Transcript or-week4dl2
Operations Research
Hoorcollege week 4
Deel 2
Inleiding wachtrijsystemen
De klassificatie van Kendall
Het M/M/1-model
R.B.J. Pijlgroms
Instituut Informatica en Elektrotechniek
Hogeschool van Amsterdam
Wachtrijsystemen
2
Kenmerken van Wachtrijen
verdeling van aankomsttijd
ook: inter arrival time
verdeling van bedieningstijd
ook: service time
aantal servers of loketten
#
servers
aankomsten
bedieningen
3
Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)
Verdeling van aankomst- resp. bedieningstijden
Notatie:
M : de tussenaankomsttijd is negatief exponentiëel
verdeeld
D : de tussenaankomsttijd is constant
G : de tussenaankomsttijd is willekeurig verdeeld
4
Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)
maximaal aantal toegestane klanten in
het systeem
of ook: systeem-capaciteit
omvang van de gehele populatie van
mogelijke klanten
protocol van bediening van de wachtrij
5
Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)
Systeem-capaciteit:
oneindig: ‘iedereen’ kan zich als klant melden
eindig: bijv. de wachtruimte is beperkt!
(vergelijk de printbuffer of het geheugen,
beperkte ruimte in kapsalon.)
6
Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)
De populatie (dit is iets anders dan de
systeem-capaciteit)
veelal oneindig (‘iedereen’ kan zich als klant
melden)
soms eindig (vergelijk bijv. kapotte machines
die zich ‘melden’)
7
Kenmerken van Wachtrijen (VERVOLG)
Protocol: volgorde waarin de wachtrij wordt
bediend
FIFO
- First In First Out
FCFS - First Come First Served
LIFO - Last In First Out
LCFS - Last Come First Served
SJN
- Shortest Job Next
SIRO - Service In Random Order
SPT
- Shortest Processing Time first
PR
- according to PRriority
8
De Kendall-notatie
de genoemde kenmerken worden afgekort
volgens Kendall, bijv.:
M/M/1/FIFO
negatief exponentieel verdeelde aankomsttijd
negatief exponentieel verdeelde bedieningstijd
één server
systeem-capaciteit (= oneindige wachtruimte + 1 = )
oneindige populatie
First In First Out bedieningsvolgorde
9
De Kendall-notatie (vervolg)
dit wordt afgekort tot M/M/1
voortaan meestal korte notatie
dus capaciteit en populatie worden dan oneindig
verondersteld en volgorde is FIFO. Zoniet, dan de
lange notatie.
Enkele voorbeelden
M/M/4
M/G/1
D/M/2/4
M/D/3/8
M/M/4/4
M/M/2/5/5
10
Notatie van Kendall
A/B/s/N/K met:
A = verdeling aankomsttussentijd
B = verdeling bedieningstijd
s = aantal servers
afkortingen verdelingen
(d.w.z. A, B):
N = capaciteit van het systeem
K = omvang van de ‘doelgroep’ M = exponentieel
D = constant/deterministisch
G = algemeen
(Ek = Erlang)
11
Parameters wachtrijsysteem
Resumerend
gedrag wachtrij-systeem afhankelijk van
aankomstproces (l en verdeling tussentijd)
bedieningsproces (m en verdeling bedientijd)
aantal loketten
capaciteit van het systeem
omvang van de doelgroep
bedienings-protocol
12
Kendall notatie
oefeningen
kapsalon met 3 knipstoelen en 5
wachtstoelen
6 machines die onderhouden worden en 1
monteur met Poisson-verdeelde
bedieningsintensiteit
vliegtuigen die landen op 1 landingsbaan
Wachtrij in kantine met exponentieel
