Transcript G：黒体輻射

授業の内容
天文学は天体からの光を研究する学問です。
そこでこの授業では、「光」をどう扱うかの基礎を学びます。
授業計画は、
Ａ．水素原子
Ｂ．エネルギー準位
Ｃ．熱平衡
Ｆ．光のインテンシティ Ｇ．黒体輻射 Ｈ．等級
Ｊ．光の伝達式 Ｉ
Ｄ．線吸収
Ｅ．連続吸収
Ｉ．色等級図
Ｋ．光の伝達式 ＩＩ Ｌ．星のスペクトル
という順で進めます。
最後まで行くと、星のスペクトルがどんな仕組みで決まっているかが判る、
というのが目標です。
ＡからＥまでは光の吸収に関係する物理の話です。Ｆでは光の強さをきちん
と定義します。ＧからＩは光の強さを天文学でどう使うかを示します。ＪからＬは
光がガス中を伝わる様子を式に表わし、その式を解いて星のスペクトルを導き
ます。それでは、始めましょう。
Ｇ 黒体輻射
今回の内容
（Ｇ．１） 黒体輻射の式の導出
簡単な量子力学を使い、黒体輻射の式を導出します。
（Ｇ．２） 黒体輻射の表示法
黒体輻射の式を波長で表示する場合と振動数を使う場合の違いを調べます。
（Ｇ．３） 黒体輻射のその他の性質
黒体輻射の式を使いこなすための性質を調べます。
（Ｇ．４） 黒体輻射の数値表現
黒体輻射の式を実際に使うための数値表現をまとめました。
（Ｇ．５） 熱輻射
実際の物体と完全黒体との違い、反射率と吸収率の関係などを学びます。
授業の内容は下のHPに掲載されます。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
2
レポート：下の問題の解答を６月２７日の授業の際に提出して下
さい。
解答にはＡ４の用紙を使用し、氏名、所属、学年、学生番号、を
記入して下さい。
しかし、「遠くの灯りは暗くみえます」。 これは 「輻射強度が変わらない」
矛盾するのではないでしょうか？
ことと
Ｇ．１． 黒体輻射って何？
温度一定の箱の中
箱を考えて下さい。壁の温度は一定とします。箱の中には電磁波（＝光）が満
ちています。この箱を放っておくとやがて、温度Ｔの壁と箱の中の光との間には
熱平衡の状態が生じます。そのように、落ち着いた状態での壁と光の間のエネ
ルギーのやり取りを考えましょう。
簡単のため、箱の反射率＝０ とします。箱の天井は物質Ａ、床は物質Ｂでで
きいます。箱の天井も床も温度Ｔは等しいとします。
天井 Ａ
天井からは物質Ａの出す熱輻射
ＩＡ（Ｔ）が、床からは物質Ｂの出す
熱輻射 ＩＢ（Ｔ） が放射されます。
ＩＡ（Ｔ）
逆に天井は床からのＩＢ（Ｔ） を吸
収し、床は天井からＩＡ（Ｔ）を吸収
します。
熱平衡状態では放射量と吸収
量は等しいはずですから、
ＩＡ（Ｔ）＝ ＩＢ（Ｔ）
ＩＢ（Ｔ）
床 Ｂ
つまり、 黒体からの熱放射は黒体を作る物質によらないのです。それで黒体
は黒体Ａとか黒体Ｂとか言わず、ただ黒体といいます。
黒体で出来た箱の中は黒体からの放射光で満たされています。それを黒体輻
射 （Ｂｌａｃｋｂｏｄｙ Ｒａｄｉａｔｉｏｎ）と呼びます。黒体輻射のインテンシティをＢ（Ｔ）と
書きましょう。
では、箱の材料が黒体でなかったらどうでしょう？下の箱の床を反射率がＲの
物質で置き換えてみます。温度は天井も床も同じ温度Ｔとします。
この場合も、天井と床の温度が等しいために、
床Ｂからの反射光＋床Ｂの放射光＝天井Ａの放射光
という等式は成立します。
黒体天井 （温度Ｔ）
したがって、
Ｂ（Ｔ）
Ｒ・Ｂ（Ｔ）＋ＩＢ＝Ｂ（Ｔ）
です。つまり、
ＩＢ＝Ｂ（Ｔ）ーＲ・Ｂ（Ｔ）
＝（１－Ｒ） ・Ｂ（Ｔ）
＝Ｅ・Ｂ（Ｔ）
ＩＢ
Ｒ・Ｂ（Ｔ）
床 Ｂ （温度Ｔ）
もう一つ注意すべきは、床から放射される光 Ｅ・Ｂ（Ｔ） は同時に床が吸収する
光の量に等しいということです。ですから、床には天井から Ｂ（Ｔ） の光が来
ますから、吸収率をＡとすると、床は Ａ・Ｉ（Ｔ） だけ吸収します。吸収した分だ
けは放射しますから、前ページを参考にして、Ａ・Ｉ（Ｔ） ＝Ｅ・Ｂ（Ｔ）、つまり、
