Transcript Endliche Automaten Akzeptoren

Endliche Automaten
Akzeptoren
Karin Haenelt
2.5.2010
1
Inhalt
 Endliche Akzeptoren
 Definitionen
 Definitionen: Zustandsübergangsfunktionen
 Varianten endlicher Akzeptoren: DEA, NEA, ε-NEA
 Zustandsübergangsfunktionen für Zeichenfolgen und die von
Akzeptoren akzeptierten Sprachen
 Erkennungsalgorithmen
 Äquivalenzen
 Effizienz
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2
Automatentheorie:
endliche Automaten haben kein Gedächtnis zum
Speichern von Zwischenergebnissen


Mengen der Zustände, der Eingabesignale, der Ausgabesignale sind
endlich
kein Gedächtnis zur Speicherung durchlaufener Zustände:
 Übergang von Zustand zur Zeit t in Zustand zur Zeit t+1 nur
abhängig von
 Zustand zur Zeit t und
 Eingabe im Zustand zur Zeit t
 Vorhergehende Zustände nur dadurch wirksam, dass
 sie über eine bestimmte Eingabe in den aktuellen Zustand
geführt haben, und
 dieser aktuelle Zustand ein bestimmtes Ergebnis repräsentiert.
Start
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B
B
u
Bu
c
Buc
h Buch
3
Definition: Endlicher Akzeptor
 Ein endlicher Akzeptor wird formal spezifiziert durch das
Quintupel A = (Q,q0,F,Σ,δ)
 Q
 q0
 F
 Σ
 δ (q, a)
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endliche Menge von N Zuständen
q0, q1, ... qN-1
Startzustand, q0 Q
Menge der Endzustände, F Q
endliche Menge von M Eingabesymbolen
a1, a2, ... aM
Zustandsübergangsfunktion
4
Formen der Darstellung eines Akzeptors, Beispiele
Transitionsgraph
Start
d
q0
u
q1
r
q2
q3
Startzustand
Tripel
(0,d,1)
(1,u,2)
(2,r,3)
(3,c,4)
(4,h,5)
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c
Transitionsfunktion
h
q4
q5
Endzustand
Transitionstabelle /
Zustandsübergangsmatrix  : Q    Q
 (q0 , d )  q1
 (q1, u)  q2
 (q2 , r )  q3
 (q3 , c)  q4
 (q4 , h)  q5
c
→q0
q1
q2
q3 q4
q4
*q5
d h r
q1
u
q2
q3
q5
Hopcroft/Motwani/Ullmann 2001:48,49
5
Inhalt
 Endliche Akzeptoren
 Definitionen
 Definitionen: Zustandsübergangsfunktionen
 Varianten endlicher Akzeptoren: DEA, NEA, ε-NEA
 Zustandsübergangsfunktionen für Zeichenfolgen und die von
Akzeptoren akzeptierten Sprachen
 Erkennungsalgorithmen
 Äquivalenzen
 Effizienz
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Definitionen
 Korrespondenz
 Es seien M, N Mengen. Dann wird K eine Korrespondenz
aus M in N (bzw. zwischen M und N) genannt,
wenn K
M × N ist. ■ (Starke, 2000: 20)
 rechtseindeutige Korrespondenz
 Eine Korrespondenz ist rechtseindeutig, wenn zu jedem
Element aus M höchstens ein Element aus N in
Korrespondenz steht. ■
 Funktion
 Eine Funktion ist eine rechtseindeutige Korrespondenz ■
 Relation
 Korrespondenzen aus einer Menge A in diese Menge A
werden als Relationen bezeichnet. ■
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Definitionen: Korrespondenz, Funktion, Relation
 Es seien M, N Mengen. Dann wird K eine Korrespondenz aus M
in N (bzw. zwischen M und N) genannt, wenn K  M × N ist. ■1)
L = {(s,f) | die Stadt s
F}
S liegt am Fluss f
 Eine Korrespondenz ist rechtseindeutig, wenn zu jedem
Element aus M höchstens ein Element aus N in Korrespondenz
steht. ■
K = (l,h) | h  H ist die Hauptstadt von l  L.
 Eine Funktion ist eine rechtseindeutige Korrespondenz ■
f(l) = h) | h  H ist die Hauptstadt von l  L.
 Korrespondenzen aus einer Menge A in diese Menge A werden
als Relationen bezeichnet. ■
P = {(p,s) | p,s  S und p ist eine Partnerstadt von s }.
1) Starke, 2000: 20
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Definition: Zustandsübergangsfunktion
 Unter einer Zustandsübergangsfunktion δ (q, a)
versteht man in der Informatik eine mathematische Funktion
oder eine mathematische Relation, die einem Zustand q  Q
eines Automaten bei Eingabe eines Symbols a  Σ keinen,
einen oder mehrere Folgezustände zuweist. ■
 Eine totale Zustandsübergangsfunktion ist für jede Situation
(q,a) definiert. ■
 Eine partielle Zustandsübergangsfunktion ist nicht für jede
Situation (q,a) definiert. ■
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Inhalt
 Endliche Akzeptoren
 Definitionen
 Definitionen: Zustandsübergangsfunktionen
 Varianten endlicher Akzeptoren: DEA, NEA, ε-NEA
 Zustandsübergangsfunktionen für Zeichenfolgen und die von
Akzeptoren akzeptierten Sprachen
 Erkennungsalgorithmen
 Äquivalenzen
 Effizienz
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Varianten endlicher Akzeptoren
A = (Q, q0, F, Σ, δ)
Typ
δ
deterministisch
DEA
totale Funktion
Q×Σ→Q
für jede Situation (q,a)
genau ein Zielzustand
partielle
Funktion
Q×Σ→Q
falls (q,a) definiert
ist
für jede Situation (q,a)
höchstens ein Zielzustand
totale Relation
Q × Σ → 2Q \ 
nicht-deterministisch NEA
partielle R.
nicht-deterministisch ε-NEA totale Relation
mit ε-Übergängen
partielle R.
2Q
für eine Situation (q,a)
- ein oder mehrere
(gilt für totale R.)
Q × Σ → 2Q
- kein, ein oder mehrere
(gilt für partielle R.)
Q × (Σ  ε) → 2Q \  Zielzustände
Q × (Σ  ε) → 2Q
Potenzmenge von Q: Menge aller Teilmengen von Q
Beispiel: Q = {1,2}, 2Q = {{1,2}, {1}, {2},{}}
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Varianten endlicher Akzeptoren: Beispiele
DEA, totale Übergangsfunktion
DEA-t
Q
0
1
2
3F
4
NEA
 :Q   Q

