Clasifique la siguiente ecuación:
2u u
(a)3 2
y
x
2u 2u
(b) 2 2
x
y
Solución
(a)
2
2u 2u
(c) 2 2 0
x y
u u
3 2
0; A 3,B 0, C 0;
x
y
B 2 4 AC 0 : parabólica
Ejemplo 2 (2)
(b)
2u 2u
2 0; A 1, B 0, C 1;
2
x
y
B 2 4 AC 0 : hiperbólica
(c )
2u 2u
2 0; A 1, B 0, C 1;
2
x
y
B 4 AC 0 : elíptica
2
13.2 EDP Clásicas y Problemas de Valores en la Frontera
• Introducción
Ecuaciones clásicas:
2u u
k 2
, k 0
(1)
t
x
2
2
u
u
2
(2)
a
2
2
x
t
2 u 2u
2 0
2
x y
(3)
Se conocen como la ecuación unidimensional del
calor, ecuación de onda unidimensional, y forma
bidimensional de la ecuación de Laplace,
respectivamente.
Observación:
• La ecuación de Laplace se abrevia como 2u = 0,
donde
2
2
u
u
2
u 2 2
x y
se llaman Laplaciano bidimensional de u. En tres
dimensiones el Laplaciano de u es
u u u
u 2 2 2
x y
z
2
2
2
2
Problemas de Valores en la Frontera
2
2
u
u
2
• Resolver: a 2 2 ,
x
t
0 xL ,
Sujeta a :
(BC) u (0, t ) 0 , u ( L, t ) 0 , t 0
(IC) u ( x, 0) f ( x) ,
u
t
g ( x) ,
t 0
t 0
(11)
0 xL
• y
2u 2u
2 0 , 0 xa , 0 yb
Resolver:
2
x
y
Sujeta a:
u
u
0,
0,
0 yb
x xa
(BC) x x0
(12)
u ( x, 0) 0 , u ( x, b) f ( x) , 0 x a
13.3 Heat Equation
• Introducción
La ecuación de calor puede desribirse así:
2u u
k 2
,
t
x
0 xL ,
t 0
(1)
u (0, t ) 0 ,
u ( L, t ) 0 ,
t 0
(2)
u ( x, 0) f ( x) , 0 x L
(3)
Solución de los PVF
• Usando u(x, t) = X(x)T(t), y − como la constante de
separación:
X T
X kT
(4)
X X 0
(5)
T kT 0
(6)
• Ahora las condicionesde frontera (2) se traducen en
u(0, t) = X(0)T(t) = 0 y u(L, t) = X(L)T(t) = 0. Luego
obtenemos X(0) = X(L) = 0 y
(7)
X X 0, X (0) 0, X ( L) 0
De las discusiones antriores obtenemos
X ( x) c1 c2 x,
0
X ( x) c1 coshx c2 sinh x,
2 0 (9)
X ( x) c1 cosx c2 sin x,
2 0
(8)
(10)
• Cuando las condiciones de frontera X(0) = X(L) = 0 se
aplican a (8) y (9), estas soluciones son sólo X(x) = 0.
Aplicando la primera condición a(10) se obtiene c1 =
0. Por tanto X(x) = c2 sin x. La condición X(L) = 0
implica que
X ( L) c2 sin L 0
(11)
Tenemos que sin L = 0 para c2 0 y = n/L, n = 1,
2, 3, … Los valores n = n2 = (n/L)2, n = 1, 2, 3, … y
las soluciones correspondientes
n
X ( x) c2 sin
x, n 1, 2, 3, ...
L
(12)
son los valores propios y funciones propias,
respectivamente.