Ａ＝Ｅ＝（１－Ｒ）
なのです。
あなたは冬の夜道を真っ黒なオーバーにくるまって歩いています。私は真っ白
なオーバーを着ています。簡単のため、黒オーバーの反射率はゼロ、白オー
バーの反射率は１とします。外の気温は－１５°Ｃ、 オーバーの表面温度は
０度Ｃとします。あなたと私のどちらがぬくぬくしていられますか？熱のやり取り
は輻射を通じてのみとします。
身近な黒体輻射
温度が室温の黒体輻射は簡単に作れます。押し入れに入って戸を閉めれば
よいのです。押し入れの内部は室温の黒体熱輻射で満たされます。
次の節で学びますが、黒体輻射強度 は全波長に及んでいます。低温の黒体
輻射は主に長波長、赤外線や電波、の領域にエネルギーが集まり、短波長
の可視光やＸ線の光は僅かしか含みません。温度が上がってくると黒体輻射
の主要部は次第に短波長側に移ってきます。
室温だと黒体輻射が強いのは波長１０μｍ付近で、０．５μｍ付近の可視光は
非常に弱いのです。
押し入れの中の一点をとり、そこでの輻射強度
を考えて下さい。その点はぐるりを同じ温度Ｔの
壁や、布団やふすまに囲まれているので、どの
方向からも温度Ｔの黒体輻射がやってきます。
その結果、押し入れの中はどこでも等方的な温
度Ｔの黒体輻射に満たされています。
室温の黒体輻射は可視波長帯での強度が非常に弱いため、視神経を刺激す
ることができません。このため、人間が押し入れの中に入っても真っ暗で何も
見えないのです。
では、強力な暗視ゴーグルをはめて、そのように弱い光線でも感知できるよう
にして、押し入れに入ったらどのように見えるでしょうか？Ａ点から緑色の方向
を見た時の絵を下に描いて下さい。
布団
仕切り板
Ａ
Ｇ．２． 黒体輻射の式の導出
振動数空間
壁温度 T、 大きさ L３＝V の箱を考えます。さっきの押し入れと思って下さい。す
ると、箱の中は温度 T の熱平衡輻射で満たされます。
その輻射強度 B（ν、T） を決めてみましょう。νは光子の振動数です。そのため
に、単位体積中の光子の振動数空間というものを考えます。（振動数を光の進行
方向に向いたベクトルと考えています。）
右下が振動子空間での、進行方向 dΩ、振動数 dνの錐台の図です。
この錐台の底面積はＳ＝ν２ｄΩ 、高さは dν なので体積はν２ｄΩ dν です。
ｎ（ν, Ω）＝振動数ν、進行方向Ωの光子の数密度とおくと、錐台中の光子数は
ｎ（ν, Ω）ν２ｄνｄΩ です。
前回やりましたが、輻射強度 Ｉ (ν, Ω) は、
ｄΩの方向と直交する面積 ｄＳ を通る、 dν
の振動数を持つ光が時間 dt の間に運ぶエネ
ルギー dE が、
ｄＥ ＝ Ｉ (ν, Ω) ｄΩ dνｄＳ ｄｔ
となることで定義されます。
ｄΩ
ν
ｄν
では、速度ｃ、振動数 dν、方向 dΩ の光子が
ｄｔ 時間に dS を通過する数 dN はいくつでしょ
う？
ｈν
ｄΩ
右の図を見ると、それらは厚みが cdt で、底
面積が dS の箱の中にあることが判ります。
この箱の中にある光子の内で方向が dΩ、振
動数が ｄν の数は前ページやったように、単
位体積当たりで、ｎ（ν, Ω）ν２ dνｄΩ でした
から、求める光子数はそれに体積 cdtdS をか
ければよいことが判ります。結局、
ｄＳ
ｃｄｔ
dN = ｎ（ν, Ω）ν２ ｃ dνｄΩ ｄＳ dt
です。光子一つのエネルギーは hνなので運
ばれるエネルギーは
dE = ｎ（ν, Ω）ν２ ｃ hν dνｄΩ ｄＳ dt
= ｃ h ｎ（ν, Ω）ν3 dνｄΩ ｄＳ dt
となります。この式が前に出した dE と同じにな
るので、 Ｉ (ν, Ω) ＝ ｃ h ｎ（ν, Ω）ν3
となります。
振動数空間
光子の量子状態の数
黒体輻射の次のステップは量子力学にちょっとだけ入る必要があります。量子
力学はこれからという人は軽く聞いて下さい。
前に述べましたが、今は一辺がＬの立方体を考え、その中にある光子を考えて
