Transcript Epidemie w sieciach z*o*onych

Mirosław Król
Wojciech Lechowicz
Przypomnienie

-


-
Sieć:
w interpretacji fizycznej to zbiór wierzchołków (węzłów)
połączonych krawędziami
w interpretacji matematycznej- graf o N wierzchołkach i E
krawędziach, oznaczany symbolem: G(N,E)
podzbiór przestrzenny w zbiorze przestrzenno -czasowym , czyli
systemie.
Sieć prosta:
podzbiór przestrzenny systemu o nieograniczonych zasobach.
Sieć złożona:
sieć, która w przeciwieństwie do sieci prostej jest podzbiorem
przestrzennym systemu, który posiada ograniczone zasoby i nie
znajduje się w równowadze termodynamicznej.
Z historii sieci ( i epidemii)
W Europie przełomu XIII i XIVwieku
bardzo popularna była instytucja
wędrownych szkolarzy.
Z instytucją tą rozpoczęli
rozpoczęli walkę
średniowieczni
inkwizytorzy
Z historii sieci ( i epidemii)
Bernard Gui, wielki inkwizytor przełomu XIII i XIVw., pierwszy
dostrzegł, że aby skutecznie walczyć z wirusem herezji, należy
przestać atakować wszystkich podejrzanych, a zająć się
tropieniem najbardziej aktywnych węzłów (czyli najbardziej
skutecznych szkolarzy) w sieci przenoszącej tego wirusa.
Z historii sieci ( i epidemii)
Związek między działalnością inkwizycji, a współczesną teorią
sieci dostrzegł Edwin Bendyk.
Dodatkowo, w napisanej przez siebie książce zwrócił on uwagę na
to, że większość zjawisk rozprzestrzeniania się, można
modelować w taki sam sposób.
Modelowanie epidemii
Pierwszy znany opis rozprzestrzeniania się epidemii oparty
na równaniach różniczkowych został stworzony przez
D.Bernoullego
Modelowanie epidemii
Twórcami ponadczasowego modelu rozprzestrzeniania się epidemii,
opartego na układzie równań różniczkowych byli Kermack i
McKendrick.
S --> I --> R
gdzie: „-->”- przejście między stanami
Zgodnie z modelem SIR przebieg choroby prowadzi do podziału rozważanej
populacji na trzy grupy:
S- podatnych (ang. Susceptible), czyli takich, którzy mogą zachorować
I- zainfekowanych(ang. Infected), którzy chorują i roznoszą infekcje
R- ozdrowiałych (ang. Recovered), którzy wyzdrowieli i nabyli odporność
Model rozprzestrzeniania się epidemii SIR można uogólnić , np. do modelu:
S --> I --> S
W którym zakłada się
istnienie tylko dwóch
grup osobników
zdrowych(S) i
chorych(I).
S --> I --> R --> S
Który rozważa wpływ
przejściowego okresu
uodpornienia R na dynamikę
rozprzestrzeniania się
choroby.
S --> E --> I --> R
W którym sekwencję zmian
stanów uzupełnia się
dodatkowym stanem E, który
reprezentuje osobników w
utajonym stadium choroby.
Dzięki opisanym modelom można tworzyć układy równań
różniczkowych, które opisują rozprzestrzenianie się epidemii w
czasie. Przykładowo:
Kiedy wybucha epidemia?
Sieci regularne
Kiedy wybucha epidemia?
Sieci regularne
Choroba ma szansę przybrać w populacji formę epidemii, jeśli tempo
rozprzestrzeniania się patogenu jest większe od pewnej progowej
wartości:
Gdzie:
(k)-gęstość sieci
So- początkowa liczba zainfekowanych osobników
Kiedy wybucha epidemia?
Sieci bezskalowe (np. sieci społeczne czy internet)
Przeprowadzając podobne rozważania w przypadku sieci
bezskalowych, można dojść do wniosku, że próg epidemii jest w
nich równy:
Gdzie:
(k)-gęstość sieci
Jak zatrzymać epidemię?
W sieciach bezskalowych epidemii nie można zatrzymać, posługując się
tradycyjnymi metodami.
W sieciach regularnych można to zrobić, gdyż poprzez np.
Szczepienia
Hospitalizację zarażonych
Zwiększanie wydatków na służbę zdrowia
Da się zmniejszać wartość parametru β,opisującego
prawdopodobieństwo zachorowania i zwiększać wartość parametru
γ reprezentującego prawdopodobieństwo wyzdrowienia we wzorze:
Jak zatrzymać epidemię?
W sieciach bezskalowych, w których do wybuchu epidemii wystarcza ,by
nosicielem wirusa był najbardziej aktywny osobnik
(człowiek/zwierzę/komputer), jedynym skutecznym sposobem walki z
epidemią jest sposób, o którym mówił Bernard Gui,
czyli tropienie i eliminacja kluczowych węzłów
(hubów)
Jak zatrzymać epidemię?
Prawdopodobieństwo Ps(t) przeżycia wirusów w Internecie w funkcji
czasu t, który upłynął od momentu ich powstania
.
Podsumowanie