La solución general de (6) es
T c3e
k ( n2 2 / L2 )t
y por tanto
un X ( x)(t )T Ane
donde An = c2c3.
k ( n 2 2 / L2 ) t
n
sin
x
L
(13)
• Ahora usando las condiciones iniciales u(x, 0) = f(x), 0
< x < L, tenemos
n
un ( x, 0) f ( x) An sin
x
(14)
L
Por el principio de superposición la función
n
k ( n 2 2 / L2 ) t
u ( x, t ) un Ane
sin
x
(15)
L
n 1
n 1
debe cumplir (1) y (2). Si ponemos t = 0, entonces
n
u ( x, 0) f ( x) An sin
x
L
n 1
• Se conoce como un desarrollo de semiintervalo para
f en a en una serie seno. Si ponemos An = bn, n = 1, 2,
3, … entonces:
2 L
n
An f ( x) sin
x dx
L 0
L
(16)
Llegamos a la conclusión de que la solución del PVF
descrito por (1), (2) y (3) se expresa mediante la serie
infinita
u ( x, t )
2 L
n
n (17)
k ( n 2 2 /L2 ) t
f ( x) sin
x dx e
sin
x
L n1 0
L
L
• Por ejemplo, u(x, 0) = 100, L = , y k = 1,
entonces
200 1 (1) n
,
An
n
n
200
1 (1) n2t
e sin nx
u ( x, t )
n1 n
(18)
13.4 Ecuación de Onda
• Introducción
Considere la ecuación de onda
u u
a
2 , 0 xL ,
2
x
t
2
2
2
u (0, t ) 0 ,
t 0
u ( L, t ) 0 ,
u
u ( x, 0) f ( x) ,
t
g ( x)
t 0
t 0
(1)
(2)
(3)
Solución del PVF
• Con la suposición u(x, t) = X(x)T(t), de (1) se
obtiene
X T
2
X aT
de modo que
X X 0
T a 2T 0
(4)
(5)
• Empleando que X(0) = 0 y X(L) = 0, se tiene
X X 0, X (0) 0, X ( L) 0
(6)
Sólo = 2 > 0, > 0 lleva a una solución no
trivial. Por tanto la solución general de (4) es
X c1 cos x c2 sin x
X(0) = 0 y X(L) = 0 implican que c1= 0 y
c2 sin L = 0. Por tanto se tiene que = n/L,
n = 1, 2, 3, …
• Los valores propios y las funciones propias son:
n
n n / L , X ( x) c2 sin
x, n 1,2,3,...
L
La solución generalde (5) es
na
na
T (t ) c3 cos
t c4 sin
t
L
L
2
2
2
• Sean An = c2c3, Bn = c2c4, soluciones que
satisfacen (1) y (2) son
na
na
n
un An cos
t Bn sin
t sin
x
L
L
L
(7)
y
u ( x, t )
n 1
A cos na t B sin na t sin n x
n
n
L
L
L
(8)
• Al sustituir t = 0 en (8) y usando u(x, 0) = f(x) se
obtiene
n
u ( x,0) f ( x) An sin
n 1
L
x
Puesto que esta última expresión es un desarrollo
en semiintervalo para f en una serie de senos,
podemos identificar An = bn:
2 L
n
An f ( x) sin
x dx
0
L
L
(9)
• Para determinar Bn se deriva (8) con respecto
a t y fijando t = 0:
u
na na
na
na n
An
sin
t Bn
cos
t sin
x
t n1
L
L
L
L
L
na n
x
sin
t 0 g ( x ) Bn
L
L
n 1
na 2 L
n
Bn
g ( x) sin
dx
0
L
L
L
u
t
Así se obtiene
2 L
n
Bn
g ( x) sin
dx
0
na
L
(10)
Ondas Estacionarias
• Es fácil transformar (8) en
na
n
un ( x, t ) Cn sin
t n sin
x
L
L
An
Bn
2
2
Cn An Bn , sin n , cosn
Cn
Cn
(11)
• Cuando n = 1, u1(x, t) se llama primer onda
estacionaria, primer modo normal o modo
fundamental de vibración. La frecuencia
f1 = a/2L del primer modo normal se llama la
frecuencia fundamental o primera armónica.