adje
4
2
4
4
dete
1
4
4
4
nomn
3
3
3
3
4
4
4
 : Q    2Q
NEA 
adje dete nomn
Q
0
{1,2} {3}
1
{2}
{3}
2
{3}
3F
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DEA, partielle Übergangsfunktion
 :Q  Q
DEA-p 
Q
adje dete nomn
0
1
3
1
2
3
2
3
3F
Epsilon-NEA  : Q  (   )  2Q
ε-NEA 
adje dete nomn ε
Q
0
{1}
{2}
1
{2}
{2}
2
{3}
3F
12
L = {(dete,adje,nomn), (dete,nomn),(nomn)}
Varianten endlicher Akzeptoren: Beispiele
DEA, totale Übergangsfunktion
DEA, partielle Übergangsfunktion
dete, adje,nomn
adje
0
dete
dete, adje,nomn
4
dete
1
adje
dete,
adje
nomn
2
3
0
dete
1
adje
2
nomn
3
nomn
nomn
nomn
nomn
NEA
Epsilon-NEA
dete
0
dete
nomn
1
adje
nomn
2
nomn
3
0
dete

1
adje

2
nomn
3
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Varianten endlicher Akzeptoren: Bedeutung
 die verschiedenen Varianten
 erweitern endliche Automaten
 erweitern nicht die Klasse der Sprachen, die von einem
endlichen Automaten akzeptiert werden
 erweitern den Programmierkomfort
 Achtung! Die Definitionen von Operationen auf Automaten
werden oft für bestimmte Automaten gegeben;
häufig für DEA mit totaler Übergangsfunktion
(Definitionen stets genau betrachten!)
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Varianten endlicher Akzeptoren:
Verwendungsbeispiele
Fall: - Nicht-Determinismus diente dem Spezifikationskomfort
0
dete
1

adje

2
nomn
3
dete
0
dete
nomn
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1
adje
2
nomn
3
nomn
15
Varianten endlicher Akzeptoren:
Verwendungsbeispiele
Fall: NEA entstanden durch Vereinigung zweier DEA

b
10
a
11
w
h
12
a
15
n
13
l
16
14

d
17
00
01
b

20
a
21
l
22
a
24
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u
23
c
25
h