います。量子力学では光子が箱の中で安定な波になっていると考えます。その
条件は ｘ、ｙ、ｚ の各方向で辺長 L が波長の整数倍になることです。
Ｌ/λＸ ＝ １，２，３、．．．、 Ｌ/λＹ ＝ １，２，３、．．．、 Ｌ/λＺ ＝ １，２，３、．．．
ですが、電磁波には２成分の偏光があるので２倍して、Ｌ３の箱内の安定な光
子の量子状態の数 ΔＮＢｏｘ は、
ΔＮＢｏｘ ＝ ２Δ（Ｌ/λＸ）・ Δ（Ｌ/λＹ）・ Δ（Ｌ/λＺ）
で与えられます。単位体積当たりの状態数 ΔＮUnit は、箱の体積で割って
ΔＮUnit ＝ ΔＮＢｏｘ/Ｌ３ ＝ ２Δ（１/λＸ）・ Δ（１/λＹ）・ Δ（１/λＺ） です。
光子の密度を振動数ν空間で考えました。ですから上の式をちょっと直して、
ΔＮUnit ＝（２/ｃ３）Δ（ｃ/λＸ）・ Δ（ｃ/λＹ）・ Δ（ｃ/λＺ）
＝ （２/ｃ３）Δ（νＸ）・ Δ（νＹ）・ Δ（νＺ）
Δ（νＸ）・ Δ（νＹ）・ Δ（νＺ） は振動数空間での体積要素 ΔＶνですから、
ΔＮUnit ＝ （２/ｃ３） ΔＶν という式は、単位体積当たりの振動子空間での量子
状態の密度 Ｑ（ν） ＝ （２/ｃ３） であることを意味します。
前に使った球座標表示では ΔＶν ＝ ν２ｄΩｄν なので、
ΔＮUnit ＝ ＱΔＶν ＝ （２/ｃ３） ν２ｄΩｄν
と表示しても同じことです。
一つの量子状態にある光子の数
こうして決められた量子状態の一つ一つに光子が平均何個あるかが次の問題
です。
その前に光子の振動数νと運動量 p、 エネルギーεの関係をまとめておきま
しょう。それは、
ε＝ ｃ・ｐ ＝ｈν
ν２ ＝ νＸ２ +νＹ２ +νＺ２
です。
ところで、振動数νの量子状態に光子が幾つあるかは確定していません。です
から、その状態に平均して何個の光子があるかを計算する必要があります。
振動数νの量子状態に光子が一つある確率を P1 、二つある確率をP２ ．．．
S個ある確率を PS とします。すると、ある量子状態にある光子数の平均は
<S> = 0・P０ ＋ １・P１ ＋ ２・P２ ＋ ．．．
です。 問題はこの確率 PS をどう定めるかです。
ところで、光子が一つあるとその状態のエネルギーはｈν、光子が二つあれば
２ｈν、．．．光子が S 個あるとその状態のエネルギーは Sｈνです。
一般にエネルギーがεの状態にある確率 Ｐ は exp(- ε/kT) に比例するので
す。ですから、その比例定数をＡとおくと、
ＰS = Ａ exp (- εS /kT) = Ａ exp (-Sｈν/kT) = A[exp (-ｈν/kT) ]
S
A は 全確率の和は１になるということから決めます。計算のために
Ｘ＝ exp (-ｈν/kT) とおきましょう。
１＝ Ｐ０ ＋Ｐ１ ＋Ｐ２ ＋．．．
＝Ａ [exp (-ｈν/kT) ] ０＋Ａ [exp (-ｈν/kT) ] １＋Ａ [exp (-ｈν/kT) ] 2．．．
= A（1+ Ｘ１＋Ｘ2．．．） = A/[1- X]
ですから A= 1-X = 1- exp (-ｈν/kT)
です。すると、
<S> = 0・P０ ＋ １・P１ ＋ ２・P２ ＋ ．．． = (1- X) (X+2X 2 +3X 3 + ．．．)
X+2X 2 +3X 3 + ．．． ＝ Ｘ/ (1-X)2
( |X|<1 ) を導いて下さい。
結局、
<S> = (1- X) ・Ｘ/(１－X)２＝Ｘ/(１－X) ＝１/（Ｘ－１－１）
Ｘ＝ｅｘｐ（ーｈν/ｋＴ）を思い出して、
<S> = １/[ｅｘｐ（ｈν/ｋＴ）-1]
これが、温度がＴの時、振動数がνの一つの量子状態につき、何個の光子がそこ
を占めているかの数です。
振動数空間での光子の数密度
はるか昔のような気がするかも知れませんが、ようやく単位体積当たりの光子の
振動数空間での光子の数密度 ｎ（ ν, Ω）に戻ってきました。
ｎ（ ν, Ω） = Ｑ・ <S>
です。前に求めた式を代入すると、
