Transcript PROBLEMA
Equazioni di secondo grado:
dai Babilonesi …
…ai banchi nostri.
Presentazione di
Bruno Jannamorelli Liceo Scientifico “E.Fermi” Sulmona (AQ)
Premessa:
Primi giorni di scuola, III Liceo Scientifico …
x2 = 9
(x – 1)2 = 9
X2 – 2x +1 = 9
X2 – 2x - 8 = 0
… e poi applico
la formula!
x2 + x + 1 > 0
D < 0, a > 0,
discordi …
PROBLEMA
Trovare due numeri
conoscendone la somma
(o la differenza) e il prodotto
Esempio 1.
Trovare due numeri la cui somma
è 18 e il cui prodotto è 72
Interpretazione della soluzione dei
babilonesi con l’uso della moderna
simbologia:
Indichiamo i due numeri la cui somma è 18 con
i simboli 9 – x , 9 + x .
Si ha :
(9 + x)(9 – x) = 72
81 – x2 =
72 2
x =
9
vera se x = 3 o x = -3
I due numeri richiesti sono :
9 + 3 = 12 e 9 – 3 = 6
a
a
a
b
b
b
a-b
-b
(a + b)(a -ab)
a-b
a-b
b
b
b
b
b
b
b
a-b
a-b
a-b
b
b
a-b
a-b
a-b
a-b
a-b
b
a2
–
b2
b
Esempio 2.
Trovare due numeri la cui
differenza è 8 e il cui prodotto è 20
Interpretazione della soluzione dei
babilonesi con l’uso della moderna
simbologia:
Indichiamo i due numeri la cui differenza è 8
con i simboli k + 4 , k - 4 .
Si ha :
(k + 4) - (k – 4) = 8
(k + 4)(k – 4) = 20
k2 - 16 = 20
k2 = 36
vera se
k = 6 o k = -6
I due numeri richiesti sono :
6 + 4 = 10 e 6 – 4 = 2 (o i loro opposti)
Ricaduta didattica:
Radicali doppi
Problema:
Esistono due numeri reali positivi x , y tali che
a b x y
?
Eleviamo al quadrato
a b x y 2 xy
Vera se:
x y a
b
xy 4
(sistema somma-prodotto)
Con lo stesso procedimento, i
babilonesi risolvevano anche equazioni
algebriche di secondo grado
Esempio 3.
Risolvere l’equazione :
x2 + 8x = 20
L’equazione può essere scritta :
x(x + 8) = 20
Se poniamo x + 8 = y si ha : y – x = 8 ,
allora si devono trovare due numeri x , y
tali che : y – x = 8 , xy = 20 .
(vedi Esempio 2)
Metodo diofanteo (Diofanto di Alessandria III sec. d.C)
Esempio 4.
Risolvere l’equazione :
18x - x2 = 72
L’equazione può essere scritta :
x(18 - x) = 72
Se poniamo 18 - x = y si ha : x + y = 18 ,
allora si devono trovare due numeri x , y
tali che : x + y = 18 , xy = 72 .
(vedi Esempio 1)
Esempio 5.
Risolvere l’equazione :
3x2 + 5x = 2
I babilonesi non dividevano per 3 per
ottenere l’equazione
5
2
2
x x
3
3
3x2 + 5x = 2
Ma moltiplicavano per 3 ottenendo
l’equazione : (3x)2 + 5(3x) = 6
ponendo 3x = z si ha :
z2 + 5z = 6
vera se z = 1
(o z = - 6) ,
per cui x = 1/3 (o x = - 2)
Numerazione posizionale sessagesimale
dei babilonesi
Ambiguità della numerazione babilonese
Testo inciso sulla tavoletta
d’argilla AO 8862
Base, altezza.
Ho moltiplicato la base per l’altezza ed ho
trovato l’area.
Ho poi addizionato la differenza tra la base e
l’altezza all’area trovando 183 [3;3].
Inoltre la somma tra la base e l’altezza è 27.
Calcolare la base, l’altezza e l’area.
Soluzione babilonese:
1.
