Transcript ege

Система подготовки к ЕГЭ
по математике.
Автор: учитель математики
МОУ «СОШ с. Полеводинское
Духовницкого района
Саратовской области»
Кулемякина Н. В.
2011 год
Проценты в математике
Один процент – это одна сотая часть
какого-то числа.
1% = 1/ 100
Найдем 3% от 400.
1) 400/100 = 4
2) 1% это 4
3) 4∙ 3 = 12
Три процента от 400 – это 12.
---------------------------------------------400- 100%
Х – 3%
400/х = 100/3
Х = 12
Найдите, сколько будет:
• 5% от 200 рублей;
• 8% от 350 километров;
• 120% от 10 литров;
• 15% от 60 градусов;
• 4% отличников от 25 учащихся;
• 10% двоечников из 20 человек.
Ответы (в полном беспорядке):
9, 10, 2, 1, 28, 12
3 человека из 120 – это сколько процентов?
1) Вычислим х% от 120 человек.
2) 1,2х = 3
3) х = 2,5
4) Значит 3 человека от 120 человек – это 2,5%
------------------------------------------------------------------------120 человек – 100%
3 человека – х%
120/3 = 100/х
Х = 2,5%
Посчитайте, сколько процентов составляют:
• 3 человека из 12;
• 10 рублей от 800;
• 4 учебника из 160 книг;
• 24 правильных ответа на 32 вопроса;
• 2 угаданных ответа на 32 вопроса;
• 9 попаданий из 10 выстрелов.
Ответы (в беспорядке)
75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.
«Проезд на автобусе стоит 14 рублей. В дни
школьных каникул для учащихся ввели скидку
25%. Сколько стоит проезд на автобусе в дни
школьных каникул?»
Решение:
Найдем сколько 25% в рублях.
14/100 = 0,14 (рубля)
0,14 ∙ 25 = 3,5 (рубля)
14 – 3,5 = 10,5 (рублей) – новая стоимость проезда
Ответ. 10,5 рублей.
«Красивая тетрадка летом стоила 40 рублей. Перед
началом учебного года, продавец поднял цену на 25%.
Однако, тетрадки стали покупать так плохо, что он
снизил цену на 10%. Все равно не берут. Пришлось ему
снизить цену еще на 15%. Какова была окончательная
цена тетрадки?»
Решение:
1) 25% от 40 рублей – это 10 рублей, т.е. подорожавшая
тетрадь стала стоить 50 рублей;
2) 10% от 50 рублей – это 5 рублей, т.е. после первого
удешевления тетрадь стала стоить 45 рублей;
3) 15% от 45 рублей – это 6,75 рубля, т.е. окончательная цена
тетрадки: 45 – 6.75 = 38,25 (рубля)
Ответ: 38,25 рублей.
« В олимпиаде по математике принимали участие 50
человек. 68% учеников решили мало задач. 75%
оставшихся решили средне, а остальные – много задач.
Сколько человек решило много задач?»
«Вася очень любит пончики с повидлом, которые пекут в
булочной, через одну остановку от дома. Стоят пончики по
15 рублей за штуку. Имея в наличии 43 рубля, Вася поехал
в булочную на автобусе за 13 рублей. А в булочной шла
акция «Скидка на всё – 30%!!!». Вопрос: сколько
дополнительных пончиков не смог купить Вася из-за своей
лени (мог бы и пешком прогуляться, правда?)»
Ответы: 2 и 4.
Практические советы
1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным
величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам.
Внимательно читаем задачу!
2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об
этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается.
При последовательном изменении величины, проценты
подразумеваются от последнего значения. Внимательно читаем
задачу!
3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы
нашли промежуточный ответ, а не окончательный. Внимательно
читаем задачу!
Компетентностные задачи
В 5. Для транспортировки 40 тонн груза на 1000 км можно воспользоваться услугами
одной из трех фирм –перевозчиков. Стоимость перевозки и грузоподъемность
автомобилей для каждого перевозчика указаны в таблице. Сколько рублей придется
заплатить за самую дешевую перевозку?
Перевозчик
Стоимость перевозки
одним автомобилем
(руб. на 100 км)
Грузоподъемность
автомобилей (тонн)
А
3200
3,5
Б
4100
5
В
9500
12
Среди всего многообразия задач можно
выделить пять больших групп.
1. Задачи на движение.
2. Задачи на работу (на совместную работу).
3. Задачи на проценты.
4. Задачи на сплавы, смеси.
5. Остальные...
Задачи на движение
Практические советы:
1. Записываем формулу-ключ: S = Vt
2. Определяемся с иксом, расписываем через икс все данные. Особое внимание на
величины, входящие в формулу-ключ: путь, скорость, время. Эти величины – основа
решения задач на движение. Стараемся снять всю возможную информацию с задачи.
