Transcript Lineer Cebir Slayt Gösterisi

Lineer Cebir
Prof.Dr.Şaban EREN
Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi
Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
Bölüm 2
2.1. Lineer Denklem Sistemlerinin Matris Notasyonu Gösterimi
2.2. Satır Eşdeğer Matrisler
2.3. Gauss ve Gauss-Jordan Eliminasyon Yöntemleri
2.4. Ters Matris
2.5. Matris Tersi Yöntemi Kullanarak Lineer Denklem
Sistemlerinin Çözümü
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
2.1. Lineer
Denklem
Sistemlerinin
Notasyonu Gösterimi
Matris
m eşitlik (denklem) ve n bilinmiyenden oluşan
2
Lineer denklem sistemini gözönüne alalım. Daha
önce de belirtildiği gibi x1, x2, ..., xn
bilinmeyenleri, a’lar ve b’ler ise sabitleri ifade
etmektedir.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Lineer denklem sistemi matrisler ile
katsayılar matrisi,
bilinmeyenler
Sütun matrisi,
sabitler Sütun matrisi,
olmak üzere
3
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
şeklinde ifade edilebilir.
4
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
2.1.1. Arttırılmış (Augmented) Matris
matrisine arttırılmış matris denir.
5
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.1.
Lineer denklem sistemi verilmektedir.
a)
6
Sisteme ilişkin katsayılar matrisini elde ediniz.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
b) Arttırılmış matrisi elde ediniz.
c) Sistemi matris notasyonu yardımıyla ifade ediniz.
7
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.2.
Lineer denklem sistemini matrisler yardımıyla
ifade ediniz.
8
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Verilen Lineer denklem sistemi matris gösterimi
yardımıyla
şeklinde ifade edilir.
9
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.3.
Lineer denklem sistemini matris notasyonu şeklinde
ifade ediniz.
10
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Verilen sistem matris gösterimi yardımıyla
şeklinde ifade edilir. Verilen lineer denklem sistemine
ilişkin arttırılmış matris
olarak ifade edilebilir.
11
Bölüm 2
12
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
2.2. Satır Eşdeğer Matrisler
2.2.1. Elementer Satır İşlemleri Tanımı
Bir A matrisindeki elementer satır işlemleri aşağıdaki
işlemlerden biri olarak tanımlanmaktadır.
A) A matrisinin herhangi bir satırının (örneğin i’nci satırı)
sıfırdan farklı bir sabit (k) ile çarpımı. Ri, i’inci satırı
belirtiyorsa bu satırın k sabiti ile çarpımı sonucu i’inci satır
Ri  kRi şeklinde olacaktır.
B) A matrisinin herhangi iki satırının, örneğin i’inci ve j’inci
satırlarının yerlerinin değiştirilmesi. Bu durum Ri  Rj
şeklinde gösterilebilir.
C) A matrisinin herhangi bir satırının sıfırdan farklı bir k sabiti
ile çarpılıp (örneğin j’inci satırının Rj) i’inci satırına (Ri)
eklenmesi. Bu durum Ri  Ri + k Rj şeklinde gösterilir.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.4.
Elementer satır işlemleri yardımıyla aşağıda
verilen lineer denklem sistemini satır eşdeğer
denklem sistemleri halinde ifade ediniz.
13
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Lineer denklem sistemine ilişkin
Arttırılmış matris
14
Lineer Denklem Sistemi
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Burada A matrisinin 2.satırı 2 sabiti ile çarpılmaktadır (R2
 2R2). Oluşan lineer denklem sistemi ile verilen lineer
denklem sisteminin çözüm kümeleri aynıdır.
Benzer şekilde eğer başlangıç A matrisinin herhangi iki
satırı örneğin 1.satır ile 2.satırı yer değiştirecek olursa (R1
 R2) yeni arttırılmış matris ve lineer denklem sistemimiz
şeklinde olur.
15
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Eğer başlangıç A matrisimize 2.satırı –3 ile çarpar
3.satıra eklersek (R3  R3 – 3R2) bu işlemler
