Transcript Théorie de Files d`Attente

Théorie de Files d’Attente
Ramon Puigjaner
Universitat de les Illes Balears
Palma, Espagne
Université Paul Sabatier. Toulouse
INDICE
Caractéristiques d'un modèle de files d'attente
Notation
Variables et relations fondamentales
Processus de Poisson
Processus de Naissance-Mort
Files M/M/m/B/K
File M/G/1
Files G/G/1: Méthode de diffusion
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
 Caractéristiques d'un modèle de files d'attente
Source de clients
 Station de service

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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
 Caractéristiques de la source des clients
Processus d'arrivée
 Quantité de service
 Taille de la population

 Caractéristiques de la station de service
Nombre de serveurs
 Nombre de files d'attente
 Capacité des files
 Gestion de la file
 Politique de service

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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
 Notation
A/S/m [/B/K/DS]

A: distribution du temps entre arrivées,

S: distribution du temps de service,

m: nombre de serveurs,

B: capacité du système (par défaut: infinie),

K: taille de la population (par défaut: infinie),

DS: politique de service (par défaut: FCFS).
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
 Variables fondamentales

T: variable aléatoire du temps entre arrivées.

l: fréquence d'arrivée (= 1/E[T])

S: variable aléatoire du temps de service.

m: capacité de service (1/E[S]). Ou nombre moyen
de travaux qui peut accepter un serveur par unité de
temps . S'il y a m serveurs, la capacité totale de
service est mm.
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
 Variables fondamentales

N: nombre de travaux dans la station de service
(variable aléatoire discrète).

Nq: nombre de travaux en attente de recevoir
service (variable aléatoire discrète).

Ns: nombre de travaux en train de recevoir service
(variable aléatoire discrète).

R: temps de réponse du système (variable aléatoire
continue).

W: temps d'attente dans la file (variable aléatoire
continue).
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
 Rapports fondamentaux

Condition de stabilité: La fréquence moyenne
d'arrivées doit être plus petite que la capacité
moyenne de service:
l < mm
Elle n'est pas applicable aux systèmes avec
population et/ou capacité finies.

Equation du nombre de travaux:
N = Nq + Ns
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
 Relations fondamentales

Equation du temps:
R=W+S

Loi de Little:
Nombre moyen de travaux dans le système =
= Fréquence d'arrivée  temps moyen de réponse.
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
 Loi de Little
J
Clients
T emps
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T
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
 Loi de Little
Fréquence d'arrivée =
= Nombre d'arrivées/Temps d'observation = I/T
Temps moyen dans le système = J/I
Nombre moyen de travaux dans le système =
= J/T = I/T  J/I =
= Fréquence d'arrivée  Temps moyen dans le système
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
 Processus de Poisson
 N(t), pour t  0 est un processus de Poisson si:
N(0) = 0,
 Le nombre d'arrivées en intervalles indépendants sont
mutuellement indépendants,
 Pour un intervalle de temps suffisamment petit
[t, t + Dt] s'accomplit que:

 la probabilité d'arrivée d'un client est lDt + (Dt),
 la probabilité d'arrivée de deux clients ou plus est (Dt)
 la probabilité d'aucune arrivée est 1 - lDt + (Dt)

Les trois probabilités précédentes dépendent de Dt
mais non de t
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THÉORIE DE FILES D’ATTENTE
 Processus de Poisson

l t   lt
N t  
e
i!
E[N(t)]=lt
Var[N(t)]=lt
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Distribution exponentielle

Les temps entre arrivées consécutives d'un processus
de Poisson suivent une distribution exponentielle
P rN t   0  e  lt
P rT  t   1  P rT  t   1  e lt
FT t   1  e lt , pour t  0
dFT t 
 lt
f T t  
 le , pour t  0
dt

Sans mémoire (propriété de Markov):
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Propriétés des processus de Poisson

Superposition de processus de Poisson

Décomposition d'un processus de Poisson
l1
p1
l2
l
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l2
…
…
lm
l
p2
l1
pm
lm
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Processus de Naissance-Mort

Il s'agît d'un type particulier de processus stochastique
outil pour modeler des systèmes dans lesquels les
clients arrivent et complètent son service un par un.

