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適応信号処理技術
1.信号推定・判定の基礎
時系列信号
• 時系列とは
– 不規則に変動する物理過程の観測値を時間の
順に並べたもの
• 時系列の処理
– 予測
• 時系列における過去の観測値から将来の値を推定す
ること
– 推定
• 雑音に乱された受信信号系列から,その中に含まれ
る意味のある信号を抽出すること(フィルタリング)
– 波形の推定
– 送信データの推定(判定)
推定と判定
• 信号の推定(アナログ/ディジタル通信共通)
– 雑音に埋もれた信号の検出
– ひずみを受けた信号の補償
– Wienerフィルタ,Kalmanフィルタ
• 信号の判定(ディジタル通信固有)
– M源情報源(M個のシンボルで構成される情報源)
の判定
– ベイズの理論,最尤推定,MAP推定
線形自乗推定に基づく信号の推定
• 推定理論に適用されるシステム方程式が線形
• 雑音は白色・ガウス雑音
– 白色:電力スペクトル密度が一様
• 時系列データの変化の速度に関する規定
• 変動幅に関する情報は含まれない
– ガウス:電圧変動の確率密度関数がガウス分布
• 時系列データの変動幅に関する規定
• 時系列データの変化の速度に関する情報は含まれない
• 広義定常(平均と相関関数が時刻に無関係)
• 最小二乗規範
– 推定誤差の分散を最小化
最小自乗推定に基づく信号推定
【フィルタリング】
雑音 n(t)
信号 s(t)
+
受信信号 y(t)
^
適応 推定値 s(t)
フィルタ
推定誤差 e(t)
+
+
-
参照信号 (理想的にはs(t))
【補償】
信号
s(t)
雑音 n(t)
ひずみ
の発生
(伝搬路)
h(t)
+
受信信号 y(t)
^
ひずみ補償器 推定値 s(t)
(フィルタ)
^
推定誤差 e(t)
h(t)
ひずみの推定
(伝搬路推定)
+
+
-
参照信号
(理想的にはs(t))
2.ベースバンド信号の取り扱い
について
複素信号表示(1)
ー送信信号(数式表現)ー
変調された信号:
sT (t ) A(t ) cos(2f c t (t ))
A(t ) cos (t ) cos 2f c t A(t ) sin (t ) sin 2f c t
z I (t ) cos 2f c t zQ (t ) sin 2f c t
z(t ) z I (t ) j zQ (t )
z (t )e j 2f ct ( z I (t ) j zQ (t ))(cos2f c t j sin 2f c t )
( z I (t ) cos 2f c t zQ (t ) sin 2f c t )
j ( zQ (t ) cos 2f c t z I (t ) sin 2f c t )
sT (t ) Re[z(t )e j 2f ct ]
複素信号表示(2)
ー送信信号(回路表現)ー
複素
送信信号
z(t)
z(t )e
j 2f ct
実際の送信信号
Re[ ]
sT (t ) Re[z(t )e j 2f ct ]
e j 2f c t
複素モデル
回路
zI(t)
sT (t ) z I (t ) cos 2f ct zQ (t ) sin2f ct
cos 2f c t
/2
sin 2f c t
zQ(t)
+
複素信号表示(3)
ー復調(回路表現)ー
z(t )e j 2f ct
複素
受信信号
z (t )
複素モデル
e j 2f ct
回路
sT (t )
z I (t ) cos 2f c t zQ (t ) sin 2f c t
cos 2f c t
LPF
zI(t)
LPF
zQ(t)
/2
sin 2f c t
等価低域系表現(信号波形)
a(t ) Re[u(t )e
j 2f ct
1
] u(t )e j 2f ct u* (t )e j 2f ct
2
(フーリエ変換)
1
A( f ) [u (t )e j 2f ct u * (t )e j 2f ct ]e j 2ft dt
2
1
1 *
j 2 ( f f c ) t
u (t )e
dt u (t )e j 2 ( f f c ) t dt
2
2
*
1
1
j 2 ( f f c ) t
j 2 ( f f c ) t
u (t )e
dt u (t )e
dt
2
2
1
1 *
U ( f f c ) U ( f f c )
2
2
U(f)
A(f)
(1/2)U*(-f-fc)
(1/2)U(f-fc)
f
-fc
fc
f
等価低域系表現(伝送路特性)(1)
B(f)=U(f)H(f)
A(f) (1/2)B (f-f )
(1/2)B*(-f-fc)
c
=(1/2)U (f-fc)H (f-fc)
=(1/2)U*(-f-fc)H*(-f-fc)
f
-fc
1
1
A( f ) U ( f f c ) U * ( f f c )
2
2*
G( f ) H ( f f c ) H ( f f c ) ?
1
U ( f f c ) U * ( f f c ) H ( f f c ) H * ( f f c )
2
1
1
U ( f f c ) H ( f f c ) U * ( f f c ) H * ( f f c )
2
2
1
1
U ( f f c ) H * ( f f c ) U * ( f f c ) H ( f f c )
2
2
1
1
U ( f f c ) H ( f f c ) U * ( f f c ) H * ( f f c )
2
2
A( f )G ( f )
f
fc
ゼロ
等価低域系表現(伝送路特性)(2)
G ( f ) H ( f f c ) H * ( f f c )
h(t )e j 2 ( f f c )t dt
h(t )e
h(t )e
j 2 ( f f c )t
j 2f c t
dt
h (t )e
*
h(t )e j 2 ( f f c )t dt
h* (t )e j 2 ( f f c )t dt
j 2f c t
*
e
j 2ft
g (t ) 2 Re h(t )e j 2f ct
dt
2 Re h(t )e j 2f c t e j 2ft dt
G( f )
G(f)
H(f)
H*(-f-fc)
f
-fc
H(f-fc)
fc
f
帯域系と等価低域系の関係
a(t ) Re[u(t )e j 2f ct ]
g (t )
2 Re h(t )e j 2f ct
A( f )
(1 / 2)U ( f f c )
(1 / 2)U * ( f f c )
G( f ) H ( f f c )
H * ( f f c )
q(t ) Re[v(t )e j 2f ct ]
Q( f )
G ( f ) A( f )
1
1
V ( f f c ) V * ( f f c )
2
2
【帯域系】
【等価低域系】
u (t )
h (t )
v(t ) h(t ) u (t )
V ( f ) H ( f )U ( f )
U( f )
H( f )
3.線形フィルタ理論
(アナログフィルタ)
線形フィルタ理論(アナログ表記)(1)
ーモデルー
s(t) + n(t)
h(t)
^
s(t)
y (t ) s(t ) n(t )
sˆ(t )
h(t ) y( )d
h( ) y(t )d
【平均自乗誤差】
E[e 2 (t )]
2
E ( s (t ) sˆ(t )) E s (t )
E s (t ) 2
2
Rs (0) 2
h( ) y (t )d
h( ) E s (t ) y (t )d
h( ) Rsy ( )d
2
h( )h(u ) E y (t ) y (t u )ddu
h( )h(u ) R yy (u )ddu
最小化
線形フィルタ理論(アナログ表記)(2)
ー直交原理(自乗平均誤差の最小化)ー
s(t)
e(t) =s(t)-ay(t)
a.y(t)
y(t)
【問題】 y(t)からs(t)を推定する
【手法】 y(t)をa倍してs(t)に近づける(aの最適化)
【判定基準】 |e(t)|2を最小化
|e(t)|2が最小となるのはay(t)とe(t)が直交する場合
y(t )e(t )dt
y(t )[s(t ) aopt y(t )]dt 0
aopt y(t )s(t )dt
2
y (t )dt
線形フィルタ理論(アナログ表記)(3)
ー最適線形フィルタの算出ー
2
2
E[e (t )] E (s(t ) sˆ(t )) E s(t )
h( ) y(t )d
2
の最小化
上式ではすべてのy(a) (-∞<a<∞)の値を活用してs(t)を推定
y(t-a)とe(t)が直交化
E[ y (t a ) s (t )
h( ) y (t )d ] 0
Wiener-Hopfの方程式
Rsy (a )
h( ) R yy (a )d
線形フィルタ理論(アナログ表記)(4)
ー因果律ー
【因果律】
回路の出力は,信号が入力された後でないと発生しない
(負のインパルス応答は物理的にありえない)
h(t)
h(t)
+
遅延
(t0)
=
t
0
応答は
理論上
有限時間
(因果律は満足されない)
0
t0
t
現実
(因果律は満足される)
線形フィルタ理論(アナログ表記)(5)
ーWiener-Hopfの方程式の解ー
Rsy (a )
h( ) R yy (a )d
y (t ) s(t ) n(t )
Rsy (a ) Ey(t a )s(t ) E[s(t a )s(t )] E[n(t a )s(t )] Rs (a )
R yy (a ) E y (t a ) y (t ) E[s (t a ) n(t a ) ( s (t ) n(t ))]
E[ s (t a ) s (t )] E[ s (t a )n(t )] E[n(t a ) s (t )] E[n(t a )n(t )]
Rs (a ) Rn (a )
S sy ( f ) H ( f )S y ( f )
Ss ( f )
Ss ( f ) Sn ( f )
Ss ( f )
1
H( f )
Ss ( f ) Sn ( f ) 1 Sn ( f ) Ss ( f )
4.ウィーナフィルタのディジタル
フィルタへの展開
線形フィルタ理論(ディジタル表記)(1)
ーディジタルフィルタの応答ー
時刻
入力
t=0
t = Dt
t = 2Dt
.
.
.
t = kDt
x(0)Dt
x(Dt)Dt
x(2Dt)Dt
.
.
.
x(kDt)Dt
(アナログフィルタ)
Dt→0, kDt→
y (t )
x( )h(t )d
出力
.
.