27 + 183 = 210
2
2 + 27 = 29
3
29 : 2 = 14,5
4
14,5 x 14,5 = 210,25
5
210,25 – 210 = 0,25
6
0,25 0,5
7
14,5 + 0,5 = 15 (base)
8
14,5 – 0,5 = 14
9
14 – 2 = 12 (altezza)
10
15 x 12 = 180 (area)
Interpretazione della soluzione babilonese :
Sia x la base , y l’altezza:
x y 27
xy x y 183
Sostituisco la seconda equazione con la
somma delle due equazioni:
x y 27
xy x y x y 183 27
1. 183+27=210
x y 27
xy 2 x 210
x y 27
x y 2 210
Aggiungo 2 a sinistra e a destra nella prima
equazione :
x y 2 2 27
x y 2 210
2.
2+27 =29
Ottengo un nuovo sistema (somma-prodotto)
X Y 29
XY 210
Con
X=x ,
Y = y+2
Indico i due numeri la cui somma è 29 con
14,5 + k , 14,5 - k
(14,5 + k)(14,5 – k) = 210
210,25 – k2 = 210
K2 = 210,25 – 210 = 0,25
k 0,25 0,5
14,5 + 0,5 = 15 (base)
14,5 – 0,5 = 14
I due numeri sono:
14,5 + 0,5 = 15
14,5 – 0,5 = 14
X = x = 15
Y = y +2 = 14
x = 15 (base) y = 14 – 2 = 12 (altezza)
Hisab al-jabr w’al-muqabala
Prima metà del IX secolo
al-Khuwarizmi
al-jabr (restaurazione):
Addizionare o moltiplicare la stessa quantità
al-muqabala (riduzione):
Sottrazione di quantità uguali
4a equazione di al-Khuwarizmi:
Risolvete mal (quadrati) e 10 radici uguale a 39.
x2 + 10x = 39
1. Dividete per due il numero (coeff.) delle radici:
risultato 5.
2. Moltiplicate 5 per se stesso: risultato 25.
3. Addizionate 25 a 39: risultato 64.
x 5
2
25 39 64
4. Prendete la radice quadrata di 64: risultato 8.
x58
5. Sottraete da 8 il risultato dato al passo 1:
soluzione 3.
x 85 3
Veniva ignorata la radice negativa
x 8 5 13
Abbiamo detto abbastanza,
per quanto riguarda i numeri,
sui sei tipi di equazione.
Ora è necessario dimostrare
geometricamente la verità degli
stessi problemi che sono stati
spiegati con i numeri.
Al-Khuwarizmi
x
x2
x
X2 + 10x = 39
5
5x
x
x2
5x
x
5
Per completare il quadrato si deve aggiungere
un quadrato di lato 5.
X2 + 10x +25= 39 + 25 = 64
5
25
x
x
x 5
2
5
64
Thabit ibn Qurra (836-901 d.C):
ثابت بن قرة بن مروان
ษาบิต อิบนู กูรอ(Thabit Ibn Qurra)
836-901(256-321 H)
Kitab filtatli listikhrag amal al-masail handasiya
(Sulla soluzione corretta di problemi algebrici con
metodi geometrici)
A
B G.
x
x2
D
x
H
bx
C
b
F
Problema di
applicazione delle
aree per eccesso
(iperbolico)
Euclide, Elementi, (libro II, Prop.5, Prop. 6)
2
1
1
x bx b c b
2
2
2
2
2
1
1
x b c b
2
2
1
1
x b c b
2
2
2
2
1
1
x b c b
2
2
2
Ricadute didattiche:
Risolvi la disequazione:
x x 1 0
2
Disegna la parabola d’equazione:
y x x 1
2
Disegna la conica d’equazione:
4x y 4x 6 y 9 0
2
Calcola l’integrale:
2
1
dx
x2 x 1
Applicando il metodo del
completamento del quadrato le
risposte ai quesiti precedenti
diventano più semplici, meno
insidiose, più popolari…
Le nozioni che si
potevano offrire
con luminosa
chiarezza
venivano date
oscure, contorte,
imbrogliate, come
per via di veri e
propri indovinelli.
Jan Amos Komensky ( Comenius)
1592-1670