L'état du système est représenté par la variable
aléatoire du nombre de clients, k.
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Processus de Naissance-Mort

Si Pk(t) est la probabilité qu’il y ait k éléments à l’instant
t et dans un intervalle suffisamment petit l’état du
système ne peut varier qu’en un élément, c’est à dire,
pour qu’à l’instant t + Dt il y ait k éléments:
 Ou à l’instant t il y a k éléments et il n’y a aucun changement
pendant Dt.
 Ou à l’instant t il y a k - 1 éléments et il y a une arrivée
pendant Dt.
 Ou à l’instant t il y a k + 1 éléments et il y a un départ
pendant Dt.

L’état du système ne peut être jamais négatif.
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Processus de Naissance-Mort

La probabilité de l'état dépend de t, mais celle du
changement (naissance ou mort) dépend seulement de
Dt
Pk(t + Dt) = Pk(t) pk,k(Dt) + Pk - 1(t) pk - 1,k(Dt) +
+ Pk + 1(t) pk + 1,k(Dt) + (Dt), pour k > 0
P0(t + Dt) = P0(t) p0,0(Dt) + P1(t) p1,0(Dt) + (Dt),
pour k = 0

 P t   1
k 0
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k
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Processus de Naissance-Mort
Les processus de naissance et de mort sont des
processus de Poisson de paramètres dépendants de l'état,
lk et mk:
 pour k > 0

Pk(t + Dt) = Pk(t) [1 - lkDt + (Dt)] [1 - mkDt + (Dt)] +
+Pk - 1(t) [lk – 1Dt + (Dt)] +
+ Pk + 1(t) [mk + 1Dt + (Dt)] + (Dt)
 pour k = 0
P0(t + Dt) = P0(t) [1 - l0Dt + (Dt)]+
+ P1(t) [m1Dt + (Dt)] + (Dt)
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Processus de Naissance-Mort

pour k > 0
Pk t  Dt   Pk t 

Dt
Dt 
 l k  m k Pk t   l k 1 Pk 1 t   m k 1 Pk 1 t  
Dt

pour k = 0
P0 t  Dt   P0 t 
Dt 
 l 0 P0 t   m1 P1 t  
Dt
Dt
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Processus de Naissance-Mort

pour k > 0
dPk t 
 l k  m k Pk t   l k 1 Pk 1 t   m k 1 Pk 1 t 
dt

pour k = 0
dP0 t 
 l 0 P0 t   m1 P1 t 
dt

Equations de Chapman-Kolmogorov
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Processus de Naissance-Mort

Si ce système arrive à un régime stationnaire, c’est à
dire que les probabilités sont indépendantes de
l’instant,
Pk(t) = pk , pour k  0
Donc
0 = -(lk + mk)pk + lk - 1pk - 1 + mk + 1pk + 1, pour k > 0
0 = -l0p0 + m1p1, pour k = 0
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Processus de Naissance-Mort

Vers l’état Ek il y a un flux d’entrée à`partir des états Ek
+ 1 et Ek - 1, de
lk - 1pk - 1 + mk + 1pk + 1

Des l’état Ek il y a un flux de sortie vers les états Ek + 1
et Ek - 1, de
(lk + mk)pk

Si le système est en équilibre les deux flux doivent être
égaux,
lk - 1pk - 1 + mk + 1pk + 1 = (lk + mk)pk
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Processus de Naissance-Mort
À partir de l'équation de Kolmogorov en régime
stationnaire pour k = 0,
l0
p1  p0
m1
 Remplaçant dans l'équation de Kolmogorov en
régime stationnaire pour k = 1,

l0
0  l 0  m1  p 0
 l 0 p0  m 2 p2
m1
l 0 l1
l1
p2  p0
 p1
m 1m 2
m2
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Processus de Naissance-Mort