verdeelde tussenaankomsttijden en
constante bedieningstijden
13
Interessante afgeleide systeemvariabelen
r = bezettingsgraad (server utilization,
percentage van de tijd dat een server bezig is
waarbij s = aantal parallelle servers)
Pn = kans op n klanten in het systeem
Nq = gemiddeld aantal klanten in het systeem
(bediening en wachtrij)
Nw = gemiddeld aantal klanten in de wachtrij
Tq = gemiddelde tijd dat een klant in het
systeem aanwezig is (bediening en wachtrij)
Tw = gemiddelde tijd dat een klant in de wachtrij
14
Overgangs- en stationair gedrag
overgangsgedrag (vanaf t = 0)
prestatie indicatoren als gemiddelde wachttijd Tw en
gem. aantal klanten in de wachtrij Nw afhankelijk
van de tijd d.w.z. Tw(t), Nw(t)
stationair gedrag ( t => )
prestatie-indicatoren als gemiddelde wachttijd niet
meer afhankelijk van de tijd (d.w.z. de
waarschijnlijkheid dat systeem zich in gegeven
toestand bevindt is niet tijdsafhankelijk)
15
Overgangsgedrag
geschiedenis aantal klanten in systeem =
grafiek aantal klanten tegen tijd
Kan ook in tabel
Je moet het wachtrij-protocol kennen
FIFO (first in first out)
LIFO (last in first out)
SIRO (service in random order)
SPT (shortest processing time first)
PR (according to priority)
16
Geschiedenis
oefening
Nq
•
•
•
•
aantal bezoeken afgelegd door verpleger (N) ?
voor alle N bezoeken de begintijd ?
voor alle bezoeken de door patient in systeem doorgebrachte tijd ?
voor alle bezoeken de door patient in rij doorgebrachte tijd ?
17
Het M/M/1// - model
18
Het M/M/1// - model
Negatief-exponentieel verdeelde tussenaankomsttijden
( gemiddelde aankomstintensiteit = l [klanten/sec],
gem. tussenaankomsttijd = l-1 [sec] )
(N.B.: l-1 =1/ l)
Negatief-exponentieel verdeelde bedieningstijden
(gemiddelde bedieningsintensiteit = m [klanten/sec],
gem. bedieningstijd Ts=m-1 [sec])
aantal loketten s = 1
Systeemcapaciteit is oneindig
Populatiegrootte is oneindig
19
De Markov-keten en de
evenwichtsvergelijkingen: M/M/1
…
- Markov-keten.
- Cirkels geven toestanden aan waarin het systeem kan verkeren.
- Overganskansen i.h.a. niet constant.
20
Het M/M/1-model
In het M/M/1-model is:
het
aankomstproces een Poisson-proces met
gemiddeld l aankomsten per tijdseenheid
de tijd tussen het afronden van twee bedieningen
negatief exp. verdeeld met gemiddeld m bedieningen
per tijdseenheid
het aantal servers = loketten gelijk aan 1
Dus parameters ln en mn hangen niet van n
af!!
21
Het M/M/1-model (vervolg)
Dus ln = l voor alle n = 0, 1, 2, ...
En mn = m voor alle n = 1, 2, 3, ...
Wel moet gelden : l < m
anders loopt het systeem “vol”
De grootheid l r ( r 1)
m
wordt de bezettingsgraad van het systeem
genoemd
De evenwichtsvergelijkingen worden :
22
Het M/M/1-model (vervolg)
l
0
l
1
m
l
… n-1
m
l
2
l Pn m Pn1 (n 0,1, 2,...)
3
…
Dus :
l
mP1 lP0 P1 P0 rP0
m
m
m
l
l
l
mP2 lP1 P2 P1 rP1 r 2 P0
m
n
n+1
n+2 …
l
mP3 lP2 P3 P2 rP2 r 3 P0
m
m
m
.Dus : Pn r n P0 ( voor n 0,1, 2, ...)
23
Het M/M/1-model (vervolg)
Bovendien is de som van alle kansen 1
Pn 1
n 0
n
r
P0 1
n 0
P0 (1 r r 2 r 3 ...) 1 ( N.B.: r 1 !!)
1
P0
1 P0 1 - r
1- r
Dus : Pn r n (1 - r ) (n 0, 1, 2, ...)