ｎ（ ν, Ω） = （２/ｃ３） /[ｅｘｐ（ｈν/ｋＴ）-1]
となります。
黒体輻射の輻射強度
ｎ（ν, Ω）が求まりましたから、それを下の式
Ｉ (ν, Ω) ＝ ｃ h ｎ（ν, Ω）ν3
に代入すると、最終的に黒体輻射の輻射強度 Ｂ（ν, Ｔ）が
Ｂ（ν, Ｔ）＝ｃ h ν3 （２/ｃ３） /[ｅｘｐ（ｈν/ｋＴ）-1]
2h 3
B( , T )  2
c
が求まりました。
1
 h 
exp
 1
 kT 
Ｇ．３．黒体輻射の表示法
周波数表示 Bν（ν、T) と波長表示 Bλ（λ、T)
黒体輻射強度 B（ν、T) は、
温度Ｔの黒体輻射が、単位面積を単位時間に、法線方向の単位立体角当たり、
単位周波数当たりに通過するエネルギー量
です。黒体輻射は等方なので、方向を示すΩは省いて書くのが普通です。
全輻射強度 Ｂ（Ｔ) は、
Ｂ（Ｔ）＝∫B（ν、T) ｄν
で定義されます。
B（ν、T)
上の式は Ｂ（Ｔ) のうち、
ｄν の範囲内に入る分が
dB(T) = B（ν、T)dν
であることを表わしています。
B（ν,T)
dν
ν
輻射強度は周波数ν、波長λ、エネルギーεのそれぞれで定義できます。
つまり、
Bν（ν、T)
ｄB＝ Bν（ν、T)dν
＝ Bλ（λ、T) dλ
＝ Bε（ε、T) dε
ν
右の図のそれぞれで、上辺が
斜めの部分は同じ ｄＢ を表
わしていて、したがって面積が
等しいことに注意して下さい。
Bλ（λ、T)
電磁波には ν・λ＝ｃ、ｈν＝ε
という性質があるのでそれぞれの間
の変換が可能です。
λ
Bε（ε、T)
ε
ここで、 Bν（ν、T)、 Bλ（λ、T) 、Bε（ε、T) と書いて、B（ν、T)、 B（λ、T) 、
B（ε、T) としなかったのにはわけがあります。B（ν、T) ,、B（λ、T) と書くと、
B（ν、T) のνの所に （ｃ/λ）を代入してそれで B（λ、T) が得られると誤解す
る人が多いので、関数の形が違うことを強調しているのです。
前々頁の Bν（ν、T) の式と、前ページの dE の表式を参考に、Bλ（λ、T) を
導いて下さい。
Bν（ν、T) と Bλ（λ、T) を並べると下のようになります。
2h 3
B ( , T )  2
c
1
 h 
exp
 1
 kT 
B ( , T ) 
2hc2
5
1
 hc 
exp
 1
 kT 
両者は単位も異なります。
ｄＥ＝ Bν（ν、T) ｄＳ ｄｔ ｄΩ dν
＝ Bλ（λ、T) ｄＳ ｄｔ ｄΩ dλ
を単位だけで表わすと
Ｊ ＝ Bν・ ｍ２ ・sec ・steradian ・Hz
＝ Bλ ・ ｍ２ ・sec ・steradian ・ｍ
ですから、
Bν ＝ Ｊ・ ｍ－２ ・sec-1 ・steradian -1・Hz-1
＝ Ｗ ・ ｍ－２ ・Hz-1 ・ steradian
-1
です。 Hz-1は sec で、Ｗ ・ Hz-1 ＝ Ｊ なので、sec は消える単位ですが、
Bν を使用する時にはＨｚ当たり何ワットと考えるので表式にのこしてあります。
一方、 Bλの方は
Bλ ＝ Ｗ・ ｍ－２ ・steradian -1・ｍ-1
です。こっちも Ｗ・ ｍ－３ ・steradian -1 にしてしまえばよさそうですが、波長は
μｍや nm で表わしたりするので分けたままにしてあります。
対数表示 νBν（ν、T) ≡ λBλ（λ、T)
Bν 、 Bλは乗り換えが面倒です。二つの量の関係の基本式は
ｄＥ ＝ Bν dν＝ Bλ dλです。この式をちょっといじりましょう、
Bν ｄν＝ Bν ｄ（ｃ/λ）＝－ ｃBν ｄλ/λ２
から、 Bλ ＝－ ｃBν /λ２でした。ｃ/λ＝νに気を付けると、
ν Bν ＝ λ Bλです。
この式をＷ（ν）とおくと、νからλへの乗り換えは単にνの所に（ｃ/λ）を入
れるだけで大変楽です。その上、ｃ＝νλの微分をとると、
０＝ νｄλ+λｄν。
（ｄλ/λ）＝－ （ｄν/ν）
νλで割って、
です。
d

