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BASES THEORIQUES DU TRAITEMENT DU SIGNAL ETUDE DES SIGNAUX DETERMINISTES ESINSA3 Thierry PITARQUE Université de Nice - Sophia Antipolis ESINSA I3S
1
Plan du cours
I Etude des signaux déterministes continus
1) Notion de signaux et systèmes 2) Energie et puissance 3) Représentation fréquentielle 4) Filtrage
II Etude des signaux déterministes discrets
1 ) L’échantillonnage 2 ) Signaux déterministes discrets
III Le TNS
2
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes
1.1 Introduction à la théorie du signal 1.2 Quelques signaux élémentaires 1.3 Systèmes linéaires invariants dans le temps 3
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1 Introduction à la théorie du signal
Définitions
: Le Traitement du Signal a pour but l’étude de l’information portée par des signaux.
Il associe science fondamentale et Technologie.
La science fondamentale s’appelle la Théorie du Signal.
Elle a pour but la description mathématique des signaux et leurs algorithmes de traitement La Technologie regroupe l’Electronique • l’Informatique Industrielle • Le TNS On appelle signal toute variable qui porte une information.
Un signal est émis par un système physique et obtenu à l’aide d’un capteur.
Le traitement de cette information permet donc de caractériser l’évolution d’un système physique
4
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite Comme exemple de signaux, on peut citer : - les vibrations sismiques, - les images satellite, les signaux biomédicaux tel l’électrocardiogramme, - La parole - Les sons musicaux, … Le Traitement d’Image est une extension du TS qui traite des signaux à 2 dimensions , les
images
.
Le domaine d’application du TS est universel : les télécommunications, - le traitement audio(parole et musique), - le radar,le sonar et la sismologie, l’imagerie (médicale ou spatiale), l’automobile l’instrumentation l’électroménager
5
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1
Introduction à la théorie du signal / suite Le Traitement Numérique du Signal (Digital Signal Processing) abrégé en TNS ou DSP traite les
signaux numériques
. Il utilise des processeurs numériques de signaux appelés calculateurs ou DSP en anglais (Digital Signal Processors) Dans la plupart des cas, ces signaux numériques sont obtenus à l’aide de Convertisseurs Analogiques/ Numériques (C. A. N.) à partir de signaux analogiques variant de façon continue dans le monde réel .
Le bruit est un signal perturbateur qui gêne la caractérisation du signal et sa transmission.
signal analogique -1 -2 -3 -4 -5 0 1 0 5 4 3 2 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
temps en sec.
0.7
0.8
0.9
1 signal discret 5 2 1 4 3 0 -1 -2 -3 -4 -5 0 0.05
0.1
0.15
0.2
temps en sec.
0.25
0.3
0.35
0.4
6
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1
Introduction à la théorie du signal / suite Une chaîne de communication met en relation un système physique en évolution appelé l’émetteur et un système, en général distant, qui doit recevoir l’ information transmise par l’émetteur et l’exploiter malgré le bruit .
Ce système est appelé le récepteur.
De manière générale, on appelle système toute entité qui accepte des signaux d’entrée et qui produit des signaux de sortie.
On distingue les systèmes analogiques dont les signaux d’entrée-sortie sont analogiques.
les sytèmes dicrets dont les signaux d’entrée-sortie sont discrets.
signal analogique -1 -2 -3 -4 -5 0 1 0 5 4 3 2 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
temps en sec.
0.7
0.8
0.9
1
Système Analogique H(f) h(t)
signal analogique de sortie 5 2 1 4 3 0 -1 -2 -3 -4 -5 0 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
temps en sec.
0.7
0.8
0.9
1
7
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1
Introduction à la théorie du signal / suite Un exemple de sytème de communication discret signal discret -1 -2 -3 -4 5 4 1 0 3 2 -5 0 0.05
0.1
0.15
0.2
temps en sec.
0.25
0.3
0.35
0.4
Système Discret H(z) h(n)
8
signal discret de sortie 0 -1 -2 -3 -4 -5 0 5 2 1 4 3 0.05
0.1
0.15
0.2
temps en sec.