.
t
x(kDt)Dt
x(kDt)Dth(t-kDt)
kDt
(ディジタルフィルタ)
t
h((n-k))
Dt=T, t = nT,
y(nT )
x(kT )h((n k ))T
k
h( ) x(t )d
x(t)
x(0)Dth(t)
x(Dt)Dth(t-Dt)
x(2Dt)Dth(t-2Dt)
yn
x h
k nk
k
h x
k nk
k
kDt
t
線形フィルタ理論(ディジタル表記)(2)
ーディジタルフィルタの構成ー
・インパルス応答の応答時間を有限とする
・遅延を許容して負のインパルス応答を実現する
xn+N
h-N
xn+N-1
T
xn+1
T
h-N+1
h-1
フィルタ外
の現在
T
xn
h0
T
h1
+
xn-1
xn-(N-1)
T
hN-1
hN
x
Tap Vector
フィルタ遅延
が計算可能
N
yn
xn-N Data Vector
n l hl
l N
未来
現在
過去
(フィルタ内の時計)
線形フィルタ理論(ディジタル表記)(3)
ーディジタルフィルタのベクトル表記ー
Data Vector
x n [ xn N , xn N 1 , ....., xn1 , xn , xn1 , ......, xn N ]T
Tap Vector
h n [h N , h N 1 , ....., h1 , h0 , x1 , ......, xN ]T
フィルタ出力
y n h T x n xT h n
xn
フィルタ
hn
yn
線形フィルタ理論(ディジタル表記)(4)
ー適応フィルター
y n s n wn フィルタ
h
(最適フィルタ?)
sˆn N
y n [ yn N , yn N 1 , ....., yn1 , yn , yn1 , ......, yn N ]T
h n [h N , h N 1 , ....., h1 , h0 , x1 , ......, xN ]T
sˆn hTn y n
T
推定誤差 en sn sˆn sn h n y n
フィルタ出力
|e|2が最小となるようにhを設定
線形フィルタ理論(ディジタル表記)(5)
ー最適タップ利得の導出ー
E[| en |2 ] E[| sn sˆn |2 ] E[| sn hTn y n |2 ]
E[| sn |2 ] hTn E[ sn* y n ] E[ sn y nH ]h*n hTn E[y n y nH ]h*n
E[| sn |2 ] hTn b n b nH h*n hTn R n h*n
R n E[y n y nH ]
bn E[sn*y n ]
h n h opt
n Dh とすると
T
T
T*
opt *
*
opt T
T
opt *
*
E[| sn |2 ] ((h opt
n ) Dh )b n b n ((h n ) Dh ) ((h n ) Dh ) R n ((h n ) Dh )
T
T*
opt *
opt T
opt *
E[| sn |2 ] (h opt
n ) b n b n (h n ) (h n ) R n (h n )
min
*
opt T
T*
T *
T
*
DhT (R n (h opt
)
b
)
((
h
)
R
b
)(
D
h
)
D
h
R
D
h
n
n
n
n
n
n
*
R n (h opt
n ) bn 0
T
(h opt
n )
R n bTn *
0
Non-negative
*
1
(h opt
)
R
n
n bn
線形フィルタ理論(ディジタル表記)(6)
ー適応フィルタアルゴリズム(最終形態)ー
y n s n wn フィルタ
h
(最適フィルタ?)
sˆn N
y n [ yn N , yn N 1 , ....., yn1 , yn , yn1 , ......, yn N ]T
h n [h N , h N 1 , ....., h1 , h0 , h1 , ......, hN ]T
T
sˆn (h opt
)
yn
n
*
1
(h opt
)
R
n
n bn
T*
opt H
sˆn (h opt
)
y
(
h
n
n
n ) yn
1
h opt
R
n
n bn
ディジタル型Wiener-Hopfの方程式
5.広帯域伝送における周波数
選択性フェージングの影響
マルチパス伝搬路
反射
反射
基地局
回折
散乱
遅延波の影響
送信波形
1
0
1
1
時刻
遅延時間が
0.1ビット長の場合
直接波
遅延波
合成波
遅延時間が
1ビット長の場合
時刻
時刻
時刻
直接波
遅延波
合成波
時刻
時刻
時刻
周波数選択性フェージング伝送路モデル
ー送信機ー
送信シン
送信ベース
ボル系列 送信フィルタ バンド信号
cT(t)
z (t )
a (t )
送信信号
sT (t ) Re[z(t )e j 2f ct ]
e j 2f c t
a(t )
a (t kT )
k
s
k
z (t ) cT (t ) a(t ) a(t ) cT (t )
a
k
k
a ( kT )c
k
s
T (t
k
( kTs )cT (t )d
a c
k T
k
(t kTs )
)d
周波数選択性フェージング伝送路モデル
ー伝搬路ー
送信信号
伝搬路
cc (t ) 2 Re[cB (t )e j 2f ct ]
sT (t ) Re[z(t )e j 2f ct ]
受信信号
sR (t ) Re[ z1 (t )e j 2f ct ]
等価低域系における処理により
z1 (t ) cB (t ) z (t ) (cB (t ) cT (t )) a(t )
送信フィルタと伝搬路の
合成インパルス応答
周波数選択性フェージング伝送路モデル
ー受信機ー
受信信号
sR (t ) Re[ z1 (t )e j 2f ct ]
e
y1 (t ) z1 (t )e j 2fct e
受信ベース
y1(t) 受信フィルタ バンド信号
cR(t)
y(t)
j 2 ( f c f off )t j (t )
j 2 ( f c f off )t j (t )
y (t ) z1 (t ) c R (t )e
z1 (t )e
j 2f off t j (t )
j 2f off t j (t )
(cT (t ) c B (t ) a(t )) c R (t )e
(cT (t ) (c B (t )e
j 2f off t j (t )
j 2f off t j (t )
) c R (t )) a(t ))
cT (t ) c g (t ) cR (t )
(cT (t ) c g (t ) c R (t )) a(t )) c(t ) a(t )
周波数選択性フェージング下の伝送路モデル
a(t) 送信フィルタ
cT(t)
受信フィルタ y(t)
cR(t)
伝搬路
cB(t)
e
y (t ) c(t ) a(t ) a(t ) c(t )
a
k
k
j 2 ( f c f off )t j (t )
a ( kT )c(t )d
k
s
k
( kTs )c(t )d
a c(t kT )
k
s
k
総合インパルス応答に含まれるもの
・送受信フィルタの特性(伝搬路特性の分解能を決定)
・伝搬路そのものの特性
・検波による位相ひずみ
等化器は全てのひずみを一括して補償する技術
6.判定帰還型等化器
判定帰還型等化器
等化フィルタ部
FF (Feed Forward)フィルタ
yn+N-1
yn+1
yn
yn+N
T
T
T
h N F
h N F 1
h-1
h0
FB (Feedback)フィルタ
an N B 1
a n 1
an N B
T
T
h1
hN B 1
hN B
..
.
+
タップ利
得制御部
誤差
推定部
0
sn
l N F
en an sn an h nH1y n 硬判定器
既知信号an
y
aˆ n
an
n l hl
NB
a
l 1
n l hl
等化メカニズム(1)
伝搬路特性(直接波>遅延波)
c(t ) (t ) (1 / 2) (t Ts )
受信信号
yn an (1 / 2)an 1
0
Ts
h0のタップ
(h0 = 1)
h0 yn = yn = an + (1/2)an-1
0
h1のタップ
(h1 = -(1/2)) 0
Ts
Ts
h1an 1 (1 / 2)an 1
他のタップはゼロ
等化出力
s n h0 y n h1a n 1
a n (1 / 2)a n 1 (1 / 2)a n 1 a n
等化メカニズム(2)
伝搬路特性(直接波<遅延波)
c(t ) (1/ 2) (t )
(t Ts )
0 Ts
h-1のタップ
(h-1 = 1)
h-2のタップ
(h-2 = -(1/2))
yn (1 / 2)an an 1
h-1 yn+1 = yn+1 = (1/2)an+1 + an
-Ts 0
-2Ts -Ts
h-3のタップ
(h-3 = (1/4)) -3Ts -2Ts
等化出力
受信信号
h 2 y n 2 (1 / 2) y n 2
(1 / 4)a n 2 (1 / 2)a n 1
h3 y n 3 (1 / 4) y n 3
(1 / 8)a n 3 (1 / 4)a n 2
s n h1 y n 1 h 2 y n 2 h3 y n 3
an (1 / 8)an 3
等化メカニズム(3)
• 直接波が強い→遅延波をキャンセル
• 遅延波が強い→直接波を抑圧
• 等化後の信号レベルが高くなるようにタップ
利得を設定すると,パスダイバーシチ効果が
得られる
最適タップ利得は?
(線形自乗推定)
カルマンアルゴリズム
T
y
[
y
,
y
,
.....,
y
,
y
,
a
,
......,
a
]
タップデータ n
n N F
n N F 1
n1
n
n1
n N B
タップ利得 h n [h NF , h NF 1, ....., h1, h0 , h1, ......, hNB ]T
h n [0, 0, 0, ......, 0, 1, 0, ......., 0]T
P0 I
【初期化】
sn h nH1y n
en an sn an h nH1y n
【出力と推定
誤差の計算】
k n Pn1y n (y nH Pn1y n ) 1
h n h n 1 en*k n
Pn (Pn1 k n y nH Pn1 ) /
【タップ利得
の更新】
nの更新
カルマンアルゴリズムとWiner-Hopfの方程式の関係
カルマンアルゴリズムにおける逐次更新式を変形すると,以下
の関係が得られる(説明略)
D. Godard, “Channel Equalization using a Kalman Algorithm for
Fast Data Transmission,” IBM J. Res. Develop., Vol. 18, No. 3,
pp. 267-273, May 1974.
