Transcript Турбулентные потоки в плазме (и на бирже)

Турбулентные потоки в плазме
(и на бирже)
Н.Н. Скворцова
Отдел физики плазмы
Институт общей физики РАН
Н.Н. Скворцова, О.В. Шестаков, Д.В. Малахов
численные методы анализа временных выборок стохастических сигналов
(на примере плазменных флуктуаций)
Курсы лекций и лабораторных работ. МИРЭА, 2011.
(МИРЭА, МИФИ, 2009-2013)
www.rbc.ru
2 см
Норильский
никель
Цунами
0
Ансамбль из четырех последовательных реализаций
флуктуаций турбулентного потока частиц структурной
ионно-звуковой турбулентности.
www.brill.nl
Исследования низкочастотной флуктуаций в
тороидальных и линейной магнитных системах
показали существование состояния сильной
структурной низкочастотной турбулентности в
магнитоактивной плазме. Такое состояние
возникает в стационарной плазме (в открытой
термодинамической системе) с притоком и стоком
энерегии , как результата развития целого ряда
процессов: нарастания и насыщения
неустойчивостей, формирования стохастических
плазменных структур, нелинейных процессов
взаимодействия между структурами.
Особенности спектральных, корреляционных и вероятностных характеристик делают
временные выборки сигналов в структурной турбулентности удобным объектом для
обучения численным методам анализа данных, т.к. они подобны временным
выборкам случайных сигналов в экономике, геофизике, океанологии и т.д.
Измерения флуктуаций плазмы были проведены на
установках: с низкотемпературной плазмой,
и высокотемпературной плазмой — стеллараторах,
токамаках, торсатроне.
Л-2М (ИОФ РАН, Москва)
TJ-II (CIEMAT, Мадрид)
LHD (NIFS, Токи, Япония)
ФТ-2 (ФТИ РАН, С.-Петербург)
Т-10 (Курчатовский центр, Москва)
TJ-1U (CIEMAT, Мадрид)
ТАУ-1 (ИОФ РАН, Москва)
Исследование структурной плазменной турбулентности (1993- …)
A.A. Rukhadze, K.A. Sarksyan, N.N. Skvortsova. Stimulated Cherenkov radiation of plasma waves
and plasma turbulence. Journal of Physique IV – Colloques. 1995. 5. P. 53-59.
G.M. Batanov, O.I. Fedianin, N.K. Kharchev, et al. Statistical properties and radial structure of
plasma turbulence in the boundary region of the L-2M stellarator. // Plasma Physics and Control
Nuclear Fusion. 1998. 40. P. 1241- 1250.
Н.Н. Скворцова, К А. Сарксян, Н.К. Харчев. Ионно-звуковая турбулентность как
автомодельный случайный процесс. // Письма в ЖЭТФ. 1999. 70. С. 203-207.
Г.М. Батанов, В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев, и др. Турбулентный перенос в плазме как
диффузионный процесс со случайным временем. // Письма в ЖЭТФ. 2001. 73(4). C.143-147.
B.P. van Milligen, E. de la Luna, F.L. Tabares, et al.. Ballistic transport in TJ-II. // Nuclear Fusion,
2002. 42. P. 787-795.
Г.М. Батанов, В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев, и др. Структурная плазменная низкочастотная
турбулентность в стеллараторе Л-2М.//Письма в ЖЭТФ, 2003. 78. C. 974-983.
Н.Н. Скворцова, В.Ю. Королев, Т.А. Маравина, и др. Новые возможности математического
моделирования турбулентных транспортных процессов в плазме. // Физика Плазмы. 2005.
31(1), С. 64-83.
N.N. Skvortsova, D.K. Akulina, G.M. Batanov, et al.Effect of ECRH Regime on Characteristics of
Short-Wave Turbulence in Plasma of the L-2M. Plasma Phys. Control. Fusion, 52 (2010) 055008
Г.М. Батанов, В.Д. Борзосеков, Л.В. Колик, Д.В. Малахов, А.Е. Петров, А.А. Пшеничников,
К.А. Сарксян, Н.Н. Скворцова, Н.К. Харчев. // Длинноволновая турбулентность в плазме
стелларатора Л-2М при электронно-циклотронном нагреве. ВАНТ, №2, 2011, с.70-75.
G. M. Batanov, A. K. Gorshenin, V. Yu. Korolev, D. V. Malakhov, and N. N. Skvortsova. The
Evolution of Probability Characteristics of Low-Frequency Plasma Turbulence Mathematical Models
and Computer Simulations, 2012, V.4, No.1, pp. 10–25
……………………………………………………….
Л. А. Арцимович. Элементарная физика плазмы. 3-е
изд. — М.: Атомиздат, 1969.
Движение пробной
частицы:
а) в случайном гауссовском
поле (в плазме),
b) в поле процесса,
являющегося дробноустойчивым случайным
процессом.
Наиболее явное сходство между исследуемыми в разных установках НЧ
турбулентными пульсациями такой природы наблюдается в схожести их
вероятностных характеристик, в первую очередь, в отличии плотностей
