Transcript Движение - Дремова О.Н.

Подготовили:
Глаголев Дмитрий,
Натаров Алексей,
Никулин Иван,
Подовинников Даниил,
Татаринцева Татьяна,
Хамлова Елена.
Руководитель: Дремова Ольга Николаевна.
Цель проекта: обобщить все виды движения, используя анимацию
наглядно представить преобразование фигур в ходе выполнения
различных видов движения; рассмотреть случаи центральной и
осевой симметрии на примере геометрических фигур.
План.
1.Определения движения, виды движения.
2. Центральная симметрия.
3. Осевая симметрия.
4. Поворот вокруг точки.
5. Параллельный перенос.
6. Геометрические фигуры, имеющие центр симметрии.
7. Геометрические фигуры, имеющие ось симметрии.
. 1. Определения движения, виды движения.
Определение. Фигура F1 получена преобразованием из
фигуры F, если каждая точка фигуры F1 получена какимлибо смещением соответствующих точек фигуры F .
Определение. Преобразование фигуры F в фигуру F1
называется движением, если оно сохраняет расстояние
между точками.
Движением являются следующие преобразования:
-центральная симметрия;
- осевая симметрия;
- поворот вокруг точки;
-параллельный перенос.
2. Центральная симметрия.
Определение. Точка Х1 называется симметричной точке Х
относительно точки О, если Х1, Х и О лежат на одной прямой и
выполняется условие: ОХ1 = ОХ, ( О – центр симметрии).
А
О, А, А1-лежат на одной прямой,
О
А1
АО = А1О,
.
.
.
А1 симметрична А относительно точки О.
Определение. Фигура F1 называется центрально симметричной
фигуре F, если каждая точка фигуры F1 центрально
симметрична соответствующей точке фигуры F
F1
О
.
F
F1 симметричнаF
относительно точки О
А
.
.
Дано: точка А,
О
О- центр симметрии.
Построить: точку А1, симметричную точке А
.А
1
относительно точки О.
Построение.
1. Проведем луч АО,
2. За точку О отложим отрезок ОА1 = ОА,
3. Точка А1 – искомая.
Дано:
∆АВС, О – центр симметрии.
В
Построить: ∆АВС, симметричный
∆А1В1С1 относительно центра О.
А
С
Построение:
О
С1
А1
В1
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Проведём луч АО.
Отложим А1О=АО.
Проведём луч ВО.
Отложим В1О=ВО.
Проведём луч СО.
Отложим С1О=СО.
Достроим ∆А1В1С1 – искомый.
Дано: АВСD – четырехугольник,
В
А
О – центр симметрии.
Построить: A1 B1 C1 D1 - симметричный
ABCD относительно центра О.
С
D
Построение:
О
D1
А1
С1
В1
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Проведём луч АО.
Отложим А1О=АО.
Проведём луч ВО.
Отложим В1О=ВО.
Проведём луч СО.
Отложим С1О=СО.
Проведём луч DO.
Отложим D1O=DO.
Достроим A1B1C1D1 – искомый.
3. Осевая симметрия.
Определение. Точка А1 симметрична точке А относительно прямой п,
если прямая АА1 перпендикулярна прямой п и расстояния от точек
А и А1 до прямой п равны.
.
А
А – точка, не принадлежащая прямой п,
АА1 ┴ п, АН = А1Н,
Точка А1 симметрична точке А
относительно прямой п.
Н
.
п
А1
Определение. Фигура F1 называется симметричной фигуре F
относительно прямой п, если каждая точка фигуры F1 симметрична
соответствующей точке фигуры F относительно прямой п
(п – ось симметрии).
F
F1
п
Фигура F1 симметрична фигуре F
относительно прямой п.
Дано: точка А, п – ось симметрии.
.А
п
Н
Построить: точку А1, симметричную
точке А относительно прямой п.
.А
1
Построение.
1. Опустим из точки А перпендикуляр АН на
прямую п и продлим его за точку Н.
2. За точку Н отложим отрезок НА1 = НА.
3. Получили : точка А1 – искомая.
С
В
Дано:
D
.. .
О
.
А
О1
А’
.
В’
.
О2
.