d


d


d

は書き変えて、
 d ln  d ln   ln 10  d log  ln 10  d log 
ちょっとくどいのですが、
ｄＢ ＝ Bν dν＝ Bλ dλ
をもう一度書き変えて、
ｄＢ ＝ νBν （ｄν/ν）＝ λBλ （ｄλ/λ）
ｄＢ＝ （ｌｎ１０）Ｗ（ν）d logν＝ （ｌｎ１０）Ｕ（λ） d logλ
ここに、 Ｕ（λ）＝Ｗ（ｃ/λ）
こうすると、νとλが対称に扱えます。
輻射強度の形が表示でどう変わるかを見るために、Ｉν＝Ｉｏ＝一定の輻射を
Ｉλで表わすとどうなるかを示したのが下の図です。一見したところ全く違う
輻射に見えます。
Ｉ（λ）＝（ｃ/λ２）Ｉｏ
例： Ｉ（ν）＝Ｉｏ＝一定
Ｉ(ν)
Ｉ(λ)
Ｉｏ
ν
λ
今度は輻射強度を対数表示で見てみましょう。この表示では同じ形になっ
ています。
Ｗ＝Ｉ(ν) ν＝ Ｉ(λ) λ 表示では
Ｗ(ν)
U(λ)
= νＩ(ν)
= λＩ（λ）
logν
log λ
Ｇ．４．黒体輻射のその他の性質
全輻射強度 Ｂ(T)=∫Bν(T,ν)dν= ∫Bλ(T,λ)dλ

今まで黒体輻射強度を振動数 B (T )  B ( , T )d
当たりの輻射エネルギーで考
3
2
h

1
えてきましたが、全振動数で

d
2
c
 h 
の輻射強度という量も考えら
exp
1

れＢ(Ｔ）で表わします。Ｂ
 kT 
(Ｔ）は右式のように計算さ
4
3
kT
2
h
h

1
 


れます。


全輻射強度Ｂ(Ｔ）を黒体表
面からの全輻射フラックスＦ
(T)と混同しがちですから注
意して下さい。
 h 
  h  c 2  kT   h  d  kT 
exp
 1
 kT 
2k 4 4
x 3 dx
2k 4 4 
 4
 3 2T 
 3 2T
 T
hc
exp x  1 h c
15 
4
右の計算に出てくる定数σは、
σ = 2π5k4/15h3c2 ＝ 5.6696 10－8 W/m2/K4 = ステファン・ボルツマン定数
です。
黒体表面からのフラックス
 4
黒体輻射強度（Blackbody Intensity）が B (T )  T

