Transcript Origini del calcolo infinitesimale - Dipartimento di Matematica "U. Dini"

Il calcolo infinitesimale
Una teoria inventata due volte
Prima invenzione: 1666
L’università di Cambridge viene chiusa per la peste.
Newton torna alla sua casa natale a Woolsthorpe nel Lincolnshire.
Scopre la gravitazione universale e inventa il calcolo infinitesimale.
Nel 1671 scrive il Methodus Fluxionum et Serierum
Infinitarum, che però verrà pubblicato solo nel 1736.
Seconda invenzione: 1672-75
Durante il suo soggiorno a Parigi, Leibniz getta le basi del
calcolo differenziale.
L’atto di nascita: 1684
Leibniz pubblica sugli Acta Eruditorum un articolo dal titolo
Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus,
quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, &
singulare pro illis calculi genus.
Alle origini del calcolo
Curve come equazioni:
Potrei riportare qui parecchi altri modi per
tracciare e concepire curve sempre più
complesse. Per comprendere però insieme
quelle che si danno in natura e suddividerle
ordinatamente in classi, non conosco nulla di
meglio che dire che tutti i punti delle curve
che chiamo geometriche (cioè che
dipendono da misure precise ed esatte)
hanno necessariamente a tutti i punti di una
retta una relazione che può essere espressa
per mezzo di una singola equazione.
Il problema delle tangenti
Per questo penserò di aver messo qui
tutto quanto è necessario per gli
elementi delle linee curve, quando
avrò dato in generale il modo di tirare
delle rette che cadano ad angolo retto
su un loro punto arbitrario. E oso dire
che questo è il problema più utile e più
generale, non solo che io sappia, ma
anche che io abbia mai desiderato di
sapere in geometria.
Il metodo di Fermat
Si scrive la proprietà caratteristica della curva per i punti sulla tangente.
Si trascurano tutti i termini che non contengono a né e, perché si
annullano per l’equazione della curva.
Si trascurano tutti i termini che contengono potenze di a o e o il prodotto ae,
perché alla fine si annullano.
Da quello che resta si ricava il rapporto a/e, che è
uguale a t/y.
F(x+a,y+e) ≈ 0
e
A
a
y
x
T
t
B
F(x,y)=0
Esempio: la parabola
2 +a2
2+ 2ax
(x+a)
x
e=
y+
y=x2
e
x
t
a
y
Il problema è risolto?
Si trascurano [nell’adequazione F(x+a,y+e) ≈ 0]
tutti i termini che contengono potenze di a o di
e o il prodotto ae, perché alla fine si annullano.
Ma che succede se l’equazione della curva è
a  bx y 2  b3 1  y  hyx2 y 2  y 1  y  0 ?
Il calcolo secondo Leibniz
dy
A
dx
y
x
T
t
B
F(x,y)=0
Il calcolo secondo Leibniz
1. Se a è una quantità costante, da=0 e d(ax)=a dx
2. d(z–y+w+x)=dz–dy+dw+dx,
3. d(xy)=y dx+x dy
x xdy  ydx
4. d 
y
y2
Il calcolo secondo Leibniz
d(xy) = (x+dx)(y+dy) - xy = xdy + ydx + dxdy
d(xy) = xdy + ydx
dx2 = d(xx) = xdx + xdx = 2xdx
dx3 = d(xx2) = xdx2 + x2dx = 3x2 dx
dxn = n xn-1 dx
Il calcolo secondo Leibniz
zn x
x=zn
n1
n
1 1n
dx = n zn-1 dz = n x dz  nx
1 1
n
dz  d x  nx dx
n
dz
Il calcolo secondo Leibniz
Proposta quindi una qualsiasi equazione si può
scrivere la sua equazione differenziale in questo
modo:
Per un qualsiasi termine che appare con la sola
addizione o sottrazione, si sostituisce
semplicemente il suo differenziale.
Per un’altra quantità che non è un termine
completo, ma concorre a formare un termine, si
utilizza il suo differenziale non semplicemente,
ma secondo le regole appena viste.
Il calcolo secondo Leibniz
I metodi fin qui pubblicati non hanno questo passaggio; infatti
usano per lo più segmenti come DA o simili, e non il segmento dy,
quarto proportionale dopo DA, AP, e dx, il che perturba tutto. Di
qui viene che prima si debbano eliminare le quantità fratte e
irrazionali che contengono le variabili.
Il calcolo secondo Leibniz
Il calcolo secondo Leibniz
Il problema diretto delle tangenti:
Data l’equazione di una curva, trovarne l’equazione
differenziale.
Il problema inverso delle tangenti:
Data l’equazione differenziale di una curva,
trovarne l’equazione.
Il metodo cinematico
Assioma, o principio di invenzione
La direzione del movimento di un punto che
descrive una linea curva è tangente a questa
curva in ogni posizione del punto.
Per mezzo delle proprietà specifiche della
curva (che sono date) esaminate i diversi
movimenti a cui è soggetto il punto che la
descrive nel luogo dove volete tirare la
tangente: di tutti questi movimenti
componetene uno solo, tirate la retta
secondo la direzione del movimento
composto; avrete così la tangente alla curva.
Esempio: la cicloide
La cicloide è generata da una circonferenza che si
muove orizzontalmente e allo stesso tempo ruota
attorno al suo centro con la stessa velocità.
Il calcolo secondo Newton
Considero le quantità matematiche non come
costituite da parti infinitamente piccole ma
come descritte da un moto continuo.
Chiamerò Fluenti queste quantità che considero
come variabili per gradi, e le indicherò con le
ultime lettere dell’alfabeto u, x, y, z.
E le velocità con le quali le fluenti variano le
chiamerò Flussioni e le esprimerò con le stesse
lettere con un punto, come u, x, y , z.
Il calcolo secondo Newton
( x  ox)( y  oy )  xy  o( xy  xy )  o xy
2
( x  ox )( y  oy )  xy
 xy  xy  o xy
o

