ETO w Inżynierii Chemicznej

MathCAD

Pakiety matematyczne – zastosowanie w inżynierii chemicznej

 Rozwiązywanie równań i układów równań algebraicznych  Tworzenie wykresów  Rozwiązywanie równań i układów równań różniczkowych  Aproksymacja  Optymalizacja

MathCAD wstęp

 Interfejs użytkownika – Kursor piszący ' + ' – Przyborniki » Claculator – symbole do budowania wyrażeń » Graph – tworzenie wykresów » Matrix – macierze » Calculus – pochodne, całki, granice, sumy » Symbolic – operacje symboliczne » Evaluation – rozwiązanie, przyporządkowanie » Boolean – operacje logiczne » Programming » Greek – Konfiguracja: usunięcie włączania Resource center (centrum zasobów) View/Preferences/Startup Options

MathCAD wstęp

 Podstawowe operacje – Wpisywanie: » Tryb "normal" – zwykły tekst  Wymuszenie: [shift]+["] » Tryb "variable" – zmienne interpretowane  Tryb domyślny – Style identyfikujące tryb » Normal – czcionka Arial » Variable – czcionka Times – Znak przypisania ":=" (klawisze [:][=])

MathCAD wstęp

 Zapis liczb – Separator dziesiętny: [.] – Notacja zmiennoprzecinkowa: 1.23·10 4 Znak mnożenia [*] Wykładnik potęgowy [^] Sekwencja klawiszy: [1][.][2][3][*][1][0][^][4]

MathCAD wstęp

 Wyrażenia algebraiczne – +,-, / ,*(nie zawsze konieczny), potęgowanie [^] – Argumenty funkcji "(...)" – Wynik wyrażenia: [=]  Zapis wyrażeń identyczny z zapisem matematycznym: 2 3  3 2 ln  10 .

554 Sekwencja klawiszy: [2][/][3][+][3][^][2][  ][l][n][(][3][)][=]

MathCAD wstęp

 Zmienne – Alfabet łaciński i grecki ( [ctrl] + [g]

po

wpisaniu zmiennej) – Rozróżniana jest wielkość liter, tzn. x  X – Indeksy (nie macierzowe) [.] – Prim: x`, bis: x`` itd..

MathCAD wstęp

 Podstawianie wartości i wyrażeń (jak w Pascalu) – Przypisanie zmiennej 1 wartości: x:=5 klawisze: [x][:][5] – Przypisanie zmiennej wektora (zakresu) » Z domyślnym przyrostem (1): x:=0..3 (0, 1, 2, 3) klawisze [x][:][0][;][3] » Ze zdefiniowanym przyrostem (różnica między dwoma pierwszymi elementami oddzielonymi przecinkiem): x:=0,2..6 (0, 2, 4, 6) klawisze [x][:][0][,][2][;][6] – Przypisanie zmiennej wartości wyrażenia zawierającego inną zmienną: y:=2·x+3 klawisze: [y][:][2][*][x][+][3]

Zapis poprawny

MathCAD wstęp

Zapis niepoprawny Aby w równaniu mogła wystąpić zmienna musi być wcześniej zdefiniowana

MathCAD wstęp

 Edycja wyrażeń – kursor wskazujący miejsce edycji 

MathCAD funkcje matematyczne  Definiowanie funkcji – Składnia definicji: NazwaFunkcji(arg1, arg2,...):= wyrażenie – np. f(x,y)=x·y klawisze: [

f

][

(

][

x

][

y

][

)

][

:

][

x

][

*

][

y

]  Obliczenia z wykorzystaniem zdefiniowanej funkcji: – Obliczenie wartości dla stałych – Obliczenie wartości dla wcześniej zdefiniowanych zmiennych – Obliczenie wartości dla wektorów zmiennych

MathCAD funkcje matematyczne  Obliczenia z wykorzystaniem zdefiniowanej funkcji: – Obliczenie wartości dla stałych: poniżej linii definiującej funkcję

MathCAD funkcje matematyczne  Obliczenia z wykorzystaniem zdefiniowanej funkcji: – Obliczenie wartości dla zdefiniowanych zmiennych: poniżej definicji funkcji i przyporządkowania zmiennym wartości

MathCAD funkcje matematyczne  Obliczenia z wykorzystaniem zdefiniowanej funkcji: – Obliczenie wartości dla wektorów zmiennych

MathCAD funkcje matematyczne  Wykresy funkcji: – Wykres prostej funkcji f(x) klawisze: [f][(][x][)][shift]+[2][x]

MathCAD funkcje matematyczne  Wykresy funkcji: – Wspólny wykres kilku funkcji: f(x), g(x)@x klawisze: [f][(][x][)][,] [g][(][x][)][shift]+[2][x]

MathCAD funkcje matematyczne  Wykresy funkcji: – Wspólny wykres kilku funkcji w niezależnych przedziałach: f(x), g(y)@x,y klawisze: [f][(][x][)][,] [g][(][y][)][shift]+[2][x][,][y]

MathCAD funkcje matematyczne  Formatowanie wykresów funkcji:

MathCAD funkcje matematyczne  Formatowanie wykresów funkcji:

MathCAD funkcje matematyczne  Formatowanie wykresów funkcji:

MathCAD - wektory i macierze  Definiowanie zmiennej macierzowej, wpisywanie wartości do macierzy  Wektor – pojedyncza kolumna macierzy

MathCAD - wektory i macierze

MathCAD - wektory i macierze  Operacje na macierzach – Mnożenie przez stałą – Macierz transponowana [ctrl]+[1] – Macierz odwrotna [^][-][1] – Mnożenie macierzy – wyznacznik