вероятности значений временных выборок от нормальных распределений.
Л-2М
PDF амплитуд флуктуаций плотности: (a)
в области нагрева и (b) на краю плазмы.
TJ-II
R/S — зависимость для амплитуд
флуктуаций плотности с k = 6 cm-1.
Длина анализируемого временного
ряда ~100 тыс. точек.
Плазма в стеллараторе Л-2М создается и нагревается 2 гиротронами на
частоте 75 ГГц на второй гармонике гирочастоты электронов (электронноциклотронный нагрев). В краевой плазме Л-2М на радиусе плазмы a = 0.9 ( a
радиус сепаратрисы), плотность плазмы n = (1-2) x 1012 cм-3 и электронная
температура Te = 30-40 eV.
Стелларатор Л-2M
(ОФП ИОФ РАН)
V. V. Abrakov et al., Nucl. Fusion 37, 233
(1997)
The FT-2 tokamak with parameters R = 0.55m, a = 0.079m, Ipl = 22kA and Bt =
2.2T, PLHH = 90–100kW is concerned with plasma under q = 6 where the effective
LHH and improved confinement transition are realized. The L-H transition with
ETB has been observed after RF pulse end.
Токамак ФТ-2
Большой радиус R, cм
55
Малый радиус, cм
7.9
Магнитное поле B, T
2.2
Вводимая мощность P0, kW
80-200
Средняя плотность <n>*1013, cм-3
3-6
Температура электронов (центр) Te,
эВ
300800
Относительный уровень
флуктуаций на краю (δn/n)edge
0.1
Ток, kA
20 - 40
Длительность разряда, мс
60
S.I. Lashkul, A.B. Altukhov,
A.D. Gurchenko, Czechoslovak
Journal of Physics, Vol. 55
(2005), No. 3, p.343.
СТРУКТУРНАЯ ПЛАЗМЕННАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ И АНОМАЛЬНАЯ
НЕБРОУНОВСКАЯ ДИФФУЗИЯ (анализ турбулентных потоков)
В физике плазмы существует уникальная возможность по
исследованию диффузии частиц в плазменной турбулентности
– это прямые измерения.
Значения локального потока во времени
представляет
временную
выборку,
соответствующую движению ансамблей
частиц для случайного диффузионного
процесса.
Вспышечный вид временных выборок
локальных потоков характерен для всех
режимов плазмы в ТАУ-1, ФТ-2, Л-2М.
Временные выборки локальных
потоков описываются негауссовской
статистикой.
Л-2М
Анализ на основе равноотстоящей выборки временных приращений амплитуд потока
дает возможность определить характеристическое («динамическое») время процесса
локального потока в плазме Л-2М и ТАУ-1; в обоих случаях это время оказалось на
порядок меньше корреляционного времени пульсаций в структурной турбулентности.
Экспериментальная оценка:
ТАУ-1
D~
(l ) 2
 deccor
Принимая в Л-2М характерный
радиальный масштаб флуктуаций
l ~ 0,2-1 см
и «динамическое» время
 decorr ~ 1-2 мкс,
D ~ 105 -106 см2/c.
Зависимость вейвлет - спектров локального
дрейфового потока (б) и его приращений (а)
от времени.
Моделирование локального турбулентного потока.
Вероятность появления
в сигнале амплитуды
1. Модель броуновского блуждания
# 60001
Р-значение = 0
(μ=0.031, σ=8.445)
0.01
1
1E-3
Броуновский процесс отвергается в качестве
модели блуждания частиц в НЧ сильной
структурной турбулентности.
1E-4
1E-6
-60
2
ТАУ-1
1E-5
-40
-20
0
20
xt
0.5
40
60
Амплитуда приращений, отн.ед.
2. Модель неброуновского блуждания, определяемая автомодельным процессом
Одномерная модель Дрейзена-Дыхне
xt
0.75
Модель Дрейзена-Дыхне с корреляционной размерностью 6.
x  t 0.66
xt
H
Эксперимент
Н =0.58
Автомодельный (устойчивый) процесс отвергается в качестве модели неброуновского
движения частиц в НЧ сильной структурной турбулентности.
3. Модель неброуновского блуждания, определяемая дробно-устойчивым процессом
X 
Y
,
.
x (смещение)
Дробно-устойчивые случайные процессы
описывают однородные случайные блуждания
с непрерывным временем. Эти процессы
имеют вид
V  /
Неадекватность такой модели связана не
только с невозможностью мгновенных
перескоков частиц между ловушками, но и
тем, что ансамбль частиц плазмы нельзя
считать однородным. Известно, что холодные
частицы примеси могут двигаться от края к
центру
плазменного
шнура
по
баллистическим законам (супердиффузия),
что наблюдалось в наших экспериментах по
распространению азота в стеллараторе TJ-II.
xt
 /
5
Л-2М
4
Броуновское
движение
3
# 46804
2
# 46805
1
0
5
10
15
20
Временная задержка, N
Дробно-устойчивый процесс также отвергается в качестве модели неброуновского
движения частиц в НЧ сильной структурной турбулентности.
4. Модель неброуновского блуждания, определяемая случайным процессом Лапласа
 1 2x

