Transcript A-1 Introduction à l`ingénierie didactique

Introduction à l’
Ingénierie Didactique
Études et observations d’une situation
mathématique : C20
Esquisse d’un curriculum
ULYSSE
qui dira vingt4
1
Une Situation mathématique
1.
2.
3.
ULYSSE
Qui dira vingt?
Comparaison de deux utilisations didactiques du
problème « qui dira 20? »
De « Qui dira 20? » à… la division
qui dira vingt4
2
Pour introduire la théorie des situations…
►
…voici l’étude d’une situation qui a été reproduite de nombreuses fois
avec des élèves de 10-12 ans. Je prie ceux qui la connaissent bien de
me pardonner ce « pèlerinage aux sources ».
►
Elle n’a pourtant pas grand intérêt dans les curriculums ordinaires de
mathématiques, mais elle peut être très utile pour initier les élèves au
raisonnement mathématique et pour leur donner une idée du
fonctionnement des hypothèses, des preuves et des théorèmes. En ce
sens elle constitue une véritable et très vivante première leçon
d’épistémologie. D’autres suivront…
►
C’est pourquoi elle a beaucoup servi pour expliquer le B A BA de la
théorie des situations mathématiques et pour montrer comment les
leçons classiques pouvaient être enrichies par une initiation convenable
à la résolution des problèmes et à l’activité mathématique.
ULYSSE
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3
1. Qui dira vingt?
UN MODELE pour une
SITUATION MATHEMATIQUE
à usage didactique
ULYSSE
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4
Règles du jeu
►
Le premier joueur dit : « 1 » ou « 2 » ex: 1
►
Le second peut ajouter 1 ou 2 à ce qu’a dit le premier ex:
3
►
A tour de rôle chacun dit un nombre en « montant » de 1
ou de 2 sur le nombre dit par son adversaire
►
Celui qui dit 20 gagne la partie.
(Consigne)
Remarque de TSM : Pour le joueur A, l’adversaire B fait partie de m(A) le
milieu de A. et il le fait évoluer en partie indépendamment de la volonté de A.
A est donc en présence d’un « milieu » non pas seulement d’un ensemble de
conditions amorphes
ULYSSE
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5
Exemple : une partie
► Joueur
1
A
4
3
► Joueur
8
6
11
9
13
12
16
15
18
17
20
B
Le joueur B a gagné
ULYSSE
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6
Les étapes de la « leçon »
► 1.
La consigne : le professeur montre comment jouer
► 2. Les élèves jouent 1 contre 1.
(3min)
Au bout de quatre parties individuelles certains élèves pensent « il faut
jouer 17 ». (situation d’action). Il est temps alors d’arrêter cette
phase. (durée 7 minutes)
► 3.
Les élèves jouent 1 équipe contre 1 équipe
Le jeu oppose au tableau un représentant de chacune des deux équipes
qui doivent rester muettes pendant la partie. (Jeu 1) (jeu2)
Entre les parties les équipes discutent de leurs stratégies.
(situation de formulation) (durée 25 minutes)
► 4.
Le Jeu de la découverte concours de théorèmes
équipes contre équipes (situation de validation, de preuve)
ULYSSE
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7
Vocabulaire des situations
►
►
Les positions : [1; 2; … ; 19; 20]
Les états de la situation : {A;B}X [0; 1; 2; … ; 20]
► État
initial : 0 . État final : 20.
►
►
Une règle d’action, des états permis
Des actants (ou agents) et leur répertoire de décisions
Un Enjeu : effectif ou rhétorique
Une décision: « jouer 4 »;
Une partie : une suite [An1, Bn2, …, X20], ou comme dans le tableau : (A,
►
Une stratégie : mauvaise : « ajouter toujours 2 »; ou bonne :
►
Une tactique : « jouer 17 si on peut »
►
►
►
[n1, n2, …, 20]) 0 < ni+1 –ni <3
► Toutes les parties possibles.
« commencer par 2 puis compléter à 3 »
ULYSSE
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8
Schéma de la situation d’action
(jeu 1 contre 1)
Information
Joueur,
actant
Milieu
1
4
3
Décision, Action, Transformation du milieu
L’actant n’a pas besoin de dire ce qu’il fait ni de le justifier… Il peut
donc être incapable de le faire.
L’observateur ne le sait pas, il peut au plus créer un « modèle
qui dira vingt4
implicite d’action »
ULYSSE
9
Études de la situation d’action
►
►
►
►
►
►
►
►
►
►
1
Études a priori : choix des paramètres but, pas etc.