sonucu verilen arttırılmış matrisimiz ve lineer denklem
sistemi
olarak elde edilir.
Matrislere ilişkin elementer satır dönüşümleri
(işlemleri) yapıldığında her defasında A matrisinin
başından başlama zorunluluğu yoktur.
16
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.5.
lineer
denklem
sisteminin
elementer
satır
dönüşümleri
yardımıyla
eşdeğer
sistemlerini
oluşturalım.
Verilen sisteme ilişkin arttırılmış matris ve denklem
sistemini aşağıda belirtildiği şekilde yazalım.
17
Bölüm 2
18
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
19
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Yukarıda önce R1 R1+ R3 daha sonra R3- R3
elementer satır işlemleri bir önceki matris üzerine
gerçekleştirilmiştir.
20
Bölüm 2
21
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
22
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnekten de görüldüğü gibi her aşamada elde edilen
matrisler (dolayısıyla lineer denklem sistemi)
birbirine satır eşdeğer olup sistemin aynı çözüm
kümesine sahiptirler.
Örneğin verilen
23
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
sisteminin çözüm kümesi ile, son aşamada elde
edilen,
denklem sisteminin çözüm kümesi aynı olup
24
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
2.2.2. Bir matrisin satır eşdeğer matris şeklinde
ifade edilmesi
Bir matris eğer aşağıda belirtilen kurallar sağlanırsa
satır eşdeğer matris (Row echelon form) şeklindedir
denir.
a) Sadece sıfırlardan oluşan satırlar mevcutsa bunlar
matrisin en altındadır.
b) Sıfırlardan oluşan satırlardan farklı satırlarda ilk
sıfırdan farklı eleman değeri 1’dir.
c) Her bir satırdaki ilk sıfırdan farklı 1 değeri, bir
önceki satırdaki sıfırdan farklı ilk 1 elemanının
sağında yer alır.
25
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.6.
matrisinin satır eşdeğer matris şeklinde
olup olmadığını ifade ediniz.
26
Görüldüğü gibi 1.sıranın ilk sıfırdan farklı elemanı 1’dir.
İkinci satırın ilk sıfırdan farklı elemanı 1 olup bu birinci
satırda yer alan 1 elemanının sağındadır.
Üçüncü satırın ilk sıfırdan farklı elemanı 1 olup, bu ikinci
sıradaki 1’in sağında yer almaktadır.
Bu şartlar verilen matrisin satır eşdeğer matris şeklinde
olduğunu göstermektedir.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.7.
matrisinin satır eşdeğer matris
şeklinde olup olmadığını ifade ediniz.
27
1.satırdaki ilk sıfırdan farklı eleman 1'dir.
2.satırdaki ilk sıfırdan farklı eleman 1 olup, bu değer bir
önceki satırdaki 1 elemanının sağında yer almaktadır.
3.satırın tüm elemanları sıfır olup matrisin en alt satırını
oluşturmaktadır.
Dolayısıyla verilen matris satır eşdeğer matris şeklinde
ifade edilmiştir.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.8.
matrisinde 2. satır elemanlarının tümü sıfır
olduğundan ve bu satır matrisin son satırı
olarak yer almadığından verilen matris satır
eşdeğer matris olarak ifade edilmemiştir.
Daha önce belirtilen üç kurala ek olarak eğer bir satırdaki
ilk sıfırdan farklı eleman 1’in bulunduğu sütundaki diğer
elemanlar sıfır ise, verilen matris satır indirgenmiş
eşdeğer matris (row reduced echelon) şeklindedir denir.
28
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.9.
matrisinin satır indirgenmiş
olmadığını kontrol ediniz.
29
matris
şeklinde
olup
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
1.satırdaki ilk sıfırdan farklı eleman 1 ve bu elemanın
bulunduğu 1.sütundaki diğer elemanlar sıfırdır.
2.satırdaki ilk sıfırdan farklı eleman 1 ve bu eleman bir
önceki satırdaki 1'in sağında yer almakta ve sütunundaki
diğer elemanlar sıfırdır.
3.satırdaki ilk sıfırdan farklı eleman 1 ve bu 2.satırdaki ilk
sıfırdan farklı eleman 1'in sağında yer almakta ve ilgili