e
,
x

0
 2

1
 2 x
L( x ) 
e
dx

 1


 2x
2 
1  e
, x  0
 2

x
ТАУ-1

 x  
L( x )   
e d
 
0
Для выборки приращений дрейфового потока в 500 точек - P-значение = 0.3982.
Для более длинной выборки в 20000 точек - P-значение = 0.12.
Экспоненциальное распределение обладает наибольшей энтропией среди всех
законов с конечным первым моментом сосредоточенных на неотрицательной
полуоси, и также соответствует устойчивым состояниям в открытых системах.
Дважды стохастический процесс с непрерывным временем и экспоненциальным
смешивающим распределением не отвергается в качестве модели неброуновского
движения частиц в сильной структурной НЧ турбулентности для коротких
временных выборок зашумленных сигналов.
В качестве модели неоднородного случайного блуждания,
описывающих регистрируемые процессы структурной турбулентности,
использовались дважды стохастические процессы Пуассона обобщенные процессы Кокса.
Дважды стохастический пуассоновский процесс N(t), называемый также процессом
Кокса, определяется как суперпозиция (t ) и N1 (t ): N (t )  N1 ((t )) .
В этом случае говорят, что процесс Кокса N(t) управляется процессом (t ).
Используя общие предельные теоремы для обобщенных процессов Кокса, были
получено теоретические обоснования моделей распределений приращения
процессов плазменной турбулентности, имеющих вид более общих конечных сдвигмасштабных смесей нормальных законов.
Приращения
Моделирование распределений приращения
процессов плазменной турбулентности
(неоднородных случайных блужданий)
конечными сдвиг-мастабными смесями
нормальных законов.
k
 p (
j 1
j
x  aj
j
)
Волатильность характеризуется вектором, содержащим компоненты :
вес (положительные величины, в сумме составляющие 1), конвективные
значения(средние значения), and диффузионные значения
(среднеквадратичные отклонения ) соответствующих компонент.
“Динамическая компонента"
Полная (многомерная)
k
k
волатильность случайного
2
DV 
p j (a j  a ) , a 
p j a j . двойного Пуассоновского
j 1
j 1
процесса (обобщенного
процесса Кокса) вычисляется
“Диффузионная компонента “
как корень квадратный из
сумм квадратов двух
компонент, один из которых
k
2
2
показывает скорость
U 
p j j ,
j 1
локального тренда, а второй
характеризует диффузию.



