Transcript Probabilidade

Estatística
Probabilidade
Conceitos básicos de estatística,
probabilidade
(revisão)
Pontos mais importantes:
-espaço amostral, acontecimento, diagrama de Venn
-probabilidade e axiomas de probabilidade
-probabilidade condicional
-fórmula de Bayes
-independência dos acontecimentos
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Estatística
Antes de realizar uma experiência qualquer, (geralmente) não se
sabe o resultado exacto, mas temos conhecimento sobre os seus
possíveis “valores”.
- e.g. resultado dum exame, o tempo que demora chegar a
ESB, etc.
Espaço amostral, S: todos os resultados possíveis de
uma experiência estatística
-o resultado dum exame em termos qualitativos:
S={passar, chumbar}
-o resultado dum exame em termos quantitativos:
S={1, 2,…,19,20}
-o tempo necessário chegar a ESB:
S={0, }
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Acontecimento: um subconjunto
resultados) do espaço amostral
(conjunto
dos
-o resultado dum exame em termos qualitativos:
E={passar}
-o resultado dum exame em termos quantitativos:
F={10,11,…,19,20}
-o tempo necessário chegar a ESB:
G={t<30 min}
Acontecimento elementar: acontecimentos mutuamente exclusivos
(A ={20}; B ={19}; C ={18};... )
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Os acontecimentos formam um álgebra de Boole (álgebra de
subconjuntos):
-soma(união)/subtracção
-multiplicação
Diagrama de Venn:
S
F
G
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F  G - todos os elementos de F e G
Soma:
S
Exemplo: F={15-18}; G={18-20}
F
Subtracção:
G
F  G ={15-20}
F - G - os elementos de F que não aparecem em G
Exemplo: F={15-18}; G={18-20}
S
F - G ={15-17}
F
G
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Multiplicação (intersecção): F  G - todos os elementos de que
aparecem em ambos F e G
S
Exemplo: F={15-18}; G={18-20}
F
G
F  G ={18}
mutuamente exclusivo: F  G =0
Acontecimento complementar: Fc - todos os elementos de que não
aparecem em F
S
Exemplo: F={15-20}
F
Fc ={1-14}
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Probabilidade: qual é a probabilidade de passar no exame?
- o meu conhecimento da matéria é razoável, por isso, acho que
tenho 70% de probabilidade de passar no exame --> subjectivo
- nos anos anteriores, o mesmo professor chumbou em média 30 %
dos alunos que estudaram o mesmo tempo que eu, por isso tenho
70% de probabilidade de passar no exame --> frequencista
É um facto empírico, que a proporção de um acontecimento se
realizar numa experiência qualquer, aproxima-se de um valor
constante com o aumento do número de repetições. Esta
proporção chama-se probabilidade.
o número de acontecime ntos elementare s de E
P(E) 
o número de acontecime ntos elementare s de S
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Axiomas de probabilidade: suponha que ES
- I)
0P(E) 1
- II)
P(S)=1
 n  n
-III) Ei E j ( Ei  E j  0; i  j) P  E i    P( Ei )
 i 1  i 1
n  1,2,...., 
Consequências dos axiomas:
P(Ec)=1-P(E)
P(EF)=P(E)+P(F)-P(EF)
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Para um grande número de experiências, é natural que qualquer
acontecimento elementar de um espaço amostral (S={1,2,...N}) se
realize com a mesma probabilidade.
P(1)=P(2)=...=P(N)=p
1=P(S)=P(1)+P(2)+...+P(N)=Np
P(i)=1/N
Aplicando o Axioma III, a probabilidade de qualquer acontecimento
E, constituído por um conjunto de acontecimentos elementares
(E={1,2,...,n):
P(E)=n/N
O cálculo de probabilidades é um
problema de contagem de número
de resultados possíveis
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Suponha que existem r experiências. Exp.1 pode ter n1 resultados.
Para cada um desses resultado, exp.2 pode ter n2, etc. O número
total de resultados é n1 n2... nr.
Exemplo 1 (ordem de contagem relevante, permutação): Qual é o número mínimo das
pessoas (q) numa sala, para que a probabilidade de duas terem nascido no mesmo dia
seja 0,5?
-cada um pode nascer num dia qualquer: N=365*365*....*365=365q
-acontecimento: não haver duas p. que nasceram no mesmo dia:
-1ª: 365
n=365*364*...*(365-q+1)
-2ª: 364
-qª: 365-q+1
P(E)=n/N  0,5
q  23
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Exemplo 2 (ordem de contagem não relevante, combinação) : Um grupo de 6 “fans” do
FCP e 9 “fans” da Benfica querem ir a Algarve num carro. Ao escolher 5 “fans”, qual é a
probabilidade de serem 3 do FCP e 2 da Benfica?
- número de combinações total: N=
15  15!
  