sütunun diğer elemanları sıfırdır.
Bu durumda verilen matris satır indirgenmiş matris
şeklindedir denir.
30
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.10.
31
matrisinde, 2.satırdaki ilk sıfırdan farklı eleman 1 fakat bu
elemanın bulunduğu sütundaki diğer elemanlar sıfır
olmadığından (burada -2 bulunmaktadır) ilgili matris satır
indirgenmiş matris şeklinde değildir denir.
Elementer satır dönüşümleri yardımıyla verilen bir matris
satır indirgenmiş matris şekle dönüştürülebilir.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.11.
matrisini elementer satır dönüşümleri yardımıyla satır
indirgenmiş matris şekle dönüştürünüz.
32
Bölüm 2
33
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Görüldüğü gibi verilen matris satır indirgenmiş matris
şekle dönüştürülmüştür.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
2.3. Gauss ve Gauss-Jordan Eliminasyon Yöntemleri
Lineer denklem sistemlerinin çözümünü elde etmede
kullanılan birçok yöntem vardır. İzleyen kısımlarda
bu yöntemlerden ikisi olan Gauss ve Gauss-Jordan
yöntemleri tanıtılacaktır. Burada nn boyutlu lineer
denklem sistemleri ele alınacaktır. Daha sonraki
bölümlerde mn boyutlu lineer denklem sistemlerinin
çözümlerinden bahsedilecektir.
34
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
2.3.1. Gauss Yöntemi
şeklinde verilen bir lineer denklem sisteminin katsayılar matrisi A’nın
35
Bölüm 2
ve arttırılmış matrisin
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
’nin
şeklinde tanımlandığı önceki bölümde ele alınmıştı.
36
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Elementer satır dönüşümleri yardımıyla arttırılmış matris
’nin A katsayılar kısmı asal köşegen elemanları 1 olan
bir üst üçgen matris haline dönüştürülürse
matrisi
şeklini alır.
37
Verilen
katsayılar matrisinin elementer satır dönüşümleri
yardımıyla yukarıda belirtilen eşdeğer bir
matrisine
dönüştürülerek lineer denklem sisteminin çözümünün elde
edilmesi işlemi Gauss Eliminasyon Yöntemi olarak bilinmektedir.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.12.
Gauss Eliminasyon yöntemini kullanarak
lineer denklem sisteminin çözümünü elde ediniz.
38
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Sisteme ilişkin arttırılmış matrise elementer satır
dönüşümleri uygulanırsa
matrisinin A katsayılar
kısmı,
39
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
asal köşegen elemanları 1
olan bir üst üçgen matris
haline dönüşür.
40
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
matrisinin satır dönüşümleri
İle elde edilen eşdeğer matrisi
gözönüne alınırsa, bu matris
lineer denklem sistemi haline
dönüştürülür.
41
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
x3 değeri, ikinci eşitlikte yerine konursa,
elde edilir.
ve
değerleri birinci eşitlikte yerine konursa,
eşitliğinden,
elde edilir.
Dolayısıyla verilen Lineer denklem sisteminin çözüm kümesi
42
olarak bulunur.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.13.
Gauss Eliminasyon yöntemi yardımıyla
lineer denklem sisteminin çözümünü elde ediniz.
43
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bir önceki örnekte olduğu gibi arttırılmış matris yazılır ve
elementer satır dönüşümleri uygulanırsa
44
elde edilir.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bu matristen
lineer denklem sistemi elde edilir.
x3 = 0 ve x2 = -3 değerleri elde edildiğinden bu değerler
birinci satırda yerine konursa,
x1 - 3 + 0 = 3
eşitliğinden x1 = 6 elde edilir. Dolayısıyla çözüm kümemiz
(6, -3, 0) şeklinde olur.
45
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
2.3.2. Gauss-Jordan Eliminasyon Yöntemi
artırılmış matrisinin, elementer satır dönüşümleri yardımıyla,