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Inhalt
 Endliche Akzeptoren
 Definitionen
 Definitionen: Zustandsübergangsfunktionen
 Varianten endlicher Akzeptoren: DEA, NEA, ε-NEA
 Zustandsübergangsfunktionen für Zeichenfolgen und die von
Akzeptoren akzeptierten Sprachen
 Erkennungsalgorithmen
 Äquivalenzen
 Effizienz
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Zustandsübergangsfunktionen für Zeichenfolgen
 Zweck
 Definition des Akzeptierens einer Eingabezeichenfolge
 Bestimmung der von einem Akzeptor akzeptierten Sprache
 Anwendung
 Traversionsalgorithmen
 Überführung der einzelnen Akzeptorvarianten ineinander
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Zustandsübergangsfunktionen für Zeichenfolgen
Erweiterte Zustandsübergangsfunktion
 Einführung einer Funktion ˆ und Festlegung ihrer Bedeutung
 Es sei A = (Q, Σ, δ) ein beliebiger deterministischer Automat,
dann gilt für alle q  Q, w  Σ*, a  Σ
 Basis
ˆ( q,  ) def q
 Induktion
ˆ( q, wa) def  (ˆ( q, w), a )
ˆ( q, aw) 
es gilt
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oder 1)
ˆ( ( q, a ), w)
ˆ( q, a )   (ˆ( q,  ), a ))  ˆ( ( q, a ),  )   ( q, a )
Quellen: Hopcroft/Motwani/Ullman (2002: 58f)
Lawson (2004: 16f)
19
1) Beweis der Herleitung: Starke (1969: 23/24)
Zustandsübergangsfunktionen für Zeichenfolgen
Beispiel
Form 1 ˆ( q, wa) def  (ˆ( q, w), a )
(
δ( (
δ(δ( (
δ(δ(δ(
δ(δ(δ(
δ(δ(
δ(
0
dete
1
q0 ,
dete adje nomn ) =
q0 ,
dete adje ) , nomn ) =
q0 ,
dete ) , adje ) , nomn ) =
( q0 , ε ) , dete ) , adje ) , nomn ) =
q0
, dete ) , adje ) , nomn ) =
q1
, adje ) , nomn ) =
q2
, nomn ) =
q3
adje
2
nomn
3
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Form 2 ˆ( q, aw) 
ˆ( ( q, a ), w)
( q0 , dete adje nomn
)=
( δ ( q0 , dete ) , adje nomn
)=
( δ ( δ ( q0 , dete ) , adje ) , nomn
)=
( δ ( δ ( δ ( q0 , dete ) , adje ) , nomn ) , ε ) =
(δ(δ(
, adje ) , nomn ) , ε ) =
q1
(δ(
, nomn ) , ε ) =
q2
(
,ε)=
q3
q3
ˆ(q0 , (dete, adje, nomn))  ˆ( (q0 , dete), (adje, nomn))  ˆ(q1, (adje, nomn))
ˆ( q1 , (adje, nomn))  ˆ( ( q1 , adje), nomn)  ˆ( q2 , (nomn))
ˆ(q2 , (nomn))  ˆ( (q2 , nomn),  )  ˆ(q3 ,  )
Form 2
ˆ(q3 ,  )  q3
20
Sprache eines deterministischen endlichen
Automaten
 Sei DEA A = (Q, q0,F,Σ,δ), dann ist L(A), die Sprache, die durch
A erkannt wird, und diese Sprache wird wie folgt definiert:

L( A)  {w | ˆ(q , w)  F}
0
 die Sprache L(A), die von A akzeptiert wird, ist die Menge der
Zeichenfolgen w, die vom Startzustand q0 zu einem
akzeptierenden Zustand führen.
 Die leere Zeichenfolge wird dann von einem Automaten
akzeptiert, wenn der Startzustand ein akzeptierender Zustand
ist.
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Erweiterte Zustandsübergangsfunktion im nichtdeterministischen Automaten
 Basis
ˆ(q,  )  q
ˆ( q, a )   ( q, a )
 Induktion
ˆ( q, wa)    (ˆ( q, w), a )
oder
qQ
ˆ( q, aw)   ˆ( ( q, a ), w)
qQ
 Erläuterung

