Transcript 平衡不完全区组设计

第八章 不完全区组设计
平衡不完全区组设计
平衡不完全区组设计(区组内分析)
平衡不完全区组设计（区组间分析）
8.1 平衡不完全区组设计
定义1
将v个处理安排于b个区组的一种试验设计方法称
为一个平衡不完全区组设计(balanced incomplete block
design，BIB设计)。若它满足下列三个条件：
（1）每个区组包含k个不同处理（k称为区组的大小）。
（2）每个处理在γ个不同的区组中出现（ γ称为处理的重
复数）。
（3）任何一对处理在 λ个不同的区组中相遇（λ称为相遇
数）。
定理1
平衡不完全区组设计的参数满足
（1）bk=vγ。
（2）γ(k-1)=λ(v-1) 。
（3）平衡不完全区组设计成为随机化完全区组设计的充
分必要条件是k=v，λ=γ=b。
定理2
(Fisher不等式)在平衡不完全区组设计中，b≥v
或γ≥k。
定义2
若一个平衡不完全区组设计满足b＝v（从而γ＝
k ），则称它为对称的平衡不完全区组设计。
定理3 若一个对称的平衡不完全区组设计的参数v是偶
数，则γ－k必是一个完全平方数。
定理4
(Fisher定理)对称的平衡不完全区组设计的任何
两个区组恰好有λ个处理是相同的。
8.2 平衡不完全区组设计的统计分析
（区组内分析）
平衡不完全区组设计的线性统计模型是
 yij     i   j ij

2
  ij iid N (0,  )
约束条件：

i
i
0
(i  1,, v; j  1,, b)
(8.1)

j
j
0
yij
第i个处理在第j个区组时实施的试验结果

一般平均
i
第i个处理的效应
j
第j个区组的效应
 ij
随机误差
我们采用方差分析中的回归方法。为此，先求诸τi的
最小二乘估计。
(8.1)中诸参数统计量所应满足的最小二乘正规方程组为
v
b

ˆ y
ˆ
ˆ
N





k



i
j
..

i 1
j 1

b

ˆ  ˆi   nij ˆ j  yi. (i  1,  , v)
j 1

v

kˆ   nijˆi  k j  y. j ( j  1,  , b)

i 1
利用约束条件：

i
0
i
得
令
1 b
Qi  yi.   nij y. j
k j 1
利用
b
j 1
j 1
j
0
j
y..
ˆ   y..
N
b

2
n
 ij   nij  
得诸 ˆi 的最小二乘估计为
k
ˆi  Qi
v
b
i  t时，
 nij ntj  
j 1
方差分析
1、提出假设
原假设H0： 1   2     n  0
备择假设H1：
 i  0 至少对一个i成立
2、 构造统计量
F
MS处理(调整)
MSE
在H0成立的条件下， F ~ F[v  1, v -1b  1]
其中
MS处理 (调整 ) 
SS处理 (调整 )
f处理 (调整 )
2
y
2
SS T   y ij  ..
N
i
j
v
SS处理 (调整 )  ˆi Qi
b
SS区组  
j 1
i 1
2
.j
y..2

k
N
y
SSE  SST  SS处理(调整)  SS区组
SSE
MS E 
fE
fT  N－1
f处理(调整)  f区组  v－1
f E  fT  f处理(调整)  f区组
3、求临界值
给定显著性水平 0    1，求出临界值F，使
P(F F [v 1, v 1b 1])  
4、求观察值。
根据给定的试验数据求统计量F的观察值。
5、作出判断。
若F  F，则接受H0；若F  F，则拒绝H0。
平衡不完全区组设计的方差分析表
来源
处理(调整)
平方和
自由度
均方和
SS处理(调整) f处理(调整) MS处理(调整)
区组
SS区组
f区组
MS区组
误差
SSE
fE
MSE
总
SST
fT
F值
F
MS处理(调整)
MSE
例1 为了比较4台机器（A，B，C，D）对各台机器产品的平
均切割厚度的影响，选用4种材料作 试验，但每批材料
只够3台机器作试验，由于不同批次对平均切割厚度也
有影响，故采用平衡不完全区组设计。设计的方法和试
验数据如下：
区组（材料）
A
处理
(机器)
y.j
1
2
73
74
B
C
73
D
75
221
3
75
67
75
68
224
4
yi.
71
218
72
214
216
72
75
207
218
222
870=y..
解：为了估计诸处理效应，先计算调整的处理总和：
1
1
9
Q1  y1.   n1 j y. j  218 221 224 218  
k j
3
3
Q2  y2. 
1
1
7


n
y

214

224

207

218


 2j .j
k j
3
3
Q3  y1. 
1
1
4


n
y

216

221

224

207



3j .j
k j
3
3
1
1
20
Q4  y1.   n4 j y. j  222 221 207  218 
k j
3
3
诸处理效应的估计值如下：
k
3  9
9
ˆ1  Q1 
   
v
4 2  3 
8
k
3  7
7
ˆ2  Q2 
   
v
4 2  3 
8
k
3  4
4
ˆ3  Q3 
   
v
4 2  3 
8
k
3  20  20
ˆ4  Q4 
  
v
4 2  3  8
方差分析
来源
平方和
自由度
均方和
F值
处理(调整)
22.75
3
7.58
11.66
区组
55
3
误差
3.25
5
总
81
11
0.65
由于F0.05(3,5)=5.41<11.66，因此，当显著性水平α=0.05
时，结论是：4台机器对平均切割厚度有显著影响。
8.3 平衡不完全区组设计的统计分析
（区组间分析）
我们考虑如下模型：
v
y. j  k   nij i   j
i 1
v


 k   nij i   k j    ij 
i 1
i 1


 ij iid . N (0,  2 )
v
 j iid N (0,  2 )
诸 ij ,  j 相互独立，i, j
约束条件：

i
i
0

j
j
0
(i  1,, v; j  1,, b)
现考虑上述模型中诸参数μ,τi的“区间组”最小二乘估计。


L    y. j  k~   nij~i 
j 1 
i 1

b
由
v
 L
 ~  0


 L  0
 ~i
得最小二乘估计的正规方程组。
v
 ~
~y
N





i
i.


i 1

v
b
k~  ~   ~  n y


i
i
ij . j

i j
j 1
2
其中N=bk
利用约束条件得
~  y..
n
y  k  y..
ij . j
~i 
j
 
例2 继续讨论例1中的试验问题的诸处理效应的估计。求诸 ˆi
的区组间估计。
解
n
1j
y. j  221 224 218  663
j
n
2j
y. j  224 207  218  649
j
n
3j
y. j  221 224 207  652
j
n
4j
j
y. j  221 207  218  646
870
y.. 
 72 .5
12
得诸 ˆi 的区组间估计如下：
663 3  3  72.5
~
 10.5
1 
3 2
649 3  3  72.5
~
 3.5
2 
3 2
652 3  3  72.5
~
 0.5
3 
3 2
646 3  3  72.5
~
 6.5
4 
3 2
将例1和例2的结果列表如下：
处理效应
区组内估计
区组间估计
τ1
-1.12
10.5
τ2
-0.88
-3.5
τ3
-0.50
-0.5
τ4
2.5
-6.5