asal köşegen elemanları 1 olan
matrise dönüştürüldüğünü
varsayalım.
46
Bölüm 2
Verilen
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
katsayılar matrisinin elementer satır
dönüşümleri yardımıyla yukarıda verilen eşdeğer bir
A * B *matrise dönüştürülerek lineer denklem sisteminin
çözümünün elde edilmesi işlemi Gauss-Jordan
Eliminasyon Yöntemi olarak bilinmektedir.
47
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.14.
Gauss-Jordan eliminasyon yöntemi yardımıyla
lineer denklem sisteminin çözümünü elde ediniz.
48
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Sisteme ilişkin arttırılmış matris
dir. Bu matrise elementer satır dönüşümleri uygulanırsa,
49
Bölüm 2
50
elde edilir.
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Elde edilen bu eşdeğer matris yardımıyla
yazılabilir. Buradan
,
ve
Dolayısıyla çözüm kümemiz (2, 2, 0)’dır.
51
elde edilir.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
2.4. Ters Matris
2.4.1. Matris tersinin tanımı
A ve B n n boyutlu matrisler olsun. A ve B matrisleri
bağıntısını sağlıyorsa B’ye A’nın tersi denir
ve
ile gösterilir. A da B’nin tersidir ve
yazılır.
Her nn boyutlu bir kare matrisin tersinin mevcut olması
gerekmez.
52
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.15.
ve
53
matrislerinin birbirinin tersi
olduğunu gösteriniz.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
olduğundan
yani
matrisi
54
Bu durum
matrisinin tersidir.
şeklinde gösterilir.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Benzer şekilde
matrisi
olup
55
şeklinde gösterilir.
matrisinin
tersi
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bir kare matrisin örneğin nn boyutlu A matrisinin
tersi
matrisini elde etmek için
satır dönüşümleri yardımıyla
matrisi elementer
matrisi haline
dönüştürülür. Burada I, n x n boyutlu birim
matris olup
56
’dir.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.16.
matrisinin tersini
kullanarak elde ediniz.
57
yöntemini
Bölüm 2
58
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
Görüldüğü gibi
yardımıyla
59
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
matrisi elementer satır dönüşümleri
matrisine dönüştürülmüştür.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bu işlemler sonucunda A matrisinin tersi
olarak elde edilir.
60
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.17.
yöntemini kullanarak
matrisinin tersini elde ediniz.
61
Bölüm 2
62
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
63
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
İşlemler sonucundan da görüldüğü gibi elementer satır
dönüşümleri sonucunda A matrisinin tersi A-1
olarak elde edilir.
64
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
2.4.2. Ters Matrislerin Özellikleri
Özellik 1.
Her ne kadar genelde matris çarpımı komütatif
değilse de (yani ABBA), eğer
ise,
’dır.
Özellik 2.
Bir matrisin tersi mevcut ise, bu bir tanedir.
Özellik 3.
A ve B aynı boyutlu tersi alınabilir matrislerse,
(AB)’nin tersi elde edilebilir ve
’dir.
65
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek: 2.18.
ise tersinin
olduğunu doğrulayınız.
66
Bölüm 2
Eğer
67
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
, A matrisinin tersi ise
elde edilir. Dolayısıyla
kuralı gerçekleşmelidir.
verilen A matrisinin tersidir.
Bölüm 2
Örnek: 2.19.
olduğunu doğrulayınız.
68
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bir önceki örnekte olduğu gibi BB-1 = I olduğunun doğrulanması
gerekmektedir.
olduğundan B-1, B matrisinin tersidir.
69
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Yukarıdaki örneklerde verilen A, A-1, B, B-1 matrislerini kullanarak
a) AB çarpımını elde ediniz.
1 1 1   1  2  1  2  6 5
2 3  2  3  1 4   15  1 6