ˆ( ( q, a ), w)
qQ
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angenommen  (q, a)  {q1 , q2 , q3 } ,
dann ist
ˆ(q, aw)  ˆ(q1 , w)  ˆ(q2 , w)  ˆ(q3 , w)
22
Sprache eines nicht-deterministischen endlichen
Automaten
L( A)  {w | ˆ(q0 , w)  F  }
 ein NEA akzeptiert alle Zeichenfolgen, die mindestens einem
Pfad durch den Automaten entsprechen, der am Ende der
Zeichenfolge einen akzeptierenden Zustand erreicht
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23
Übergangsfunktion im NEA mit ε-Transitionen




schließt ε-Transitionen ein
ist also eine Funktion über Zeichenfolgen
Berechnung über ε-Hüllen
Beispiel: ˆ(q 0, nomn)  {q 3, q 5}
adje
q0
dete
q1
advb
nomn
q3
prpo


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q2
q4
temp
q5

das
richtig gutes Beispiel von
heute
dete
advb
temp
adje
nomn
prpo
24
ε-Hülle

ˆ( q,  )
ε-Hülle(q), d.h. alle von q aus rekursiv
durch Eingabe von ε erreichbaren Zustände
 Basis
q    Hülle (q)
 Induktion
p    Hülle (q) und r   ( p,  )

r    Hülle (q)
Grahne, 2002: 46
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ε-Hülle
  Hülle (q0 )  {q0 , q1 , q2 }
  Hülle (q3 )  {q3 , q5 }
  Hülle (q1 )  {q1 , q2 }
  Hülle (q4 )  {q4 }
  Hülle (q2 )  {q2 }
  Hülle (q5 )  {q5 }
adje
q0
dete
q1
advb
q2
nomn
q3
prpo


q4
temp

das
richtig gute
Beispiel von
heute
dete
advb
nomn
temp
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q5
adje
prpo
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Erweiterte Zustandsübergangsfunktion im nichtdeterministischen Automaten mit ε-Transitionen
 Basis
ˆ(q,  )    Hülle (q)
ˆ(q, a)    Hülle ( (  Hülle (q), a))
 Induktion
ˆ( q, aw) 
ˆ( p, w)

 
p  Hülle( (  Hülle( q ),a ))
adje
 Erläuterung
q0
dete
q1
advb
nomn
q3
prpo


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q2
q4
temp
q5

das
richtig gute
Beispiel von
heute
dete
advb
nomn
temp
adje
prpo
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Sprache eines nicht-deterministischen endlichen
Automaten mit ε-Transitionen
L( A)  {w | ˆ(q0 , w)  F  }
 ein ε-NEA akzeptiert alle Zeichenfolgen, die mindestens einem
Pfad durch den Automaten entsprechen, der am Ende der
Zeichenfolge einen akzeptierenden Zustand erreicht
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28
Inhalt
 Endliche Akzeptoren
 Definitionen
 Definitionen: Zustandsübergangsfunktionen
 Varianten endlicher Akzeptoren: DEA, NEA, ε-NEA
 Zustandsübergangsfunktionen für Zeichenfolgen und die von
Akzeptoren akzeptierten Sprachen
 Erkennungsalgorithmen
 Äquivalenzen
 Effizienz
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Erkennung mit einem DEA
current
state
q0 q 1 q2
tape
index
d a s
0 1 2
function D-RECOGNIZE(tape, machine) returns accept
or reject
current-state  initial state of machine
Zustand Eingabesymbol
index  beginning of tape
a
d
s
loop
0 start
1
if end of input has been reached then
1
2
if current-state is an accept state then return accept
2 final
else return reject
elseif transition-table[current-state,tape[index]] is empty then
return reject
else
current-state  transition-table[current-state,tape[index]]
Ergänzung
index  index + 1
für partielle
end
Übergangsfunktion
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Jurafsky/Martin 2000:37
30
Algorithmus zur Erkennung mit einem NEA mit
Agenda
1/3
function ND-RECOGNIZE(tape, machine) returns accept or reject
agenda  {(Initial state of machine, beginning of tape)}
current-search-state  NEXT(agenda)
loop
if ACCEPT-STATE?(current-search-state) returns true then
return accept
else
agenda  agenda  GENERATE-NEW-STATES(currentsearch-state)
if agenda is empty then
return reject
else
current-search-state  NEXT(agenda)
end
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31
Algorithmus zur Erkennung mit einem NEA mit
Agenda
2/3
function GENERATE-NEW-STATES(current-state) returns a set
of search-states
current-node  the node the current search-state is in
index  the point on the tape the current search-state is looking at
return a list of search-states from transition table as follows:
//für -Transitionen
(transition-table[current-node,  ],index) 
(transition-table[current-node,tape[index]], index+1)
NEA