と表わされることを前ページで習いました。黒体の表面からは等方的に
Ｂ(Ｔ)の輻射が放射されています。黒体表面に立てた法線ｎに対しθの方
向の輻射強度Ｂ(Ω）が表面から運び去るエネルギーを考えます。
前にも示したように、Ｂ(Ω)dΩdSがＢ(Ω)によるエネルギー流です。
ｎ
Ω
θ
ｄΩ
dＳ
θ
ｄＳ′
しかし、ｄＳは光線方向に垂直に立てた板ですから、黒体表面では
ｄＳ′＝ｄＳ/cosθ に相当します。つまり、黒体表面を通るエネルギー
量としては cosθ だけ薄まっているのです。
法線とθの角度をなす光線が表面から運び出すエネルギーには cosθ だけ
薄まっているので、全体としては
Ｆ＝∫ I(θ)cosθｄΩ
ｄΩ は右下の図からわかる
ように、
dΘ
dΩ＝ sinΘ・ dφ ・ｄΘ
です。
sinΘ
Θ
ｄΩ
黒体の表面から放射される輻射
強度は強度Ｂ(Ｔ)で等方的です。
Ｔ＝３００Ｋの黒体表面１ｍ２
から放射される輻射エネルギー
は何ワットでしょう？
dφ
φ
sinΘ・ dφ
太陽からのフラックス
地上から見る太陽は Ｔ＝６０００Ｋ， 視半径＝ 0.0046 ラジアンの黒体の円
板です。東京の緯度は約３６度ですから、夏至の正午には高度が約６０度にな
ります。あなたは巾1.5ｍ、長さ4mの黒塗りの車に乗っています。車のペイント
が黒体として、車は何Ｗのエネルギーを受けるでしょう。有効数字１桁。
ｎ
30°
ｄΩ
鏡の家
家の屋根と壁が全て鏡の家を考えて下さい。この家は夏には外からの輻射を
全て跳ね返します。では、冬はどうでしょう。前に壁の放射率Ｅと反射率Ｒの関
係が Ｅ＋Ｒ=1 であることを学びました。
鏡の家はＲ＝１ですからＥ＝０です。つまり、この家は熱を放射しません。です
から冬は暖房熱を全て封じ込めてしまうのです。
鏡の家の欠点は何でしょうか？
黒体輻射のエネルギー密度 U（Ｔ）
輻射強度はある面を通過して行く輻射エネ
ルギーを表わす量でした。
見方を少し変えて、ある瞬間に単位体積内
にある光子のエネルギーを足し合わせると
輻射エネルギー密度u（ν）が得られます。
単位体積当たりの光子の振動数空間での光子
の数密度は１０ページくらい前に出ていて、
u ( , T )  h   n( , )d  2
2 2
 h 3
c
8h 3

c3
ｎ（ ν, Ω） = Ｑ・ <S>
4
 h 
exp
 1
 kT 
1
 h 
exp
 1
 kT 
= （２/ｃ３） /[ｅｘｐ（ｈν/ｋＴ）-1]
となります。ここで、
Ｑ＝ （２/ｃ３） は振動子空間内での量子状態の数密度。
<S> ＝１ /[ｅｘｐ（ｈν/ｋＴ）-1] は振動数νの量子状態に入っている光子数
です。振動子空間の体積要素は ν２ｄΩｄνでしたから、振動数当たりのエネ
ルギー密度は、ｎ（ ν, Ω）・ｈν・ ν２ｄΩを全方向に積分して求まります。
u (ν、Ｔ) の形を見て、Ｂν（Ｔ）と同じじゃないかと思った人もいるでしょう。
実際、
u ( , T )  h   n( , )d  4  h  n( , )
B , T   c  h  n( , )
ですから、二つは ｎ（ ν, Ω）に何を掛けるかの違いしかありません。
u (ν、Ｔ) と Ｂν（Ｔ） は下の式で結ばれています。
c
B  , T  
 u ( , T )
4
U (T )   u ( , T ) d
したがって、黒体輻射の全エネルギー密度Ｕ（Ｔ）
は、 u (ν、Ｔ) を振動数で積分して右の式のよ
うになります。
4 8 5 k 4
16
a