1
n i
H
Pn y i y i
i 1
1
n n i
k n Pn y n / y i y iH y n
i 1
n
: 忘却係数
n i
H
hn yiyi
i 1
n
1
n n i *
ai y i
i 1
Wiener-Hopfの方程式
判定帰還型等化器の特徴
• 任意の変調方式に適用可能
– 演算量が変調多値数にほとんど依存しない
• 判定値に誤りがあると特性が劣化
– FBタップで遅延波が増幅される
• 伝搬路変動への追随性はλに依存する
7.フレーム化された信号に対す
るディジタル信号処理
連続信号と離散信号の関係 (1)
【アナログ信号】
Frequency
Time
【時間波形の離散化】
サンプル
間隔:Ts
fs = 1/Ts
....
....
Frequency
Time
【スペクトルの離散化】
f0 = 1/T0
T0
Time
Frequency
連続信号と離散信号の関係 (2)
【時間波形とスペクトル両者の離散化】
....
時間窓
t
....
周波数窓
f
FFTが対象とする時間領域
FFTが対象とする周波数領域
ディジタル信号処理をする上での前提条件
【時間波形】
・処理対象の波形は時間窓で抽出された波形
・抽出された波形は時間窓を周期とする周期関数
【スペクトル】
・処理対象は周波数窓で抽出される波形
・スペクトルは離散スペクトル
・スペクトル間隔は時間窓の逆数
・スペクトルは周波数上で繰り返される波形
・スペクトルの繰り返し周期はサンプル間隔の逆数
Cyclic Prefixの意義
-CPがない場合-
Previous
frame
直接波
遅延波1
遅延波2
0 Ts 2Ts
1-frame
FFT window
直接波 a-2 a-1 a0 a1 a2 . . . . . . .
an-2 an-1
遅延波1 a-2 a-1 a0 a1 . . . . . . .
遅延波2 a-2 an-1 a0 . . . . . . .
an-3 an-2
an-4 an-3
この部分に周期性がない
1-time slot進むごとにフレーム信
号を再定義し,最適フィルタを構
成しなければならない
Cyclic Prefixの意義
-CPがある場合-
1-frame
cyclic
prefix
直接波
遅延波1
遅延波2
0 Ts 2Ts
FFT window
直接波 an-2 an-1 a0 a1 a2 . . . . . . .
an-2 an-1
遅延波1 an-2 an-1 a0 a1 . . . . . . .
遅延波2 an-2 an-1 a0 . . . . . . .
an-3 an-2
an-4 an-3
この部分は(a0, a1, …, an-1)で
構成される
周期関数と見なせる
離散スペクトル(FFT)
Cyclic Prefixの意義
-フレーム信号の表現-
1-frame
cyclic
prefix
h0
直接波 h
1
遅延波1 h2
遅延波2
FFT window
h0 an-2 an-1 a0 a1 a2 . . . . . . .
an-2 an-1 a0 a1 . . . . . . .
h1
an-2 an-1
an-2 an-1 a0 . . . . . . .
an-4 an-3
h2
an-3 an-2
0 Ts 2Ts
y0 h0
y h
y 1 1
yn 1 hN 1
hN 1
h0
hN 2
h1 a0
h2 a1
h 0
h0 an
h1
h n 1 a Ha
巡回行列の性質 (1)
y0 h0
y h
y 1 1
y
n 1 hN 1
hN 1
h0
hN 2
h1 a0
h2 a1
h 0
h0 an
H
h0
h
h0 1
h
N 1
hN 1
h
h1 0
h
N 2
h1
h
….. h N 1 2
h0
h1
h n 1 a Ha
巡回行列の性質 (2)
【フーリエ変換行列】
(W 0 )0
1 (W 1 )0
F
N
N 1 0
(W )
(W 0 )1
(W 0 ) N 1
周波数0の成分抽出用行ベクトル
周波数(1/N)の成分抽出用行ベクトル
周波数(N-1/N)の成分抽出用行ベクトル
2
j
(W 1 ) N 1
, W e N ディジタル信号処理における
基本
周波数は規格化周波数
N 1 1
N 1 N 1
(W )
(W ) 周波数
に相当
ここは本来のDFTでは1/Nとなるが,このあとDFT
行列をユニタリ行列として利用するため,この係数
N 1 0 j
のみ,本来のDFTと異なるものを用いている
(W ) h j
(W 1 )1
(W 0 )0
1 (W 1 )0
Fh 0
N
N 1 0
(W )
(W 0 )0
1 (W 1 )0
Fh1
N
N 1 0
(W )
(W 0 )1
(W 1 )1
(W N 1 )1
(W 0 )1
(W 1 )1
(W N 1 )1
j 0
0
(W 0 ) N 1 h0
N 1
1 j
(W 1 ) N 1 h1
1 (W ) h j
1 1
j 0
N
N
(W N 1 ) N 1 hN 1
N 1
N 1
(W N 1 ) j h
j
j 0
(W 0 ) 0
(W 0 ) N 1 hN 1
1
(W 1 ) N 1 h0
1 (W )1
N
N 1
(
W
)
(W N 1 ) N 1 hN 2
N 1
巡回行列の性質 (3)
0
1 1
Fh 0
N
N 1
(W 0 ) 0
1
1 (W )1
Fh1
N
N 1
(
W
)
N 1
…..
(W 0 ) N 1 0
1 N 1
1 (W ) 1
Fh N 1
N
N 1 N 1
(
W
)
N 1
周波数特性における直線位相を表している
FH F[h 0 h1
H h0 h1
h N 1 ] Fh 0
Fh1
h N 1
0
W 00
2
W 11
1 1
H
FHF
N
N 1
N 1 W N 1
diag 0 1
N 1 Ξ
0
W 00
W 11
1 1
Fh N 1
N
N 1
W
N 1
N 1
(W 0 ) N 1 0 (W * )00
(W 1 ) N 1 1 (W * )01
(W N 1 ) N 1 N 1 (W * )0( N 1)
非対角成分は0となることに注意
(W * )10
(W * )11
(W * )1( N 1)
(W 0 ) N 1 0
(W 1 ) N 1 1
(W N 1 ) N 1 N 1
(W * )( N 1)0
(W * )( N 1)1
(W * )( N 1)( N 1)
巡回行列の性質 (4)
0 H 0
1 1 H1
Fh 0
N
H
N 1 N 1
0
FHF H
0
1
まとめ
フーリエ変換(DFT)
0
Ξ
N 1
F ΞF H
H
これはhの固有
値分解に相当
FF H F H F I N (INはN行N列の単位行列)
Fはユニタリ行列
巡回シフト行列の固有値はh0の周波数成分
巡回シフト行列の固有ベクトルはFFTベクトル
巡回シフト行列の意義
• 巡回シフト行列は,受信信号がフレーム単位
で周期信号であることに対応
– フレーム信号が仮想的に周期的に繰り返される
• スペクトルは離散スペクトルとなる
• 巡回シフト行列の固有値展開
– 固有値は伝搬路ベクトルの周波数成分
– DFT行列は固有ベクトルを並べたもの
ガードインターバルの付加と
シンボル単位のIFFT処理
【送信処理】
OFDM信号
の発生
0
Δf
2Δf
3Δf
4Δf
5Δf
Δf
Frequency
OFDM信号スペクトル
CP
の挿入
・一部を見れば
擬似周期波形
・全体を見れば
干渉のあるラ CP
ンダム波形
Δf
有効シンボル長
OFDMシンボル長
Frequency
CP挿入後のスペクトル
OFDM送信機基本構成
デ-タ
符号化
S/P
シンボル生成部
IFFT
CP
挿入部
フレーム化
直交
変調
...
シンボル
時間波形成分
Frequency
スペクトル
シンボル
時間波形成分
Frequency
スペクトル
Time
フレーム
時間波形
Frequency
スペクトル
送信信号処理の数式表現
デ-タ
符号化
S/P
シンボル生成部
IFFT
sf u
CP
挿入部
フレーム化
直交
変調
s FNH s f
T
送信されるベースバンドシンボル系列:u [u (0), u (1),..., u ( N 1)]
OFDMでは,uの各成分が各サブキャリアにマッピングされるので,
送信信号系列が離散スペクトルそのものを示す
s u
f
IFFT後の信号は,サイズNのDFT行列をFNで表す時,
s FNH s f で与えられる.
受信処理時のCPの効果(確認)
【受信処理】
CP
直接波
遅延波
1OFDMシン
ボルの切出し
FFT Window
FFT
処理単位
FFT Window内には,同一のシンボルからの波形のみ存在
・FFTではWindowサイズの時間波形が繰り返されていると仮定
- 周期波形とみなされる→線スペクトル化,サブチャネルの直交化
各サブチャネルの中央のチャネル利得のみで特性が決まる
OFDM受信機基本構成
デ-タ
P/S
FFT
CP
除去
フレーム
分解
直交
復調
...
