Transcript 高斯定律

第二十三章 高斯定律
23-2 通量
23-3 電場通量
23-4 高斯定律
23-5 高斯定律與庫倫定律
23-6 帶電的孤立導體
23-7 高斯定律的應用：圓柱對稱
23-8 高斯定律的應用：平面對稱
23-9 高斯定律的應用：球對稱
23-1 物理學是什麼
對於一些具有某種對稱性的
電荷分佈，不必知到電荷的詳
細分佈情形，可以利用一個稱
為高斯(1777-1855)定律，推導
出電場。
高斯定律不是考慮每個電荷
小單元所產生的電場，然後再
相加，而是考慮一個圍繞著電
荷分怖的假想封閉曲面。高斯
曲面上每個點的電場，與該曲
面所圍繞的淨電荷產生關聯。
23-2 通 量


v : 流體的流速 A : 迴路中的向量面積
 : 流體通過迴路的體積流率

 
若 v 垂直於迴路平面( v || A) 則 Φ  vA


 
若 v 與 A 夾  角:   ( v cos)A  v  A
23-3 電場通量


   E  A

A  0
 
   E  dA ( N  m 2 / C )

(1) E 大小正比於單位面積
電場線數目
 
( 2) E  dA 正比於通過面積

dA 的電場線數目
(3)正比於通過高斯曲面的
電場線總數
例 23-1
一個半徑為 R 的圓柱形高斯面，圓柱體的中心軸平行於均勻電場 E 。
通過此封閉曲面的電場通量Φ為若干？
例 23-1
 
 
 
 
   E  dA   E  dA   E  dA   E  dA
a
b
c
 
o
2
E

d
A

E
(cos
180
)
dA


EA


E

R
a

 
o
2
E

d
A

E
(cos
0
)
dA

EA

E

R
c

 
o
E

d
A

E
(cos
90
)dA  0


b
  EA  0  EA  0
測試站
一面積為A的高斯立方體面，置於均勻電場 E 中， E 指向 z 軸正方向。
問(a)前面(在 xy 平面) ，(b)背面，(c) 頂面，及(d)整個立方體面的
通量有若干？以 E 及 A 表示。
(a) +EA (b) –EA (c) 0 (d) 0
例 23-2
一不均勻電場 E=3.0x i+4.0 j 通過如圖所示的的一個高斯立方體面。試問
通過右面、左面及頂面的電通量為何？
例 23-2

右面 : dA  dAˆi
 
 r   E  dA   (3xˆi  4ˆj)  dAˆi
x 3
  3xdA  9A  36N  m 2 / C

左面 : dA  -dAˆi
 
  E  dA   (3xˆi  4ˆj)  dAˆi
l


x 1
   3xdA   3A  12N  m 2 / C

頂面 : dA  dAˆj
 
 t   E  dA   (3xˆi  4ˆj)  dAˆj  4A  16N  m 2 / C
23-4 高斯定律
高斯定律描述電場通過封閉曲面(高斯面)之總
通量Φ，與該曲面內之淨電荷qenc之間的關係為:
 
 0    0  E  dA  q enc
23-4 高斯定律
右圖為四個高斯面的截面:
曲面S1:
電場向外、通量為正、包圍電荷為正。
曲面S2:
電場朝內、通量為負、包圍電荷為負。
曲面S3:
曲面不包含電荷，電通量為零。電場自
上方進入，由下方離開。
曲面S4:
同時包圍正、負電荷，淨電荷為零。電
通量為零。進入與離開S4的電場線數目
相同。
測試站
如下圖所示，位於電場中之高斯立方體面的三種情形。其數值和箭頭表示
了通過每個立方體六個面的通量大小(N-m2/C)及方向。(較淡的箭頭表示進
入隱藏面的通量。)問在哪一種情形下，立方體所包圍的是(a)正的淨電荷，
(b)負的淨電荷及(c)內無淨電荷？
(a) 2. (b) 3. (c) 1.
例 23-3
五個帶電的塑膠物體與一個不帶電的銅幣。S為高斯面，如果 q1 = q4 =
+3.1 nC，q2 = q5 = -5.9 nC，q3 = -3.1 nC。則通過每一高斯面的通量為何？
例 23-3
q enc  q1  q 2  q 3
q enc (3.1  5.9  3.1) 1019


