Transcript 3- Dynamique-Cinétique

1
Cours GMP35a
Systèmes Mécaniques
 Thierry ALONSO – Septembre 2011 ver 1.0
1- Introduction
2- Modélisation et Analyse de Mécanisme:
2-1 Liaisons et Schéma cinématique
2-2 Analyse mobilités et hyperstatismes de structure
2-3 Rendre une structure isostatique
2-4 Hyperstatisme de liaison
3- Dynamique-Cinétique- Energétique
3-1 Résultante et moment Dynamique
3-2 Principe Fondamental de la Dynamique
3-3 Résultante et Moment Cinétique
3-4 Relation entre Résultante Cinétique/Dynamique et Moment Cinétique/Dynamique
3-5 Energie Cinétique
3-6 Système Equivalent
3-7 Théorème de l'énergie
[email protected]
2
1- Introduction
L'objectif de l'UE GMP35a est de vous donner les outils pour analyser un mécanisme au niveau
de :
1- sa structure (liaison, mobilité, hyperstatisme,…)
2- son comportement dynamique
Les équations seront présentées sous leur forme générale, mais rapidement simplifiées pour
pouvoir les utiliser dans des cas simples de systèmes de solides en translation ou en rotation
autour d'un axe fixe. Les cas plus complexes seront traités en TP à l'aide d'un logiciel de
simulation mécanique.
Déroulement :
9 Heures de cours/TD
16 Heures de TP : Logiciel CAO et Calculs Mécanique (Solidworks+Meca3D)
Evaluation :
CC1 coeff 0,25 + CC2 coef 0,25
Examen (durée 2h) coeff 0,5
3
1-2 Thème support : Ascenseur de radiologie
Zone d'étude
-Translation / y de la table d'examen / bâti Ty (course: 2500 mm.)
- Rotation / y du bras / bâti Ry (débattement 360°)
- Rotation / z de l'arceau / bras Rz (débattement 150°)
- Translation / x du récepteur d'images / arceau Tx (course: 450 mm.)

5
Bâti
(0)
Pivot
Chariot
Pivot
Gli
ssiè
2-1 Schéma cinématique minimal
re
2- Modélisation :
Arbre moteur
(3)
(1)
ie
Hélicoïdale
Vis
c
(2)
(3)
Moteur
3- Dynamique-Energétique
rro
u
o
(2)
C+
(1)
+B
+A

7
2- Modélisation :
re
Bâti
(0)
Nb de pièces sans le bâti : Ns = 2
2x6 équations = 12 équations
Chariot
Mobilité (utile) : mu=1
1 équation du PFS non exploitables
11 équations exploitables !!!
Pivot
Pivot
Par une analyse statique globale
Gli
ssiè
2-2 Mobilités et hyperstatismes de structure
Arbre moteur
(3)
(1)
ie
Hélicoïdale
rro
u
o
Vis
c
(2)
Inconnues Statiques de liaison : Is = 15 inc
Degré d'hyperstatisme : 15 eq -11inc = 4
(3)
Moteur
Glissière : 5 inc
Glissière Hélicoïdale 5 inc
Pivot : 5 inc
(2)
C+
(1)
+B
+A

9
2- Modélisation :
re
Bâti
(0)
Bouclage cinématique :
{1/0}M+ {2/1}M {0/2}M= {0}
Chariot
Pivot
Par une analyse cinématique détaillée
Pivot
Gli
ssiè
2-2 Mobilités et hyperstatismes de structure
Arbre moteur
(3)
(1)
A choisir judicieusement
ie
Hélicoïdale
rro
u
o
Vis
c
(2)
idem  pt


 x
0 0
 2 /1B    2 /1    21

v
x
0
0
 B, x, y , z
V ( B,2 / 1)  21
idem au pt A


 x
0 0
 0 / 2 A    0 / 2    02

0
0
0
 A, x, y , z
V ( A,0 / 2) 
idem au pt B
(3)
Moteur
1/ 0 C

 1/ 0   0 0 0 



v
x
0
0
V
(
C
,
1
/
0
)
 C , x, y , z

  10
(2)
C+
(1)
+B
+A

11
2- Modélisation :
2-2 Mobilités et hyperstatismes de structure
Par une analyse cinématique détaillée
Bouclage cinématique :
{1/0}A+ {2/1}A {0/2}A= {0}
Résultante :
/ x 0  x 21  x 02  0
/ y 000  0
Hyperstatisme en "rotation" autour de y
/ z 000  0
Hyperstatisme en "rotation" autour de z
Moment en A :
/ y 000  0
Hyperstatisme en "translation" autour de y
/ z 000  0
Hyperstatisme en "translation" autour de z
(3)
Moteur
/ x 0  Vx 21  Vx 02  0
(2)
C+
(1)
+B
Dh = 4
+A