Observe Fig 13.9.
a
1 T
f1
2L 2L
Fig 13.9
13.5 Ecuación de Laplace
• Introducción
Considere el siguiente problema de valores en
la frontera
u u
2 0, 0 xa, 0 yb
2
x y
2
2
(1)
u
u
0,
0, 0 yb
x x0
x xa
(2)
u ( x, 0) 0 , u ( x, b) f ( x) , 0 x a
(3)
Solución del PVF
• Con u(x, y) = X(x)Y(y), (1) se transforma en
X"
Y"
X
Y
X "X 0
Y "Y 0
(4)
(5)
Las tres condiciones homogéneas de frontera
en (2) y (3) se traducen en X’(0) = 0, X’(a) = 0,
Y(0) = 0.
• Por tanto disponemos de siguientes ecuaciones
X X 0, X (0) 0, X ( a ) 0
(6)
Para = 0, (6) se transforma en
X” = 0, X’(0) = 0, X’(a) = 0
La solución es X = c1 + c2x. X’(0) = 0 implica que
c2 = 0 y X = c1 también satisface la condición X’(a)
= 0. Así X = c1, c1 0 es una solución no trivial.
• Para = −2 < 0, > 0, (6) no posee ninguna
solución no trivial.
• Para = 2 > 0, > 0, (6) se transforma en
X” + 2X = 0, X’(0) = 0, X’(a) = 0
Aplicando X’(0) = 0 a la solución X = c1 cos x + c2 sin x,
se tiene que c2 = 0 y por tanto X = c1 cos x .
De la condición X’(a) = 0 se obtiene −c1 sin a = 0, y
tiene que ser = n/a, n = 1, 2, 3, …. Los valores
propios de (6) son n = (n/a)2, n = 1, 2, …
• Relacionando 0 con n = 0, las funciones propias de (6)
son
n
X c1, n 0; X c1 cos
x, n 1,2,...
a
Para Y” – Y = 0, cuando 0 = 0, la solución es Y = c3 +
c4y. Y(0) = 0 implica c3 = 0 y por tanto Y = c4y.
• Para n = (n/a)2, n = 1, 2, …, la solución es
Y = c3 cosh (ny/a) + c4 sinh (ny/a)
Y(0) = 0 implica c3 = 0 y por tanto
Y = c4 sinh (ny/a).
• Las soluciones un = XY son
n
n
A0 y, n 0; An sinh
y cos
x, n 1,2,...
a
a
A0 c1c4 for n 0; An c1c4 for n 1,2,...
• El principio de superposición conduce a que
n
n
u ( x, y ) A0 y An sinh
y cos
x
a
a
n 1
(7)
Sustituimos y = b, entonces
n
n
u ( x, b) f ( x) A0b An sinh b cos
x
a
a
n 1
es le desarrollo de semiintervalo de f en una
serie de cosenos.
• Si se hacen las identificaciones A0b = a0/2 y
An sin (nb/a)= an, n = 1, 2, …., se tiene
2 a
2 A0b f ( x)dx
a 0
1 a
A0 f ( x)dx
ab 0
n
2 a
n
xdx
b f ( x) cos
An sin
0
a
a
a
a
n
2
xdx
f ( x) cos
An
n 0
a
b
a sin
a
(8)
(9)
Problema de Dirichlet
• Demostrar que la solución del siguiente
Problema de Dirichlet
2u 2u
2 0,0 x a,0 y b
2
x y
u (0, y ) 0, u (a, y ) 0
u ( x,0) 0, u ( x, b) f ( x)
es
n
n
u ( x, y ) An sinh
y sin
x
a
a
n 1
a
2
n
An
f ( x) sin
xdx
nb 0
a
a sinh
a
(10)
Superposition Principle
• Queremos dividir el siguiente problema
2u 2u
2 0, 0 xa, 0 yb
2
x y
u (0, y ) F ( y ) , u (a, y ) G ( y ) , 0 y b
u ( x, 0) f ( x) , u ( x, b) g ( x) , 0 x a
(11)
en dos problemas, cada uno de los cuales
tenga condiciones homogéneas de frontera en
fronteras paralelas, como se muestra en las
siguientes tablas.