0.25
0.3
0.35
0.4
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Problèmes posés au TS
: On comprend donc les problèmes posés au TS : Comment extraire l’information d’un signal ?
Comment transmettre l’information sans la dégrader ?
Comment transformer cette information pour la préserver ?
Comment détecter le signal utile noyé dans le bruit ?
Comment filtrer le signal pour l’extraire du bruit ?
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I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1
Introduction à la théorie du signal / suite
Solutions proposées par le TS
: Estimer les caractéristiques d’un signal : •
L’Analyse Spectrale
( DSF, TF, analyse temps fréquence, …) - Filtrer des signaux •
Les Filtres
( analogiques ou numériques) Transmettre des signaux •
Modulation et démodulation
( la T Hilbert) Détecter un signal dans un bruit Classifier un signal dans des catégories prédéfinies Soustraire du bruit ( bruit d’aéroport, GSM dans une voiture, …)
Analyse Statistique des signaux
(signaux aléatoires) Synthétiser des signaux (text -to-speech en parole, mélodies en musique) Coder des signaux (réduire l’information, corriger les erreurs de transmission, crypter, …)
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I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1
Introduction à la théorie du signal / suite
Objectif du cours
: Classifier les différents types de signaux Présenter les bases mathématiques de la repésentation fréquentielle - Comprendre les principes du filtrage Détecter un signal dans un bruit Comprendre pourquoi l’échantillonnage ne perd pas d’information - Analyser les signaux discrets
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1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux
:
1) Signaux mathématiques et physiques 2) Classification temporelle 3) Classification énergétique 4) Classification morphologique 12
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1
Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux / Signaux mathématiques et physiques
- Un
signal mathématique
est une fonction d’un certain nombre de paramètres dont l’un au moins est le temps. On l’appelle s(t).
Cette fonction peut être discontinue ( le signal carré) Cette fonction peut avoir une énergie infinie.
- Elle a un support temporel infini Elle est à valeurs dans R ( s(t)=cos(wt) ) ou dans C ( s(t) = A exp (jwt) ) Elle a un spectre à support fréquentiel infini
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I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1
Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux / Signaux mathématiques et physiques
- Un
signal physique
est un signal expérimental physiquement réalisable et mesurable par un capteur (ex un oscilloscope pour un signal électrique) Ce signal est continu, avec une énergie finie. Son amplitude maximale est bornée. - Son support temporel est fini.
Ce signal est réel et causal (il est nul si le temps t est négatif) Son spectre a un support fréquentiel fini mesurable par un analyseur de spectre
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I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1
Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux / Signaux mathématiques et physiques
- Conclusion : Nous ne considèrerons dans la suite que des
signaux mathématiques
qui relèvent de la
Théorie du Signal
.
Le passage aux signaux physiques n’est pas immédiat. 15
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1
Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux / Signaux mathématiques et physiques
- Ce signal est il mathématique, physique ?
signal inconnu 1 0.8
0.6
0.4
0.2
0 -0.2
-0.4
-50 -40 -30 -20 -10 0 temps en sec.
10 20 30 40 50
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I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1
Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux / Signaux mathématiques et physiques
- Ce signal est il mathématique, physique ?
signal inconnu 0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 -0.1
-0.2
0 1 2 3 4 5 temps en sec.
6 7 8 9 10
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I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1
Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux / Signaux mathématiques et physiques
- Ce signal est il mathématique, physique ?
6000 4000 2000 0 -2000 -4000 -6000 0 100 200 300 temps en ms 400 500
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I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1
Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux / Classification temporelle
: : On distingue 2 classes de signaux suivant leur évolution temporelle : - Les
signaux déterministes
: On qualifie un signal de déterministe si on sait le prévoir à partir de lois simples.
Ex. : La sortie d’un filtre électronique RC, ...
- Les
signaux aléatoires
: Par opposition, on dira qu’un signal est aléatoire s’il est impossible de le reproduire identique à lui même.