Études expérimentales. Quelles sont les conditions dans lesquelles les
élèves découvrent les tactiques et la stratégie de C20?
« Qui dira 7 » (C7) : le disque moniteur (ne joue que la stratégie
gagnante). La courbe d’apprentissage peut être approchée par un
« modèle Stimulus-réponse » (45 enfants).
« Qui dira 20 »: l’analyse des réponses de 60 classes montre que
1. des « théorèmes en actes » apparaissent dans l’ordre : 20, 17, 14,
11, 8. L’élève qui apprend est celui qui perd et non celui qui gagne
2. la vitesse d’apparition des théorèmes décroît: la récurrence ne joue
pas sauf vers la 15e partie pour une partie des élèves
3. Seuls, les deux premiers sont explicitables, (20 et 17) les autres sont
utilisés mais trop incertains pour être dits
4. A partir de la 25ième partie, s’ils ne sont pas formulés, les théorèmes
en actes disparaissent, dans l’ordre inverse de leur apparition.
5. Le processus de découverte bute sur une idée des élèves : le jeu
« devrait » laisser une certaine liberté au départ
Aucun modèle Stimulus Réponse semblable à C7 ne convient à C20
ULYSSE
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10
apparition/disparition
5
6
8
5
théorèmes
11
4
Ap.seuil 0.05
Ap seuil 0.02
3
14
Ap.seuil 0.01
Di.seuil 0.5
17
2
20
1
0
0
ULYSSE
5
10
15
20
25
30
quiparties
dira vingt4
rang des
35
40
45
50
11
6. Comment les théorèmes apparaissent-ils? Le diagramme ci-dessous, montre les
décisions significatives des élèves. Les ronds blancs correspondent à l'addition
significative de 1, les points noirs à l'addition significative de 2.
Exemple: dès la 3ième partie, et dans toutes les parties suivantes (colonne) au
« nombre laissé » 18, les élèves répondent en ajoutant 2 (points noirs).
L'absence de signe indique des choix équilibrés (aucun n’est significatif).
Numéro de la partie jouée
Nombre ajouté
Choix significatif de 1:
Choix significatif de 2 :
Aucun choix significatif:
Apparition des
théorèmes :
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13 14 15
16 17
18 19
o


Nombres laissés par
l’adversaire
L’apparition des théorèmes (TIA) en situation d’action
Le théorème 20 apparaît à la 3ième partie, le 17 à la 7ième, le 14 à la 13ième. La zone
d’incertitude comprend 6 à 7 nombres et recule au fil de l’apparition des théorèmes.
Avant, les élèves ajoutent seulement 2 pour atteindre plus vite cette zone d’incertitude
ULYSSE
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12
Schéma de la situation de formulation
de stratégies (équipe contre équipe)
Le Groupe
ne pourra
pas agir
ni
conseiller
son
champion
pendant
la partie
Informations
Émetteur
Émetteur
Récepteur
Récepteur
Conseils,
stratégies
1
4
3
ULYSSE
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Élève qui
est au
tableau
Milieu
13
Études de la situation de formulation
►
►
►
►
►
►
►
►
2
Situation de formulation des stratégies: Les actants disposent déjà du
vocabulaire nécessaire,
Ici, c’est aussi une situation de débats informels dans les groupes
Les positions sont très variées, joueurs potentiels ou effectifs,
émetteurs d’idées ou contradicteurs, se réfèrent aux résultats ou aux
anticipations etc.
Tous les élèves sont concernés. Les échanges sont nombreux et vifs :
Les élèves investissent le jeu de façon plus forte.
Sauf 17 les théorèmes en actes n’émergent pas
Il n’est observé aucun progrès individuel dans la résolution du
problème à la fin de cette phase
Pourtant cette phase est essentielle pour que la suivante concerne tous
les élèves.
Les élèves qui ont les meilleures idées ne sont pas compris et se
désespèrent
ULYSSE
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La situation de Validation:
« le jeu de la découverte »
►
►
►
►
Les deux équipes s’affrontent pour établir une stratégie sûre. Le
professeur ne précise les règles qu’au fur et à mesure.
un groupe propose une déclaration qui selon lui « aide à gagner » (une
conjecture). Exemple : Il faut jouer 17 si on peut.
L’autre équipe, l’opposant, soit « passe », soit l’adopte (et paie le droit
de l’utiliser), soit la contredit et un débat s’ouvre avec trois issues
possibles : la déclaration est « vraie » ou « fausse » ou « indécise ».