• Problema 1:
2u1 2u1
2 0,0 x a,0 y b
2
x
y
u1 (0, y ) 0, u1 (a, y ) 0,0 y b
u1 ( x,0) f ( x), u1 ( x, b) g ( x),0 x a
• Problema 2:
2u 2 2u 2
2 0,0 x a,0 y b
2
x
y
u2 (0, y ) F ( y ), u2 (a, y ) G ( y ),0 y b
u2 ( x,0) 0, u2 ( x, b) 0,0 x a
• Suponemos que u1 y u2 son soluciones del
problema 1 y problema 2, respectivamente. Si
definimos u = u1 + u2, entonces
u (0, y ) u1 (0, y ) u2 (0, y ) 0 F ( y ) F ( y )
u ( x, b) u1 ( x, b) u2 ( x, b) g ( x) 0 g ( x)
etcétera. Fig 13.15.
Fig 13.15
• Se deja como ejercicio determinar que la
solución del problema 1 es
n
n n
u1 ( x, y ) An cosh
y Bn sinh
y sin
x
a
a
a
n 1
2 a
n
An f ( x) sin
xdx
a 0
a
1
2 a
n
n
Bn
g ( x) sin
xdx An cosh
b
nb a 0
a
a
sinh
a
• La solución del problema 2 es
n
n n
u2 ( x, y ) An cosh
x Bn sinh
x sin
y
b
b
b
n 1
2 b
n
An F ( y ) sin
ydy
0
b
b
1
2 b
n
n
Bn
G ( y ) sin
ydy An cosh
a
0
na b
b
b
sinh
b
13.6 PVF no homogéneos
• Introducción
Un típico PVF no homogéneo para la ecuación de
calor es 2
u
u
k 2 F ( x , t ) , 0 x L, t 0
t
x
u (0, t ) u0 (t ), u ( L, t ) u1 (t ), t 0
u ( x, 0) f ( x), 0 x L
(1)
Cuando se genera calor a una rapidez r en una
varilla, la ecuación de calor de (1) toma la forma
2u
u
k 2 r
t
x
está demostrado que la ecuación (2) no es
separable.
(2)
Cambio de Variables Dependientes
• u = v + , es una función a determinar.
EDP y CF Independientes del Tiempo
• EDP y CF Independientes del tiempo
Primero considere la fuente de calor F y que
las condiciones en la frontera son
independientes del tiempo:
2u
u
k 2 F ( x ) , 0 x L, t 0
t
x
u (0, t ) u0 , u ( L, t ) u1, t 0
u ( x, 0) f ( x), 0 x L
• PDE -> EDP ecuaciones diferenciales parciales ??????
• BC -> CF condiciones en la frontera ??????
(3)
• En (3), u0 y u1 son constantes.
Si permitimos que sea u(x, t) = v(x, t) + (x),
(3) puede reducirse a ods problemas:
P rombla1 : {k " F ( x) 0, (0) u0 , ( L) u1
2 v v
k 2
t
x
P rombla2 : v(0, t ) 0, v( L, t ) 0
v( x,0) f ( x) ( x)
Ejemplo 1
Resolver (2) sujeta a
u (0, t ) 0, u (1, t ) u0 , t 0
u ( x,0) f ( x),0 x 1
Solución
Si permitimos que sea u(x, t) = v(x, t) + (x),
entonces
2u 2v
u v
2 ,
2
t t
x
x
puesto que t = 0.