Ex. : Le bruit de fond d’un circuit électronique, les cours de la bourse, ...
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I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1
Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux / Classification temporelle
: Ce signal est il déterministe, aléatoire ?
signal inconnu 1.5
1 0.5
0 -0.5
-1 -1.5
0 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
temps en sec.
0.7
0.8
0.9
1
20
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes 1.1
Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux / Classification temporelle
: Ce signal est il déterministe, aléatoire ?
signal inconnu 2.5
2 1.5
1 0.5
0 -0.5
-1 -1.5
-2 -2.5
0 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
temps en sec.
0.7
0.8
0.9
1
21
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux / Classification temporelle
: Parmi les signaux déterministes on distingue : 1.5
signal inconnu Les
signaux périodiques :
t
,
s
(
t
)
s
(
t
T
) 1 0.5
0 -0.5
ex.
s
(
t
)
A
cos( 2
t T
) -1 -1.5
0 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
temps en sec.
0.7
0.8
0.9
1 siganl pseudoaléatoire Les
signaux non périodiques
: • - les
signaux pseudo périodiques
0 -2 4 2 8 6
s
(
t
)
A
1 cos(
w
1
t
1 )
A
2 cos(
w
2
t
2 ) -4 -6 -8 0 0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
temps en sec.
0.07
0.08
0.09
0.1
signal inconnu • - les
signaux transitoires
(support temporel fini) 0.5
0.6
0.4
t
1 ,
t
2 /
s
(
t
) 0 si
t
t
1 ou
t
t
2 0.3
0.2
0.1
0 -0.1
-0.2
0 1 2 3 4 5 temps en sec.
6 7 8 9 10
22
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux / Classification temporelle
: - La
Théorie des Probabilités
permet de représenter et d’extraire les caractéristiques statistiques d’un signal aléatoire (sa valeur moyenne, sa variance, son autocorrélation, …) - Parmi les
signaux aléatoires
on distingue : - Les
signaux stationnaires :
(les statistiques sont indépendantes du temps) • •
ergodiques
(une réalisation du signal permet d’estimer les statistiques)
non ergodiques
- Les
signaux non stationnaires
Le Cours sur les signaux aléatoires ne considèrera que des signaux stationnaires ergodiques.
23
I. Le DSP : Introduction
Classification temporelle globale
Signaux Signaux déterministes Signaux aléatoires Signaux périodiques Signaux non périodiques Signaux stationnaires Signaux pseudo périodiques Signaux transitoires Signaux ergodiques Signaux non ergodiques Signaux non stationnaires
24
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux / Classification énergétique
- On distingue les
signaux à énergie finie
ex. les signaux transitoires - les
signaux à énergie infinie
•
à puissance moyenne finie
ex. les signaux périodiques •
à puissance moyenne infinie
ex. la rampe s(t)=t, le bruit blanc
25
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux / Classification morphologique
Si la variable t varie de façon continue, on parle de
signaux continus
s(t).
- Dans le cas de
signaux physiques
on parle également de
signaux analogiques
.
Si la variable t appartient à un ensemble dénombrable de valeurs (t1, t2, …,tn, …, tN) on parle de
signaux discrets
s(tn)=s(n) ex. La température d ‘un malade - Si de plus tn+1 – tn = T constant, on a effectué l’échantillonnage des signaux continus. On obtient des
signaux échantillonnés
s(n).
26
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Classifier les signaux / Classification morphologique
De plus l’amplitude du signal peut être continue ou discrète.
- La quantification est l ’approximation de chaque valeur du signal s(t) par un multiple d ’une quantité q appelée pas de quantification.
- Le signal continu dont l’amplitude est discrète sq(t) est appelé
signal quantifié
.
- Si q est constant sur toute l ’amplitude du signal s(t), on dit que la quantification est uniforme. - Un signal discret dont l’amplitude est discrète est appelé
signal numérique
.
- Il est obtenu à partir d’un signal continu à l’aide d’un convertisseur analogique/ numérique.