С’
О3
.
АВСD- четырёхугольник;
ℓ - ось симметрии.
Построить:
ℓ
А’B’C’D’ симметричный АВСD
относительно прямой ℓ.
Построение.
1) Проведем луч АО⊥ ℓ
2) Отложим ОА’ = ОА
D’
3) Проведем луч ВО1⊥ ℓ
4) Отложим О1В’ = O1В
5) Проведем луч СО2 ⊥ℓ
6) Отложим О2С’ = О2С
7) Проведем луч DO3 ⊥ℓ
8) Отложим O3D’ = O3D
9) Достроим четырехугольник А’B’C’D’ – искомый.
С
D
Дано:
В
E
. .О.
.
.
А
О1
А’
О2
В’
С’
О4
E’
.
..
.
.
О3
ℓ
АВСDE- пятиугольник;
ℓ - ось симметрии.
Построить:
А’B’C’D’E’симметричный АВСDE
относительно прямой ℓ.
Построение:
1) Проведем луч АО⊥ ℓ
2) Отложим ОА’ = ОА
D’
3) Проведем луч ВО1⊥ℓ
4) Отложим О1В’ = О1В
5) Проведем луч СО2 ⊥ℓ
6) Проведем О2С’= О2С
7) Проведем луч DO3⊥ℓ
8) Отложим О3D ’= О3D
9) Проведем луч О4Е ⊥ℓ
10) Отложим О4Е’= О4Е
11) Достроим пятиугольник А’B’C’D’ – искомый.
4. Поворот вокруг точки.
Определение. Поворотом точки А вокруг точки О на угол α
называется преобразование, при котором точка А переходит в
точку А1 такую, что ОА = ОА1 и ∟АОА1 = α (О – центр поворота, α
– угол поворота).
.А
.
А1
О – центр поворота.
ОА = ОА1 ; ∟АОА1 = α.
α
.О
Точка А1 получена из точки А поворотом вокруг
точки О на угол α
L
M
Дано:
B'
C'
∆ ABC ,
O – центр поворота.
Построить:
K
∆ A'B'C', полученный
поворотом ∆ ABC вокруг O на -8О°.
C
Построение.
A'
B
O
A
1) Проведём луч OA.
2) Отложим ∟ OAK = -8O° и OA'=OA.
3) Проведём луч OB.
4) Отложим ∟ OBL = -8O° и OB'=OB..
5) Проведём луч OC.
6) Отложим ∟ OCM = -8O° и OC'=OC.
7) Достроим ∆ A'B'C' – искомый.
N
P
E'
L
K
D'
Дано:
A'
M
ABCDE – пятиугольник.
O – центр поворота.
A'B'C'D'E',
полученный поворотом ABCDE
вокруг O на 120°.
Построение:
Построить:
C'
B'
C
D
O
B
E
A
1) Проведём луч OA
2) Отложим ∟AOK=120°, OA'=OA.
3) Аналогично достроим образы
точек B – B', C – C', D – D', E – E'.
4) Достроим A'B'C'D'E' – искомый.
(1).
Дано: ABCDE – пятиугольник
С
О – центр поворота.
D
В
Построить: A’B’C’D’E’, полученный
А
Е
О
поворотом ABCDE на – 90 º.
Построение.
B’
A’
C’
E’
D’
1)Проведём лучи ОА’ , ОВ’ , OC’ , OE’ , так чтобы
∟АОА’=∟ВОВ’=∟СОС’=∟DOD’=∟EOE’=90 °
2)Отложим отрезки ОА’=ОА, ОВ’=ОВ, ОС’=ОС,
OD’=OD, ОЕ’=ОЕ,
3)Попарно соединим точки A’,B’,C’,D’,E’.
4) A’B’C’D’E’ – искомый пятиугольник.
(2).
Дано: ABCDE-пятиугольник,
О -центр симметрии.
B’
D’
Построить: A’B’C’D’E’, полученный
поворотом ABCDE на -90˚.
Построение:
1) Проведём луч АО, отложим ∟AOA’=90˚
и АО=А’О.
2) Проведём луч ВО; отложим
∟BOB’=90˚ и ВО=В’О;
E’
A’
C’
A
B
E
4) Достроим A’B’C’D’Eискомый.
