Transcript Hydraulik_I-8

Hydraulik I
W. Kinzelbach
Grundwasserströmung
Gesetz von Darcy (1)
Voraussetzung: Schleichende Strömung
Darcy-Experiment:
Q prop. Dh
Q prop. A
Q umgekehrt prop. L
Re 
d q

4
Dh
Q  kf A
L
Q / A  vF  k f I
Gesetz von Darcy (2)
Analog zu Hagen-Poiseuille Gesetz für einzelne Kapillare:
g 2 dhp
v
d
32
dx
Darcy Gesetz ist Erweiterung für statistisches Ensemble von
Kapillaren.
Hydraulische Leitfähigkeit
Gesteinseigenschaft
kf  k 
g
Fluideigenschaft

k Permeabilität (Länge im Quadrat)
Typische Werte von kf:
Grobsand
Feinsand
Ton
10-3 m/s
10-4 m/s
10-8 m/s
Geschwindigkeitsbegriffe
Filtergeschwindigkeit (spezifischer Abfluss) vF=Q/A
Abstandsgeschwindigkeit (Porengeschwindigkeit) u
vF
u = vF/n
Piezometerhöhe
2
2
p v
v
H  z

 h
g 2g
2g
In Grundwasserströmungen ist v sehr klein (.1 – 10 m/d)
Deshalb kann v2/(2g) vernachlässigt werden.
H h
Die Piezometerhöhe (und das Potential) kann damit als
spez. Energie interpretiert werden.
Verallgemeinertes Darcy-Gesetz
h Piezometerhöhe
 
q  v F  k f h
Bei homogenem Medium (kf=konstant) und QuellenFreiheit folgt mit der Kontinuitätsgleichung:


2
q  vF   k f h  0   h  Dh  0
Die Grundwasserströmung im homogenen Medium ist eine
Potentialströmung
Randbedingungen
Beispiel Dammdurchströmung
h
h
A:
B:
C:
D:
undurchlässiger Rand: q Rand  Stromlinie.
Übergang zu Oberflächenwasser: h = konst. Potentiallinie
freie Oberfläche: q Wasserspiegel  Stromlinie und p = 0 .h = z.
Sickerstrecke: p = 0  h = z
Grundwasserleiter (Aquifere)
Gespannt: Begrenzt zwischen Sohle und Decke,
Piezometerhöhe steht über Decke
Decke
Transmissivität T=kfm
Sohle
Frei: Freier Grundwasserspiegel,
Piezometerhöhe = GW-Spiegel
1-D gespannter Aquifer
Stationäre Grabenströmung:
Lösung mit obigen Randbedingung:
Q
h h
 T 2 1
b
L
mit T  k f m
d2h
2  Dh  0
dx
h  h1 
h2  h1
x
L
1-D freier Aquifer
Stationäre Grabenströmung:
Lösung mit obigen Randbedingungen:
d 
dh 
k
h
 f
0
dx 
dx 
x
L
2
2
k f h1  h2  k f (h1  h2 ) (h1  h2 )
Q
q

b
2L
2
L
h 2  h12  (h12  h22 )
1-D freier Aquifer mit Neubildung
Stationäre Grabenströmung:

d 
dh 
k
h
 f
N
dx 
dx 
Lösung mit obigen Randbedingungen:
N
2
2
2
2 x
h  h1  (h1  h2 )  x( L  x)
L kf
Q
q
b

k f h12  h22
2L
  N ( x  L / 2)
Geschichtete Grundwasserleiter
Parallel
Mittlerer Durchlässigkeitsbeiwert
n
di
k fa    k fi
i 1 d
Gew. arithmetisches Mittel
Seriell
n
d 1
1
 i 
k fh i1 d k fi
Gew. harmonisches Mittel
Anwendung der Potentialtheorie
Gültig für ebene Strömungen und kf = konstant

q  k f     k f   
Potentialfunktion  bzw F
Stromfunktion y
  x, y  y x, y
 und y erfüllen die Cauchy-Riemannschen DGL
y

y

 k f
;
 kf
y
x
x
y
Volumenstrom zwischen 2 Stromlinien
y2
y2
y1
y1
DQ   qx dy 
y
dy  y 2 y 1  konstant
y
Zeichnerische Lösung von
Potentialströmungsproblemen (1)
D Dy
kf