L’opposant doit mettre la proposition contestée en contradiction
 Par un contre exemple: l’observation des parties passées
 Par une explication (un raisonnement, une preuve)
 Par un défi (qui revient à produire un contre exemple) en obligeant le
proposant à jouer ce qu’il dit et en gagnant la partie (Moyen de coercition
contre l’entêté, mais coûteux si on a tort, et de toute façon incertain)
D’autres critères apparaîtront pour « valider » une déclaration.
►
Les nombreuses règles sont « enseignées » au fur et à mesure et
« apprises » par la pratique.
ULYSSE
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Déroulement de la situation de preuve
Enseignant : Équipe A, pouvez-vous faire une déclaration vraie et
utile pour gagner ?
vous serez les «proposants ».
► Élève de A : « on est sûr de gagner si on peut dire 17 ».
► Élève de B : oui c'est ce qu'on voulait dire !
► Autre élève de B : Mais je ne suis pas d'accord, il y a des fois où on a
joué 17 et on n'a pas gagné. Je peux jouer 17 et perdre si je veux.
► …
► Élève b de B : Nous quatre, on n'est pas d'accord avec le reste de
l'équipe B. On veut mettre en doute le théorème.
► Enseignant : Vous voulez obliger les A à jouer en commençant par 17 ?
Élève b de B : Euh.... non ! on veut demander une démonstration.
► Les autres élèves de B : non ! non ! c'est sûr , il faut jouer 17... Il faut
accepter sinon ils vont marquer des points !
► …
►
ULYSSE
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Schéma de la situation de preuves
Mêmes informations
Proposant
Opinions
Opposant
Preuves
Énoncé sur
le milieu
1
4
3
ULYSSE
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Milieu
17
Études sur la situation de preuve
3
►
La leçon dure environ 1 heure. A la fin les élèves connaissent les
nombres gagnants (à cause du jeu à deux équipes). La plupart
connaissent le raisonnement réitéré pour établir tous les
« théorèmes ».
►
On a observé un engagement très vif des élèves dans chacune des
phases. Un grand nombre de prises de parole, de contestations,
d’exemples et de contre-exemples, de défis et d retraits.
►
La principale difficulté pour le professeur est de distribuer la parole en
fonction du déroulement du débat et non en fonction de la valeur des
arguments ou des conclusions.
►
Les élèves apprennent les règles de l’argumentation: l’écoute de
l’autre, la prise de parole régulée, la connaissance de l’état de ce qui
est discuté, l’articulation des déclarations…
Ils apprennent aussi à déceler et à écarter les arguments rhétoriques
non logiques
►
ULYSSE
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18
Conclusions et suites
►
Les phases de cette leçon illustrent
trois types de situations auxquelles correspondent
trois types de manifestations de la pensée et du langage
mathématique,
et trois types d’apprentissages distincts (Bateson)
►
Réf. Tableaux SA (action), SF (com, form), SV (arg, preuv)
►
Voir : comment dériver une situation d’un théorème ou
d’une définition
►
►
►
ULYSSE
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2. Comparaison de deux utilisations
didactiques du problème
« qui dira 20? »
ULYSSE
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20
Études de deux utilisations didactiques du
même problème mathématique
►
Deux utilisations de ce problème par les professeurs ont
été soigneusement définies, contrôlées et comparées.
 Stratégie 1. « Ouverte » (5 classes 101 élèves), conforme à
l’exposé de la situation ci-dessus
 Stratégie 2. « Fermée » (5 classes 106 élèves), pas de phase de
formulation ni de validation. Après le jeu à 1 contre 1, la
découverte est dirigée par le maître qui fait formuler ou formule luimême les explications.
Il s’agit donc d’un exposé classique d’un problème et de sa solution
►
Les observateurs ont interrogé les élèves de diverses
manières et effectué de nombreuses comparaisons
 sur leurs connaissances, sur leur conviction, …:
 le jour même, le lendemain et un mois après
 Sur la situation C20-3 mais aussi sur C25-3, C24-3, C9-3, C33-5
ULYSSE
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21
Extraits des Conclusions
►
►
►
►
►
►
« la stratégie II (où les maîtres placent les élèves dans une situation
de faible incertitude), offre le jour même de meilleurs résultats (que I).
L'autorité du maître a une réelle efficacité pour une mémorisation et
une conviction.
Mais déjà le lendemain les résultats chutent alors qu’ils se
maintiennent et s’améliorent pour les élèves I.
La conviction transmise par le professeur diminue avec le temps, peut
être parce qu’elle n'engage pas l'adhésion des élèves.