(4)
Ejemplo 1 (2)
Sustituyendo (4) en (3) se tiene
2v
v
k 2 k r
t
x
(5)
La ecuación (5) se reduce a una EDP homogénea si
se exige que sea una función que satisfaga la EDO
Así se tiene
r
k " r 0 ó "
k
r 2
( x) x c1x c 2
2k
(6)
Ejemplo 1 (3)
Además,
u (0, t ) v(0, t ) (0) 0
u (1, t ) v(1, t ) (1) u0
Se tiene que v(0, t) = 0 y v(1, t) = 0, si elegimos
(0) = 0 y (1) = u0
Aplicando estas condiciones a (6) se tiene c2 = 0,
c1 = r/2k + u0.
Ejemplo 1 (4)
En consecuencia
r 2 r
( x) x u0 x
2k
2k
Por último, la condición inicial u(x,0) = v(x, 0) +
(x) implica que v(x,0) = u(x, 0) − (x) = f(x) –
(x). Tenemos el nuevo PVF homogéneo:
2v v
k 2 , 0 x 1, t 0
t
x
v(0, t ) 0, v(1, t ) 0, t 0
r 2 r
v( x,0) f ( x) x u0 x, 0 x 1
2k
2k
Ejemplo 1 (5)
• De manera usual se encuentra
v( x, t ) An e
n 1
kn2 2t
sin nx
Con la condicióninicial v( x,0), se tiene
r 2 r
An 2 f ( x)
x u0 x sin nxdx (7)
0
2k
2k
1
Ejemplo 1 (6)
Una solución del problema original es
r 2 r
kn2 2t
u ( x, t ) x u0 x Ane
sin nx (8)
2k
2k
n 1
Observe que
u ( x, t ) ( x) as t : solución de estado estable
v( x, t ) 0 as t : solución transitoria
EDP y BF Dependientes del Tiempo
• En esta situación, una nueva forma de solución es
u(x, t) = v(x, t) + (x, t)
Puesto que
2u 2v 2
u v
2 2 y
2
x
x
x
t t t
(9)
(1) se transforma
2v
2
v
k 2 k 2 F ( x, t )
(10)
t t
x
x
v(0, t ) (0, t ) u0 (t ), v( L, t ) ( L, t ) u0 (t )
v( x, 0) f ( x) ( x, 0)
• Las CF en v en (10) pasan a ser homogéneas si
exigimos que
(11)
(0, t ) u0 (t ), ( L, t ) u0 (t )
Ahora construimos una función que satisfaga
ambas condiciones en (11). Una función de esta
forma es
x
(12)
u ( x, t ) u0 (t ) [u1 (t ) u0 (t )]
L
Observe que xx = 0. Si sustituimos
x
u ( x, t ) v( x, t ) u0 (t ) [u1 (t ) u0 (t )]
L
el problema en (1) se transforma en
(13)
2v
2
v
k 2 k 2 F ( x, t )
x t
x
x
v(0, t ) (0, t ) u0 (t ), v( L, t ) ( L, t ) u0 (t )
v( x, 0) f ( x) ( x, 0)
donde G(x, t) = F(x, t) – t.
(14)
• Antes de resolver (14), señalamos la estrategia
básica:
Suponemos que se pueden hallar
coeficientes dependientes del tiempo vn(t) y
Gn(t) tales que v(x, t) y G(x, t) en (14) pueden
desarrollarse en serie
n
v( x, t ) vn (t ) sin
x
L
n 1
n
and G ( x, t ) Gn (t ) sin
x
L
n 1
(15)
• donde sin(nx/L), n = 1, 2, … son las funciones
propias de X”+ X = 0, X(0) = 0, X(L) = 0
correspondientes a los valores propios
n = n2 = n22/L2
Ejemplo 2
Resolver
2u u
k 2 , 0 x 1, t 0
t
x
u (0, t ) cos t , u (1, t ) 0, t 0
u ( x, 0) 0, 0 x 1
Solución
Hacemos corresponder este problema con (1) para
obtener k = 1, L = 1, F(x, t) = 0, u0(t) = cos t, u1(t) = 0,
f(x) = 0.