En général
li
l k 1
pk  p0 
 p k 1
mk
i  0 m i 1
k 1
p0 
Université Paul Sabatier. Toulouse.
1
li
1  
k 1 i  0 m i 1

k 1
25
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Files M/M/m/B/K

Ces files sont des cas particuliers des processus de
naissance-mort puisqu’il s’agît de systèmes dans
lesquels les arrivées au système (processus de
naissance) et les sorties comme conséquence de la fin
des services (processus de mort) sont tous les deux
poissoniens
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THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/1
une file avec un seul serveur
 temps
entre arrivées des clients répartis
exponentiellement avec une valeur moyenne 1/l,
indépendante du nombre de clients que sont dans le
système
 temps
de
service
des
clients
répartis
exponentiellement avec une valeur moyenne 1/m,
indépendante du nombre de clients que sont dans le
système
lk = l, pour k = 0, 1, ....
m k = m, pour k = 1, 2, ....

Université Paul Sabatier. Toulouse.
27
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/1
l
0
l
1
m
l
l
....
2
m
l
m
k-1
k
m
m
l
l
p k  p 0   p 0  
i 0 m
m
k 1
p0 
Université Paul Sabatier. Toulouse.
l
l
k+1
m
m
k
1
l
1    
k 1  m 

k
28
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/1
1
p0 
1
l
m
l
 1  1 r
m
l
1
m
pk = (1 - r)rk , pour k = 0, 1, ...
Université Paul Sabatier. Toulouse.
29
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/1



k 1
k 1

k 1

N   kpk   k 1  r r k  1  r r kr k 1 
 k

 1  r r r  1  r r  r k 
r k 1
k 1 r
 r
1
r
 1  r r
 1  r r

2
r 1  r
1  r 1  r

r
2
2
 N   k  N  p k 
2


1

r
k 0
N
r
1/ m
s
R



l 1  r l 1  r 1  r
Université Paul Sabatier. Toulouse.
30
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/ (nombre infini de serveurs)
lk = l, k = 0, 1, ....
mk = km, k = 1, 2, ....
l
0
l
1
m
l
2
2m
Université Paul Sabatier. Toulouse.
. . .l
.
3m (k -1)m
l
k-1
l
k
km
l
k+1
(k +2)m
(k +1)m
31
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/ (nombre infini de serveurs)
k
l 1
l
p k  p0 
 p 0  
i  0 i  1m
 m  k!
1
l / m
p0 
e
 1 r
k

l 1
1    
k 1  m  k!
k 1
k
l
 
m  l / m

pk 
e
k!
Université Paul Sabatier. Toulouse.
32
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/ (nombre infini de serveurs)

Le nombre moyen de clients dans le système
N = l/m

Le temps moyen de réponse, par application de la loi
de Little,
R = 1/m = s
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33
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/m
lk = l, k = 0, 1, ....
mk = min(km, mm)
d’où
mk = km, pour 0  k  m
mk = mm, pour m  k
l
0
l
1
m
l . . .l
2
2m
Université Paul Sabatier. Toulouse.
.
3m (m-1)m
l
m-1
l
m+1
m
mm
l
mm
mm
34
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/m
k
l 1
l
p k  p0 
 p0  
i  0 i  1m
 m  k!
k 1
k
l
l
l
1
p k  p0 
 p0  

k m


i

1
m
m
m
m
m
!
m
i 0
i m
 
m 1

 mr

mr 1 
p 0  


m! 1  r 
 k  0 k!
m 1
Université Paul Sabatier. Toulouse.
k
m
1
35
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/1/B: Capacité finie
lk = l, pour k < B
lk = 0, pour k  B
mk = m, pour k = 1, 2, ....
l
0
l
1
m
l
2
m
Université Paul Sabatier. Toulouse.
m
....
l
l
B-1
m
B
m
36
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/1/B: Capacité finie
k
l
l
p k  p 0   p 0   , pour k  B
i 0 m
m
k 1
pk = 0, pour k > B
p0 
1
l
1    
k 1  m 
Université Paul Sabatier. Toulouse.
B
k