Q
adje dete nomn
0
1
2
{1,2}
{2}
0
1
2
dete adje nomn
{3}
{3}
{3}
Jurafsky/Martin 2000:44
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3f
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Algorithmus zur Erkennung mit einem NEA mit
Agenda
3/3
function ACCEPT-STATES?(search-state) returns true or false
current-node  the node the current search-state is in
index  the point on the tape the current search-state is looking
at
if index is at the end of the tape and current-node is an accept
state of machine
then return true
else return false
Jurafsky/Martin 2000:44
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33
Behandlung alternativer Erkennungspfade im NEA
 Klassische Suchverfahren
 Lookahead (nicht geeignet für Mehrfach-Lösungen)
 Verfolgen der Alternativen mit Agenda
 Paralleles Verfolgen (Agenda als queue, breadth-first)
 Sequentielles Verfolgen / Backtracking (Agenda als stack,
depth-first)
Erkennungswege
Transitionen
dete
Eingabebeispiel „dete,adje,nomn“
0
dete
nomn
1
adje
nomn
2
nomn
3
0
dete
1
adje
2
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nomn
3
2
nicht
fortsetzbar
34
0
d
n
a
1n
d
2
n
3
NEA: Erkennung mit Agenda:
Queue: paralleles Verfolgen Aufgaben werden
- hinten angefügt
- vorne entfernt
Agenda
- Queue - parallel - breadth first
remove task
Eingabe- add task
# Zustand Eingabe- zeichen #
Zielnächste
q
Position
zustand Eingabeq’
Position
init 0
0
dete
#1
1
1
#2
2
1
#1 1
1
adje
#3
2
2
#2 2
1
adje
#3 2
2
nomn
#4
3
3
#4 3
3
-
erkannte
Eingabezeichenkette
dete
dete
dete, adje
dete, adje,
nomn
accept
Aufgabe: ein Paar aus
[Zielzustand, nächste Eingabeposition]
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35
0
NEA: Erkennung mit Agenda:
Stack: sequentiell / backtracking
3
-
n
a
1n
d
2
n
3
Aufgaben werden
- oben angefügt
- oben entfernt
Agenda
- Stack - sequentiell - depth-first
pop task
Eingabe- push task
# Zustand Eingabe- zeichen #
Zielq
Position
zustand
q’
init 0
0
dete
#1
1
#2
2
#2 2
1
adje
#1 1
1
adje
#3
2
#3 2
2
nomn
#4
3
#4 3
d
erkannte
nächste EingabeEingabe- zeichenkette
Position
1
dete
1
dete
2
dete, adje
3
dete, adje,
nomn
accept
Aufgabe: ein Paar aus
[Zielzustand, nächste Eingabeposition]
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36
Inhalt
 Endliche Akzeptoren
 Definitionen
 Definitionen: Zustandsübergangsfunktionen
 Varianten endlicher Akzeptoren: DEA, NEA, ε-NEA
 Zustandsübergangsfunktionen für Zeichenfolgen und die von
Akzeptoren akzeptierten Sprachen
 Erkennungsalgorithmen
 Äquivalenzen
 Effizienz
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Vervollständigung eines DEA mit partieller
Übergangsfunktion
 ein DEA mit partieller Zustandsübergangsfunktion kann
vervollständigt werden
 Ergebnis dieser Konstruktion: zusätzlicher „Fangzustand“
DEA -t 
Q
adje
0
4
1
2
2
4
3 F 4
4
4
dete, adje,nomn
dete
1
4
4
4
4
nomn
3
3
3
3
4
adje
0
dete
nomn
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4
1
dete, adje,nomn
dete
adje
dete,
adje
nomn
2
3
nomn
38
Äquivalenz von DEA und NEA
 Für jeden NEA lässt sich ein äquivalenter DEA konstruieren
(d.h. einer, der dieselbe Sprache akzeptiert)
 Beweis durch Konstruktion eines äquivalenten Automaten
 DEA → NEA: Verfahren: Potenzmengenkonstruktion (auch
Teilmengenkonstruktion)
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2.5.2010
39
Äquivalenz von DEA und NEA
Sei M  (Q, ,  , q 0, F )
wir definieren
ein NEA, der L akzeptiert
M '  (Q' , ,  ' , q'0, F ' ) ein DEA:
Q
Potenzmenge von Q, Menge aller Teilmengen
Q'  2
[q1,q2, … , qi]
q'0
 ' ([ q1, q 2,..., qi ], a)
von Q
- Repräsentant eines Zustandes aus Q ' ,
wobei q1, q2, …, qi aus Q sind.
- ein einziger Zustand des DEA,
der einer Menge von Zuständen des NEA
entspricht
 [ q 0]
 [ p1, p 2,... pi ] , genau dann, wenn
 ({q1, q 2,..., qi}, a)  { p1, p 2,..., pi}
F'
- Anwendung von  auf jeden Zustand aus Q,
der durch [q1,q2, … , qi] dargestellt wird
- Vereinigung der Ergebnismenge
Menge aller Zustände aus Q ' , die einen
Endzustand aus M enthalten.
Hopcroft/Ullmann 1988:22
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Äquivalenz von DEA und NEA: Beispiel
Q

