Transcript Pfadintegrale

PFADINTEGRALE
Victoria Zinyuk
Seminar zur theoretischen Quantenmechanik
INHALTSÜBERSICHT
Lagrange Formalismus
 Überleitung zur Quantenmechanik
 Idee des Pfadintegrals
 Berechnung des Pfadintegrals
 Bsp.: Harmonischer Oszillator
 Vorteile der Pfadintegralformulierung

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LAGRANGE FORMALISMUS
Man betrachte generalisierte
Koordinaten
in welche die Zwangsbedingungen eingearbeitet sind
Lagrangefunktion:
Aus dem Prinzip der minimalen Wirkung wird mittels
Variationsrechnung die Euler-Lagrange-Glg hergeleitet
Euler Lagrange Gleichung :
Wirkung:
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BEZUG ZUR QUANTENMECHANIK
Klassische Mechanik: Wirkung
extrem
→ ein ausgezeichneter Weg
 QM: Alle möglichen Wege tragen
zur Gesamtamplitude bei
 Jeder Weg trägt gleiche
Amplitude bei, aber bei
unterschiedlicher Phase
 Die Phase ist durch die klassische
Wirkung S in Einheiten von ħ
gegeben

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DIE IDEE DES PFADINTEGRALS

Übergangsamplitude von
y nach x : Integral über
alle möglichen Wege
(Pfade)
mit
noch zu bestimmendes Funktional
noch zu bestimmender
Integrationsmaß
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BESTIMMUNG: FUNKTIONAL & INTEGRATIONSMAß



Übergangsamplitude: Freies Teilchen
Übergangsamplitude: Teilchen im beliebigen nur
ortsabhängigem Potential
Näherung für kleine Zeiten
Erweiterung auf beliebige Zeiten
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FREIES TEILCHEN
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TEILCHEN IM BELIEBIGEN NUR VOM ORT
ABHÄNGIGEN POTENTIAL
Näherung für kleine t =
ε
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ERWEITERUNG AUF BELIEBIGE ZEITEN
Die Zeit im unendlich viele
infinitesimale Zeitabschnitte unterteilt,
analog dem Riemannintegral.
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RÜCKSCHLUSS AUF DIE KLASSISCHE WIRKUNG
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DAS PFADINTEGRAL
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BSP.: HARMONISCHER OSZILLATOR
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NACHTRAG ZUR FUNKTIONALABLEITUNG:
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VOR- UND NACHTEILE DER
PFADINTEGRALFORMULIERUNG
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