シンボル
時間波形成分
Frequency
スペクトル
シンボル
時間波形成分
Frequency
スペクトル
Time
フレーム
時間波形
Frequency
スペクトル
シングルキャリア伝送の送信機構成と数式表現
データ
符号化
S/P
シンボル生成部
BSG
Cyclic
prefix
付加
フレーム化
直交
変調
u
T
送信されるベースバンドシンボル系列:u [u (0), u (1),..., u ( N 1)]
s f FN s
送信信号の時系列とスペクトル: s u
送信される
Tx時系列 Txスペクトル
ベースバンド信号
シングルキャリア
u
su
s f FN s
OFDM
u
s FNH s f
sf u
OFDMにおけるフェージング対策
Δf
Frequency
送信信号スペクトル
データ
復号
周波数
選択性
フェージング
チャネル
パイロットシンボル
を用いた補償方式
各サブチャネルの
振幅・位相歪補償
(flat fading 対策)
Frequency
Frequency
受信信号スペクトル
CP除去
FFT窓
の適用
Frequency
受信信号スペクトル
周波数領域等化の構成
送信機
データ
S/P
BSG
フレーム化
Cyclic
prefix
付加
直交
変調
受信機
データ
復号
周波数領域
等化
Cyclic
prefix
削除
直交
復調
FFT/IFFT
送信信号
1
xn
Nc
N c 1
X
ke
j 2kn / N c
受信信号
伝搬路
L 1
h(t )
L 1
hl (t l )
l 0
k 0
rn
h x
l n l
l 0
L 1
zn
FFT/IFFT
Xk
N c 1
x e
n
n 0
j 2kn / N c
FFT/IFFT
L 1
Hk
h e
l
l 0
n zn n
j 2k l / N c
h x
l n l
l 0
Rk H k X k k Z k k
Zk Hk X k
周波数領域等化器の構成
受信信号
周波数領域
離散フィルタ
{Wk}
Rk H k X k k
Zk k
ウェイト
(最小自乗規範)
制御部
誤差推定部
en xˆ n xn
1
Nc
N c 1
(W R
k
k 0
k
X k )e j 2kn / N c
Xˆ k Wk Rk
1
xˆ n
Nc
1
Nc
N c 1
Xˆ k e j 2kn / N c
Wk Rk e j 2kn / N c
k 0
N c 1
k 0
最小自乗規範に基づくウェイと制御アルゴリズム(1)
受信信号: Rk H k X k k Z k k
等化後の波形: Xˆ k Wk Rk
等化後の自乗平均誤差
N c 1
2
E[| en | ] 2 E
| Wk R k X k |
N c k 0
W k*
Wk
1
1
2
N c 1
W W E[| R
N c2 k 0
*
k
k
k
|2 ] Wk* E[ Rk* X k ] Wk E[ Rk X k* ] E[| X k |2 ]
E[| e n | 2 ] W k E[| R k | 2 ] E[ R k* X k ] 0
E[ Rk* X k ]
E[| Rk |2 ]
E[( H k* X k* *k ) X k ]
E[( H k* X k*
*k )( H k X k
k )]
H k* E[| X k |2 ]
| H k | E[| X k | ] E[| k | ]
2
2
2
H k*
| H k |2 1 / k
最小自乗規範に基づくウェイと制御アルゴリズム(2)
等化出力と等化誤差
【等化出力】
Z k Wk Rk
H k*
| H k | 1 / k
2
(H k X k k )
| H k |2
| H k | 1 / k
2
Xk
H k* k
| H k |2 1 / k
E[| Rk |2 ] E[| X k |2 ](| H k |2 1/ k )
E[ Rk* X k ] H k* E[| X k | 2 ]
E[ Rk X k* ] H k E[| X k | 2 ]
【等化誤差】
E[| e n | 2 ]
1
N c2
1
N c2
N c 1
| H k |2
Hk
H k*
2
*
*
2
E
[|
R
|
]
E
[
R
X
]
E
[
R
X
]
E
[|
X
|
k
k k
k k
k
2
2
(| H | 2 1 / ) 2
|
H
|
1
/
|
H
|
1
/
k
k
k
k
k
k
k 0
N c 1
1/ k
1
2
E
[|
X
|
]
k
2
Nc
k 0 | H k | 1 / k
N c 1
| H
k 0
1/ k
| 1 / k
2
k
E[| X k | 2 ]
1
Nc
Nc
N c 1
| H
k 0
1/ k
| 1 / k
2
k
sk2
8.ビタビ復号
畳込み符号化と系列推定
• 符号化
– 畳込み符号化によって隣接するビット系列に一定の関係付
けをすることにより,ビット系列に一定の拘束を与える
– ビット系列の拘束により,発生し得ない系列が発生する
– 発生し得ない系列の存在により,符号語間の距離が拡大さ
れる(符号化利得の発生)
• 系列推定
– ビット系列をトレリス図で表される状態遷移系列に置換える
– 状態遷移系列の拘束を,状態間の状態遷移の有無で表す
– 最尤系列に基づいて送信された系列を推定する
畳込み符号化とトレリス図
状態(n)
an
c1n
00
+
T
T
+
n – 1 an
0 = 00 0
1
1 = 01 0
1
2 = 10 0
1
3 = 11 0
1
n
00
10
00
10
01
11
01
11
0 = 00
11
11
01
3 = 11 10
1 = 01
10
01
00
2 = 10
an = 0
状態に合 状態遷移図 an = 1
流するパ (n – 1)
n
スの入力 0 00
0
11 11
ビットは
1
00 10 1 時系列
同じ値
2 01 01 2 の概念
の導入
2回0が続
3
くと状態0 3 10
に至る
トレリス図
状態(n-1)
cn2
(c1n, c2n)
00
11
11
00
10
01
01
10
時系列の
概念なし
ビット系列と状態遷移系列
終端用ビット
送信ビット系列an:
1
0
1
1
0
11
11
1
0
0
10
00
2
01
01
3
符号語系列:
(c1n, cn2)
状態遷移系列:
11
0
10
2
01 01
00
1
2
3
11
1
0
最尤系列推定の原理(1)
p ( y | a0 )
1
2
e
( y a0 ) 2
2 2
p( y | a1 )
1
2
e
( y a1 ) 2
2 2
y
a 0 y1 a 1
ML推定
存在し得る系列{cn} = {c1, c2, …, cN}, cn {a1 , a0 }の中で
1
p({ yn } | {cn })
2
N N
e
( yi ci ) 2
2 2
i 1
が最大となる系列{cn}を推定するアルゴリズム
最尤系列推定の原理(2)
1
p({ y n } | {cn })
2
1
2
N N
i 1
N N
e
( yi ci ) 2
2 2
i 1
yi2
exp
2 2
ci2
exp
2 2
ciに無関係
N
i 1
{yn}と{cn}の
相関計算に
相当
N
i 1
exp yi ci
2
2
定数
y i ci
exp 2 が最大の系列{cn}を推定
2
Turbo符号との
yi ci が最大の系列{cn}を推定
比較のポイント
最尤系列推定の問題点とビタビアルゴリズム
• 最尤系列推定
– Nビットの系列を推定する場合,候補となる系列の数は,
2N通り
– 推定するべきビット数が多くなると非現実的な候補系列数
となる
• ビタビアルゴリズムの特徴
– 生残りパスの選択
• 生き残らないパスの計算を行わない
(1つの状態に至るパスを1つに絞る)
• パス履歴の更新(ある状態に至る経路は1通りなので,その状態
遷移系列と入力ビット系列は1対1に対応
– 終端処理
• 送信データ系列の最後の(K – 1)ビットを0とすることで,最終状態
を状態0に持っていく
ビタビアルゴリズム(事前準備)
終端ビットに対応
10
00
01
受信符号 11
語系列: 1.2, 0.6 -0.3, 0.1 -0.8, -0.9 -0.4, 0.6 -0.2, 0.2 0.2, -0.1
0
1
2
3
ビタビアルゴリズム(第1段)
受信符号
語系列:
0
0
J ( 0 ) 0
1.2, 0.6
BR( 00 , 10 ) 1.2 (1) 0.6 (1)
-1, -1
1
J ( 11 ) 0
J ( 01 ) 0
2
2
J ( 0 )
BR( 00 , 10 )
0 1.2 (1) 0.6 (1)
3
J ( 03 ) 0
J (10 ) J ( 00 ) BR( 00 , 10 ) 1.8
J (12 ) J ( 00 ) BR( 00 , 12 ) 1.8
J ( 13 ) 0
ビタビアルゴリズム(第2段)
J ( 20 ) J ( 10 ) BR( 10 , 20 )
受信符号語
J (10 ) 1.8
0
1
J ( 12 ) J ( 12 ) BR( 12 , 12 )
J ( 11 ) 0
1.8 (0.3) (0.1) 1.4
J ( 22 ) J ( 10 ) BR( 10 , 22 )
2
J ( 12 ) 1.8
3
1.8 (0.3) (1) (0.1) (1)
-0.3, 0.1 1.6
-1, -1
J ( 13 ) 0
1.8 (0.3) (0.1) 2.0
J ( 23 ) J ( 12 ) BR( 12 , 23 )
1.8 (0.3) (0.1) 2.2
ビタビアルゴリズム(第3段)
ー生残りパスの処理ー
受信符号語
0
-0.8, -0.9
A1 -1, -1
-1.6
1
1.4
2
3
-2.0
2.2
生残りパス
A1: J ( 30 ) J ( 20 ) BR( 20 , 30 ) 0.1
0.1 A2:J ( 0 ) J ( 1 ) BR( 1 , 0 ) 0.3
3
2
2
3
1
2
2
A3:J ( 3 ) J ( 2 ) BR( 2 , 31 ) 1.9
J ( 31 ) J ( 23 ) BR( 22 , 31 ) 2.1
A4:
2.1
A5:J ( 32 ) J ( 20 ) BR( 20 , 32 ) 3.3
A6: J ( 32 ) J ( 12 ) BR( 12 , 32 ) 3.1
3.1 A7:J ( 3 ) J ( 2 ) BR( 2 , 3 ) 2.1
3
2
2
3
A8: J ( 33 ) J ( 23 ) BR( 23 , 33 ) 2.3
1, -1 A8 2.3
ビタビアルゴリズム(第4段)
受信符号語
生き残らない
0
1
2
3
0.1
2.1
3.1
2.3
-0.4, 0.6
B1 -1, -1
0
0
0
0
J
(
)
J
(
)
BR
(
,
) 0.1
B1:
4
3
3
4
2.3
B2: J ( 40 ) J ( 31 ) BR( 31 , 40 ) 2.3
B3: J ( 14 ) J ( 32 ) BR( 32 , 14 ) 2.1
3.3 B4: J ( 14 ) J ( 33 ) BR( 33 , 14 ) 3.3
B5: J ( 42 ) J ( 30 ) BR( 30 , 42 ) 0.3
B6: J ( 42 ) J ( 31 ) BR( 31 , 42 ) 1.9
1.9 B7: J ( 3 ) J ( 2 ) BR( 2 , 3 ) 4.1
4
3
3
4
B8: J ( 43 ) J ( 33 ) BR( 33 , 43 ) 1.3
1, -1 B8 4.1
ビタビアルゴリズム(第5段)
受信符号語
0
1
2
3
-0.2, 0.2
C1 -1, -1
0
0
0
0
C1:
J
(
)
J
(
)
BR
(
,
) 2.3
5
4
4
5
2.3
3.3
C2: J ( 50 ) J ( 14 ) BR( 14 , 50 ) 3.3
C3: J ( 51 ) J ( 42 ) BR( 42 , 51 ) 1.5
3.3
4.5 C4: J ( 51 ) J ( 43 ) BR( 43 , 51 ) 4.5
1.9
4.1
終端ビットなので0のみのパスを考えればよい
ビタビアルゴリズム(第6段)
受信符号語
0
1
0.2, -0.1
D1: -1, -1
3.3
D1: J ( 50 ) J ( 40 ) BR( 40 , 50 ) 3.2
D2: J ( 60 ) J ( 51 ) BR( 51 , 60 ) 4.6
4.5
2
3
終端ビットなので0のみのパスを考えればよい
ビタビアルゴリズム
ー最終判定ー
0
1
2
3
送信ビット 0 2 1 2 3 1 0
1 1 0 0
判定結果:
1 0
ビタビアルゴリズムの特徴
• 各時刻における各状態のメトリックは,ブラン
チメトリックの累積値
– 各ビットの尤度情報は蓄積されない
– 系列全体の推定のみを行っている
– (iterativeではないので各ビットの尤度情報は不
要)
• 事前情報が活用できない場合の最適推定と
なっている
9.ビタビ等化器
ビタビ復号とビタビ等化
• ビタビ復号
– 送信機側で畳み込み符号化(Modulo 2の演算での畳込
み)された符号語系列を,最尤復号するアルゴリズム
– トレリス図における各ブランチの出力は,当該ブランチの
遷移に伴って発生する符号語に相当
• ビタビ等化
– 伝搬路が周波数選択性フェージングと見なせる場合,その
特性は複素インパルス応答(複素遅延プロファイル)で規
程する
– 符号語系列が複素遅延プロファイルによってアナログ的
に畳込み積分されたと見なす
– トレリス図における各ブランチの出力は、当該ブランチの
遷移に伴って発生する受信信号の推定値に相当する
• ビタビ復号とビタビ等化の相違点
– 各ブランチの出力
– ブランチメトリックの演算
– その他は全く同じ
ビタビ等化におけるトレリス遷移図(BPSK)
暗黙で(1, 0)→(1, -1)と変換する
入力
s(kT)
T
T
h0
1
0 = 00
(-1, -1)
状態
+
yk
受信信号,受信信号のレプリカとも,
送信系列とh(t) の畳込みで計算
状態s’: ( xˆ k 1 , xˆ k 2 )
状態遷移k(s’,s)を発生
させる符号語ビット: xˆ k
k–1
k
-1.75
1 = 01
(-1, 1)
h2
0.25
h1
0.5
yk
2 = 10
(1, -1)
3 = 11
(1, 1)
1.75
状態遷移k(s’,s)に伴う出力:
yˆ k ( ks '1 , xˆ k )
2
h xˆ
l k l
l 0
ブランチメトリックとメトリックの計算
ーまとめー
0
k
J k ( k0 )
1
J k ( 1k )
2
3
k+1
BR( k0 , k21 )
J k 1 ( k21 )
BR( 1k , k21 )
s'
s'
s
J k 1 ( ks 1 ) smin
J
(
)
BR
(
,
k
k
k
k 1
'
s
k k 1
BR( ks' , ks1 ) ( yk 1 yˆ k 1 ( ks' , xk 1 )) 2
受信信号
受信信号のレプリカ
10.MAP推定
MAP推定の基本
受信信号yが得られたとき,送信された確率の高いシンボルを
送信されたシンボルと判定する推定方式
H1
基本ルール: p(a1 | y ) >
< p ( a0 | y ) p ( ai | y )
H0
等価
p ( y | a1 ) p ( a1 ) H1
>
< 1
p ( y | a0 ) p ( a0 ) H0
Turboアルゴリズム
で最も重要な意味を
持つ項
p ( y | a1 ) H
1
>
< 1
p ( y | a0 ) H0
p ( y | ai ) p ( ai )
p( y )
ベイズの定理
p ( a1 )
1
p (a0 )
ML推定
MAP推定における事前確率の意義
• 復号処理が1回のみの場合
– 事前確率は未知なので,p(a1)/p(a0)=1と仮定せざ
るを得ない
– MAPとMLは等価
• 復号処理をiterativeにする場合
– 1回目の処理ではp(a1)/p(a0)=1
– 2回目以降では, 前回の試行によってp(a1)/p(a0)
は1ではなくなる
– MAPに基づくiterative処理が有利
Turboアルゴリズムの根拠
MAP推定に基づく復号
ー1つの復号器における処理ー
p(ak 1 | y )
L(a k | y ) ln
LLR(Log Likelihood Ratio)
p (a k 1 | y )
1
p (a k 1, y ) / p (y )
p (a k 1, y ) H
>
ln
ln
< 0
p (a k 1, y ) / p (y )
p (a k 1, y ) H0
y :全受信系列{y1, y2, …, yN}
akの情報をできるだけ
多くの受信シンボルに
拡散することが推定効
果を高める
全受信系列から
akを推定する
RSC (Recursive Systematic
Coding)の適用
=
無限に近いインパルス
応答を有する符号化
MAP推定のための符号化器
ーRSC符号化器ー
cn1 = an
an
+
bn+2
T b T
n+1
bn
+
cn2
bn 2 an bn 1 bn
(an bn bn 1 bn 2 )
cn2
bn 2 bn
bn
1
z z 1
z2 1
z z 1
2
2
an
an
インパルス応
答時間を長く
する効果
FIR型符号化器とRSC型符号化器
【FIR型】
【RSC型】 1
cn = an
c2n – 1
+
an
T
T
an
+
cn1
cn2
= (1+z-1 + z-2)an
= (1 + z-2)an
(n – 1)
0 00
11 11
1
00 10
2 01 01
3
10
n
0
1
2
3
+
bn+2
c2n
状態に合
流するパ
スの入力
ビットは
同じ値
2回0が続
くと状態0
に至る
T b T
n+1
bn
+
cn2
(n – 1)
0 00
11 11
1 00 10
201 01
3
10
n
0
1
状態に合
流するパ
スの入力
ビットは
異なる値
2 2回0が続い
3 ても状態0
に至らない
LLRの式変形(1)
p(ak 1, y )
p( s
k 1
s' , sk s, y ) について
( s 's )
ak 1
p( sk 1 s' , sk s, y ) p( sk 1 s' , sk s, y j k , y k , y j k )
p(y j k | sk 1 s' , sk s, y j k , y k ) p( sk 1 s' , sk s, y j k , y k )
p(y j k | sk s) p( y k , s k s | sk 1 s' , y j k ) p( sk 1 s' , y j k )
p(y j k | sk s) p( y k , s k s | sk 1 s' ) p( sk 1 s' , y j k )
k (s )
k (s' , s)
a k 1 ( s ' )
a k 1 ( s' ) : 時刻k-1以前で受信系列がyj<kであり,それによって
時刻k-1において状態s’に至る確率
k ( s' , s) : 時刻k-1の状態がs’の時,時刻kで状態sに遷移する確率
k (s) :
時刻kの状態がsの時,それ以降の受信系列がyj>kである
確率
LLRの変形(2)
a, , の物理的解釈
0
1
2
0
1
2
3
....
a k 1 ( s ' )
k (s' , s)
k–1 k k+1
N–1 N
s’
....
....
s
3
yj<k
[y1, y2, …, yk – 1]
....
yk
k (s )
yj>k
[yk + 1, yk + 2, …, yN ]
LLRの変形(3)
ー基本式ー
p( sk 1 s' , sk s, y )
s ' s
ak 1
p(ak 1, y )
L(ak | y ) ln
ln
p( s k 1 s' , s k s, y )
p(ak 1, y )
s ' s
ak 1
a k 1 ( s ' ) k ( s' , s) k ( s)
s ' s
ak 1
ln
a k 1 ( s' ) k ( s ' , s) k ( s)
s ' s
ak 1
ak – 1 (s’), k(s’, s), k(s)をどのように求めるか?