NEA a
b
0
{1}
1
{1,2}
2 fs
Q’
DEA
[q0,q1,q2]
[q0,q1 ]
[q0, q2]
[q0
]
[ q1,q2]
[ q1 ]
[
q2]
[ø
]
a
b
q0

a
b
[q1,q2] [q1]
[q1,q2] [q1]
[q1]
[q1]
[q1,q2]
[q1,q2]
b
a
q1
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q2
q0
a
q1
a
 ([ q1, q 2], a)

 (q1, a)   (q2, a) 
{q1, q2}   
{q1, q2}
q1 q2
41
Äquivalenz von DEA und NEA
in der Praxis oft viele Zustände
vom Anfangszustand [q0] aus
nicht erreichbar
Abhilfe:


lazy implementation
Konstruktion mit Zustand [q0] beginnen
Nur dann Zustände hinzufügen, wenn sie
Ergebnis einer Transition sind, die von
einem bereits hinzugefügten Zustand
ausgeht
Q’
DEA
[q0,q1,q2]
[q0,q1 ]
[q0, q2]
[q0
]
[ q1,q2]
[ q1 ]
[
q2]
[ø
]

a
b
[q1,q2] [q1]
[q1,q2] [q1]
[q1]
[q1]
[q1,q2]
[q1,q2]
a
b
q0
a
q1
q1,2
Hopcroft/Ullmann 1988:24
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42
Äquivalenz von DEA und NEA
Umbenennung der resultierenden Zustände
Q’
DEA
[q0,q1,q2]
[q0,q1 ]
[q0, q2]
[q0
]
[ q1,q2]
[ q1 ]
[
q2]
[ø
]

a
b
[q1,q2] [q1]
[q1,q2] [q1]
[q1]
[q1]
[q1,q2]
[q1,q2]

Q’
DEA
a
b
qC
qA
qB
qC
qB
qB
a
b
q0
a
a
q1
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b
q1,2
qA
a
qB
qC
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Äquivalenz von NEA mit und ohne ε- Transitionen
bzw. Eliminierung von ε-Transitionen
Sei M  (Q, ,  , q 0, F )
wir definieren
ein NEA mit  -Transitionen, der L
akzeptiert
M '  (Q, ,  ' , q 0, F ' )
ein NEA ohne  -Transitionen, der L
akzeptiert:
 F  {q 0}


F

 ' (q, a )  ˆ(q, a)
falls die   HÜLLE(q0) einen Zustand
aus F enthält
sonst
F'
für q  Q und a  
Hopcroft/Ullmann 1988:26
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Äquivalenz von NEA mit und ohne ε- Transitionen
bzw. Eliminierung von ε -Transitionen

adj adv det nom 
NEA a
x
d
n
0
{1}
{1}
1
{2} {2}
{2}
2
{2}
{3}
3 fs
Q
Q’

