Transcript U - KTH

IE1206 Inbyggd Elektronik
F1
F2
F3
Ö1
PIC-block Dokumentation, Seriecom Pulsgivare
I, U, R, P, serie och parallell
KK1 LAB1
Pulsgivare, Menyprogram
 Start för programmeringsgruppuppgift
F4
Ö2
F5
Ö3
Kirchoffs lagar Nodanalys Tvåpolsatsen R2R AD
KK2 LAB2
F6
Ö4
F7
F8
Ö5
F9
Ö6
F10
F11
F12
Ö7
F13
Tvåpol, AD, Komparator/Schmitt
KK3 LAB3
Transienter PWM
Step-up, RC-oscillator
Visare j PWM CCP KAP/IND-sensor
redovisning
tentamen
KK4 LAB4
LC-osc, DC-motor, CCP PWM
LP-filter Trafo + Gästföreläsning
 Redovisning av programmeringsgruppuppgift
Trafo, Ethernetkontakten
William Sandqvist [email protected]
Enkelt att generera en sinusspänning
Hela vårt elnät arbetar med
sinusformad spänning.
När en slinga roterar med
konstant hastighet i ett
magnetfält så genereras en
sinusvåg.
Så mycket enklare kan det
ju inte bli …
William Sandqvist [email protected]
Sinusvågen – kommer Du ihåg?
y
T
period
Y
RMS
Yˆ top, amplitude
t time
y(t )  Yˆ sin(t )   2f
1
Yˆ
f 
Y
T
2
William Sandqvist [email protected]
(11.1) Fasvinkel 
y
Om en sinuskurva
inte börjar med 0 har
funktionsuttrycket
en fasvinkel .
y(t )  Yˆ sin( t   )
Ange denna funktion matematiskt:
u(t )  6  sin( 2 1000 t   )
3
u (0)  3  6  sin( )    arcsin   0,52 rad ( 30)
6
u(t )  6  sin(6283 t  0,52)
William Sandqvist [email protected]
Äpplen och päron?
I elläran är det vanligt (tex. i läroböcker)
att man uttrycker vinkeln i sinusfunktionen blandat
i radianer ·t [rad] och i grader  [°].
Detta är naturligtvis oegentligt, men praktiskt (!).
Användaren måste ”räkna om” tex. fasvinkeln till
radianer om sinusfunktionens värde för någon viss
tidpunkt t ska beräknas.
(You have now been warned …)
u(t )  6  sin(6283 t  30)
?
?
William Sandqvist [email protected]
Omvandling:
x[]= x[rad] 57,3
x[rad]= x[]0,017
William Sandqvist [email protected]
Medelvärde och effektivvärde
Alla rena växelspänningar har medelvärdet 0.
 Intressantare är effektivvärdet – det
kvadratiska medelvärdet.
T
T
U med  T1  u (t ) dt  0
U
2
u
(
t
)
 dt
0
0
William Sandqvist [email protected]
T
(11.2) Exempel. Effektivvärde.
Effektivvärdet, är det man normalt använder menar med en
växelspänning U. 1,63 V effektivvärde ger samma effekt i en
resistor som en 1,63 V ren likspänning skulle göra.
RMS, effektivvärde
T
U
2
u
(
t
)
 dt
0
T
(22  (2) 2  0)  5 103
8  5 103


 1,63 V
3
3
1510
1510
William Sandqvist [email protected]
Sinusvågens effektivvärde
Ex. 11.3
sin2 har medelvärdet ½
Därför är:
sin 2 ( x)
1
2
RMS,
effektivvärde
Uˆ
U
2
1
1
 sin ( x) dx  2  2
2
 Effektivvärde kallas ofta för RMS ( Root Mean Square ).
William Sandqvist [email protected]
William Sandqvist [email protected]
Addition av sinusformade storheter
y1  Aˆ1 sin(t  1 )
y1  y2  ?
y2  Aˆ2 sin(t  2 )
William Sandqvist [email protected]
Addition av sinusformade storheter
När vi ska tillämpa strömkretslagarna på växelströmskretsar
måste vi addera sinusstorheter. Summan av två sinusstorheter
med samma frekvens blir alltid en ny sinusstorhet av denna
frekvens, men med ny amplitud och ny fasvinkel.
( Ooops! Resultatet av de ganska arbetsamma beräkningarna
visas nedan ).
ˆ  sin(t   )
y1 (t )  A
1
1
ˆ  sin(t   )
y2 (t )  A
2
2
y (t )  y1 (t )  y2 (t ) 
ˆ sin( )  A
ˆ sin( ) 