Королев В.Ю., Скворцова Н.Н. Новый метод вероятностностатистического анализа процессов плазменной турбулентности. Сб.
Системы и средства информатики. Институт проблем информатики РАН.
2006. С. 126-180.
Вероятностно-теоретическое определение волатильности
случайного плазменного процесса
Понятие волатильности широко используется в финансовой статистике.
Волатильность случайного процесса определяется двумя факторами.
 Динамический фактор. В плазменной турбулентности динамическая
компонента соответствует дрейфу, который показывает изменчивость
процесса, например, это баллистический транспорт.
 Стохастический (или диффузионный) фактор. С использованием
специальных математических процедур диффузионная компонента в
турбулентности может быть
представлена как сумма субкомпонент,
каждая из которых связана с определенным типом стохастических
структур, их возникновением, взаимодействием между ними и т.д.
В базовой модели неоднородного случайного блуждания, который
описывается обобщенным процессом Кокса, волатильность
представляется суммой динамической и диффузионных компонет
Независимость и однородность временной
выборки приращений локального потока
~ ~
~
 j   j (t j )   j 1 (t j 1 )
Л-2М
ТАУ-1
Разряд № 30016
Разряд N 44479

a
5
15
0
Время, мс
-5
56.0
6
3
0
-3
-6
-3
10
57.0
57.5

58.0
б
Время, мс
56.5
57.0
57.5

ACF
56.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
0.001
56.5
58.0
Гаусс
10
5
0
-35
-30
-25 -20 -15 -10 -5
0
Амплитуда приращений, отн.ед.
в