逐次更新型へ
LLRの変形(4)
ak–1(s’)の計算
a k ( s) p( sk s, y j k 1 ) p( sk s, y j k , y k )
p( s
k
周辺確率
all s '
p( s
s, sk 1 s' , y j k , y k )
k
s, y k | sk 1 s' , y j k ) p( sk 1 s' , y j k )
k
s, y k | sk 1 s' ) p( sk 1 s' , y j k )
all s '
p( s
all s '
all s '
k ( s ' , s )a k 1 ( s ' )
a k ( s)
LLRの変形(5)
k (s' , s)a k 1 (s' ) の具体的計算
all s '
2(0,0) 3(0,0)
(0,0)
1
0
a2(0)
a1(0)
a0(0)=1
1
2
3
a2(1)
a1(2)
a3(0)
a1(0)=a0(0)1(0,0)= 1(0,0)
a1(2)=a0(0)1(0,2)= 1(0,2)
a2(0)=a1(0)2(0,0)
a2(1)=a1(2)2(2,1)
a3(0)=a2(0)3(0,0)
+a2(1)3(1,0)
LLRの計算(6)
ーk(s)の計算ー
k 1 ( s ' ) p(y j k 1 | s k 1 s ' )
p(y
j k 1 , s k
all s
p( y , y
k
j k , sk
s | s k 1 s ' )
周辺確率
s | s k 1 s ' )
all s
p( y , y
k
j k , s k 1
s ' , s k s ) / p ( s k 1 s ' )
all s '
p( y
j k
| s k 1 s ' , s k s, y k ) p ( s k 1 s ' , s k s, y k ) / p ( s k 1 s ' )
j k
| s k s ) p ( y k , s k s | s k 1 s ' )
all s '
p(y
all s '
all s '
k ( s ) k ( s ' , s )
k 1 (s' )
LLRの計算(7)
k (s) k (s' , s) の具体的計算
all s '
N-2(0,0) N-1(0,0) N(0,0)
0
N-2(0) N-1(0)
N-3(0)
1
2
3
N-1(1)
N-2(2)
N(0)=1
終端されてい
ることが条件
N-1(0)=N(0)N(0,0)
N-1(1)=N(0)N(1,0)
N-2(0)=N-1(0)N-1(0,0)
N-2(2)=N-1(1)N-1(2,1)
N-3(0)=N-2(0)N-2(0,0)
+N-2(2)N-2(0,2)
LLRの計算(8)
終端について
N–2
0
1
2
3
N
N-2の状態から終端用ビット
(2ビット)を決定する
(N – 2)の状態
終端ビット
0
00
1
10
2
11
3
01
11.Turboアルゴリズム
LLRの計算(9)
ー(s’, s)の計算ー
k ( s' , s) p( y k , sk s | sk 1 s' ) p( y k , sk 1 s' , sk s) / p( sk 1 s' )
p( y k | sk 1 s' , sk s) p( sk 1 s' , sk s) / p( sk 1 s' )
符号語
を表す p( y k | sk 1 s' , sk s) p( sk s | sk 1 s' )
p( y k | sk 1 s' , sk s) p(ak )
事前確率
2
p( y k | sk 1 s' , sk s)
2
l 1
l 1
y l rcl
1
exp k 2 k
2
2
1
2
2
1
exp
2 2
r
C exp 2
2
l 1
p( y kl | ckl )
2
1
2
rは受信包絡線レベル
1
exp
2 2
2
r2
l 2
( y k ) exp
2 2
l 1
2
Lc
l l
y k ck C exp
2
2
l 1
y kl ckl
2
l 1
y kl
l 2
rck
2
1
l 2
l l
(ck ) exp
( 2r )
y k ck
2 2
l 1
l 1
2
MLのブランチ
メトリックと同じ
LLRの計算(10)
ー(s’, s)の意義ー
p(ak)が不明の場合は
k (s' , s)
p(a1)=p(a0)=1/2なので
p (y | s k 1 s ' , s k s ) p (a k ) p(ak)の乗積は無意味
(iterativeで意味を持つ)
a
k 1 ( s' ) k ( s' , s) k ( s)
の意義は?
s 's
ak 1
k(s)
ブランチにおける遷移確率に加えて,
ak-1(s’)
1) その遷移に至る確率 a k 1 ( s ' )
2) そこから終端の状態に至る確率 k (s )
を掛算することで,その遷移が発生する確率を算出
符号の拘束が効いてくる(符号系列が意味を持つ)
LLRの計算(11)
p(ak)の取扱い
Turbo符号の復号においては,すべてLLRの計算で一貫性
を持たせたい(と,多分考えたはず)
p(ak)をL(ak)で
表すには?
p(ak 1)
p(ak 1)
p(ak 1)
p(ak 1)
L(ak ) ln
ln
1 p(a 1)
p
(
a
1
)
k
k
e L ( ak )
1 e L ( ak )
1
1 e L ( ak )
e L ( ak ) / 2
1 e L ( ak )
e L ( ak ) / 2
1 e L ( ak )
e L ( ak ) / 2 Deak L ( ak ) / 2
e L ( ak ) / 2 Deak L ( ak ) / 2
p(ak ) Deak L(ak ) / 2 p(ak)をL(ak)で表す式
LLRの計算のまとめ(1)
伝搬路特性の測定 受信信号系列
Lc
y
ブランチ情報 事前情報
ck l ak
L(ak)
Lc
ak L(ak )
k (s' , s) CD exp
exp
2
2
a k ( s)
k ( s' , s)a k 1 (s' )
2
ykl ckl
l 1
k 1 (s' )
(s)
k
all s
all s '
a k 1 ( s' ) k ( s' , s) k ( s)
s ' s
ak 1
L(ak | y ) ln
a k 1 ( s' ) k ( s' , s) k ( s)
s 's
ak 1
k ( s' , s)
LLRの計算のまとめ(2)
ーLLRの分母と分子の計算ー
k0 – 1
k
k0 – 1
k
k–1
0
1
1
1
2
2
2
3
3
ak = 1による遷移
状態遷移図
a k 1 ( s' ) k ( s' , s) k ( s)
s ' s
ak 1
L(ak | y ) ln
a k 1 ( s' ) k ( s' , s) k ( s)
s 's
ak 1
k
3
ak = – 1による遷移
Turbo符号のための符号器構成
1
ck
Component
Encoder (1)
変調器へ
Interleaver
2つの系列
のパリティ
ビット間の
相関を低く
するため
ck2
Multiplexer
1‘
ck
Component
Encoder (2)
2‘
ck
送信不要
+
T
+
T
Turbo復号のための準備(1)
ーk(s’, s)の変形ー
組織符号
a k L( a k )
Lc 1 1
Lc 2 2
k ( s' , s) CD exp
y k ck exp
y k ck
exp
2
2
2
a k L( a k )
Lc 1
CD exp
y k ak k ( s ' , s )
exp
2
2
Turbo復号のための準備(2)
ーLLRの変形ー
L ( ak ) 1
Lc y1k
2
2
a k 1 ( s ') k ( s ', s) k ( s)
a
(
s
')
e
e
(
s
',
s
)
(
s
)
k 1
k
k
s ' s
sa'1s
ak 1
k
ln
L(ak | y ) ln
L ( ak )
1
1
Lc yk
a k 1 ( s ') k ( s ', s) k ( s)
2
2
a
(
s
')
e
e
(
s
',
s
)
(
s
)
s ' s
k 1
k
k
a
1
s
'
s
k
ak 1
a k 1 ( s ') k ( s ', s) k ( s)
1
s ' s
e Lc yk / 2
e L ( ak ) / 2
a
1
L(a ) L y1 L (a )
ln L ( ak ) / 2 ln L y1 / 2 ln k
k
c k
e
k
c k
e
a
(
s
')
(
s
',
s
)
(
s
)
k 1 k
k
e
s ' s
ak 1
事前情報
チャネル
情報
外部情報
符号語の1ビット目が情報ビットに等し
いことを利用してチャネル情報を抽出
これがComponent decoder
で計算される
Component decoderの構成
逐次処理の中で変化がな
い値(累積してはいけない)
受信信号系列 y
y1k
Component
Decoder
y2k
L( a k | y )
L(ak)
(初期値は0)
L(ak ) Lc y1k Le (ak )
Turboアルゴリズ
ムではここが更新
される(累積しては
いけない)
L(ak|y)
-
外部情報
+ L (a )
e k
=L(ak|y)-L(ak)-Lcy1k
最終的な復号は
この値を用いる
逐次処理におけ
る不要な累積を
避けるため
Turbo復号器の構成
y1k
Le1 (ak)
y2k
Interleaver
Component L1(ak|y)
+
Decoder
(1)
1
L (ak)
Interleaver
Le2 (ak)
L2(ak)
2
De-interComponent L (ak|y)
+
leaver
Decoder (2)
y2k‘
y1k‘
外部情報を他の復号器の事前情報として入力
することの意義
• 外部情報はL(ak)と相関があるので, L(ak)の
代表値として利用可能である
• 他の復号器に供給される情報は,当該復号器
で生成される外部情報と相関の低い物理量か
ら算出されることが望ましい
– 符号化利得が高くなる
– 符号化時のインタリーバによって容易に実現可能
Turbo復号におけるiterationの効果
k ( s' , s)
p(yk| sk 1 s' , sk s) p(ak )
p(ak )
e
L ( ak ) / 2
1 e L ( ak )
a k L( a k )
exp
2
(k – 1)
ak-1(0)
k(s)
ak-1(s’)
k
k(0)
k(1)
k(2)
k(3)
L(ak|y)
a
(
s
'
)
(
s
'
,
s
)
(
s
)
k
1
k
k
s
'
s
a 1
1
L(a k | y ) L(a k ) Lc y k ln k
a k 1 ( s ' ) k ( s ' , s ) k ( s )
s ' s
a 1
k
信頼度が
改善する項
Component Encoderにおける終端処理
終端の目的:k(s)の逐次計算の際, N(0)=1として計算を開始
できるようにするため
N-2(0,0) N-1(0,0) N(0,0)
N-2(0) N-1(0)
N-3(0)
0
1
2
N(0)=1
N-1(1)
N-2(2)
3
Component Encoderの終端はどうする?