Au bout d’un mois les élèves de la stratégie I ont amélioré leurs
résultats, contrairement aux autres.
La situation pédagogique basée sur la transmission directe du savoir de
l'initiateur à l'initié obtient dans un temps de leçon plus restreint, un
meilleur apprentissage, mais aussi une perte rapide de mémorisation
et une moindre faculté de transfert dans premiers jours. Elle ne
s'améliorera qu'avec le temps.
Le temps que l'on croit gagner, en réalité est perdu.
ULYSSE
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►
►
►
►
►
►
« A l’aide d'une échelle de la certitude, nous avons pu avancer
certaines conjectures :
Les enfants de la stratégie I sont plus aptes à élaborer un
raisonnement mathématique et ils acquièrent une certitude d'autant
plus forte qu'ils se trouvent plus aptes à le traduire dans leur discours
pour bâtir un raisonnement nouveau.
Les enfants de la stratégie II atteignent un niveau de certitude moins
élevé, bien qu'en un premier temps au moment des acquisitions, leur
certitude soit meilleure »
Les observateurs signalent l’importance de ce qui se passe autour du
théorème 8, résistance chez les élèves du groupe I, baisse sensible des
résultats pour le groupe II.
Il s’agit en fait d’un conflit entre deux modèles
Mais la stratégie mise en place par les maîtres en situation fermée est
aussi élaborée par une partie des enfants en situation ouverte, et pour
ceux là, dès le théorème 11 acquis. Le théorème 8 acquis, le processus
s’accélère
ULYSSE
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23
3.
De « Qui dira 20? » à… la
division
Un Curriculum insolite dans
l’enseignement des mathématiques
mais une bonne révision
ULYSSE
qui dira vingt4
24
►
1. Qui dira 25 ? 29 ? 30 ? (sans changer le pas).
►
a) Qui dira 25 ?
Les enfants reprennent le jeu 2 par 2 (comme pour la course à 20) en
notant chaque fois les nombres qu'ils énoncent.
Cinq minutes après le commencement de la partie à 2, la majorité des
enfants a demandé que l'on arrête le jeu à 2 parce qu'ils avaient trouvé
« le truc »
Un élève a énoncé :
« il suffit de mettre 1 et après, d'aller de 3 en 3
Après une phase de vérification, toute la classe e accepté la
proposition.
►
►
►
►
►
►
►
►
►
b) Qui dira 29 ?
On a procédé de la même manière que pour la course à 25.
Après deux parties de jeu à 2, un élève a énoncé : au lieu de
commencer par 1, il faut commencer par 2 et aller de 3 en 3
Vérification par la classe. Proposition acceptée.
ULYSSE
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25
►
►
►
►
►
►
►
c) Qui dira 30 ? Même déroulement que précédemment.
Les enfants ont alors remarqué que la liste des nombres de la course à
20 était la même que celle de la course à 29. Ils ont déduit aussitôt
que ce serait la même pour la course à 26, 23, 20, etc.
2 Même jeu en changeant le pas : qui dira 30?, 38, 40, etc.
II s'agit de trouver avant l'adversaire par quel nombre il faut
commencer. Les enfants le cherchent par soustractions successives du
« pas ».
Ainsi, le jeu " qui dira 428 ? avec un pas de 27 doit être commencé par
23 (on soustrait pour cela 15 fois 27 de 428). 15 est le quotient et 23
le reste de la division de 428 par 27.
C’est l’ancien « piquet à cheval » de nos ancêtres.
C'est en raccourcissant cette longue suite de soustractions et grâce à
diverses découvertes (en particulier la possibilité de soustraire d'un
coup 10, 100, 1 000 fois le pas) que les enfants réinventent la division.
ULYSSE
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La division ►
►
►
►
►
Disposition des calculs.
Soit à effectuer la division 961 093:563. Le dividende est disposé
d'abord comme l'indique la figure 1 (sous le poteau de rugby).
Le quotient sera disposé au-dessus de la barre,
les restes successifs sous le dividende ;
les multiplications auxiliaires se feront à gauche des poteaux.
La partie droite sera utilisée pour les décimales
QUOTIENT
DIVISEUR
DIVIDENDE
Soustractions du diviseur
ULYSSE
qui dira vingt4
27
Le chiffre du quotient (ici 1) est placé au-dessus du chiffre des
unités du multiple (mille) que l'on soustrait (563), ici le 3.
CALCULS EN LIGNE
CHIFFRES DU QUOTIENT…
0
Place pour les
décimales
Ils peuvent resservir
RESTE
ULYSSE
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28
FIN
de ID2
TSM2
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