7
.
5659

10
c 15c 3h3
J  m-3  K -4
は、輻射密度定数（radiation density constant）
と呼ばれます。
4

  B  , T  d
c
4  4

 T
c 
4 4

T
c
 a T 4
レーリー・ジーンズ近似 （ｈν/ｋＴ＜＜１）
x
h
hc 1.4388


 1
kT kT mT4


T 
 m 
, T4  4 
1m
10 K 

つまり、λ（μｍ）＞＞15,000/T(K) の時は、
Ｂ（Ｔ，ν）が下のような形で近似されます。
2h3
1
2h3 kT
 2 2kT
BT ,   2
 2
 2kT 2  2
c exp h   1
c h
c

 kT 
2hc2
1
2hc2 kT 2ckT
BT ,   5
 5
 4
ch
 exp ch   1


 kT 
下のグラフは黒体輻射のｘ３/(exｐ ｘ－１）をレーリージーンズ近似 ｘ２
と比べたものです。両者の差はｘ＝０．４ではまだ２０％あり、ｘ＝０．３
で１５％以下となる。ｘ＝０．３に対応する波長を見ると、
レーリージーンズ近似
x^2
x^3/(exp x -1)
ｘ＾２　or x^3/(exp x -1)
1
λ(μ）＞５０,０００/Ｔ（Ｋ）
0 .8
Ｔ（Ｋ）
λ（μｍ）
0 .6
100
500
0 .4
3,000
20
0 .2
10,000
5
30,000
2
0
0
0 .2
0 .4
0 .6
x
0 .8
1
黒体輻射のピーク
黒体輻射のピーク位置は、表現法で変わります。
B(ν)＝ [B(λ)λ/ν]＝ [B(λ)λ２/ｃ] なので、
λB(λ) ＝νB(ν)
B(ν)
B(λ)
図に見えるように、ピーク位置波
長はＢ（ν）が一番長く、Ｂ（λ）が
短く、Ｂ（λ）λが中間です。
ピーク波長を求めるため、輻射強
度を ｘ＝hν/ｋT で表します。
logλ
  B ( , T )    B ( , T )
2k 4 4
x4
 2 3T
ch
expx   1
2k 3 3
x3
B( , T )  2 2 T
ch
expx   1
2k 5 5
x5
B ( , T )  4 3 T
hc
expx   1
前ページの黒体輻射の表式を見ると、ピーク波長（振動数）は、
xn
expx   1
（ｎ＝３，４，５）
の極大に対応します。 数値的に極値を探した結果は以下のようになります。
x
1  exp( x)
dFn(x)
nxn1
x n exp(x)


dx
exp(x)  1 [exp(x)  1]2
４
３
２
nxn1[exp(x)  1]  x n exp(x)

[exp(x)  1]2
１
n[exp(x)  1]  x exp(x)
 x n1
0 ０
2
[exp(x)  1]
０
これがゼロになるのは、
１
２
３
Ｘ
x
 n の時です。右に書いたグラフから数値的に解を探します。
1  exp( x)
４
５
その結果が下の表です。
Bλ (T,λ)
n
5
Fn(x)
ｘ5/[exp(ｘ)-1]
ν Bν (T,ν) ＝ λ Bλ (T,λ)
Bν (T,ν)
4
ｘ4/[exp(ｘ)-1]
3
ｘ３/[exp(ｘ)-1]
ｘ(ピーク)
4.965
3.92
2.82
T 4 λμ
0.290
0.367
0.510
註： T4＝Ｔ/１０４Ｋ、
λμ ＝λ/１μｍ
良く使われるのは、波長表示のピーク T4λμ ＝０．３ という式です。
例えば、「人体が３００Ｋなので、ピーク波長は 10μｍである」というのは皆さ
んも聞いたことがあるでしょう。
太陽の表面温度は約６０００Ｋですから、そのスペクトルをT4＝０．６の黒体輻
射に近いと考えると、波長表示では０．５μｍ（青緑）、対数表示では０．６μｍ
（黄色）、振動数表示では０．８μｍ（見えない）がピークに対応します。
Ｇ．５．黒体輻射の数値表現
h=6.626×10-34 Js,
x
k=1.381×10-23 J/K,
h
hc 1.4388