Turbo符号化器の終端処理
終端ビット
符号語(組織符号部)
(M bit)
符号語(パリティ部)
(M bit)
データ(M bit)
1
ck
Component
Encoder (1)
変調器へ
Interleaver
データ(M bit)
ck2
Multiplexer
1‘
ck
Component
Encoder (2)
ck2
‘
インタリーブ後
パリティ(M bit)
これを送
信しない
ため終端
できない
終端なし
Turbo復号器の終端処理
【Component Decoder (1)】
2
L(a k | y )
1
0
0
1
2
3
ln
a k 1 ( s ' ) k ( s ' , s ) k ( s )
s ' s
a 1
k
ln
a k 1 ( s ' ) k ( s ' , s ) k ( s )
s ' s
a 1
k
N N+1 N+2
N+2(0)=1
N+2(1)=0
N+2(2)=0
N+2(3)=0
【Component Decoder (2)】
2
1
0
0
N
N(0)=1
1
N(1)=1
2
N(2)=1
3
N(3)=1
ak(s’)の計算
k(s)の計算
Max-Log-MAPアルゴリズム
Ak ( s) lna k ( s) ln
a k 1 ( s' ) k ( s' , s) ln
exp k 1 ( s' ) k ( s' , s )
all s '
all s '
max k 1 ( s ' ) k ( s ' , s) 近似による誤差(0.35 dB)
s'
k 1 ( s' ) ln k 1 ( s ' ) ln
k ( s) k ( s' , s) ln
exp k ( s) k ( s' , s)
all
s
all
s
max k ( s) k ( s ' , s)
近似による誤差(0.35 dB)
s'
Lc
a k L(a k )
k ( s ' , s ) ln( k ( s ' , s )) ln CD exp
exp
2
2
ak L(ak ) Lc
ˆ
C
2
2
2
l 1
2
y kl ckl
l 1
指数の計算がなくなる→計算が簡略化される
y kl ckl
Log-MAP(1)
x
x x
( x x )
ln(e 1 (1 e 2 1 ) x1 ln(1 e 1 2 ); x1 x2の場合
ln(e e )
x2
x1 x2
( x2 x1 )
ln(
e
(
1
e
)
x
ln(
1
e
); x1 x2の場合
2
ここを無視したもの
x1
x2
g ( x1 , x2 ) ln(e e )
がMax-Log-MAP
x1
x2
max( x1 , x2 ) ln(1 e | x1 x2 | ) max( x1 , x2 ) f c (| x1 x2 |)
|x1-x2|
0.20以下
0.20~0.43
0.43~0.70
0.70~1.05
1.05~1.50
1.50~2.25
2.25~3.70
3.70以上
fc(|x1-x2|)
0.65
0.55
0.45
0.35
0.25
0.15
0.05
0.00
Log-MAP(2)
Ak ( s ) ln
exp k 1 ( s ' ) k ( s ' , s )
all
s
'
k 1 ( s ' ) ln
exp k ( s ) k ( s ' , s )
all
s
に,
g ( x1 , x2 ) ln(e x1 e x2 ) max( x1 , x2 ) f c (| x1 x2 |)
I x
ln e i g xI , g ( xI 1 , ..., g ( x3 , g ( x2 , x1 ))...)
i 1
を適用する
アルゴリズムは簡略化されるが,劣化はない
Punctured符号化Turbo符号
ck1
Component
Encoder (1)
Interleaver
ck2
1‘
ck
Component
Encoder (2)
2‘
ck
間引き
処理部
パリティビットのみを消去する
Multi- 変調器へ
plexer
12.Turbo等化器
Turbo等化器の構成
受信信号系列 y
y11 , y12 , y12 , y22 ,..., y1N , y N2
事前情報LLR
LaprEQ(cki)
Turbo等化器
(MAP推定器)
LapoEQ(cki|y)
+ +
-
LexEQ(cki)
Turbo符号:
・LLRは情報ビットに対してのみ求めればよかった
・符号語の1ビット目は情報ビットなので,それを利用して
チャネル情報LLRと外部情報LLRが分離できた
Turbo等化器:
・情報ビットとパリティビットの両者に対するLLRが必要
・チャネル情報LLRと外部情報LLRが分離できない
・事前情報LLRのみがa posteriori LLRから減算される
トレリス図を用いた周波数選択性フェージングの表記
伝搬路のインパルス応答によるアナログ的畳込み積分
y^00(0)
k
伝搬路の
インパルス
応答は別途
測定する
0 = 00
h(t)
h0 h1
0
T
1 = 01
h2
2T
2 = 10
t
3 = 11
RSC符号化器(r = ½)で符号化されている
x2n-1 = cn1=an (情報ビット)
{xn}
2
x2n = cn (パリティビット)
2
各ブランチ yˆ n
の出力
h xˆ
l n l
l 0
2
h0 xˆ n
入力
h xˆ
l n l
l 1
^n-1, ^
状態(x
xn-2)
Turbo等化器のトレリス遷移図
0
1
2
0
1
2
3
....
a k 1 ( s ' )
k (s' , s)
k–1 k k+1
s’
....
....
s
k (s )
3
yj<k
[y1, y2, …, yk – 1]
N–1 N
yk
yj>k
[yk + 1, yk + 2, …, yN ]
・畳込み符号の場合と同じ
・終端はあり得るがあまり意味はない
k(s’,s)について
k(s’,s)は,(k-1)番目のタイミングにおいて状態s’におり,
符号語ビットxkによって状態sに遷移する確率
k ( s ' , s ) p ( s, y k | s ' ) p ( y k | s ' , s ) p ( x k )
p( y k | s ' , s )
1
2
状態s’: ( xˆ k 1 , xˆ k 2 )
状態遷移k(s’,s)を発生
させる符号語ビット: xˆ k
e
( yk yˆ k ) 2
事前確率
復号器から)
2 2
Viterbi等化の場合
はここが1/2となる
状態遷移k(s’,s)に伴う出力:
2
yˆ k
h xˆ
l k l
l 0
LLRの計算(Max-Log-MAP, or Log-MAP)
1
k ( s' , s) ln( k ( s' , s)) ln
2
( yk yˆ k ) 2
ln P( xk )
2
2
k ( s ) lna k ( s ) ln
exp k 1 ( s ' ) k ( s ' , s )
all s '
k 1 ( s ' ) ln k 1 ( s ' ) ln
expBk ( s ) k ( s ' , s)
all s
LapoEQ ( xk | y )
ln
exp k 1 ( s' ) k ( s' , s) Bk ( s) ln
exp k 1 ( s' ) k ( s' , s) Bk ( s)
s 's
s 's
x 1
x 1
k
k
LexEQ( xk ) LapoEQ ( xk | y) LaprEQ ( xk )
MAP推定によるa posteriori LLRの計算
0
0
0
1
1
1
2
2
2
3
状態遷移図
3
xk = 1による遷移
3
xk = -1による遷移
a
(
s
'
)
(
s
'
,
s
)
(
s
)
k
1
k
k
sx'1s
L( xk | y ) ln k
a k 1 ( s' ) k ( s' , s) k ( s)
s ' s
x 1
k
遷移はすべて符号語ビット単位で発生する
13.Turbo等化器とTurbo復号器の
連接
Turboアルゴリズムの基本
【基本形】
受信信号
事前
情報
事後情報
外部情報
MAP推定器1 + +
-
【応用形】
MAP推定器1
++
-
事後情報
MAP推定器2 + +
-
外部
情報
+
MAP推定器2
+
MAP推定器3
+ -+
1. 必要に応じてインタリーバ/デインタリーバを挿入
2. 外部情報を他方のMAP推定器の事前情報として利用
Turbo等化器とTurbo復号器の
連接処理部の構成
データ
Component
Encoder
Interleaver
Mod.
伝搬路
(畳込み
符号化器)
【送信機】
事前情報LLRに改善
があれば収束する
受信信号
系列y
LexDEC(xk|z)
Interleaver
LapeEQ(xk)
Turbo
等化器
+
LapoEQ(xk|y)
+
LapoDEC(xk|z)
+ +
Component
Decoder
De-interleaver
LexEQ(xk|y)
【受信機】
z
Hard
Dec.
一定のiterationの後
ソースビットを判定
Turbo等化器出力とTurbo復号器を連接する場合のk(s’, s) (1)
k–1
ak-1(s’)
k(s’, s)
1
候補符号語: c k
1
復号器入力(事前情報LLR): z k
k
2
ck
zk2
k(s)
・遷移確率は,状態s’に至った後,状態sに至るための候
1
補符号 cˆ k cˆk2 が発生する確率
・候補符号語の発生確率は事前情報LLRから算出可能
【事前情報と符号語の発生確率の関係】
l
l
p
(
c
1
)
p
(
c
1
)
l
k
k
ln
z k ln
p(c l 1)
1 p(c l 1)
k
k
p[ckl 1]
exp( z kl )
1 exp( z kl )
1
l
p[ck 1]
1 exp( z kl )
Turbo等化器出力とTurbo復号器を連接する場合のk(s’, s) (2)
-状態遷移確率の考え方-
• 通常のTurbo符号
– 受信信号ykl は,符号語ビットcklを送信した後,雑音によっ
て擾乱を受けて得られた値
– 遷移確率は結合ガウス分布で与えられる
( y1k ac1k ) 2
2
1
1
2
1 2
p( y k , y k | ck , ck )
e 2
2
( yk2 ack2 ) 2
1
2 2
e
2
• Turbo等化器のLLRをSISOデコーダ入力とする場合
– 遷移確率は,外部情報LLRで決定される
• 外部情報LLRを受信信号と見なして通常のTurbo符号
と同様の処理を行う
• 遷移確率は事前情報LLRから逆算する
Turbo等化器出力とTurbo復号器を連接する場合のk(s’, s)(3)
-事前LLRが得られている場合の各符号語の発生確率-
p[ckl 1]
p[ckl ]
exp( z kl )
1 exp( z kl )
exp(ckl z kl )
1 exp(ckl z kl )
p[ckl
1]
1
1 exp( z kl )
exp( z kl )
1 exp( z kl )
1
exp( ckl z kl )
2
1
1
exp( ckl z kl ) exp( ckl z kl )
2
2
1 l l
1 l l
1 l l
exp( ck z k )
cosh( ck z k ) sinh( ck z k )
2
2
2
1 l
1 l
1 l
exp( z k ) exp( z k )
2 cosh( z k )
2
2
2
1 l
1 l
l
cosh( z k ) ck sinh( z k )
1
1
2
2
1 ckl tanh( z kl )
1 l
2
2
2 cosh( z k )
2
Turbo等化器出力とTurbo復号器を連接する場合のk(s’, s) (5)
-最終形態-
k (s' , s) p(cˆ1k ) p(cˆk2 ) p(ak )
l l
ˆ
exp(ck z k )
1
1 l
l
l
p[cˆk ]
1 cˆk tanh( z k )
l l
2
1 exp(cˆk z k ) 2
復号部のk(s’, s)の近似計算(1)
1 l
tanh z k
2
1
-3
-2
0
-1
1
2
3
1 l
zk
2
軟判定に利用される領域
-1
1 l
z k は,信頼性を示しており,受信信号yklに対応する
2
Turbo等化器出力とTurbo復号器を連接する場合のk(s’, s)(4)
-双曲線関数についてー
tanh(x)
1
-3
-2
0
-1
x
1
2
3
-1
e x e x
sinh(x)
sinh( x)
2
e x e x
cosh(x)
cosh( x)
2
sinh(x) e x e x
tanh(x)
x
cosh(x) e e x
e x cosh(x) sinh(x)
復号部のk(s’, s)の近似計算(2)
【ターボ符号単独の場合】
Lc
k (s' , s) p( yk | sk 1 s' , sk s) p(ak ) C exp
2
2
l 1
ykl ckl
p( a k )
【ターボ等化器とMAP復号器を組み合わせる場合】
ターボ等化器出力をデインタリーブしたものを
1
2
1
2
1
2
Z={z1 , z1 , z 2 , z 2 , ..., z N , z N }とすると
2
1
DEC
l
l
k (s' , s) p( zk | sk 1 s' , sk s) p(ak ) C exp
z k ck p ( a k )
2
l 1
2
kDEC (s' , s)
l 1
1 l l
z k ck ln(p(ak ))
2
ターボ等化器の外部情報LLRをデインタリーブして,通常の
Component Decoderに入力すればよい
Component Decoderが複数ある構成
c
LapeEQ(xk)
Turbo
等化器
+ c-1
apoDEC1(x |z)
L
パリティ
s
k
z (ソースビット)
ビット(1) p1
LexDEC1(xk|z)
z
+
+
Dec
Depunc.