- La perte d’information par échantillonnage puis quantification est irréparable.
- Les signaux numériques n’existent pas dans la nature puisque ce sont des suites de nombres.
- Il est nécessaire pour les générer de les passer dans un convertisseur numérique/analogique (C.N.A)
27
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Représenter les signaux 1) Représentation temporelle 2) Représentation fréquentielle 3) Représentation temps-fréquence 28
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Représenter les signaux
/
représentation temporelle
50 0 La représentation temporelle est la plus naturelle.
Elle peut être graphique : signal cardiaque signal biomédical EEG 15000 10000 5000 0 -5000 0 0.2
0.4
0.6
0.8
-50 0 1 2 3 4 5 1
29
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Représenter les signaux
/
représentation temporelle
La représentation temporelle peut également être
analytique
:
s
(
t
) 0
s
(
t
) 1
t t
0 0
NE JAMAIS OUBLIER AVANT DE TRAITER UN SIGNAL DE LE REPRESENTER TEMPORELLEMENT 30
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Représenter les signaux
/
représentation fréquentielle
.
La représentation fréquentielle appelée également
spectre
du signal permet de voir beaucoup d’informations qu’on ne voit pas temporellement.
Le spectre S(f) d’un signal s(t) est représenté graphiquement ou analytiquement en fonction de la fréquence (positive ou négative) exprimée en Hertz (Hz).
31
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Représenter les signaux
/
représentation fréquentielle
On appelle support spectral l’ensemble des fréquences où le spectre est non nul.
Fmoy
F
max
F
min 2 On définit la fréquence moyenne comme Si Fmoy < 250 kHz on parle de signaux BF (Basses Fréquences) Si 250 kHz < Fmoy < 30 MHz on parle de signaux HF (Hautes Fréquences) Si 30 MHz < Fmoy on parle de signaux THF (Très Hautes Fréquences)
S(f)
32
-Fmax -Fmoy -Fmin Fmin Fmoy Fmax
f
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Représenter les signaux
/
représentation fréquentielle
représentation fréquentielle 250 200 représentation temporelle 2 0 6 4 -2 -4 -6 0 0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
temps en sec.
0.07
0.08
0.09
0.1
150 100 50 0 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 Freq en Hertz 200 300 400 500 représentation fréquentielle 200 150 100 50 0 -50 -100 -150 -200 -500 -400 -300 -200 -100 0 Freq en Hertz 100 200 300 400 500
33
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Représenter les signaux
/
représentation fréquentielle
représentation fréquentielle 250 200 150 représentation temporelle 10 5 0 -5 -10 -15 0 0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
temps en sec.
0.07
0.08
0.09
0.1
100 50 0 -500 -400 -300 -200 -100 0 Freq en Hertz 100 200 représentation fréquentielle 300 200 400 500 150 100 50 0 -50 -100 -150 -200 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 Freq en Hertz 200 300 400 500
34
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Représenter les signaux
/
représentation temps - fréquence
Analyse temps fréquence F r é q u e n c e Temps
35
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes
Représenter les signaux
/
représentation temps - fréquence
Représentation temporelle 1 0.8
0.6
0.4
0.2
0 -0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 0 0.5
1 1.5
Analyse temps fréquence
36
F r é q u e n c e Temps
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Représenter les signaux
/
signal inconnu
Représentation temporelle 1 0.8
0.6
0.4
0.2
0 -0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 0 0.5
1 Temps en sec. 1.5
2
37
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Représenter les signaux
/
signal inconnu
Représentation fréquentielle 10 2 10 0 10 -2 10 -4 10 -6 0 1000 2000 3000 Fréquence en Hz 4000 5000
38
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Représenter les signaux
/
signal inconnu
Zoom en temps - entre 0.01 et 0.02 sec, il y a 9 périodes, soit une période de 0.0011sec.