De (12) obtenemos
( x, t ) cos t x[0 cos t ] (1 x) cos t
y entonces como se indica en (13), sustituimos
(16)
u ( x, t ) v( x, t ) (1 x) cos t
Ejemplo 2 (2)
Para obtener el PVF para v(x, t):
2v
v
(1 x) sin t , 0 x 1, t 0
2
t
x
v(0, t ) 0, v(1, t ) 0, t 0
(17)
v( x, 0) x 1, 0 x 1
Los valores propios y las funciones propias del
problema de Sturm-Liouville
X +X = 0, X(0) = 0, X(1) = 0
son n = n2 = n22 y sin nx, n = 1, 2, ….
Ejemplo 2 (3)
Con G(x, t) = (1 – x) sin t, suponemos a partir de
(15) y para t fijo, v y G pueden escribirse como
series de seno d eFourier:
v( x, t ) vn (t ) sin nx
n 1
y
(18)
(1 x) sin t Gn (t ) sin nx
n 1
(19)
Ejemplo 2 (4)
Tratando t como un parámetro,
2 1
Gn (t ) (1 x) sin t sin nxdx
1 0
2
2 sin t (1 x) sin nxdx
sin t
0
n
1
Por lo tanto
2
(1 x) sin t sin t sin nx
n 1 n
(20)
Ejemplo 2 (5)
De (18), tenemos
2v
2 2
v
(
t
)(
n
) sin nx
n
2
x
n 1
(21)
v
y
vn (t ) sin nx
t n 1
La EDP se transforma en
2 sin t
vn ' (t ) n vn (t ) sin nx n sin nx
n 1
n 1
2 sin t
2 2
vn ' (t ) n vn (t )
n
2
2
Ejemplo 2 (6)
Para cada n, la solución general de la EDO es:
2 n2 2 sin t cos t
n2 2t
Cne
vn (t )
4 4
n
n 1
donde Cn denota la constante arbitraria. De ahí
n2 2 sin t cos t
n2 2t
v( x, t ) 2
Cne
sin nx (22)
4 4
n (n 1)
n1
Ejemplo 2 (7)
Cn puede determinarse la condición inicial v(x, 0)
a (22). De l serie de Fourier
2
x 1
Cn sin nx
4 4
n 1 n ( n 1)
1
2
Cn 2 ( x 1) sinnxdx
4 4
0
n (n 1)
2
2
Cn
4 4
n
n (n 1)
Ejemplo 2 (8)
Por tanto
2
2
Cn
4 4
n (n 1) n
2 n 2 2 sin t cos t e n t e n
v ( x, t )
4 4
n1
n
n(n 1)
u ( x, t ) (1 x cos t )
2 2
n sin t cos t e
n1
n(n 4 4 1)
2
2
2
n 2 2t
t
2 2
e
sin nx
n 2 2t
n
sin nx
13.7 Desarrollos en Series Ortogonales
• Ejemplo 1
La temperatura de una varilla de unidad
unitaria se determina de
u u
k 2 , 0 x 1, t 0
t
x
u
u (0, t ) 0,
x 1 hu (1, t ), h 0, t 0
x
u ( x, 0) 1, 0 x 1
2
Determine u(x, t).
Ejemplo 1 (2)
Solución
Si suponemos que u(x, t) = X(x)T(t) y usamos −
como la constante de separación, tenemos
X X 0
(1)
T kT 0
(2)
X (0) 0,
X (1) hX (1)
(3)
Ejemplo 1 (3)
(1) y (3) constituyen un problema regular de
Sturm-Liouville
X X 0, X (0) 0, X (1) hX (1) 0
(4)
Como en Ejemplo 2 de Sec 12.5, (4) posee
soluciones no triviales sólo para = 2 > 0, > 0.
La solución general es X = c1 cos x + c2 sin x.