(1) +
t
DeMUX
受信信号
LexEQ(xk|y)
zp2
(パリティ t
LapoEQ(xk|y)
ビット(2))
Enc.
(1)
Int
Enc.
(2)
MUX
c
Punc.
MUX
Dec
(2)
LapoDEC2(xk|z)
+
+
t-1
LexDEC2(xk|z)
Hard
復号
Dec.
データ
Turbo等化器とTurbo復号器を連接する場合の注意点
• インタリーブの意義
– チャネルインタリーブは伝搬路をメモリレスチャネルにす
るため
– 符号化器におけるインタリーバは1つの情報ビットの影響
が及ぶチャネルビットの範囲を拡大するため
• Turbo復号器から出力される外部情報LLR
– ソースビットとパリティビットの両方のLLRを出力する必要
がある
– 送信時にパリティビットがpuncturingされている場合に
は,LLRにpuncturingとインタリーブを施した後,Turbo等
化器の事前情報LLRとして入力する
• a posteriori LLRの計算法
– 単なるTurbo符号の場合と,状態遷移パスの加算の方法
が異なる
A posteriori LLRの計算
ー情報ビットに対するLLRー
k0 – 1
k
k0 – 1
k
k–1
0
1
1
1
2
2
2
3
3
ak = 1による遷移
状態遷移図
a k 1 ( s' ) k ( s' , s) k ( s)
s ' s
ak 1
L(ak | y ) ln
a k 1 ( s' ) k ( s' , s) k ( s)
s 's
ak 1
k
3
ak = – 1による遷移
符号語ビットに対する a posteriori LLRの計算法
各符号語ビットに対して分類し,加算する
【1ビット目】
(n – 1)
n
11 11
(n – 1)
00
n
00 01
01
10
10
(n – 1)
n
11 11
00
このビットは情報ビットなので
通常のTurbo復号と同じ
10
01
10
01
a k 1 ( s ' ) k ( s ' , s ) k ( s )
s ' s
c1 1
1
k
L(ck | z ) ln
a k 1 ( s ' ) k ( s ' , s ) k ( s)
s ' s
2
ck 1
【2ビット目】
n
(n – 1)
00
a k 1 ( s ' ) k ( s ' , s ) k ( s )
s ' s
c 2 1
2
k
L(ck | z ) ln
a k 1 ( s ' ) k ( s ' , s ) k ( s)
s ' s
2
ck 1
パリティビット
Turbo等化器におけるA priori LLRの生成について
• Component Decoderが複数の場合のa posteriori LLR
– 情報ビットに関する外部情報LLRは全ての
component decoderから得られる
– パリティビットの関する外部情報LLRは各でコーダか
ら独立に得られる
• Turbo等化器のa priori LLR
– 情報ビットに関しては,全てのcomponent decoderか
らの外部情報LLRを加算する
– パリティビットに関しては,各component decoderから
の外部情報LLRをそれぞれ対応する等化器受信シン
ボルに対応させる
14.Turbo等化器の
多値変調への適用
多値QAMのためのTurbo等化器
データ
【送信機】
Component
Encoder
1シンボルに
複数のビット
を含む
受信信号
系列y
【受信機】
LapeEQ(xk)
Interleaver
伝搬路
Mod.
(畳込み
Gray符号化 符号化器)
LexDEC(xk|z)
Interleaver
LapoDEC(xk|z)
+ +
-
Hard
Component
De-interTurbo + +
Dec.
Decoder
leaver
等化器
各ビットに
z
LexEQ(xk|y)
一定のiterationの後
対するLLR
ソースビットを判定
を求める LapoEQ(xk|y)
多値変調の場合の各ブランチにおける
出力候補値の算出
Q
s1 = 01
s0 = 11
I
s3 = 10
s2 = 00
入力
s(kT)
状態
T
T
h0
h2
h1
+
yk
00
01
02
03
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
00
01
02
03
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
s0
s1
s2
s3
ij = (si, sj)
各ビットの a posteriori LLRの計算
x1 = 0
s1 = 01
Q
x1 = 1
s0 = 11
I
s2 = 00
s3 = 10
p( x j 1 | y )
L
( x j ) ln
p( x j 1 | y )
p
(
s
|
y
)
j
s j where x j 1
ln
p( s j | y )
s
where
x
1
j
j
apoDFE
00
01
02
03
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
00
01
02
03
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
a k 1 ( s' ) k (s' , s) k ( s)
00
01
02
03
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
00
01
02
03
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
Turbo等化の問題点
• 変調レベルが増すと状態数が多くなり,演算
量が急速に増す
– 多値数M,遅延波の数をLとすると,
• 状態数:ML-1
• 1つの状態から出力されるブランチ数:M
• 演算量はMLに比例する
• 対策技術(ソフトキャンセラ技術)
– I/Q独立の処理
• I/Qのクロストークをソフトキャンセラで除去する
– 時空間処理によるマルチパスキャンセラ
• SC/MMSE
適応等化技術のまとめ
• 判定帰還型等化器
– 演算量は遅延波の数の2乗に比例
– 硬判定誤りによって誤り伝搬が発生
• 周波数領域等化器
– 演算量が比較的少ない
• ビタビ等化器
– 演算量は (変調多値数)(遅延波の数)に比例
• 多値変調への適用が困難
– 性能は判定帰還型等化器より良い
• Turbo等化器
– SISOデコーダとの複合で良好な特性
– ソフトキャンセラを用いないと演算量は多い
– ソフトキャンセラの活用が鍵
• 硬判定のような誤り伝搬がない
• 演算量が遅延波の数に対してクリティカルではない
カルマンアルゴリズムの補足説明
カルマンアルゴリズム(その1)
(1)
sn h nH1y n
en an sn an h nH1y n (2)
k n Pn1y n (y nH Pn1y n )1 (3)
(4)
hn hn1 en*k n
Pn (Pn1 k n y nH Pn1 ) /
(5)
(3)より k n (y nH Pn1y n ) Pn1y n (6a)
(6a)の変形 k n (I k n y nH )Pn1y n
(6b)
Pn y n Pn1y n k n y nH Pn1y n (I k n y nH )Pn1y n (7)
【(5)の右からynを乗積し,変形】
(6b), (7)より k n Pn y n / (8)
カルマンアルゴリズム(その2)
Pn (Pn1 k n y nH Pn1 ) /
(5)
Pn Pn1 k n y nH Pn1 Pn1 Pn y n y nH Pn1 /
(9)
(8)を適用
Pn1Pn1 y n y nH Pn1 / 【左から Pn1を乗積】 (10)
【右から Pn11を乗積】 (11a)
Pn11 Pn1 y n y nH /
(11b)
Pn1 Pn11 y n y nH /
Pn1 Pn11 y n y nH / [Pn12 y n 1y nH1 / ] y n y nH /
2 Pn12 [y n 1y nH1 y n y nH ] /
3Pn13 [2 y n 2 y nH2 y n 1y nH1 y n y nH ] /
P
n
1
0
1
n
yiy
n i
i 1
H
i
1
1
n
n i
H
y
y
i i
i 1
n i
H
k n Pn y n / y i y i y n (13)
i 1
n
(12)
カルマンアルゴリズム(その3)
S n Pn / (14)
Sn1 Pn1 (15)
と定義すると
(15)→(11b) Pn1 Pn11 y n y nH
n i
H
(12)より P y i y i /
i 1
n
1
n
yiy
i 1
よって S n
n
n i
H
i
Sn1 Sn11 y n y nH (16)
n i
H
Pn y i y i
i 1
n
1
1
(18)
1
n i
H
(17)→(13) k n Pn y n / y i y i y n S n y n (19)
i 1
n
(17)
カルマンアルゴリズム(その4)
h n h n 1 en*k n h n 1 en*S n y n h n 1 S n y n (an h nH1y n )*
h n 1 S n (an* y n ) S n (y n y nH )h n 1
h n 1 S n (an* y n ) S n (S n1 S n11 )h n 1
(19)→(4)
(2)も適用
(16)を適用
h n 1 S n (an* y n ) h n 1 S n S n11h n 1
S n (an* y n ) S n S n11h n 1
(20)
Sn1を乗積】
S n1h n an* y n S n11h n 1 an* y n (an*1y n 1 S n1 2h n 2 【左から
)
an* y n an*1y n 1 2S n1 2h n 2
n
n
a y i S h n i ai*y i
i 1
n i
*
i
1
0
0
n
(21)
i 1
1
n
n i
H
n i *
h n S n a y y i y i ai y i (22)
i 1
i 1
i 1
n
n i *
i i
n