 3003
5
10
!
5
!
 
- número de combinações de escolher 3 do FCP:
 6  6!
  
 20
3
3
!
3
!
 
- número de combinações de escolher 2 do B.:
 9  9!
  
 36
 2  7!2!
P=240/10010.24
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Probabilidade condicional: calcule a probabilidade dum
acontecimento quando já temos informação sobre o resultado parcial.
-No lançamento de dois dados temos: P(i,j)=1/36 i,j=1,2...6.
Suponha que no primeiro dado resultou 3, qual é a probabilidade
de a soma ser 8?
-acontecimento possíveis: (3,1), (3,2)...(3,6) ---->P=1/6
Cálculo de probabilidade condicional: P(E | F) 
F
EF
P(EF )
P(F)
P(EF)=P(F)P(E|F)
Exemplo: tempos 5 latas estragadas, 10
contaminados mas não estragados e 25 boas. Se
uma mostra aleatória resultou numa lata não
estragada, qual é a probabilidade de esta ser boa?
P(boa, não estragada) 25 40 5
P(boa | não esregada) 


35
P(não estragada)
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40
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Fórmula de Bayes: E e F são dois acontecimentos. E pode ser
escrita:
E=EFEFc
F
EFc
EF
Aplicando Axioma III temos:
P(E)=P(EF)+P(EFc)= P(E|F)P(F)+P(E|Fc)P(Fc)=
= P(E|F)P(F)+P(E|Fc)[1-P(F)]
Permite-nos calcular a P(E) sob condição de realização ou não
realização de F (ás vezes é difícil calcular P(E) directamente).
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Exemplo: Um método de detectar a doença de vacas locas é 99% eficaz quando
presente. Infelizmente resulta também em testes positivos para 1 % de vacas normais.
Sabendo que 0.5% das vacas têm a doença, qual é a probabilidade de uma vaca ter a
doença quando o teste deu resultado positivo?
-a vaca é louca : D;
-o teste é positivo: T
- P(T|D)=99% ;
P(T|Dc)=1% ;
------>P(D|T)?
P(D)=0.5%
P(DT )
P (T )
P(DT )  P(T | D)P(D)
P(D | T ) 
P (T )  P (T | D) P ( D)  P (T | D c ) P ( D c )
P(D | T ) 
P (T | D) P ( D)
 0.3322
c
c
P (T | D) P ( D)  P (T | D ) P ( D )
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A equação anterior pode ser generalizada. Suponha que temos
F1,F2,...Fn acontecimentos mutuamente exclusivos tal que:
n
F  S
i
i 1
Assim qualquer acontecimento E pode ser escrita: E 
n
 EF
i
i 1
n
n
i 1
i 1
P(E)   P(EFi )  P(E | Fi )P(Fi )
Imagina que E realizou-se. Qual é a probabilidade de Fj também se
realizar?
P(Fj | E) 
P(EFj )
P(E )

P(E | Fj )P(Fj )
n
 P( E | F ) P( F )
i 1
i
i
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Exemplo: Dos três fornecedores de certo produto para uma loja (em partes de 30%,
50% e 20% respectivamente), todos fornecem produtos com deficiências (7%, 5% e
4%) respectivamente). Tendo comprado um produto nesta loja e verificado que
apresentava deficiências, qual é o seu fornecedor mais provável?
-Fornecedores: FA; FB; FC
- P(FA)=30% ;
- P(D|FA)=7% ;
-Defeituoso: D
P(FB)=50% ;
P(D|FB)=5% ;
P(Fi | D) 
n
n
i 1
i 1
------>P(Fi|D)?
P(FC)=20%
P(D|FC)=4%
P(Fi D)
P ( D)
P(D)   P(DFi )  P(E | Fi )P(Fi )  0,07  0,3  0,05  0,5  0,04  0,2  0,054
P(FA | D) 
P(Fi D)  P(D | Fi )P(Fi )
P(D | FA )P(FA ) 0,07  0,3

 0,39
P(D)
0,054
P(FB | D) 
P(FC | D) 
P(D | FC )P(FC ) 0,04  0,2

 0,15
P(D)
0,054
P(D | FB )P(FB ) 0,05  0,5

 0,46
P(D)
0,054
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Acontecimentos independentes: nos exemplos anteriores
vimos que P(E|F)P(E). Independência é um caso especial de
acontecimentos que pode ser definida pela:
P(E | F) 
Características:
P(EF)
 P( E )
P(F)
P(EF)=P(E)P(F)
-se E e F são independentes E e Fc também são
-acontecimentos F1,F2,...Fn são independentes
se para todos os subconjuntos de Er for verdade:
P(F1,F2,...Fr)=P(F1)P(F2)....P(Fr)
rn
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