X(0) = 0 implica c1 = 0. Aplicando la segunda
condición en (4) a X = c2 sin x, se tiene
cos h sin 0 or tan
h
(5)
Ejemplo 1 (4)
Por el hecho de que la gráfica de y = tanx e y =
−x/h, h > 0, tengan un número infinito de
intersecciones para x > 0, (5) tiene un número
infinito de raíces. Si las raíces positivas consecutivas
se denotan n, n = 1, 2, …, entonces los valores
propios son n = n2 y las funciones propias
correspondientes son X(x) = c2 sin nx, n = 1, 2, ….
La solución de (2) es
k n2t
k n2t
T (t ) c3e
, and so un XT Ane
sin n x
u ( x, t ) Ane
n 1
k n2t
sin n x
Ejemplo 1 (5)
Ahora en t = 0, u(x, 0) = 1, 0 < x < 1, de forma que
(6)
1 An sin n x
n 1
(6) es un desarrollo de u(x, 0) = 1 en términos de las
funciones ortogonales que surgen del problema
regular de Sturm-Liouville (4). El conjunto {sin nx}
es ortogonal con respecto a la función peso p(x) = 1.
De (8) de Sec 12.1, tenemos
1
sin n x dx
0
(7)
An 1
2
sin
0 n x dx
Ejemplo 1 (6)
Determinamos que
1
0
sin 2 n x dx
1 1
1
1
[1 cos 2n x] dx 1
sin 2n
20
2 2n
(8)
Ut ilizando sin 2 n 2 sin n cos n
y a part irde (5), n cos n h sin n , (8) se t ransforma en
1
2
sin
xdx
(
h
cos
n ),
n
0
2
1
1 1
1
0 sin n xdx n cos n x 0 n (1 cos n )
1
2
Ejemplo 1 (7)
De ahí (7) se transforma en
2h(1 cos n )
An
2
n (h cos n )
Por último,
2h(1 cos n ) k n 2t
u ( x, t )
e
sin n x
2
n 1 n ( h cos n )
Ejemplo 2
• Observe Fig 13.19. La EDP se describe
mediante
2
2
2
a
2 , 0 x 1, t 0
2
x
t
(0, t ) 0,
x 1 0, t 0
x
( x, 0) x, t 0 0, 0 x 1
t
Fig 13.19
Ejemplo 2 (2)
Solución
De manera similar, tenemos
X X 0
T a 2T 0
X (0) 0 y X (1) 0
(9)
(10)
(11)
(9) junto con la condición homogénea en la
frontera en (11),
X X 0, x(0) 0, X (1) 0
es un problema regular de Sturm-Liouville.
(12)
Ejemplo 2 (3)
Para = 0 y = −2, > 0, la única solución es X = 0.
Para = 2, > 0, aplicando X(0) = 0 y X(1) = 0 a la
solución X = c1 cos x + c2 sin x se tiene c1 = 0,
c2 cos = 0. Por tanto n = (2n – 1)/2 y los valores
propios son n = n2 = (2n – 1)22/4, y las funciones
propias correspondientes son
2n 1
X ( x) c2 sin n x c2 sin
x, n 1,2,3,...
2
Ejemplo 2 (4)
La condición inicial t(x, 0) = 0 implica X(x)T(0) = 0 ó
T(0) = 0. Aplicada a T(t) = c3 cos ant + c4 sin ant
de (10) implica c4 = 0, T(t) = c3 cos ant =
c3 cos a((2n – 1)/2)t. Por tanto
2n 1
2n 1
n XT An cos a
t sin
x
2
2
2n 1
2n 1
( x, t ) An cos a
t sin
x
2
2
n 1
(13)
Ejemplo 2 (5)
Cuando t = 0, se tiene que tener, para 0 < x < 1,
2n 1
( x, 0) x An sin
x
2
n 1
(14)
Como en Ejemplo 1, el conjunto
{sin((2n – 1)/2)x} es ortogonal con respecto a la
función peso p(x) = 1 en [0, 1]. Tenemos
2n 1
0 sin 2 xdx 8(1)n1
An
2 2
1
(
2
n
1
)
2 2n 1
sin
xdx
0 2
1
Ejemplo 2 (6)
Por último
n 1
(1)
2n 1
2n 1
( x, t ) 2
cos a
t sin
x
2
n1 (2n 1)
2
2
8
13.8 Series de Fourier con Dos Variables
• Ecuación de Onda y de Transmisión de Calor en
Dos Dimensiones
Ecuación de calor en dos dimensiones:
2u 2u u
k 2 2
x y t
(1)
Ecuación de onda en dos dimensiones:
2
2
2
u
u
u
2
a 2 2 2
x y t
(2)
Fig 13.21
Ejemplo 1
Determine la temperatura u(x, y, t) en la placa si la
temperatura inicial es f(x, y) y los límites se matienen
a temperatura cero durante el tiempo t > 0.