Ou une fréquence de 900 Hz 0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 -0.05
-0.1
-0.15
-0.25
0 0.005
0.01
Temps en sec 0.015
0.02
39
1.1
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Introduction à la théorie du signal / suite
Représenter les signaux
/
signal inconnu
Représentation temps-fréquence F r é q u e n c e Temps en sec
40
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes
41
1.1
Bibliographie
Introduction à la théorie du signal / fin Des livres en français et en anglais : Traitement des Signaux et acquisition de données, F. Cottet, Dunod Traitement Numérique du Signal : théorie et pratique, M. Bellanger, Masson Traitement Numérique des Signaux , M. Kunt, Dunod - Comprendre le TNS, J. Broesch, Publitronic/Elektor-Paris - Digital Signal Processing : a practical approach, E. Ifeachor, B. W. Jervis, Addison- Wesley De l ’information sur Internet : - moteurs de recherche avec mot clé DSP, … liens sur des sites intéressants de fournisseurs de DSP ou de passionnés FAQ (questions fréquentes) - Newsgroups (ex. comp.dsp - Digital Signal Processing)
1.2
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Quelques signaux élémentaires
1) le signal échelon unité ou heaviside 2) le signal porte 3) l’impulsion de dirac 4) le signal sinusoidal et l’exponentielle complexe 5) l’exponentielle réelle 7) la rampe 42
1.2
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Quelques signaux élémentaires
1) le signal échelon unité ou heaviside
L’échelon unité u(t) permet l’étude des régimes transitoires des filtres.
- u(t) permet de rendre causal un signal ( u(t).s(t) est nul si t <0 )
u u
(
t
(
t
) ) 0 1
t t
0 0
u(t) 1 t
43
1.2
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Quelques signaux élémentaires
2) le signal porte
- Le signal porte
T
(
t
) est un signal transitoire de durée 2T.
T T
(
t
) (
t
) 0 1
t
T t
T
1
-T T
T
(
t
)
t
44
1.2
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Quelques signaux élémentaires
3) l’impulsion de Dirac
(
t
) est une limite de fonction. (
t
) est à manier avec beaucoup de précautions.
Elle servira pour l’étude des spectres des signaux à énergie infinie.
lim 0 1 (
t
) 0 2 (
t
) lim 1 0 (
t
) 2 1 2 (
t
)
dt
1
t
0
t
0 1 2 2 1 (
t
) 2
t
45
1.2
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Quelques signaux élémentaires
4) le signal sinusoidal et l’exponentielle complexe
Le signal sinusoidal est le signal de base des signaux mathématiques périodiques.
Il représente la partie réelle ou imaginaire de l’exponentielle complexe.
s
(
t
)
A
cos( 2
F
0
t
)
v
(
t
)
A
sin( 2
F
0
t
)
s
(
t
)
Re
(
x
(
t
))
x
(
t
)
Ae j
2
F
0
t
v
(
t
) Im(
x
(
t
))
46
1.2
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Quelques signaux élémentaires
5) l’exponentielle réelle
s
(
t
)
Ae
t
u
(
t
)
A s(t) t
47
1.2
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Quelques signaux élémentaires/fin
7) la rampe
s
(
t
)
Atu
(
t
)
A s(t) 1 t
48
1.3
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Systèmes linéaires invariants dans le temps Un système est
linéaire
ssi pour une entrée x1(t), on obtient une sortie y1(t) pour une entrée x2(t), on obtient une sortie y2(t)
a
1 ,
a
2
C
Un système est
invariant dans le temps
si son comportement se reproduit de façon identique au cours du temps: si à une entrée x(t), on obtient en sortie y(t) alors à l’instant t , on obtient la sortie y(t ).
Un système est dit
instantané
ou
sans mémoire
si la relation entrée- sortie est du type y(t)=G[x(t)].
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1.3
I Etude des signaux déterministes continus 1) Notion de signaux et systèmes Systèmes linéaires invariants dans le temps/fin Un système est
stable
si à une entrée bornée correspond une sortie bornée.
On considèrera dans la suite de ce cours uniquement des
systèmes linéaires invariants dans le temps.
On les appellera des
filtres.
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