A
2
2
1
1
2
2 
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
 A1  A 2  2A1A 2 cos(1   2 )  sin  t  arctan
ˆ cos( )  A
ˆ cos( ) 
A
1
1
2
2 

William Sandqvist [email protected]
Sinusvåg som visare
En sinusspänning eller ström,
y(t )  Yˆ  sin(  t )
kan representeras av en visare som
roterar (moturs) med vinkelhastigheten  [rad/sek] runt origo.
Wikipedia Phasors
William Sandqvist [email protected]
Enklare med visare
Om man struntar i ”rotationen”
och adderar visarna med
vektoraddition, så som de står
vid tiden t = 0, blir det hela
mycket enklare!
Wikipedia Phasors
http://en.wikipedia.org/wiki/Phasors
William Sandqvist [email protected]
Visare med komplexa tal
En växelspänning 10 V som har en
fasvinkel 30° brukar skrivas:
10  30°
( Phasor )
Så fort vektoradditionerna kräver
mer än de allra vanligaste geometriska formlerna, är det i stället
z  a  jb
att föredra att representera visarna
med komplexa tal.
10 30  10 e j30  10 cos30  10 j  sin 30
Inom elläran använder man j för imaginära enheten, i är ju
redan upptaget för ström.
William Sandqvist [email protected]
Phasor
Sinusformade växelstorheter kan representeras som visare,
phasors.
”belopp”  ”fasvinkel”
En visare (phasor) kan antingen ses som en vektor angiven i
polära koordinater, eller som ett komplext tal.
Det är viktigt att kunna beskriva växelströmsfenomen utan att
för den skull behöva kräva att åhörarna har kunskaper om
komplexa tal – därav vektormetoden.
De komplexa talen och j-metoden är kraftfulla verktyg som
underlättar behandlingen av växelströmsproblem. De kan
generaliserat till Fourier-transform och Laplace-transform, så
elektroingenjörens användning av komplexa tal är omfattande.
William Sandqvist [email protected]
Toppvärde/effektivvärde -visare
z  a  jb
Visarnas längd motsvarar egentligen sinusstorheternas toppvärden, men eftersom effektivvärdet bara är
toppvärdet skalat med 1/2 så har det ingen
betydelse om man räknar med toppvärden eller
effektivvärden – så länge man är konsekvent!
William Sandqvist [email protected]
William Sandqvist [email protected]
Spolen och Kondensatorn
motverkar förändringar
Spolen och kondensatorn motverkar förändringar,
tex vid inkoppling eller urkoppling av en källa
till en krets.
Hur går det då om källan avger en sinusformad
växelström – som ju ändrar sig kontinuerligt?
?
William Sandqvist [email protected]
Växelström genom resistor
En sinusformad växelström iR(t) genom
en resistor R ger ett proportionellt sinusformat spänningsfall uR(t) enligt OHM’s
lag. Strömmen och spänningen blir i fas.
Ingen energi lagras i resistorn.
Visarna UR och IR blir parallella med
varandra.
iR (t )  IˆR  sin(t )
uR (t )  iR (t )  R  uR (t )  R  IˆR  sin(t )
UR  R  IR
 Vektor visare
UR  R I R
 Komplexa visare
Visarna kan vara toppvärdesvisare eller effektivvärdesvisare så länge man
inte blandar olika typer.
William Sandqvist [email protected]
Växelström genom spole
En sinusformad växelström iL(t) genom en
spole ger på grund av självinduktionen ett
spänningsfall uL(t) som ligger 90° före
strömmen. Energi som lagras i magnetfältet
används till denna spänning.
Visaren UL fås som L·IL och den ligger 90° före IL. Storheten L är
”beloppet” av spolens växelspänningsmotstånd, reaktansen XL [].
iL (t )  IˆL  sin(t )
uL (t )  L
diL (t )

