Transcript Retta reale - Liceo Cavalieri

Numeri razionali
I numeri RAZIONALI sono i numeri che
possono essere rappresentati come
frazioni. I razionali comprendono i numeri
interi e quelli decimali limitati e illimitati
periodici
17
17 
1
26
5,2 
5
_
10
3, 3 
3
Numeri razionali
I numeri razionali sembrano gli unici ad
avere significato nella nostra vita
quotidiana, ma hanno un grave difetto:
non tutte le coppie di classi contigue
hanno un elemento separatore
Classi contigue
Due insiemi di numeri A e B si dicono
classi contigue se
• ogni elemento di uno (ad esempio A) è
minore di ogni elemento dell’altra (ad
esempio B)
• dato un qualsiasi numero positivo ε
esistono un elemento di A e uno di B la
cui differenza è minore di ε
Classi contigue
Ad esempio:
A = insieme dei numeri minori di 2
B = insieme dei numeri maggiori di 2
È abbastanza ovvio che:
• tutti i numeri minori di 2 sono minori di
tutti i numeri maggiori di 2
• posso prendere due numeri, uno
maggiore e uno minore di 2, la cui
differenza sia piccola a piacere
Elemento separatore
Date due classi contigue A e B si dice
elemento separatore il numero che è
maggiore o uguale a ogni elemento di A e
minore o uguale a ogni elemento di B
Nell’esempio precedente l’elemento
separatore è il numero 2
minori di 2
2
maggiori di 2
Elemento separatore
E’ abbastanza intuitivo che ogni coppia di
classi contigue abbia un elemento
separatore, ma nell’insieme dei numeri
razionali non è così
Elemento separatore
Siano ad esempio:
• A = insieme dei numeri positivi il cui
quadrato è minore di 2
• B = insieme dei numeri positivi il cui
quadrato è maggiore di 2
Sono classi contigue, come si può capire
facilmente dal grafico cartesiano della
parabola y=x2
Elemento separatore
Ma qual è il loro elemento
separatore? Può essere
solo un numero il cui
quadrato è esattamente
uguale a 2: ma nei
razionali non esiste nulla
del genere.
Come fu già dimostrato da
Euclide, infatti, non esiste
nessun razionale il cui
quadrato è 2
2
A
?
B
I numeri irrazionali
Per risolvere questo problema si
definisce una nuova classe di numeri, i
numeri irrazionali
Si dicono numeri irrazionali gli elementi
separatori delle classi contigue che non
hanno un elemento separatore razionale
L’elemento separatore di A e B
nell’esempio è il numero irrazionale √2
I numeri reali
L’insieme dei numeri razionali e di quelli
irrazionali costituisce l’insieme dei
numeri reali
(naturalmente non è tutto così
semplice: è necessario dimostrare che i
reali hanno le caratteristiche che già
avevano i razionali, come l’ordinamento,
le proprietà delle operazioni ecc: questo
è possibile ed è stato fatto)
Continuità
Proprio per come è stato definito
nell’insieme dei numeri reali ogni coppia
di classi contigue ha uno e un solo
elemento separatore
Un insieme in cui vale questa proprietà
si dice continuo
L’insieme dei numeri reali è continuo
Retta reale
La RETTA REALE è una retta su cui sono
stati fissati:
• un’origine
• un orientamento
• una unità di misura
u
O
Retta reale
Sulla retta reale c’è CORRISPONDENZA
BIUNIVOCA tra punti e numeri, per cui i
suoi elementi possono essere designati
indifferentemente come punti o come
numeri.