 
 

1 2 1   2  3 2   5  7 9
70
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
b) B-1 A-1 çarpımını elde ediniz.
 10
 49

 2

 7
 11

 49
71
1
7
0
1
7
9
49

1
 
7
5 

49 

1
7
4
4


 1 0

1
1
4 4

19
31 
5   33

  
196
196
196
4

 
1
9 
  15
1 


28
28
28

 
1   100
16
88 
4   196  196 196 
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
c) [AB]-1 matrisini elde ediniz.
 2  6 5


AB çarpımının sonucu 15  1 6
 5  7 9
olarak elde edilmişti. Bu çarpımın tersini elde etmek için
yöntemi kullanılırsa
72
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
 2 6 5
15  1 6

 5  7 9
73
1



0


0

1 0 0
0 1 0
0 0 1 
33
196
matrisine elementer dönüşümler
uygulanırsa sonuçta
19
196
0
0
1
0

105
7

196
196
1

100
16

196
196
0
elde edilir.
31 
196

63 

196 
88 

196 

Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Buradan
( AB) 1
19
31 
 33

 196
196
196


 105
7
63 
 


196
196
196


 100
16
88 



196 196 
 196
olup, dolayısıyla (AB)-1 = B-1 A-1 doğrulanır.
74
Bölüm 2
Özellik 4.
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Eğer A tersi alınabilir bir matris ise aşağıdaki
özellikler geçerlidir.
i) A-1 tersi alınabilir bir matristir ve (A-1)-1 = A'dır.
ii) AT tersi alınabilir bir matristir ve (AT)-1 = (A-1)T'dir.
iii) Ak tersi alınabilirdir (k = 1, 2, 3, ...) ve (Ak)-1 = (A-1) k'dir.
iv) Sıfırdan farklı bir skala için sA tersi alınabilirdir ve
'dir.
75
Bölüm 2
Örnek 2.20.
 1 -2 3 
A =  2 1 1 
 3 -1 2 
matrisi verilmektedir.
76
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek 2.20.
 1 -2 3 
A =  2 1 1 
 3 -1 2 
matrisi verilmektedir.
i) A matrisinin tersini (A-1) elde ediniz.
77
1  2 3
2 1 1

3  1 2
1 0 0
1  2 3
2  R2  2 R1
0 1 0 R

0 5  5
R3  R3 3 R1
0 5  7
0 0 1
0 0
 2 1 0
 3 0 1
1
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
1  2 3

0 1  1
0 5  7
1
2
1
R2  R2
5
1


1
R3   R3

 2 0


0

78
elde edilir.
5
3
1  2 3
0 0

R3  R3 5 R2
0 1  1
1 0 




5 

0 1

0 0  2
3
1

10
10
0
0

1
0

0
1
1
5
1
2
3
5
1
2
1 
2 


0 

1

2

1

2
5
1
0

1
0

5

 1 1
0
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
Buradan




1
A 




olduğu görülür.
79

3
1

10
10
1
5
1
2

3
5
1
2
1 
2 


0 

1

2

Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
ii)
( A 1 ) 1
1
1 
 3


 10
10 2 


 1

3

0 
5
 5

 1
1
1
 

2
2
 2
Buradan A 
1 1
80
 A doğrulanır.
1
1  2 3 






 2 1 1 






3

1
2


Bölüm 2
iii)
81
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
1 2 3 
1 2 3
AT   2 1 3    2 1 1
 3 1 2 
 3 1 2 
T
1
 3
1 2 3


10





 1


T 1
 A    2 1 1   
10






1

 3 1 2 
 2

1
5
3
5
0
1 
2 

1 

2 

1

2 
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
T
A 
1
1
1 
1
 3
 3




 10
 10
10 2 
5



 1

 1
3
3
T

0   
5
 5

 10 5
 1
 1
1
1
 
0


2
2
 2
 2
Buradan
82
A   A 
1 T
T 1
elde edilir.
1 
2 

1 

2 
1
 
2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
iv)
A
A
1  2 3  1  2 3   6  7 7 
A 2  2 1 1  2 1 1   7  4 9 
3  1 2 3  1 2 7  9 12
A 
2 1
83
6  7 7 






 7  4 9 






7

9
12


1
22
40 
 36

 100 100
100


 18
38
10 



100
100
100


 50
50 
0


100 
 100
Bölüm 2
A 
1
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
1
1 
 3


 10
10 2 


 1

3
2

0 
5
 5

 1
1
1
 

2
2
 2
Bu sonuçlar karşılaştırılırsa
84
22
40 
1
1   36
 3



 10
100
10 2   100 100


 
 1
  18
3
38
10 
0 



5
5
100
100
100


 
 1
1
1   50
50 
  
0


2
2   100
100 
 2
A   A 
2 1
1 2 olduğu görülür.
Bölüm 2
v)
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
1
5 
1
1   3
 3
 10  10 2   10  10 10 