 uL (t )  L  IˆL  cos(t )  L  IˆL  sin(t  )
dt
2
U L  L  I L
 Vektor visare
När man räknar med komplexa visare multiplicerar man L med talet ”j”,
detta vrider spänningsvisaren +90°. Metoden håller automatiskt reda på
fasvinklarna!
U L  jL  I L
 j XL  I L
 Komplexa visare
William Sandqvist [email protected]
Växelström genom kondensator
En sinusformad växelström iC(t) genom
en kondensator laddar upp denna med
”spänningsfallet” uC(t) som ligger 90°
efter strömmen. Energi lagras i det
elektriska fältet.
Visaren UC fås som IC/(C) och den ligger 90°
1
U

 IC
C
efter IC. Storheten 1/(C) är ”beloppet” av
C
kondensatorns växelspänningsmotstånd,
 Vektor visare
reaktansen XC [].
duC (t ) 1 dq 1
1
 
  iC (t )  uC (t )    iC (t ) dt
dt
C dt C
C
1 ˆ
1 ˆ

iC (t )  IˆC  sin(t )
 uC (t )  
 I C  cos(t ) 
 I C  sin(t  )
C
C
2
U
Q
C

William Sandqvist [email protected]
Komplexa visare och reaktansens tecken
Om man använder komplexa visare får
man med spänningsvisarens fasvridning
-90° genom att dividera (1/C) med
konstanten ”j”.
Metoden med komplexa visare håller automatiskt reda på
fasvinklarna om vi betraktar kondensatorns reaktans XC som
negativ, och därmed spolens XL som positiv.
UC 
1
-1
IC  j
IC
j C
C
 XC  
1
C
William Sandqvist [email protected]
 Komplex visare
L+C i serie
L´
5 j
4 j
 4 j
 5 j


William Sandqvist [email protected]
 1j
C´
 1j
William Sandqvist [email protected]
Reaktansens frekvensberoende
XL
XL
[]
[]
f [Hz]
1
XL L
XC 
 C
  2 f
William Sandqvist [email protected]
f [Hz]
LOG – LOG diagram
log X L   scale[]
log X C   scale[]
log f   scale [Hz]
log f   scale [Hz]
Ofta använder elektronikingenjörerna log-log-skala. Spolen
och kondensatorns rektanser får då båda ”linjära” samband i
ett sådant diagram.
William Sandqvist [email protected]
William Sandqvist [email protected]
R L C
I allmänhet innehåller våra nät en blandning med olika R L och
C. Fasvinkeln mellan I och U är då inte 90° utan kan ha vilket
mellanliggande värde som helst. En positiv fasvinkel innebär
att induktanserna dominerar över kapacitanserna, induktiv
karaktär IND. En negativ fasvinkel innebär att kapacitanserna
dominerar över induktanserna, kapacitiv karaktär KAP.
Kvoten mellan spänning U och ström I, växelströmsmotståndet, kallas för impedans Z []. OHM´s växelströmslag:
William Sandqvist [email protected]
Z
U
I
Visardiagram
För att beräkna växelströmsmotståndet, impedansen, Z hos en
sammansatt krets måste man
addera strömmar och spänningar
som visare för att få fram den
totala strömmen I och den totala
spänningen U.
Z
U
I
Visardiagrammet är vår ”blindkäpp” in till
växelströmsvärlden!
William Sandqvist [email protected]
Ex. Visardiagram. (11.5)
Elementära visardiagram för R L och C
Vid en viss frekvens f har kondensatorernas reaktans |XC| och resistorn R
samma belopp, växelströmsmotståndet R [].
Använd de elementära visardiagrammen för R och C som
byggstenar för att rita hela
kretsens visardiagram ( vid den
aktuella frekvensen f ).
William Sandqvist [email protected]
Gör själv …
Exempel. Visardiagram.
1) U2 riktfas ( = horisontell )
2) I R ||U 2
U2
R
I  2  IC
3) I C  U 2 I C  I R 
4) I  I R  IC
5) U1  I
U1  I  R  I C  2  R  U1  2  U 2
6) U  U1  U 2
William Sandqvist [email protected]
William Sandqvist [email protected]
Impedansen Z
Kretsens växelströmsmotstånd,
impedansen Z, får man som
kvoten av U och I visarna.
Impedansens fasvinkel  är
vinkeln mellan U och I visarna.
Strömmen ligger före spänningen
i fas, så kretsen har kapacitiv
karaktär, KAP.
( Något annat hade väl knappast
varit att vänta eftersom det inte
finns några spolar i kretsen )
William Sandqvist [email protected]
William Sandqvist [email protected]
Komplexa visare, j-metoden
Komplexa visare. OHM’s lag för R L och C.
  arg(R)  0
  arg( j L)  90
UR  IR R
U L  I L  j X L  I L  j L
U C  I C  j XC  I C 
1
j C
  arg(
1
j C
)   arg( jC )  90
Komplexa visare. OHM’s lag för Z.
U  I Z
U
Z
I
Re [U ]  Re [ I  Z ]
Im[U ]  Im[ I  Z ]
U 
  arg(Z )  arg   arg(U )  arg(I )
I 
 Im[ Z ] 
X
  arctan 
arg(Z )  arctan
R
 Re[ Z ] 
I själva verket blir det fyra användbara
samband!  Re,  Im,  Abs,  Arg
William Sandqvist [email protected]
Ex. Komplexa visare.
U = 20 V C = 320 F R = 10  f = 50 Hz
William Sandqvist [email protected]
Ex. Komplexa visare.
U = 20 V C = 320 F R = 10  f = 50 Hz
1
j C