l
1
m
l
1   
m
B 1
37
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/1//K: Population finie
lk = (K - k)l, pour 0  k  K
lk = 0, pour k  K
mk = m, pour k = 1, 2, ....
Kl
0
(K-1)l
1
m
(K-2)l
....
2
m
Université Paul Sabatier. Toulouse.
m
l
2l
K-1
m
K
m
38
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/1//K: Population finie
l
lK  i 
pk  p0 
 p 0  
m
i 0
m
k 1
 K l
p 0    
 k 0  m 
Université Paul Sabatier. Toulouse.
k
k
K!
, pour 0  k  K
K  k !
K! 

K  k !
1
39
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/1//K: Population finie

Utilisation du serveur
r = 1 - p0

Par application de la loi de Little au serveur
le
r
m

Fréquence moyenne d’entrée de clients à la station
le = (1 - p0)m
Université Paul Sabatier. Toulouse.
40
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/m/B/K
lk = (K - k)l, pour 0  k < B
lk = 0, pour k  B
mk = km, pour 0  k  m
mk = mm, k > m
Université Paul Sabatier. Toulouse.
41
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/m/B/K
(K-2)l
(K-1)l
Kl
m
. . . .
2
1
0
3m
2m
. . . .
(m-1)m
mm
mm
mm
(K-B+2)l
. . . .
mm
Université Paul Sabatier. Toulouse.
. . . .
m+1
m
m-1
(K-m-1)l
(K-m)l
(K-m+1)l
(K-m+2)l
(K-B+1)l
B
B-1
mm
42
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/m/B/K
l K 
lK  i 
p k  p0 
 p 0    , pour 0  k  m
i  0 i  1m
m  k 
k
k 1
lK  i  lK  i 
p k  p0 


mm
i  0 i  1m
m 1
l
 p 0  
m
k
 K  k! m  k
  m , pour m  k  B
 k  m!
Université Paul Sabatier. Toulouse.
43
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/M/m/B/K : Conclusion

S’il n’y a pas des limites ni dans la population ni
dans la capacité du système serveur-file, le calcul de
la probabilité p0 exige la sommation d’une série
infinie; il s’agît donc d’un problème analytique.

S’il y a quelque limite dans la population ou dans la
capacité du système, le nombre d’états est fini et
l'addition à faire pour le calcul de p0 l’est aussi.
Nous sommes en face d’un problème numérique
puisque le système est toujours stable et il est
toujours possible d’obtenir le résultat.
Université Paul Sabatier. Toulouse.
44
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/G/1

Source infinie.

Intervalles de temps entre arrivées consécutives
répartis exponentiellement avec moyenne tm = 1/l.

Temps de service répartis d’après n’importe quelle
fonction. Son degré d’aléatorieté est défini par sont
coefficient quadratique de variation.
2

2
K s  2s
s
Université Paul Sabatier. Toulouse.
45
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/G/1

Valeur moyenne du temps de service: s = 1/m.

Discipline de la file: FIFO.

Pour que la file atteigne un régime stationnaire
stable il faut la condition de stabilité
r = l/m = ls < 1

Un seul serveur.
Université Paul Sabatier. Toulouse.
46
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/G/1
Une nouvelle arrivée trouvera en moyenne N clients,
r en service et N - r en attente.
 Chaque client dans la file recevra un service moyen
de s = 1/m. Si R0 est le temps de service résiduel
R = rR0 + (N - r)s + s
 Par la loi de Little
N /l = rR0 + (N - r)s + s

r
N  r  l R0
1 r
Université Paul Sabatier. Toulouse.
47
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/G/1

f(x): fonction de densité de probabilité

s: moyenne

M2: moment de second ordre

A: période de temps très long sur lequel on à disposé
les intervalles de service.