NEA adj adv det
0
1
2
3 fs
{2}
{2}
{2}
{2}
{2}
det,a,x a
nom
{1,2} {3}
{3}
{3}
0
d
1
a,x
2
n
n
n
 ' (q, a)  ˆ(q, a)
,
0
det
,
1
x
a
2
n
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3
ˆ( q0, det ) 
 - HÜLLE( ( - HÜLLE(q0), det ))
 - Hülle ( (ˆ(q 0,  ), det) 
 - Hülle ( ({q 0, q1, q 2}, det) 
 - Hülle ( (q 0, det)   (q1, det)   (q 2, det)) 
 - Hülle ({q1}    ) 
{q1, q 2}
45
3
Äquivalenzen NEA mit und ohne ε- Transitionen
und DEA

a
Q
-
d
n
x

NEA
0
{1}
{1}
1
{2}
{2} {2}
2
{2}
{3}
3 fs
,
0
d
,
1
x
Q’

NEA a
0
1
2
3 fs
d,a,x
n
3
0
n
x
{2} {1,2} {3} {2}
{2}
{3} {2}
{2}
{3}
a
2
d
d
1
a,x
0
12
2
3 fs
2
2
2
2
d
n
x
12
3
3
3
2
2
a,x
a
n
n
n
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Q’’

DEA a
3
0
d
12
a
a,x
2
n
n
n
46
3
Inhalt
 Endliche Akzeptoren
 Definitionen
 Definitionen: Zustandsübergangsfunktionen
 Varianten endlicher Akzeptoren: DEA, NEA, ε-NEA
 Zustandsübergangsfunktionen für Zeichenfolgen und die von
Akzeptoren akzeptierten Sprachen
 Erkennungsalgorithmen
 Äquivalenzen
 Effizienz
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47
Effizienz endlicher Automaten
 Zeit
 Am besten: deterministische Automaten
 Allgemein: linear
 Platz
 schlechtester Fall eines DEA, der zu einem NEA mit n
Zuständen äquivalent ist: 2n Zustände
 optimierbar mit klassischen Minimierungsalgorithmen
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48
Vielen Dank
 Für das Aufspüren von Fehlern in früheren Versionen und für
Verbesserungsvorschläge danke ich
 Hamdiye Arslan
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49
Literatur






Grahne, Gosta (2002): Introduction to Theoretical Computer Science. Course Slides.
http://www.cs.concordia.ca/~teaching/comp335/2002F
Hopcroft, John E. Rajeev Motwani und Jeffrey D. Ullman (2001). Einführung in die
Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexität. Pearson Studium
engl. Original: Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. AddisonWesley.
Hopcroft, John E. und Jeffrey D. Ullman (1988). Einführung in die Automatentheorie,
formale Sprachen und Komplexitätstheorie. Bonn u. a.: Addison-Wesley, 1988 (engl.
Original Introduction to automata theory, languages and computation)
Lawson, Mark V. (2004). Finite Automata. Boca Raton, London, New York, Washington
D.C.: Chapman&Hall/CRC.
Starke, Peter H. (2000). Logische Grundlagen der Informatik. Skript zur Vorlesung
Theoretische Informatik I. Humboldt Universität zu Berlin.
http://www2.informatik.huberlin.de/lehrstuehle/automaten/logik/skript.pdf
Starke, Peter H. (1969). Abstrakte Automaten. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften:
Berlin (ältere, aber sehr gute mathematische Darstellung)
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Endliche Automaten, Akzeptoren,
2.5.2010
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Versionen





Haenelt_FSA_Akzeptoren 3.1 2.5.2010, 3.0 21.04.2009
Haenelt_FSA-Basis 2.6 27.04.2008, 2.5 05.05.2007, 2.4: 29.04.2007, 2.3: 28.04.2007, 2.2:
23.05.2006, 2.1: 19.05.2006; 2.0: 13.05.2006
24.08.,04.05.,30.04.,24.04.,26.03.2005
04.05.2004
15.01.2003
© Karin Haenelt,
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51
Copyright







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Bibliographic data. Karin Haenelt (20089. Endliche Automaten. Einführung in den
Themenbereich. Kursfolien 30.03.2009
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