 

 1
  2
3
6
1
A 
0   
0 
5

 5
  10 10
 1
1
1  5
5
5
  
 

2
2   10
10
10 
 2
şeklinde yazılabilir.
85
Bölüm 2
1 
10 A


86
1
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
1
5 
 3


 10
10 10 


 2

6
1
 10 A  10
0 
10
10


 5
5
5
 

10
10
10 

 3  1 5 
  2 6
0 
 5
5  5
elde edilir.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
2.5. Matris Tersi Yöntemi Kullanarak Lineer Denklem
Sistemlerinin Çözümü
n eşitlik ve n bilinmeyenden oluşan lineer denklem sisteminin
AX=B şeklinde gösterildiğini varsayalım. Eğer A matrisi tersi
alınabilir bir matris ise
87
dir. Bu bize çözüm kümesini verir. B'nin tüm elemanlarının
şimdilik sıfır olmadığı varsayılmaktadır.
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek 2.21.
lineer denklem sisteminin çözümünü matris tersi yöntemini
kullanarak elde ediniz.
88
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek 2.21.
lineer denklem sisteminin çözümünü matris tersi yöntemini
kullanarak elde ediniz.
Verilen sistem AX=B şeklinde yazılabilir. Burada,
0 2
1
A   3 4 6,
  1  2 3
89
 x1 
6
X   x 2 , B  30
 x3 
 8 
dir.
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
A I   I  A1 
yöntemi yardımıyla A matrisinin tersi elde edilebilir.
0 2
1
 3 4 6

  1  2 3
90
1 0 0
2
1 0
2  R2  3 R1
0 1 0 R

 0 4 12
R3  R3  R1
0  2 5
0 0 1
1 0 0
3 1 0
1 0 1
2 1 0 0
2
1 0
1 0
2  R2  2 R3
2  R3
R

0 0 22 5 1 2 R
0  2 5
0  2 5 1 0 1
0 0 22
1 0 0
1 0 1
5 1 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Bölüm 2
1 0 2


1
R2   R2
5

 20 1 
R
2
R3  3

22

0 0 1

91
1

1
2
5
22

0 
1 0 0



1  R1  R1  2 R3 
0   

 0 1 0
5
2
 R 2  R 2  2 R3 

1
2 
0 0 1

22 22 

0
12
2
4

 
22
22
22

3
5
12 
 
44 44
44 
5
1
2 

22 22
22 
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Buradan
2
4
 12


 22
22
22 


3
5
12 
A 1  
 
44 
 44 44
5
1
2 


22 
 22 22
olarak elde edilir.
92
veya
4
8
 24


 44
44
44 


3
5
12 



44
44
44


 10
2
4 


44 
 44 44
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
İlgili değerler X=A-1B eşitliğinde yerine konursa
4
8  6
   24
 x1   44  44  44   
  
  
  3
5
12   
  30
 x2   
44   
   44 44
  
   10
2
4
 8
 x3  
44   
   44 44
93
   10 
 x1    11

  
   18 

 x2   
11

  
   38 

 x3  
   11 
10
18
38
elde edilir. Dolayısıyla x1   , x 2 
ve x3 
’dir.
11
11
11
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Örnek 2.22.
lineer denklem sisteminin çözümünü X=A-1B eşitliği yardımıyla
elde ediniz.
94
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
Verilen sistemin çözümüne ilişkin matris gösterimi
1 2 3
A  2 5 3
1 0 8
5
B   3 ,
17
ve
 x1 
X   x 2 
 x3 
şeklinde elde edildiğinden
95
 40 16 9 
A 1   13  5  3
 5
 2  1
Bölüm 2
Lineer Sistemlerin Matris
Kullanılarak Çözümü
X=A-1B eşitliği
 x1   40 16 9   5 
 x    13  5  3  3 
 2 
  
 x3   5
 2  1 17
olup, buradan
 x1   1 
 x    1
 2  
 x3   2 
96
elde edilir. Dolayısıyla verilen denklem sisteminin çözümü x1 = 1,
x2 = –1 ve x3 = 2’dir.