1
1

 10 j
6
j 2  f  C j 2  50 32010
William Sandqvist [email protected]
Ex. Komplexa visare.
U = 20 V C = 320 F R = 10  f = 50 Hz
1
j C

1
1

 10 j
6
j 2  f  C j 2  50 32010
R
Z R//C 
1
j C 10  (10 j) (10  10 j)


 55 j
1
10  10 j (10  10 j)
R
j C
William Sandqvist [email protected]
Ex. Komplexa visare.
U = 20 V C = 320 F R = 10  f = 50 Hz
1
j C

1
1

 10 j
j 2  f  C j 2  50 320106
R
Z R//C 
1
j C 10  (10 j) (10  10 j)


 55 j
1
10  10 j (10  10 j)
R
j C
William Sandqvist [email protected]
Ex. Komplexa visare. I
U = 20 V C = 320 F R = 10  f = 50 Hz
1
j C

1
1

 10 j
j 2  f  C j 2  50 320106
R
Z R//C 
1
j C 10  (10 j) (10  10 j)


 55 j
1
10  10 j (10  10 j)
R
j C
William Sandqvist [email protected]
Ex. Komplexa visare. I
U = 20 V C = 320 F R = 10  f = 50 Hz
1
j C

1
1

 10 j
j 2  f  C j 2  50 320106
R
Z R//C 
I
U

Z
U
1
j C

 Z R // C
1
j C 10  (10 j) (10  10 j)


 55 j
1
10  10 j (10  10 j)
R
j C
20
4 (1  3 j)


 0,4  1,2 j
- 10 j  (5 - 5 j) 1 - 3 j (1  3 j)
I  0,4  1,2 j  0,4 2  1,2 2  1,26
William Sandqvist [email protected]
Ex. Komplexa visare. U1
U = 20 V C = 320 F R = 10  f = 50 Hz
1
j C

1
1

 10 j
j 2  f  C j 2  50 320106
R
Z R//C 
1
j C 10  (10 j) (10  10 j)


 55 j
1
10  10 j (10  10 j)
R
j C
William Sandqvist [email protected]
Ex. Komplexa visare. U1
U = 20 V C = 320 F R = 10  f = 50 Hz
1
j C

1
1

 10 j
j 2  f  C j 2  50 320106
R
Z R//C 
U1  I 
1
j C
1
j C 10  (10 j) (10  10 j)