En moyenne il y aura A/s intervalles sur A

Un intervalle est de longueur x avec probabilité
f(x)dx
Université Paul Sabatier. Toulouse.
48
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/G/1

Nombre moyen d’intervalles de longueur x sur A
Af  x dx
s
 Portion moyenne d’A couverte par des intervalles de
longueur x
Axf  x dx
s
Université Paul Sabatier. Toulouse.
49
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/G/1

probabilité g(x)dx que l’intervalle élu au hasard soit
de longueur x
xf  x dx
g  x dx 
s

longueur moyenne de l’intervalle élu


0
0
mr   xg  x d x  
Université Paul Sabatier. Toulouse.
x 2 f  x dx M 2

s
s
50
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/G/1

Puisque le point d’observation est équiprobable sur
tout l’intervalle, le temps résiduel est
mr M 2
R0 

2
2s

Remplaçant dans l'équation du temps de réponse
l2 M 2
N r
21  r
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51
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 File M/G/1 : Formules de Khintchin-Pollaczeck
2
2



r2
r
2
s
1  2 
N r
1 Ks  r 
21  r
21  r 
s 


2






r
r
2
s
1  2 
R  s 1 
1  K s   s 1 






2
1

r
2
1

r
s






Université Paul Sabatier. Toulouse.

52
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Modèle de Skinner

Les arrivées suivent un processus de Poisson de
moyenne l.

Service de durée A, avec distribution FA(t).

Après donner service, le serveur reste en latence
pendant un temps B, avec distribution FB(t).

Z = A + B avec distribution FZ(t).
Université Paul Sabatier. Toulouse.
53
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Modèle de Skinner

Après un cycle de service et latence, le serveur
regarde la file pour voir s’il y a des clients.
 Si elle n’est pas vide, le serveur commence une nouvelle
période de service.
 Si elle est vide, le serveur commence une nouvelle
latence C, avec distribution FC(t).
Université Paul Sabatier. Toulouse.
54
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Modèle de Skinner
l
A
B
C
M 2C 1
M 2Z
R
 l
 mA
2mC 2 1  lmz
Université Paul Sabatier. Toulouse.
55
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Files G/G/1: Méthode de diffusion

Hypothèse de distribution normale du nombre de
clients dans le système.
DN(t) variation de la longueur de la file entre t et
t + D. Alors, si D suffisamment grand, DN(t) suit
une distribution normale d’une façon approchée
E[DN(t)] = (l - m)D = bD
Var[DN(t)] = (Ka2 l + Ks2 m)D = aD
Université Paul Sabatier. Toulouse.
56
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Files G/G/1: Méthode de diffusion
l fréquence d’arrivée,
m capacité de service (o l’inverse du temps moyen de
service),
Ka2 coefficient quadratique de variation du temps
entre arrivées ta, Ka2 = Var (ta)l2,
Ks2 coefficient quadratique de variation du temps de
service ts, Ks2 = Var (ts)m2.
Université Paul Sabatier. Toulouse.
57
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Files G/G/1: Méthode de diffusion

Remplacement du processus discret par un processus
continu.
Le processus discret DN(t) est approché par un
processus continu x(t), dont les changements
incrementales dx(t) sont repartis d’après une
distribution normale avec moyenne bdt et variance
adt
dx(t) = bdt + z(t) (adt)1/2
où z(t) est un processus gaussien blanc.
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58
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Files G/G/1: Méthode de diffusion
p x0 , x, t  a  2 p x0 , x, t 
p x0 , x, t 

b
2
t
2
x
x
x0 la valeur initiale
p(x0, x, t)dx = Pr[x  x(t)  x + dt | x(0) = x0]
Université Paul Sabatier. Toulouse.
59
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Files G/G/1: Méthode de diffusion

Introduction des conditions de contour.
L'équation de diffusion est résolue avec la condition
de contour x(t) > 0 (barrière reflétante) o p(x0, x, t) =
0 pour x < 0.
Pour le cas stationnaire, la dérivée par rapport au
temps dans l'équation précédente doit être zéro.