13
2- Modélisation :
2-3 Rendre isostatique une structure
Modifier une liaison, en ajoutant des mobilités
Linéaire
Annulaire
Ecrou
(4)
Bouclage cinématique :
{1/0}B + {4/1}B + {2/4}B + {0/2}B= {0}
 0 0 0 

vx10 0 0 C , x, y , z
 1/ 0 C  
idem  pt
x41 y41 z41 

 0 vy41 0 D, x, y , z
 4 /1D  

 4 /1B  
 yBDz41
x41 y41 z41


vy41  xBDz41 xBDy41  yBDx41 B, x, y , z
x24 0 0

 vx24 0 0 
 2 / 4 B  
B, x, y , z
idem au pt A
x02 0 0
 0 / 2 A  

 0 0 0 
Hélicoïdale
Pivot
Arbre moteur
(3)
Moteur
Chariot
(1)
Bâti
(0)
Pivot
Solution N°1 : en ajoutant une linéaire annulaire
l
G
re
iè
s
is
C+
D
+
ie
Vis
(2)
rro
ou
c
x41  x24  x20  0
y41  0
z 41  0
vx24  vx10  y BDz 41  0
vy41  xBDz 41  0
xBDy41  y BDx41  0
A, x , y , z
idem au pt B
+B
Si pas de défauts géométriques : x41  y41  z41  vy41  0
+A

15
2- Modélisation :
2-3 Rendre isostatique une structure
Solution N°2 : en ajoutant 2 pivot glissant d'axe y et z
Chariot
(1)
D
+
+
E
+ B
Pivot glis
sant Ey
C +
Croisillon
(5)
+ A
sant Dz
x
Pivot
Arbre moteur
(3)
ie
Pivot glis
Vis
(2)
Ecrou
(4)
rro
u
co
Hélicoïdale
y
z
Bâti
(0)
Pivot
G
re
iè
s
lis
Bouclage cinématique : {1/0}B + {5/1}B + {4/5}B + {2/4}B+ {0/2}B= {0}
 0 0 0 

vx10 0 0 C , x, y , z
 1/ 0 C  
idem  pt
 5 /1E
0 y51 0


 0 vy41 0 
0 0 z45 

 0 0 vz45 
 4 / 5 D  
E , x, y, z
idem au pt B
D, x, y , z
idem au pt B
x24 0 0

 vx24 0 0 
 2 / 4 B  
B, x, y , z
idem au pt A
x02 0 0
 0 / 2 A  

 0 0 0 
A, x , y , z
idem au pt B
x24  x20  0
y51  0
z 45  0
vx24  vx10  0
vy41  0
vz45  0

17
2- Modélisation :
Moteur
2-4 Hyperstatisme de liaison
Cas de la liaison glissière chariot/Bâti
Etude statique globale :
Nb de pièces = 5  30 équations statiques
Nb de mobilité : utile = 1 ; interne = 4 (sans RSG)
Nb d'inconnues de liaison : 8 ponctuelle + 5 pivot = 33 inc
Hyperstatisme = 7
 réglage des galets !!!

19
2- Modélisation :
2-4 Hyperstatisme de liaison
Cas de la liaison pivot vis/Bâti
Moteur
5 inc
Dh = 2
2 inc

21
3- Dynamique-Cinétique-Energétique :
3-1 Dynamique :
Torseur dynamique : Tdyn ( S / R)Q



Rdyn



M dyn (Q, S / R )



R


(
P
,
S
/
R
)
dm
(
P
)

M
.

(G, S / R )
Résultante Dynamique : dyn 
S
M : Masse du solide (ou systèmesde solides)

(G, S / R) : Accélération du centrede gravitéG du solide S par rapportau référentiel R


Moment Dynamique : M dyn (Q, S / R)   QP  ( P, S / R) dm ( P)
Difficile à calculer !!!
S
3-2 Principe Fondamental de la Dynamique :
Principe Fondamental de la dynamique :
T
dyn
(S / R)Q  Tstat (ext  S )Q
Le référentiel R doit être Galiléen !!!


Théorème de la résultante : Rdyn  RextS


Théorème du moment : M dyn (Q, S / R)  M (Q, ext  S )

23
3- Dynamique/cinétique/énergétique :
3-3 Cinétique :
Torseur cinétique :
T
Cinétique
( S / R)Q



Rcinétique
 

M cinétique(Q, S / R)



Résultante Cinétique : Rcinétique   V ( P, S / R) dm ( P) M .V (G, S / R)
S
M : Masse du solide (ou systèmesde solides)

V (G, S / R) : Vitesse du centrede gravitéG du solide S par rapportau référentiel R



Moment Cinétique : M cinétique(Q, S / R)  M .QG  V (Q, S / R)  I (Q, S ).S / R
Avec :
I (Q, S ) : Matriced' inertiedu solide S expriméau pointQ
Ixx Ixy Ixz
I (Q, S )  Iyx Iyy Iyz
Izx
Facile à calculer pour des géométries simples, sinon à
l'aide du modeleur d'une CAO

S / R : vecteur vitesse de rotationdu solide S par rapportau référentiel R
Izz B
0
x
S / R  y
z
B

0


M
Cas 2 : Q=point fixe  cinétique(G, S / R)  I (G, S ).S / R
Cas 1 : Q=G (centre de gravité) 
Izy


M cinétique(Q, S / R)  I (Q, S ).S / R

3- Dynamique/cinétique/énergétique :
3-4 Relation entre torseur cinétique et torseur dynamique
25

d 
R

M
.