u
-2
-1
O
1
2
Ordinamento
La retta reale è ORDINATA: dati due punti
distinti x1 e x2 allora:
• o x2<x1
• o x1<x2
O
X1
X2
Intervallo chiuso
Si dice INTERVALLO CHIUSO di estremi a,
b, e lo si indica con
[a;b]
L’insieme di tutti i numeri (o punti)
compresi tra a e b, estremi inclusi
O
a
b
Intervallo chiuso
Geometricamente, un intervallo chiuso
non è altro che un segmento
O
a
b
Intervallo aperto
Si dice INTERVALLO APERTO di estremi a,
b, e lo si indica con
]a;b[
L’insieme di tutti i numeri (o punti)
compresi tra a e b, estremi esclusi
O
a
b
Intervallo aperto
Si considerano intervalli aperti anche:
]-∞;b[
Insieme di tutti i numeri minori di b, e:
]a;+∞[
Insieme di tutti i numeri maggiori di a
Intervallo aperto
L’insieme dei reali, R, si considera sia
aperto che chiuso, e lo si può indicare
anche con:
]-∞;∞[
Aperto a sinistra e chiuso a destra
Come prima, solo che a non è incluso
mentre b lo è
]a;b]
O
a
b
Aperto a destra e chiuso a sinistra
Come prima, solo che b non è incluso
mentre a lo è
[a;b[
O
a
b
Intorno
Si dice INTORNO DI UN PUNTO un
intervallo aperto che contiene il punto
Ad esempio, ]a;b[ è intorno di P
O
a
P
b
Intorno destro
Si dice INTORNO DESTRO DI UN PUNTO
un intervallo aperto a destra e chiuso a
sinistra che ha come estremo sinistro il
punto
Ad esempio, [P;b[ è intorno destro di P
O
P
b
Intorno sinistro
Si dice INTORNO SINISTRO DI UN PUNTO
un intervallo aperto a sinistra e chiuso a
destra che ha come estremo destro il
punto
Ad esempio, ]a;P] è intorno sinistro di P
a
P
Intorno sinistro
• ]1;5[
è un intorno di 2
• [3;4[
è intorno destro di 3
• ]-5;0] è intorno sinistro di 0
• [2;10] non è intorno di 5, perché non è
aperto
• ]1,2[ non è intorno di 2, perché 2 non
ne fa parte
Punto interno
Dato un insieme A, il punto P
appartenente ad A si dice PUNTO
INTERNO di A se esiste un intorno U di
P tutto contenuto in A
U
P
A
Punto interno
• Il punto 3 è interno all’intervallo [1;5]:
infatti, ]2;4[ è un intorno di 3 tutto
contenuto nell’intervallo
• Invece, il punto 5 non lo è, perché la
metà destra di ogni intorno di 5 cade al di
fuori dell’intervallo
Punto interno
• Tutti i punti sono interni ad R
• Al contrario, Z è privo di punti interni;
infatti un intorno di un intero non contiene
solo numeri interi
Punti interni e intervalli aperti
• In un intervallo aperto TUTTI I PUNTI
SONO PUNTI INTERNI
Punto di frontiera
Dato un insieme A, il punto P dice PUNTO
DI FRONTIERA di A se ogni intorno di P
contiene sia punti di A che punti non
appartenenti ad A
U
P
A
Punto di frontiera
• Un punto non può essere contemporaneamente
di frontiera e interno: i due ruoli si escludono a
vicenda
• Un insieme può non avere punti di frontiera; ad
esempio R
• Un punto può non essere né di frontiera né
interno
• Un insieme può essere fatto di soli punti di
frontiera
• Un punto di frontiera di un insieme non deve
necessariamente appartenere all’insieme
Esempi
• 3 è punto di frontiera dell’intervallo A=]3;5[.
Infatti, ogni intorno di 3 sta con la sua parte
destra in A e con la sinistra fuori da A.