kT kT mT4


T 
 m 
, T4  4 
1m
10 K 

B ( , T )
2h 3
 2
c
B ( , T )
1
 h 
exp
 1
 kT 
2hc2

5
x3
 1.33510 T
exp x   1
19
3
3.973107
m
W/m2 /Hz
3
x
 1.33510 T
exp x   1
7

ｃ＝2.998×108 m/s
3
1
Jy
W/m2 /Hz
 1.4388
 1
exp

 mT4 
3.9731019
1

Jy
3
 1.4388
m
 1
exp

 mT4 
3
1
 ch   1

kT



exp 
8
1.191 10

5
m
1
 1.4388
 1
exp 
 T 
 m 4 
W/m
2
/m
黒体輻射
25
レーリージーンズ領域
傾き一定、
log Ｂ（ν、Ｔ）　[Ｊｙ]
20
T=30000
T=10000
T=3000
T=1000
T=300
T=100
T=30
T=10
T=3
T=1
強さはＴに比例
15
10
ウィーン領域
傾きと強さが
5
大きく変化する
0
-2
-1
0
1
log λ(μ)
2
3
4
B(T,ν)ν＝ B(T,λ)λ もよく使われます。
  B ( , T )    B ( , T )
2 h 4
 2
c
1
2hc2
1
 4

 h 
 hc 
exp
exp
 1
 1
 kT 
 kT 
1
 kT  2h  h 
  2 

 h  c  kT  exp h   1


 kT 
2k 4 4
x4
 2 3T
c h
exp x   1
4
4
4
9
 2.782 10 T K 
x
4
exp x   1
8
1.191 10
1

4
 1.4388 
m
 1
exp 
 mT4 


W/m
W/m
2
2
Ｇ．６．熱輻射
壁の輻射吸収率A、反射率 R と放射率 K
左図で、輻射が壁と熱平衡と
なった場合を考えて下さい。
Ｅ・B(λ,T）＝放射光
熱平衡なので、壁の表面で、
入射光＝反射光＋放射光
温度T
I(λ）＝入射光
R・I(λ）＝反射光
I(λ）＝B(λ,T）
です。したがって、
B(λ）＝R・B(λ）＋Ｅ・B(λ）
つまり、
A・I(λ）
＝吸収光
A・I(λ）＋R・I(λ）＝I(λ）
A+R=1
したがって、A=Ｅ=(1-R)
R+K=1
です。
(a) 黒体
R=0 の表面はA=1であり、入射光を完全に吸収します。K=1
なので表面からはB(λ、T)の輻射が放射されます。
K＞１の表面は存在しません。すなわち、熱的な放射としては
物体の表面から黒体輻射以上の放射は起こらないのです。
（ｂ） 鏡面
R=１ の表面はK=０となるので、表面からの放射＝０ です。
表面が完全な鏡面の服や家は輻射熱の放出がゼロです。しか
も壁の厚さは関係ありません。ペラペラでいいのです。
（ｃ） 色の付いた物体
常温で赤い物体は0.6μｍより長い波長で反射率Ｒ（赤）が高く、
それより短い、 典型的には青い、波長で反射率Ｒ（青）が低いのです。
したがって、赤い物体は放射率Ｋ（赤）は低く、Ｋ（青）が高い、つまり
赤い物体自身が出す放射光は青いのです。
太陽からのフラックス
地上から見る太陽は Ｔ＝６０００Ｋ， 視半径＝ 0.0046 ラジアンの黒体の円
板です。東京の緯度は約３６度ですから、夏至の正午には高度が約６０度にな
ります。あなたは巾1.5ｍ、長さ4mの黒塗りの車に乗っています。車のペイント
が黒体として、車は何Ｗのエネルギーを受けるでしょう。
太陽からのフラックスは Ｆ＝∫Ｉ（Ω）cosΘｄΩです。
Ｉ（Ω）＝（σ/π）(6000)4、 σ＝ 5.6696 10－8 W/m2/K4 、Θ＝３０°、
ｄΩ＝π・0.0046２ を代入すると、
Ｆ = （5.67・１０－８/π）(６４・１０１２)・cos30°・（π4.62・10-6)
= (5.67・4.62・6４）（1.73/2）・10-2 W/m2
≒１.3 ｋＷ/m2
車は1.5×４＝６ｍ２だから、全体では１．３×６＝８ｋＷになる。
地球大気の吸収で太陽光が弱る効果も考えると５ｋＷ程度でしょう。これは周りの
照り返しなどは入っていません。