 55 j
1
10  10 j (10  10 j)
R
j C
 (0,4  1,2 j)  (-10 j)  12  4 j
U1  12  4 j  122  (4) 2  12,65
William Sandqvist [email protected]
Ex. Komplexa visare. U2
U = 20 V C = 320 F R = 10  f = 50 Hz
1
j C

1
1

 10 j
j 2  f  C j 2  50 320106
R
Z R//C 
1
j C 10  (10 j) (10  10 j)


 55 j
1
10  10 j (10  10 j)
R
j C
William Sandqvist [email protected]
Exempel. Komplexa visare. U2
U = 20 V C = 320 F R = 10  f = 50 Hz
1
j C

1
1

 10 j
j 2  f  C j 2  50 320106
R
Z R//C 
Spännings delning:
U2 U 
Z R // C
1
j C
j C 10  (10 j) (10  10 j)


 55 j
1
10  10 j (10  10 j)
R
j C
 20 
 Z R // C
1
5-5 j
1  j (1 3 j)
 20 

 8 4 j
- 10 j  (5 - 5 j)
1 - 3 j (1 3 j)
U 2  8  4 j  82  4 2  8,94
William Sandqvist [email protected]
Ex. Komplexa visare. IC
U = 20 V C = 320 F R = 10  f = 50 Hz
1
j C

1
1

 10 j
j 2  f  C j 2  50 320106
R
Z R//C 
1
j C 10  (10 j) (10  10 j)


 55 j
1
10  10 j (10  10 j)
R
j C
William Sandqvist [email protected]
Ex. Komplexa visare. IC
U = 20 V C = 320 F R = 10  f = 50 Hz
1
j C

1
1

 10 j
j 2  f  C j 2  50 320106
R
Z R//C 
IC 
1
j C 10  (10 j) (10  10 j)


 55 j
1
10  10 j (10  10 j)
R
j C
U2
8 4 j

 0,4  0,8 j
1
- 10 j
j C
I C  0,4  0,8 j  0,4 2  0,82  0,89
William Sandqvist [email protected]
Ex. Komplexa visare. IR
U = 20 V C = 320 F R = 10  f = 50 Hz
1
j C

1
1

 10 j
j 2  f  C j 2  50 320106
R
Z R//C 
1
j C 10  (10 j) (10  10 j)


 55 j
1
10  10 j (10  10 j)
R
j C
William Sandqvist [email protected]
Ex. Komplexa visare. IR
U = 20 V C = 320 F R = 10  f = 50 Hz
1
j C

1
1

 10 j
j 2  f  C j 2  50 320106
R
Z R//C 
1
j C 10  (10 j) (10  10 j)


 55 j
1
10  10 j (10  10 j)
R
j C
U2 8 4 j
IR 

 0,8  0,4 j
R
10
I R  0,8  0,4 j  0,82  0,42  0,89
William Sandqvist [email protected]
Man får fram
visardiagrammet
genom att plotta
punkterna i komplexa
talplanet!
William Sandqvist [email protected]
Vrida diagrammet …
När vi ritade visardiagrammet
var det naturligt att använda U2
som riktfas (=horisontell), med
j-metoden var U den naturliga
riktfasen (=reell).
Eftersom det är enkelt att vrida
diagrammen, så har man i
praktiken frihet att välja vilken
storhet som helst till riktstorhet.
4
arg(U 2 )  arg(8  4 j)  arctan   26,7
8
 (cos(26,7)  j  sin(26,7)) Multiplicerar man alla komplexa tal med
denna faktor så genomförs vridningen!
William Sandqvist [email protected]
William Sandqvist [email protected]
Sammanfattning
Sinusformade växelstorheter kan representeras som visare,
phasors,
”belopp”  ”fasvinkel”.
En visare (phasor) kan antingen ses som en vektor angiven i
polära koordinater, eller som ett komplext tal.
Beräkningar gör man oftast bäst med den komplexa
metoden, medan visardiagrammen används för att
visualisera och förklara växelströmsfenomenen.
William Sandqvist [email protected]
Beteckningar
x
Xˆ
X
ögonblicksvärde
toppvärde
Komplex visare
X X Effektivvärde, visarens belopp
William Sandqvist [email protected]
William Sandqvist [email protected]