(
G
,
S
/
R
)

R
Résultante Dynamique/Cinétique :
cinétique
dynamique
dt
Moment Dynamique/Cinétique :



d 
M cinétique(Q, S / R)  M .V (G, S / R)  V (Q, S / R)  M dyn (Q, S / R)
dt


d 
d

M
(
G
,
S
/
R
)

M
(
G
,
S
/
R
)

I
(
G
,
S
).

dyn
S/R 
Cas 1 : Q=G (centre de gravité)  dt cinétique
dt


d 
d

M
(
Q
,
S
/
R
)

M
(
G
,
S
/
R
)

I
(
Q
,
S
).

cinétique
dyn
S/R 
Cas 2 : Q=point fixe 
dt
dt
"Facile" à calculer, de manière génrale, on utilisera donc ces 2 cas pour déterminer le moment dynamique

3- Dynamique/cinétique/énergétique :
3-5 Energie cinétique
Energie cinétique d'un solide en translation :
1
Ec  M .V 2 (G, S / R)
2
Energie cinétique d'un solide en rotation :

1 
Ec   S / R .I (G, S ). S / R
2
27

29
3- Dynamique/cinétique/énergétique :
3-6 Système dynamiquement équivalent
Ec(1  2  3)  Ec(1)  Ec(2)  Ec(3)
1
Ec (1)  MV 2 (G1 ,1 / 0)
2

1 
Ec(2)  2 / R .I (G2 ,2).2 / R
2
Ec (3) 
1
I 3 xx . 2 3 / R
2
Moteur
(3)
(2)
C+
(1)
+B
+A
2 / R  I 2 xx I 2 xy I 2 xz  2 / R
2 / R I 2 xx.2 / R
1
1
1

0 . I 2 yx I 2 yy I 2 yz . 0 
0 . I 2 yx.2 / R  I 2 xx. 2 2 / R
2
2
2
0  I 2 zx I 2 zy I 2 zz  0
0 I 2 zx.2 / R
Système équivalent sur l'arbre moteur :

2 / R
r 
 3 .3 / R
r2

p 
p r3 
V (G1 ,1 / 0) 
2 / R 
.3 / R
2
2 r2
2
2






r3
1
p r3
  I 2 xx.   I 3 xx. 23 / r
Ec(1  2  3)  M .
2   2 r2 
r 

2


I3 équivalent
r2=rayon poulie 2
r3=rayon poulie 3
p=pas de la vis

31
3- Dynamique/cinétique/énergétique :
3-6 Système dynamiquement équivalent
Système équivalent sur l'arbre moteur :

2 / R 
r3 
.3 / R
r2

p 
p r3 
V (G1 ,1 / 0) 
2 / R 
.3 / R
2
2 r2

 r3 
1   p r3 
  I 2 xx.   I 3 xx. 23 / r
Ec(1  2  3)  M .
2   2 r2 
r 

2


I3 équivalent
2
2
r2=rayon poulie 2
r3=rayon poulie 3
p=pas de la vis
C+
+B
I3Equ
Cresistant
Cmoteur
+A
Moteur
Moteur
Principe Fondamental de la Dynamique :
..
I 3 Equ. 2  Cmot Crest

33
3- Dynamique/cinétique/énergétique :
3-6 Système dynamiquement équivalent
Système équivalent sur le coulisseau 2 :

2 / R 
r3 
.3 / R
r2

p 
p r3 
V (G1 ,1 / 0) 
2 / R 
.3 / R
2
2 r2
r2=rayon poulie 2
r3=rayon poulie 3
p=pas de la vis
 2 r2   2
 2 
1
Ec(1  2  3)  M  I 2 xx.   I 3 xx.. .  .V (G, S / R)
2
 p 
 p r3  


M équivalent
2
Fresist
C+
Principe Fondamental de la Dynamique :
..
+B
Mequi
+A
Fmot
Moteur
2
M equi . x  Fm ot Fresist

3- Dynamique/cinétique/énergétique :
3-7 Théorème de l'énergie cinétique
Puissance d'une action mécanique sur un solide :
P(S 2  S / R)  TS 2S 
. V (S / R
Puissance des actions mutuelles entre 2 systèmes
P(S 2  S / R)  P(S 2  S / R)  P(S  S 2 / R)
Théorème énergie cinétique :
Pour un solide :
d
Ec ( S / R)  P ( S  S / R )
dt
Pour un ensemble de solides :
n
d
Ec(S / R)  P(S  S / R)   P(Si  S j / R)
dt
i  j 1
35