24
Het M/M/1-model (vervolg)
VOORBEELD
Er komen op een netwerkserver gemiddeld 10 berichten
per minuut binnen.
De gemiddelde verwerkingstijd voor een bericht is 4
seconden.
1.
2.
3.
wat is de kans op een ‘idle server’?
wat is de kans op 1, 2 resp. 3 berichten in het systeem?
wat is de kans op minstens 4 berichten in het systeem?
25
Het M/M/1-model(vervolg)
ANTWOORD
Eerst: l is natuurlijk 10 (berichten per minuut)
En: m is 15 !! (berichten per minuut)
Dus de bezettingsgraad r = 10/15 = 2/3
De kans op een ‘idle server’ = de kans op 0
berichten in het systeem: P0 dus.
26
Het M/M/1-model
(vervolg)
We vonden:
2
2 1
r
dus P0 1 - 0.333
3
3 3
2
2
2
P1 r (1 - r ) (1 - ) 0.222
3
3
9
Pn = rn (1-r)
2
2
4
2
P2 r (1 - r ) (1 - )
0.148
3
3
27
2
3
2
8
2
P3 r (1 - r ) (1 - )
0.099
3
3
81
3
De kans op 4 of meer :1-0.333-0.222-0.148-0.099=0.198
27
Nogmaals de notaties voor
afgeleide systeemvariabelen
We definieren een aantal stochasten:
Ns = het aantal klanten dat bediend wordt
Tq = de tijd die een klant in het systeem
doorbrengt
(ook wel de doorlooptijd genoemd)
Tw = de tijd die een klant in de rij staat
Ts = de tijd die nodig is voor de bediening van een klant
Nq = het aantal klanten in het systeem
Nw = het aantal klanten in de wachtrij
28
Little’s Result
We nemen voortaan aan dat alle genoemde
stochasten niet afhangen van de tijd
Er geldt :
Nq = Nw + Ns
Tq = Tw + Ts
Bovendien geldt Little’s result:
E(Nq) = l E(Tq)
E(Nw) = l E(Tw) en
E(Ns) = l E(Ts)
29
Little’s Result
(vervolg)
Zoals aldoor is l het gemiddeld aantal
aankomsten per tijdseenheid
Little heeft bewezen dat dit resultaat geldig is
onafhankelijk van de aankomstverdeling !!
Het bewijs is abstract, het resultaat
eenvoudig en aannemelijk.
30
De verwachting van Nq
(M/M/1-model)
help!
E(Nq )
k P( N
k 0
q
k)
k 0
k 0
k
k
P
k
r
(1 - r )
k
(1 - r ) k r k
k 0
31
wiskunde trucs!!!
k
2
3
4
k
x
x
2
x
3
x
4
x
.....
k 0
x(1 2 x 3 x 2 4 x 3 ...)
Met f ( x) 1 x x 2 x 3 x 4 ... is
f ' ( x) 1 2 x 3 x 2 4 x 3 ....
1
Maar f ( x)
voor x 1
(1 - x)
1
Dus f ' ( x)
voor x 1
2
(1 - x)
x
Dus k x
2
(
1
x
)
k 0
k
De verwachting van Nq en Tq
Uit het voorgaande volgt dus:
(bedenk dat r lm < 1 )
l
r
r
l
m
E ( N q ) (1 - r )
(1- r )2 (1 - r ) (1 - lm ) m - l
En dan volgt met het Result van Little:
1
1
l
1
E (Tq ) E ( N q )
l
l m -l m -l
33
het gemiddelde aantal klanten in het systeem
als functie van de bezettingsgraad r
20
Nq
15
10
5
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1
bezettingsgraad r
De verwachting van Nw en Tw
De verwachte wachttijd is :
de verwachte totale tijd in het systeem minus de
verwachte bedieningsduur
E (Tw ) E (Tq ) - E (Ts )
1
1 m - (m - l )
l
-
en dus :
m -l m
m (m - l ) m (m - l )
l2
E ( N w ) l E (Tw )
m (m - l )
35
The End