( xy)  xy  xy
Il calcolo secondo Newton
Ma Newton ha una marcia in più:
gli sviluppi in serie.
Nicolaus Mercator, Logarithmotechnia
1
2
3
4
 1  x  x  x  x  ...
1 x
2
3
4
5
x
x
x
x
log (1  x)  x      ...
2 3 4 5
Il calcolo secondo Newton
1  x  1  ax  bx  cx  dx  ...
2
3
4
1  x  1  2ax  (a 2  2b) x 2  (2c  2ab) x 3 
(2d  2ac  b ) x  ...
2
4
2a=1
a2+2b=0
c+ab=0
2d+2ac+b2=0 ...
1
1 2 1 3
5 4
1 x  1 x  x  x 
x  ...
2
8
16
128
Il calcolo secondo Newton
{
La disputa sull’invenzione del calcolo.
1666
Newton inventa il metodo delle flussioni.
1676
In due lettere indirizzate a Oldenburg perché siano
comunicate a Leibniz, Newton spiega il suo metodo
delle serie. L’anagramma
“6accdæ13eff7i3l9n4o4qrr4s9t12vx”, che si traduce:
“Data æquatione quotcumque fluentes quantitates
involvente, fluxiones invenire et viceversa”
lega questo metodo alle flussioni.
1672-75 Leibniz trova I fondamenti del calcolo differenziale.
1684
Leibniz pubblica la “Nova methodus”.
La disputa sull’invenzione del calcolo.
1699
Nel suo articolo Lineae brevissimi descensus
investigatio geometrica duplex Nicolas Fatio de
Duillier accusa Leibniz d’aver preso il suo calcolo
da Newton. Leibniz protesta con la Royal
Society, il cui segretario Sloane censura Fatio.
1703
Cheyne pubblica la Methodus fluxionum inversa,
che termina con la frase : « Quando rifletto su
tutte queste scoperte del grande Newton,
non posso fare a meno di dichiarare
che tutto quanto è stato publlicato negli ultimi
ventiquattro anni su questo argomento non è
che una ripetizione o un facile corollario di
quello che Newton molto tempo prima aveva
comunicato ai suoi amici e al pubblico ».
La disputa sull’invenzione del calcolo.
1704
Newton pubblica l’Opticks con in
appendice il Tractatus de quadratura
curvarum, che contiene il metodo delle
flussioni.
1705
In una recensione del Tractatus, publicata anonima
sugli Acta Eruditorum, Leibniz scrive : “Pro differentiis
igitur Leibnitianis Dn. Newtonus adhibet, semperque
adhibuit, fluxiones, quae sint quam proxime ut
fluentium augmenta aequalibus temporis particulis
quam minimis genita; iisque tum in suis Principiis
Naturae Mathematicis, tum in aliis postea editis
eleganter est usus, quemadmodum & Honoratus
Fabrius in sua Synopsi geometrica motuum
progressus Cavallerianae Methodo substituit”.
.
La disputa sull’invenzione del calcolo.
1710
John Keill pubblica sulle Philosophical
Transactions un articolo sulle forze
centrali, in cui accusa Leibniz di plagio.
1711
Leibniz protesta con il segretario della
Royal Society et chiede che Keill sia
invitato a rettificare le sue affermazioni.
In seguito alla risposta ambigua di Keill,
Leibniz chiede un intervento di Newton,
presidente della Royal Society.
La disputa sull’invenzione del calcolo.
1712
La Royal Society nomina una
commissione comprendente Halley,
Jones, Burnet, Machin, de Moivre,
Taylor, e vari altri.
1713
Le conclusioni della commissione,
favorevoli a Keill, sono stampate con il
titolo Commercium epistolicum. Newton
scrive una recensione, pubblicata
anonima sulle Philosophical
Transactions, la Recensio libri.
La disputa sull’invenzione del calcolo.
1714
In risposta al Commercium epistolicum,
Leibniz scrive una Historia et origo
calculi differentialis, che non pubblicherà mai.
1716
Morte di Leibniz
1727
Morte di Newton
La disputa sull’invenzione del calcolo.
Il Commercium epistolicum] riguarda un metodo
generale per trasformare equazioni finite in infinite, e
per applicare queste equazioni, finite e infinite, alla
soluzione di problemi mediante il metodo delle flussioni
e dei momenti.
Quando finalmente ho ricevuto il Commercium
epistolicum, ho visto che ci si allontanava completamente
dallo scopo, e che le lettere lì pubblicate non
contenevano una sola parola che potesse mettere in
dubbio la mia invenzione del calcolo infinitesimale, su cui
verteva la controversia. Invece di questo, ci si dilungava
sulle serie, dove si riconosce la precedenza di Newton.
La disputa sull’invenzione del calcolo.
Si lamenta che il comitato sia andato fuori strada,
concentrandosi sul metodo delle serie. Ma deve
considerare che questi due metodi non sono che due parti
di un unico metodo generale di analisi.
Hanno cambiato l’oggetto del contendere. Infatti in quel loro
scritto, che con il titolo di Commercio Epistolico di John Collins
hanno pubblicato nel 1712 al solo scopo di mettere in dubbio la
priorità di Leibniz, si trova a malapena qualche cenno al calcolo
differenziale; mentre tutte le pagine trattano delle serie
cosiddette infinite.
E si sono avvalsi dell’arte degli avvocaticchi, per trasferire il
giudizio dalla materia in discussione a un’altra, cioè alle serie
infinite.
La disputa sull’invenzione del calcolo.
Nel 1684 Leibniz ha pubblicato solo gli Elementi del Calcolo
Differenziale, e li ha applicati ai problemi delle Tangenti e dei
Massimi e minimi, come Fermat e Gregory avevano fatto prima
di lui, e ha mostrato come procedere in questi problemi senza
rimuovere le radici, ma non ha affrontato problemi più elevati.
Di tutto questo non si trovano nemmeno le tracce
nelle opere dell’emulo precedenti le regole del Calcolo
pubblicate dal Nostro, né alcunché che non avrebbero
potuto fare Huygens e Barrow se avessere affrontato questi
problemi..
La disputa sull’invenzione del calcolo.
Si supponga che la relazione tra x e y sia espressa da una
qualsiasi equazione, come ad esempio
x3  2xxy  bxx  bbx byy  y 3  0
Per tracciare la tangente CD la regola è la seguente. Si
moltiplichino i termini dell’equazione per una qualsiasi
progressione aritmetica secondo le potenze della y,
x3  2 xxy  bxx  bbx  byy  y 3  0
0
1
0
0
2
3
e secondo le potenze della x,
x3  2 xxy  bxx  bbx  byy  y 3  0
3
2
2
1
0
0
Il primo prodotto sarà il numeratore, e il secondo diviso per x il denominatore di
una frazione che dà la lunghezza di BD, dal cui termine D si traccerà la tangente.
La disputa sull’invenzione del calcolo.
Lo stesso metodo si può usare anche con radici contenute in
radici. Ad esempio se una curva ha un’equazione piuttosto
complicata, come
l’equazione derivata, utile per trovare la tangente, si può scrivere
subito senza calcoli, ed è