• L’intervallo A ha come unici punti di frontiera 3 e
5; gli altri o sono interni o sono staccati da A
• L’insieme degli interi, Z, coincide con l’insieme
dei suoi punti di frontiera; infatti ogni intorno di un
intero contiene anche numeri non interi
Punto isolato
Dato un insieme A, il punto P
appartenente ad A dice PUNTO ISOLATO
di A se esiste un intorno di P che non
contiene alcun altro elemento di A,
oltre a P stesso
U
P
A
Punto isolato
• Un punto isolato non può essere punto interno,
ma può essere punto di frontiera
• Esistono insiemi privi di punti isolati; ad esempio
gli intervalli
• Esistono insiemi fatti di soli punti isolati: ad
esempio Z
Punto di accumulazione
Dato un insieme A, il punto P dice PUNTO
DI ACCUMULAZIONE di A se ogni
intorno di P contiene almeno un
punto di A distinto da P
U
P
A
Punto di accumulazione
• Può sembrare che la definizione sia uguale a
quella dei punti di frontiera, ma non è così: qui
non si chiede che nell’intorno ci siano anche punti
fuori da A, inoltre P stesso non può essere
conteggiato tra i punti di A
• Tutti i punti interni sono anche di accumulazione
• I punti isolati non possono essere di
accumulazione
• I punti non isolati di frontiera sono di
accumulazione
Esempi
• Il punto 0 è punto di accumulazione sia per ]0;1[
che per [0;1]
• L’insieme dei numeri interi è privo di punti di
accumulazione.
• L’insieme dei reciproci degli interi maggiori di 0:
I={1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5…..} ha come unico punto
di accumulazione il punto 0. Questo mostra che un
insieme può essere fatto di soli punti isolati eppure
possedere un punto di accumulazione (non
appartenente all’insieme.
Insiemi superiormente limitati
Un insieme A si dice SUPERIOREMENTE
LIMITATO se esiste un punto P maggiore
di tutti gli elementi di A.
P si dice MAGGIORANTE di A
P
A
Estremo superiore
Il minore di tutti i maggioranti di un
insieme superiormente limitato si dice
ESTREMO SUPERIORE dell’insieme e si
indica con
Sup(A)
P
A
Massimo
Se l’estremo superiore di un insieme
appartiene all’insieme allora lo si chiama
MASSIMO e lo si indica con
Max(A)
P
A
Insiemi inferiormente limitati
Un insieme A si dice INFERIOREMENTE
LIMITATO se esiste un punto P minore di
tutti gli elementi di A.
P si dice MINORANTE di A
P
A
Estremo inferiore
Il maggiore di tutti i minoranti di un
insieme inferiormente limitato si dice
ESTREMO INFERIORE dell’insieme e si
indica con
Inf(A)
P
A
Minimo
Se l’estremo inferiore di un insieme
appartiene all’insieme allora lo si chiama
MINIMO e lo si indica con
Min(A)
P
A
Insiemi limitati
Un insieme limitato sia superiormente che
inferiormente si dice LIMITATO
Esempi
L’intervallo [0;3[ è limitato:
• 0 è estremo inferiore e anche minimo
• 3 è estremo superiore ma non massimo
N è limitato inferiormente ma non
superiormente: il suo minimo è 0
Esempi
L’insieme dei reciproci degli interi
A={1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5…..}
È limitato sia inferiormente che
superiormente:
• 1 è estremo superiore e massimo
• 0 è estremo inferiore ma non minimo
Funzioni limitate
Una funzione si dice LIMITATA se il suo
codominio è limitato.
Se gli estremi superiore e inferiore fanno
parte del codominio allora si dicono
rispettivamente MASSIMO ASSOLUTO e
MINIMO ASSOLUTO della funzione.
I punti in cui la funzione assume tali valori
si dicono PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO e
PUNTO DI MINIMO ASSOLUTO
Funzioni limitate
Graficamente
massimo e minimo
assoluti sono il
punto più alto e
quello più basso
del grafico
Max
XMin
XMax
Min
Funzioni limitate
La funzione:
y=x2+1
È limitata inferiormente e ha 1 come
minimo assoluto. Il punto di minimo è x=0
La funzione:
y=ex
È limitata inferiormente ma non ha minimo;
infatti 0 non appartiene al dominio
Funzioni limitate
La funzione:
y=senx
È limitata sia superiormente che
inferiormente, e gli estremi sono 1 e -1.
I punti di massimo sono tutti i punti
Xmax=/2+2k, mentre i punti di minimo
sono tutti i punti Xmin= 3/2+2k