Ds Dn
• Tangenten an - und y-Linien orthogonal
• Diagonalen einer Netzmasche orthogonal
• In Netzmaschen können Kreise einbeschrieben werden
• Strom- bzw. Potentiallinien dürfen sich weder berühren
noch schneiden
Zeichnerische Lösung von
Potentialströmungsproblemen (2)
-- Abgrenzung des Strömungsbereichs, in dem das Strömungsnetz konstruiert werden soll.
-- Bestimmung der Randbedingungen.
- Konstruktion des Netzes durch Probieren, wobei die obengenannten Regeln
beachtet werden müssen
Durchfluss Q
D   i   i 1
H

n
D
q  kf
Ds
D
H
DQ  q  Dn  B  k f
 Dn  B  k f  D  B  k f   B
Ds
n
B Breite bzw. Dicke senkrecht zur Zeichenebene
Druck im Punkt P
H
 j   o  j  D   o  j 
n
Potential
p
j  z
g
Druckhöhe
p
H
 o  j  z
g
n
Druck
H 

p    g    o  j   z


n
Strömungskräfte im porösen Medium
Gewichtskraft
 FG  (1  n) (gs  gw ) DV
Dh
 DV
Strömungskraft FS  ng w DhDxDy  ng w
Ds
Sicherheit gegen hydr. Grundbruch:  = FG/FS > 2
Bestimmung des Strömungsgefälles
Aus Potentialliniennetz:
Näherungsweise
Dh
DH

Ds d 1  2d 2
Bei vorhandener Sperrschicht
Dh DH

Ds
d
Brunnen im gespannten GWL
Annahmen: Medium homogen, isotrop, unendlich ausgedehnt,
Strömung radialsymmetrisch
Brunnen im gespannten GWL
m
R
z. B Brunnen im Mittelpunkt einer kreisrunden Insel
Brunnenformel
(stationär, gespannter Aquifer)
Kontinuität
ds
Q  2r  m  q  2r  m  k f
dr
Randbedingungen
r = rB, s = sB, r = R, s = 0
Integration liefert:
R dr'
Q
s( r ) ds  2mk f  r r'
0
bzw.
Q
 R
s r   
 ln 
 r
2mk f
Q
 r
s r  
 ln 
2T  R 
Brunnen im freien GWL(1)
Brunnen im freien GWL (2)
Kontinuität
dh
Q  2rh  k f
dr
Separation der Variablen und Integration
R dr
Q
hr  hdh   2k f  r r
H
Q  R
H  h r   
ln 
k f  r 
2
2
Q  r
 H  h r  H  h r   
ln 
k f  R 
bzw.
Q
 r
s r   H  h r  
 ln 
2T  R 
Mehrbrunnenanlagen
Durch Superposition
Vorsicht:
Superponiere s,
da im Unendlichen
Null. (Homogene
Randbedingungen)
s  s( r1 )  s( r2 )  s( r3 )  s( r4 )  s( r5 )  
s
 r r 
Q
 ln 1 2  ; wobei s(r3 )  0
2    T  r4  r5 

 R
 R
 R
 R
Q
  ln   ln    ln    ln  
2T 
 r1 
 r2 
 r4 
 r5  
Brunnen an Festpotentialgrenze
Brunnen an undurchlässigem Rand
Brunnen in Grundströmung
Asymptotische Entnahmebreite
Staupunktsabstand
Q
B
TI
Q
x st 
2  T  I
Übungsaufgabe
Stromlinien der Parallelströmung
Potentiallinien der Parallelströmung
Strömungsnetz der Parallelströmung
Stromlinien der Radialströmung
Potentiallinien der Radialströmung
Strömungsnetz der Radialströmung
Brunnen in Grundströmung: Überlagerung der Potentiallinien
Brunnen in Grundströmung: Überlagerung der Potentiallinien
Brunnen in Grundströmung: Überlagerung der Stromlinien
Brunnen in Grundströmung: Überlagerung der Stromlinien