MathCAD - wektory i macierze    Odczytywanie elementów macierzy A w, k : klawisz [[] w-

nr wiersza

, k –

nr kolumny

– np. element A 1,1 klawisze: [A][[][1][,][1][=] Wybór kolumny macierzy – (domyślnie pierwsza kolumna ma nr 0, można zmienić: Math/Options/Array Orygin) – np. pierwsza kolumna macierzy A( A <0> ): [A][ctrl]+[6][0] Definiowanie macierzy wyrażeniem – wyraz definiowany położeniem

a i,j

=

f

(

i,j

)

MathCAD - wektory i macierze  Definiowanie macierzy wyrażeniem – wyraz definiowany położeniem

a i,j

=

f

(

i,j

) – Np. Każdy element macierzy ma wartość iloczynu indeksów określających jego miejsce w macierzy (indeksy od 1)

 MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennych Wykreślenie macierzy: [ctrl]+[2][M] – M – przykładowa nazwa zmiennej macierzowej

 MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennych Wykreślenie funkcji dwu zmiennych 1. Poprzez generację macierzy i wykreślenie macierzy (argumenty funkcji są liczbami całkowitymi – indeksy elementów macierzy) 2. Poprzez przyporządkowanie macierzy siatki utworzonej przez funkcje: CreateMesh(funkcja, dgp1, ggp1, dgp2, ggp2)

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennych

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennych

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennych Wypełniona powierzchnia

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennych Kontury wypełnione kolorem

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennych Poziomice (Linie konturowe)

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennych Efekt oświetlenia

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennych Efekt mgły i perspektywa

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennych Tło i siatka tła

Stałe predefiniowane w MathCADzie  e = 2,718 – podstawa logarytmu naturalnego   g = 9,81 m 2 /s – przyspieszenie ziemskie  = 3,142 – stosunek obwodu do średnicy koła

MathCAD rozwiązywanie równań algebraicznych  1.

Pojedyncze równanie » » Konstrukcja Given-Find Podać punkt startowy Wpisać "Given" » » Wpisać równanie ze znakiem [

= ]

Wpisać Find(zmienna)= ([ctrl]+[=])

MathCAD rozwiązywanie równań algebraicznych  Pojedyncze równanie 2. Procesura Root: Root(funkcja, zmienna, dgp, ggp)= lub

MathCAD rozwiązywanie równań algebraicznych  Pojedyncze równanie 3. W przypadku pierwiastków wielomianów można wykorzystać procedurę polyroots, na wektorze współczynników (a 0 , a 1 ...) – argument jest wektorem!

MathCAD rozwiązywanie równań algebraicznych  Układy równań liniowych – Rozwiązuje się w oparciu o rachunek macierzowy: » Zbudować macierze współczynników (A) i wartości równań (B) » Wykonać:  działanie x:=A -1 B i wyświetlić x=  lub lsolve(A,B)=

MathCAD rozwiązywanie równań algebraicznych

MathCAD rozwiązywanie równań algebraicznych  Układy równań nieliniowych – Rozwiązuje się wykorzystując konstrukcję given-find » Przyporządkować zmiennym wartości startowe » Napisać Given » Napisać równania » Napisać Find(zm1, zm2,...)=

MathCAD rozwiązywanie równań algebraicznych

 MathCAD równania różniczkowe Pojedyncze równania I-go rzędu

dy dx



f

(

x

,

y

) z warunkiem początkowym

x



x

0 ,

y x



x

0 

y

0 1. Wpisać warunek początkowy 2. Zdefiniować pochodną (funkcję) 3. Wywołać procedurę całkującą: R:=rkfixed(war_p, dgp, ggp, Ilość_podź, funkcja)

MathCAD równania różniczkowe  Pojedyncze równania I-go rzędu 4. Postać wyniku - macierz:

R

     

x x x

0 1 2    ...

x N y y y

...

1 , 1 , 0 1 , 1 2

y

1 ,

N

        5. Wynik rozwiązanie w formie wykresu R <1> @R <0>

MathCAD równania różniczkowe

 MathCAD równania różniczkowe Układ równań I-go rzędu    

dy

0

dx dy

0

dx

 

f f



x

,

y

0 ,

y

1  

x

,

y

0 ,

y

1 

x



y y

0 1

x x



x

0 

x

0

x

0  

y

0 0

y

1 0 1. Wpisać warunek początkowy – wektor_p 2. Zdefiniować pochodną (funkcję wektorową) 3. Wywołać procedurę całkującą: 1. R:=rkfixed(wektor_p, dgp, ggp, Ilość_podź, funkcja)

MathCAD równania różniczkowe  Układ równań I-go rzędu 4. Postać wyniku: macierz:

R

     

x x x

0 1 2    ...

x N y y y

...

y

1 , 1 , 1 1 , 1 , 0 2

N y y y

...

2 , 0 2 , 1 2 , 2

y

2 ,

N

        5. Wynik rozwiązania w formie wykresu R <1> ,R <2> @ R <0>

MathCAD równania różniczkowe

x



y

0

x



x

0

x

0 

y

1

x



x

0

y



y

1 0 0 0

MathCAD równania różniczkowe  Pojedyncze równania II-go rzędu

x



d

2

y dx

2 

f x

,

y

,

dy dx

z warunkiem początkowym

dy dx x

0 ,

x



x

0

y x



x

0 

y

0  

y

0 1. Przekształcić równanie II-go rzędu w układ równań I-go rzędu, podstawiając:

y

    

dz

0

dx dz

1

dx z

0 ,

dy dx

 

f z

1 

x

,

z

0 ,

z

1  

dz

0

dx



z

1 ,

d

2

dx

2

x y

 

x

0

dz

1

dx z

0

x



x

0 

z

0 0

z

1

x



x

0 

z

1 0

MathCAD równania różniczkowe