3. До составления уравнения, приводим (если надо) все величины задачи к единым
единицам измерения.
4. Записываем уравнение. Если никак не записывается, читаем задачу. Скорее всего, вы
использовали не все данные из задачи или не увидели в тексте подсказки. Она,
подсказка, всегда есть.
5. Решаем уравнение. При получении двух корней ненужный – отбрасываем.
Задачи на совместную работу
1. Принимаем всю работу , которую необходимо выполнить
за 1.
Находим производительность труда каждого рабочего в
отдельности, т.е. 1/t, где t – время, за которое этот
рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.
2. Находим ту часть всей работы, которую выполняет
каждый рабочий отдельно за то время, которое он
работал.
3. Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы
к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей
работы, выполненная отдельно каждым из рабочих.
Пример задачи
1.
2.
3.
4.
Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем
другой. При совместной работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько
времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?
Решение.
Принимаем площадь участка, с которого необходимо собрать урожай, за 1.
Пусть Х – время, необходимое первому комбайнеру для уборки всего урожая, а У –
время, необходимое второму комбайнеру для уборки всего урожая. Тогда 1/Х –
производительность первого комбайнера, 1/У – производительность второго
комбайнера.
(1/Х)35 – часть участка, с которого может убрать урожай первый комбайнер за 35
часов работы, (1/У)35 - часть участка, с которого может убрать урожай второй
комбайнер за 35 часов работы.
Составим систему уравнений:
(1/Х)35 + (1/У)35 =1
Х = 24+У
У=60, Х=84.
Ответ: 60 часов, 84 часа.
Задачи на сплавы, смеси.
1. Х – масса первого раствора, У – масса второго
раствора, (Х+У)- масса полученной смеси.
2. Найти содержание растворенного вещества в
растворах, т.е. а % от Х, в % от У, с % от (Х+У)
3. Составить систему уравнений
Пример задачи
Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили
600г 15%-ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было
взято?
Решение:
Пусть Х г первого раствора, У г – второго раствора, тогда масса
третьего раствора - (Х+У). Определим количество растворенного
вещества в первом, втором, третьем растворах, т.е. найдем 30% от Х,
10% от У, 15 % от 600.
Составим систему уравнений:
Х+У=600
0,3Х + 0,1У = 90
Х=150, У=450
Ответ: взяли 150 г первого раствора и 450 г второго раствора.
Остальные…
• «Миша решил удивить друга Колю. Он предложил ему задумать число. Тот задумал.
-Прибавь к числу 8! – велел Миша. Коля прибавил.
-Умножь результат на два! – велел Миша. Коля умножил.
-Прибавь ко всему этому пять и скажи мне, что получилось! – распорядился Миша.
-Триста двадцать один! – бодро отрапортовал Коля.
-Так много!? – опешил Миша, но взялся делать чудо! Всего через какой-то час он гордо
изрёк: - Ты задумал число 120!
Коля действительно очень удивился. Он задумал не 120… Какое число задумал Коля?».
•
«Вася копил монетки. Пятирублёвые и десятирублёвые. Красивые и блестящие. После
долгих дней жесточайшей экономии Вася накопил 22 монетки. Причём, к большому
удовольствию Васи, десятирублёвых монеток было больше на 6 штук. Сколько всего
денег (в рублях) накопил Вася?»
•
« В спортзал привезли гири и гантели. Общим весом 200 кг. Разгружать машину с
гирями и гантелями пришлось Васе, Коле и Мише. Коля перенёс железа меньше, чем
Вася на 40 кг. А Вася перенёс железа больше, чем Миша в 2,5 раза. Сколько кг железа
перенёс Вася?»
Ответы (беспорядочно и без указания величин): 180; 150; 100.
Практические советы:
1. Выясняем, к какой группе относится задача. Записываем, на всякий случай,
соответствующие ключи.
2. Выбираем, что нужно взять за икс. Если никак не можем определиться, берём за икс
вопрос задачи.
3. Расписываем словесное условие задачи в математическом виде через икс, т.е.
составляем математическую модель. Выжимаем всю информацию из задачи! Если
ничего не записывается, никуда наш икс не встраивается – берём за икс другую
величину, узнав которую, мы сможем легко вычислить ответ на вопрос задачи.
Работаем с этим иксом. Не получается – берём за икс третью величину, работаем с ней.
И так до победы.
4. Записываем уравнение. Если вы скачали всю информацию из задачи, уравнение
составится само собой. Если не составляется, значит что-то из условия вы не
использовали.
5. Решаем уравнение, находим ответ.
Спасибо за внимание!