 px , x, t dx  1
0
Université Paul Sabatier. Toulouse.
0
60
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion
Condition de stabilité b < 0 ou l < m
Condition de contour
a dp x0 , x,  
 bp x0 , x,    0, en x  0
2
dx
2b 2b / a
p x    e
a
Université Paul Sabatier. Toulouse.
61
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
Files G/G/1: Méthode de diffusion

Discretisation du processus de diffusion et ajustement
pour le cas d’un nombre faible de clients dans le
système.
Distribution géométrique avec le même facteur de
décrément e-2b/a.
Par le théorème du limite central on ne peut pas
espérer des résultats significatifs pour un faible
nombre de clients dans le système. On sait que la
probabilité d’avoir la file vide est r = 1 - l/m.
Université Paul Sabatier. Toulouse.
62
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Files G/G/1: Méthode de diffusion
Alors on ajuste la distribution géométrique pour n =
0 et on utilise e-2b/a comme facteur de décrément. Si
on représente la distribution approchée du nombre
de clients dans le système, bâtie de cette façon, par
p(n), on obtient
p(n) = 1 - r , si n = 0
p(n) = r (1 - f) fn-1 , si n > 0
Université Paul Sabatier. Toulouse.
63
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Files G/G/1: Méthode de diffusion

Résultats de l’approche par le retour instantané.
f(x) = R(e-f - 1) efx, pour x  1
f(x) = R(1 - efx), pour 0  x  1
1 r
f  2
rK a2  K s2
l
r
m
l'
R
l 'm  l
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64
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Files G/G/1: Méthode de diffusion

Résultats de l’approche par le retour instantané.
La condition de stabilité exige r = l/m < 1.
Si on admet l = l', R = r.
La longueur moyenne de la file sera
L

0
 1 rK a2  K s2 
1 a 
xfdx  r 
  r  
21  r 
 2 2b 
2
Université Paul Sabatier. Toulouse.
65
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Files G/G/1: Méthode de diffusion

Résultats de l’approche par le retour instantané.
Pour Ka = 1, nous avons


 r 1  K s2 
LKP  r1 

21  r 

 1 r  K s2 
L  r 

 2 21  r 
LKP
Université Paul Sabatier. Toulouse.
1 K
Lr
2
2
s
66
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Files G/G/1: Méthode de diffusion

Résultats de l’approche par le retour instantané.
Avec l'approximation R = r on discretise la
distribution; pour ceci il y a plusieurs alternatives.
Soit P = 1 - r, la première consiste à faire
p1(i) = f(i), pour i  1
p1(0) = P
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67
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Files G/G/1: Méthode de diffusion

Résultats de l’approche par le retour instantané.
p1(0) = 1 - r


p1 i   r rˆ 1  1 rˆ i  r1  rˆ rˆ i 1
ˆr  e f
r
L1   ip1 i  
1  rˆ
i 1

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68
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Files G/G/1: Méthode de diffusion

Résultats de l’approche par le retour instantané.
Deuxième discretisation: probabilité p2(i) égal à la
fonction continue de distribution entre i - 1 et i
 rˆ  1
p 2 1  r1 
p 2 0   1  r

f 

r
2 i
ˆ
p 2 i    f  x dx  2 1  r rˆ , pour i  2
i 1
frˆ
i
 rK a2  K s2 
 1
L2  r1    r1 



r

1
2
f




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L2  LKP
rK s2

2
69
THÉORIE DE FILES D'ATTENTE
 Files G/G/1: Méthode de diffusion

Résultats de l’approche par le retour instantané.
Troisième discretisation: réussir que la longueur de
file coïncide avec celle de Khintchin-Pollaczeck
 21  r
f' 
r K a2  K s2




2
2


r
K

K
 1
a
s
L2 '  r1    r1 

21  r 
 f' 

rˆ  e f'
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70