Solución
tenemos que resolver
2u 2u u
k 2 2
,0 x b,0 y c, t 0
y t
x
sujeta a u (0, y, t ) 0, u (b, y, t ) 0,0 y c, t 0
u ( x,0, t ) 0, u ( x, c, t ) 0,0 x b, t 0
u ( x, y,0) f ( x, y ),0 x b,0 y c
Ejemplo 1 (2)
Si ponemosu = XYT, obtenemos
k ( X YT XY T ) XYT ó
X
Y T
X
Y kT
(3)
De manera similar, podemos obtener
de modo que
X"
Y" T '
X
Y kT
X 2 X 0
(4)
Y T
2
Y kT
(5)
Ejemplo 1 (3)
Por la misma razón, introducimos otra constante
de separación − en (5), entonces
Y"
T'
,
Y
kT
Y " Y 0, T ' k ( )T 0
(6)
Ahora las condiciones homogéneas
u(0, y, t ) 0, u(b, y, t ) 0
X (0) 0, X (b) 0
implican
u( x, 0, t ) 0, u( x, c, t ) 0
Y (0) 0, Y (c) 0
Ejemplo 1 (4)
De esta manera obtenemos dos problemas, uno en x
(7)
X X 0, X (0) 0, X (b) 0
y otro en y
Y Y 0, Y (0) 0, Y (c) 0
(8)
De forma similar tenemos dos conjuntos
independientes de valores propios y funciones
propias definidos por sin b = 0 y sin c = 0. Esto es
m
n
m 2 , y n 2
b
c
2
2
2
2
(9)
Ejemplo 1 (5)
m
X ( x) c2 sin
x, m 1, 2, 3, ...
b
n
e Y ( y ) c4 sin
y, n 1, 2, 3, ...
c
(10)
Después de sustituir los valores de (9) en (6), su
solución general es:
umn ( x, y, t ) Amne
k [( m / b ) 2 ( n / c ) 2 ]t
m
n
sin
x sin
y
b
c
Ejemplo 1 (6)
Usando el principio de superposición en la forma de
una suma doble
u ( x, y , t )
Amn e
k [( m /b ) 2 ( n /c ) 2 ]t
m1 n 1
m
m
sin
x sin
y
b
c
(11)
En t = 0, tenemos
m
n
u ( x, y, 0) f ( x, y ) Amn sin
x sin
y (12)
b
c
m
1
n
1
y
4 c b
m
n
Amn f ( x, y ) sin
x sin
y dx dy (13)
bc 0 0
b
c
La ecuación (11) se llama serie de senos con dos
variables. La serie de cosenos con dos variables
es dada por
m
f ( x, y ) A00 Am 0 cos
x
b
m 1
n
m
n
A0 n cos
y Amn cos
x cos
y
c
b
c
n 1
m 1 n 1
1 c b
A00 f ( x, y )dxdy
bc 0 0
2 c b
m
Am 0 f ( x, y ) cos
xdxdy
bc 0 0
b
2 c b
n
A0 n f ( x, y ) cos
ydxdy
bc 0 0
c
2 c b
m
n
Amn f ( x, y ) cos
x cos
ydxdy
bc 0 0
b
c