О
C
3) Аналогично
достроим образы точек
С’, D’, E’.
D
5. Параллельный перенос.
Определение. Параллельным переносом называется преобразование,
при котором все точки фигуры смещаются в одном и том же
направлении на одно и то же расстояние.
Пример параллельного переноса фигуры.
F
F1
Параллельный перенос на плоскости задается вектором.
В
Дано:
А
.
С
B`
A`
.
О
.
C`
О` O``
n
∆АВС.
Построить: ∆A`B`C`,
полученный параллельным
переносом ∆АВС на вектор п.
Построение.
1. Проведем луч АО. Отложим АA`= n .
2. Проведем луч BO`. Отложим BB`= n .
3. Проведем луч CO``. Отложим CC`= n.
4. Достроим ∆A`B`C`- искомый.
В
n
С
Дано: четырехугольник ABCD,
B`
вектор п.
Построить: четырехугольник
A`B`C`D, полученный параллельным
переносом ABCD на вектор п.
А
D
C`
O`
Построение.
O``
A`
O
D`
O```
1. Проведем луч АО.
Отложим AA`= |n|.
2. Проедем луч ВО`.
Отложим ВВ`= |n|.
3. Проведем луч СО``. Отложим СC`= |n|.
4. Проведем луч DO```. Отложим DD`= |n|.
5. Достроим A`B`C`D` - искомый.
6. Геометрические фигуры, имеющие центр симметрии.
Многие фигуры на плоскости имеют центр симметрии.
Это прямая, отрезок, окружность и круг, некоторые виды
четырехугольников, некоторые правильные многоугольники.
Центром симметрии прямой
является каждая ее точка.
Центром симметрии отрезка
является его середина.
.
В
.
.
О
О
.
.
А
а
Точка О – центр
симметрии прямой а.
.
О – середина отрезка АВ.
О – центр симметрии отрезка.
Центр окружности (или круга)
является центром его симметрии.
.
.
.О
Центром симметрии квадрата
является точка пересечения его
диагоналей.
.
.
О
.
.
О – центр симметрии
окружности.
О – центр симметрии
квадрата.
Центр симметрии
прямоугольника – точка
пересечения его диагоналей.
О
.
О – центр симметрии прямоугольника.
Центр симметрии имеют также:
О
●
●
О
параллелограмм
ромб
О
●
О ●
правильный
шестиугольник
правильный
восьмиугольник
и другие.
6. Геометрические фигуры, имеющие ось симметрии.
К фигурам, имеющим ось симметрии относятся прямая, отрезок,
окружность и круг, прямоугольник, ромб, квадрат, равнобедренный
и равносторонний треугольник, равнобокая трапеция, правильные
шестиугольник, восьмиугольник и другие.
Осью симметрии прямой является
любая перпендикулярная ей
прямая.
а
п
Осью симметрии отрезка
является серединный
перпендикуляр, проведенный к
этому отрезку.
●
В
п
п - ось симметрии прямой а
А
●
п - ось симметрии отрезка АВ
Ось симметрии окружности (или
круга) – прямая, проходящая через
центр окружности (круга).
Оси симметрии
прямоугольника – прямые,
проходящие через середины
противолежащих сторон.
О●
Оси симметрии квадрата –прямые, проходящие
через середины его сторон и прямые, содержащие
диагонали.
Ось симметрии равнобедренного
треугольника – прямая, содержащая
медиану, проведенную к основанию
этого треугольника.
Оси симметрии равностороннего
треугольника – прямые,
содержащие медианы этого
треугольника.
Ось симметрии равнобокой
трапеции – прямая,
проходящая через середины
её оснований.
Оси симметрии правильного
шестиугольника – прямые,
проходящие через середины
противолежащих сторон и
вершин.
Использованная литература:
Л. С. Атанасян и др., «Геометрия 7-9»,Москва,
Просвещение, 2006год;
А. В. Погорелов и др., «Геометрия 7-11», Москва,
просвещение 2000год;
Е. М. Рабинович, «Задачи и упражнения на готовых
чертежах», «ИЛЕКСА», Москва, 2006 год.