0.01
Число счетов
Амплитуда, отн.ед.
10
20
0.1
Временная задержка, мс
1
Сравнение хвоста нормального
распределения плотности вероятности
с хвостом гистограммы приращений
дрейфового потока .
ЕМ - алгоритм
:
E-step (expectation): evaluation of the
conditional mathematical expectation of
the logarithm of the likelihood function by
the
data and the current parameter estimates;
M-step (maximization): unknown
parameters are estimated by
maximization E-step function.
Some special modifications of EM
algorithm (e.g., stochastic EM algorithm,
SEM algorithm) can be used for
improvement results of base method.
k=3
Например, плотность вероятности приращений
турбулентного потока частиц на краю алвзмы в
стеллараторе Л-2м является смесью трех сдвиг масштабных
нормальных распределений.
k=1
Estimation – Maximization Algorithm
Turbulent flux (linear device TAU-1). 128000 points
f (i ; p,  ,  ) 
p
2 
exp{
(i   ) 2
2 2
Р-value = 0 (μ =0.0039, σ =8.4481).
k=2
2
f (i ; p, 1 ,  2 ,  1 ,  2 )  
k 1
}
P-value is estimated by
Kolmogorov-Smirnov test
for fitting shift-scale
mixture(model) with
experimental histogram
(i   k ) 2
exp{
}
2 k2
2  k
pk
Р-value = 0.2606 (p1=0.6136, μ1=-0.0989, σ1=4.4038; p2=0.3864,
μ2=0.1471, σ2=12.4016).
k=4
Р-value = 0.9963
(p1=0.5095, μ1=-0.5739,
σ1=8.3935;
p2=0.0984, μ2=2.2537,
σ2=17.319;
p3=0.309, μ3=0.344,
σ3=4.0359:
p4=0.0831, μ4=-0.4753,
σ4=1.4474).
k=4
Модель неброуновского блуждания, определяемая масштабной смесью
нормальных законов
Модель неоднородного блуждания частиц
(в виде масштабной смеси нормальных
процессов) представляется оптимальной
в качестве модели неброуновского
движения частиц в сильной структурной
НЧ турбулентности.
Л-2М
k=3
Р-значение =
0.9747
ТАУ-1
Р-значение =
0.9963
k=4
Так как распределения приращений процесса блуждания частиц в
структурной турбулентности успешно моделируются конечными
смесями нормальных законов, то локальный (во времени и
пространстве) характер этих процессов описывается классической
нормальной (броуновской) диффузией. Это совсем не означает, что
суммарное движение частиц также будет броуновским. Приращения
этих процессов обусловлены конечным числом типов диффузии.
1.
Число компонент смеси (для выборок локальных потоков) – число процессов
блуждания. Совпадает с числом компонент смеси при анализе выборок
флуктуаций.
2.
Математическое ожидание – знак и величина показывают тенденцию (снос).
3.
Дисперсия – среднее значение изменения потока частиц (диффузия).
“… и должно рассматриваться в рамках статистических подходов.”
Число независимых
параметров, необходимых для
описания НЧ структурной
турбулентности.
k=3
k=4
j=8
j = 11
ФТ-2
Турбулентный поток частиц при L-H переходе
в токамаке ФТ-2
Experiment #260504
Low Field Side (LFS)
Моделирование плотности распределения приращений турбулентных потоков смесью
Гауссовых распределений позволяет определять число процессов, участвующих в переносе
частиц в краевой плазме тороидальных установок.
Получено различие в числе процессов переноса в L- и Н-режимах в ФТ-2.
N.N. Skvortsova, V.Yu. Korolev, et al Plasma Phys. Contr. Fusion. 2006. 48(5A). P. A393.
Анализ конвективных и диффузионных компонент в
турбулентных потоках
Компоненты в турбулентных потоках частиц выделяются
мо методу разделения смесей со скользящим окном
("sliding separation of mixtures" - SSM). В этом методе
волатильность
потока
интерпретируется
как
многомерная (вектор) функция во времени, что позволяет
оценивать конвективную и диффузионную компоненты .
t = 0.2 – 1 ms,
15s
ФT-2
Конвективные и диффузионные компоненты
волатильности при переходе в Н-режим
Диффузионная, конвективные компоненты, отн.ед.
Интенсивность диффузионных субкомпонент после перехода в
Н-режим уменьшается, также как и разброс значений.
Временные зависимости каждой из диффузионных
субкомпонент после перехода становятся более гладкими.
Несмотря на то что число процессов после перехода возрастает
(с двух до четырех) в среднем полная диффузионная и
конвективные компоненты волатильности уменьшаются.
60
60
L - режим
40
Н-режим
Конвективная компонента
20
Диффузионная компонента
0
0
500
1000
1500
Время, мкс
0
2000 0
L-режим
H - режим
40
20
Диффузионных субкомпоненты
500
1000
Время, мкс
1500
2000
Л-2M
Диффузионные субкомпоненты волатильности
200
points
300
points
Диффузионный портрет (диффузионные субкомпоненты
волатильности) для приращений турбулентного потока частиц в Л-2М.
Вычисление по скользящему окну 200 точек (верхние графики) и 300
точек (нижние графики.
Л-2М
Временной ход полной диффузионной компоненты и конвективной
компоненты волатильности потоков на разных расстояниях от
сепаратрисы в трех разрядах: 1 мм (No.55613), 4 мм (55617), и 6 мм
(55619).
диффузионная компонента
конвективная компонента
Л-2М
Диффузионные, конвективные
компоненты, отн.ед.
Сравнение величин полных диффузионных и конвективных компонент
волатильности в стандартных режимах плазмы
конвективная
диффузионная
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
5
10
15
20
Время, мс
Временные выборки турбулентного потока частиц до (a) и
сразу после (b) проведения процедуры боронизации стенки
камеры.
Конвективная, диффузионная
компоненты отн.ед.
2
конвективеая
Диффузионная
1
0
10
11
12
13
14
Время, мс
Выводы (по плазменным турбулентным потокам)
Определен модельный процесс, который описывает
блуждание частиц. Дважды стохастический процесс
Пуассона (обобщенный процесс Кокса)
Для турбулентных потоков в Л-2М, ТАУ-1, ФТ-2:
 определено число процессов, которые участвуют в
формировании турбулентного потока частиц,
 определен временной ход диффузионных и конвективных
компонент,
 показано существование суммарной конвективной компоненты,
сравнимой по величине с диффузионной компонентой.
 при переходе в режим улучшенного удержания плазмы (L–H
переходе). число процессов, определяющих турбулентный поток
частиц, возрастает, амплитуда диффузионных компонент
уменьшается также. как и полная диффузионная компонента потока.
……..
Использование «плазменного» подхода к
анализу экономических данных
«Эхо» взрыва
в Лондонском метро
Гистограммы - плотность распределения
вероятности (PDF):
Автомодельные вероятностные процессы,
для которых дисперсия среднего убывает, как
n при любом  между 0 и 2:
p( xn )  N xn / N
R(n) max(0,W1 ,W2 ,...,Wn )  min(0,W1 ,W2 ,...,Wn )

S (n)
S 2 (n)
F ( xn )  p( xn ) * xn
Wk  x1  x2  ...  xk  kx (n)
Приращение амплитуд флуктуаций:
n
S 2 (n)   ( xi  x (n))2
i 1
Параметр Херста H=1-/2 :
x j  x j (t j )  x j 1 (t j 1 )
H
E[R(n) / S (n)] n



n

ЕМ – алгоритма (Estimation-Maximization algorithm ):
k
p
j 1
j
1
Задача расщепления смеси распределений. Построение статистических оценок для числа
компонент смеси k, удельных весов компонент ( p ,..., p
1
k 1
компонент по выборке 1  (1,1 ),...,k  (k , k ) .
Возврат
k 1
, pk  1   pi ), и параметров самих
i 1