 2 ydy  bdy 3
bdx y  b 1  y 

3(1  y ) 2
2 y 2  b3 1  y 
2
3
bx
 (hx2 dy  2hxydx) y 2  y 1  y 

 2 ydy  dy 1  y  ydy

1 y
y2  y 1 y 
hyx2

0






La disputa sull’invenzione del calcolo.
Newton aveva scritto in queste due lettere che possedeva
un’Analisi molto generale, consistente in parte
nel metodo delle serie convergenti, e in parte in un altro
metodo tramite il quale egli applicava queste serie alla
soluzione di quasi tutti i problemi.
Non ho mai negato di aver visto alcune lettere di
Newton a casa di Collins durante il moi secondo viaggio
in Inghilterra, ma non ho mai visto dove Newton ha
spiegato il suo metodo delle flussioni, e continuo a non
vederlo nel Commercium Epistolicum.
La disputa sull’invenzione del calcolo.
Nelle mia lettera del 13 giugno1676 dicevo che il mio
Metodo delle serie si applicava a quasi tutti i
problemi, ma non era generale senza un altro
metodo, intendendo (come dicevo nella mia seconda
lettera) il Metodo delle flussioni e delle serie
arbitrarie. Ora sottrarmi questi altri metodi vuol dire
lasciarmi col solo Metodo delle serie, che così cessa
di essere generale. ...
Ora Leibniz si è messo a fare a pezzi il mio metodo
generale e a sottrarmene prima una parte, poi
un’altra, fino a renderlo irriconoscibile, e così ha dato
una giusta occasione al comitato per considerarlo nel
suo insieme.