Transcript Математические модели реальных процессов в природе и

Горловский УВК «ОШ І-ІІІ ступеней №12 –
многопрофильный лицей»
Математические модели в экономике
Автор проекта:
Никитина Наталья Ивановна
учитель математики
2013г.
Математическая модель – важное понятие
современной прикладной математики. Её
взаимосвязи с экономикой создать адекватное
представление об окружающем мире,
формировать социально-экономические
компетенции учащихся.
Цель проекта: рассмотреть математические
модели в экономике на примере решения задач
линейного программирования, адаптированных к
социально-экономическим реалиям жизни.
1.
2.
3.
Изучить научно-теоретическую и методическую
литературу о задачах линейного программирования.
Обработать и обобщить информацию, полученную в
результате самостоятельного исследования.
Решить реальную задачу оптимизации питания,
связанные с рациональным подбором продуктов.
Что такое линейное программирование?
постановка задачи линейного программирования;
каноническая форма линейного программирования;
симплекс-метод;
задача о диете
Многие практические задачи сводятся к
системам неравенств относительно нескольких
переменных. В качестве примера можно указать
задачи, связанные с планированием производства.
Обычно эти задачи формируются так: найти
наилучший план производства при заданных
ресурсах, которые, как правило, задаются при
помощи ряда неравенств. В итоге приходится
искать наибольшее или наименьшее значение
некоторой функции в области, которая задаётся
системой неравенств.
Задачи такого типа относятся к задачам
линейного программирования.
Каждую задачу линейного программирования
можно свести к следующей стандартной форме:
найти неотрицательные значения переменных x1, x2,…, xn,
которые удовлетворяли бы системе уравнений:
а11x1 + a12x2 + ………… + a1nxn = b1
а21x1 + a22x2 + ………… + a2nxn = b2
…………………………………………………
аm1x1 + am2x2 + ………… + amnxn = bm
и обращали в минимум функцию L(x1, x2,…, xn) = c1x1+ c2x2 + …
+ cn x n .
Так сформулированную задачу специалисты называют общей
задачей линейного программирования в канонической форме.
Симплекс-метод даёт возможность
минимизировать функцию на выпуклой
многогранной области многомерного
пространства путём определённого перебора
вершин этой области.
Этот метод используется для решения
задач линейного программирования с
помощью компьютеров.
1.
2.
3.
4.
Определяется некоторый опорный план, которому
соответствует вершина области допустимых
решений.
Найденный опорный план (вершина) проверяется
на оптимальность. Пусть этот план не оптимален.
Определяется следующий опорный план
(вершина) лучший по отношению к предыдущему
в результате движения по ребру. Вершина
проверяется на оптимальность.
Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не
будет найдена оптимальная вершина, то есть
решение задачи линейного программирования.
По своей сущности задача оптимизации – это
математическая модель определённого процесса
производства
продукции,
его
распределении,
хранении, переработки, транспортирования, покупки
или продажи и т.д. Это обычная математическая
задача типа: дано /найти/ при условии, но которая
имеет множество возможных решений.
Таким образом, задача оптимизации – задача
выбора из множества вариантов наилучшего,
оптимального.
Историческая задача о диете является одной из первых задач
линейного программирования.
Постановка задачи - первый и наиболее важный этап построения
модели, способный обеспечить правильное решение проблемы.
Актуальность проблемы: похудеть, т.е. перейти на рациональное
питание, состоящее из двух продуктов P и Q.
Суточное питание этими продуктами должно давать не более 14
единиц жира (чтобы похудеть), но не менее 300 калорий. На упаковке
продукта Р написано, что в одном килограмме этого продукта
содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на упаковке с продуктом
Q - 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1
килограмма продукта Р равна 15 грн., а 1 кг продукта Q - 25 грн.
Конечно интересует вопрос о более дешевом способе похудения.
Перейдем к формализации данной ситуации на языке
математических символов.
Обозначим через х количество продукта Р и через у
количество продукта Q, требуемые для выполнения
условий диеты.
Количество единиц жира, содержащегося в х кг
продукта Р и в у кг продукта Q, равно 15х + 4 и по
условию диеты не должно превосходить 14:
В свою очередь, количество калорий, содержащихся в х
кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 150х + 200у и по
условию диеты должно быть не меньше 300:
Теперь о стоимости z продуктов. Она равна
и в соответствии с высказанными пожеланиями должна
быть минимальной.
Последнее записывается так:
Тем самым мы получили систему формул:
которую решим графическим способом:
Нас интересует только та ее часть, которая
лежит над треугольником BDE. Вычисляя
значения z во всех трех вершинах этого
треугольника
и сравнивая полученные результаты, замечаем,
что наименьшее значение (35) достигается в
вершине Е. Таким образом,
и искомая пропорция - 2 : 3.
В данной работе был рассмотрен метод
решения задачи линейного программирования –
симплекс-метод. Приведен пример решения
задачи максимально приближенной к жизни.
Безусловно, решение подобной задачи, которая
имеет экономический смысл, играет большую
роль в современной жизни. Такие задачи
являются математическими моделями реальных
процессов и могут быть использованы в
промышленности, сельском хозяйстве, личных
целях людей.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
За ред. О. Т. Іващука.; Економіко-математичне
моделювання: Навчальний посібник. — — Тернопіль:
ТНЕУ «Економічна думка», 2008. — 704 с.
М. М. Баранкевич, В. Б. Антонів Вступ до математичної
економіки. Фундаментальні моделі: Навчальний
посібник. — Дрогобич: Видавництво "Коло", 2009. — 348 с.
Г.И.Просветов «Математические методы и модели в
экономике», Альфа-Пресс, год издания 2008
Симонов А.С. «Экономика на уроках математики»
Издательство: Школа-Пресс, год издания: 2009.
http://www.kvant.mccme.ru
http://www.schol.edu.ru
http://www.exponenta.ru