 670N  m / C
12
0
8.8510
23-5 高斯定律與庫倫定律
 
 0  E  dA   0  EdA  q enc  q
在球面上每一點電場為常數
 0 E  dA  q   0 E 4r 2  q
1 q
E
40 r 2
23-6 帶電的孤立導體
如果將額外電荷置於一孤立導體上，這
些電荷將全部移動至導體表面。在導體
內部將無電荷。
(a)銅塊有外加電荷q，選擇高斯面在導
體內側。如果高斯面內的電場不為
零，自由電子將受力而產生電流。
此持續性電流，實驗上並未觀察到，
因此外加電荷不可能在導體內部。
(b)為具有一空腔的銅塊，選一高斯面
包圍空腔，因導體內部無電場，所
以通過高斯面的電通量為零，外加
電荷便不會分佈在空腔表面。
23-6 帶電的孤立導體
外 部 電 場
圓柱型高斯面垂直進入導體
電場垂直端面且端面面積A甚小
 
 0 E  A  q enc
 0 EA  A

E
0
導體外部電場大小正比於該處導
體表面電荷密度
例 23-4
(a)為內半徑為R之金屬球殼截面。帶一 -5μC負電之點電荷置於距球心
R/2處。如果球殼為電中性，則在球殼內表面與外表面的(感應)電荷各為
若干？這些電荷的分佈均勻嗎？球殼內外電場之形態為何 ？
(1)球殼內表面有+5μC電量，但分佈不均勻，較集中在接近負電荷處。
(2)因為球殼是電中性，球殼外表面有-5μC電量，但內壁分佈不均勻的電荷，無
法在球殼中形成電場，因此外壁電荷分佈是均勻的。
(3)所有電場線均與球殼和點電荷垂直相交。球殼內部場線分佈不均勻，球殼外
部場線是均勻的，如同點電荷置於球心。
23-7 高斯定律的應用:圓柱對稱
右圖為一無限長之帶電圓柱形塑膠桿，
具有均勻正線電荷密度λ，計算距此桿
中心軸 r 處電場的大小:
  EA cos  E(2rh) cos0  E(2rh)
 0  q enc
 0 E(2rh)  h

E
20 r
例 23-5
當一個暴風雨雲移到一個女人頭上時，她身上的導電電子被雲層負電底層驅
敢至地面，導致她帶正電，頭髮也因此互相排斥站立著。將她的身體想像成
圓柱體，高L=1.8 m，半徑 R=0.1 m。如果沿著她的身體的電場強度超過臨
界值Ec=2.4 MN/C，則絕緣破壞將發生。試問會讓沿著其身體的空氣處於絕
緣破壞邊緣的電荷Q是多少？
例 23-5
Q/L
Ec 
2o R
Q  2o RLEc  (2)(8.851012 )(0.1)(1.8)(2.4 106 )
 2.404105 C
23-7 高斯定律的應用:平面對稱
非 導 體 平 板
 
 o  E  dA  q enc
 o (EA  EA)  A

E
2 o
23-7 高斯定律的應用:平面對稱
兩板靠近後電荷均會移至內側電荷密度變為原來兩倍σ  2σ 1
 
 o  E  dA  q enc
(1)高斯面只包含正電荷
(2)高斯面只包含負電荷

σ 2σ1
ε o EA  σA  E 

εo
εo

σ 2σ1
ε o (EA)  (σA)  E 

εo
εo
例 23-6
(a)為兩個大型非導體平板，二者之一側均有均勻之電荷分佈。面電荷密度
的大小分別為σ(+) = 6.8μC/m2與σ(-) = 4.3μC/m2。計算(a)二平板左邊，(b)
二平板之間，(c)二平板右邊之電場。
例 23-6
E() 
E () 
(  )
2 0
( )
2 0
 3.84105 N / C
 2.43105 N / C
E L  E (  )  E (  )  1.4 105 N / C


 E R (E L  E R )
E B  E (  )  E (  )  6.3 105 N / C
23-7 高斯定律的應用:球對稱
殼 層 定 理
(1)均勻帶電球殼對球殼外的點電荷之吸力或斥力，就好像所有電荷均
集中於球心時的情況。
(2)均勻帶電球殼對殼內之帶電粒子沒有作用。
兩同心球形高斯面S1與S2
S2 ( r  R ) :
 0 E (4r )  q enc
2
S1 ( r  R ) :
q enc  0  E  0
1 q
qE
40 r 2
23-7 高斯定律的應用:球對稱
球形對稱可以看作一層一層帶電球殼所組成
1 q
(a ) r  R : E 
40 r 2
1 q'
( b) r  R : E 
40 r 2
3
r
q
'
q q 3 E
r
3
R
40 R