Transcript Arbres AVL - SnakeEyes

ARBRES EQUILIBRES
Définition :
On dit qu’un arbre binaire est H équilibré si en tout
nœud de l’arbre, les hauteurs des sous-arbres gauche
et droit diffèrent au plus de 1.
Exemple :
MIGO ET COMPLEXITE
1
Fonction DESEQUILIBRE sur les arbres binaires
Déséquilibre (Ø)= 0
Déséquilibre (<O,G,D>)= hauteur (G) – hauteur (D)
Remarque :
Un arbre T est H-équilibré si pour tout sous-arbre S de
T on a :
Déséquilibre (s)Є -1,0,1
MIGO ET COMPLEXITE
2
Proposition
Tout arbre H-équilibré ayant n nœuds a une hauteur h
vérifiant :
log 2 (n+1) ≤ h + 1 <1,44 log 2 (n+2)
Preuve
a) Arbre H-équilibré de hauteur h contenant le plus de
nœuds ?
Celui dont tous les niveaux sont complètement remplis
Déséquilibre o en chaque nœud
Nmax (h) : nombre de nœuds d’un tel arbre
Nmax (h) = 1+2Nmax (h-1)
Nmax (o) = 1
MIGO ET COMPLEXITE
3
Nmax (h) = 2h+1 – 1
Donc pour tout arbre H-équilibré ayant n nœuds et de
hauteur h :
n ≤ 2h+1 – 1
n+1 ≤ 2h+1
Log2 (n+1) ≤ h+1
b) Arbres H-équilibrés de hauteur h contenant le moins
de nœuds ?
▪ si déséquilibre = -1 ou +1
dans tous les noeuds
Nmin (h) : nombre de nœuds d’un tel arbre
Nmin (o)=1, Nmin (1) = 2
Nmin (h) = 1+Nmin (h-1) + Nmin (h-2)
MIGO ET COMPLEXITE
4
Soit F(h) = Nmin (h) + 1
On a :
F(h) = F(h-1) + F (h-2)
F(o)є = 2 ; F(1) = 3
Equation de récurrence de Fibonacci
F (h) = rh
F (h-1) = rh-1 ; F(h-2) = r
h-2
rh = rh-1 + rh-2
rh-2 (-r2 + r + 1) = 0
≠0
r2-r-1=0
∆=1+4=5
r1 = 1+√5 = Ø,
r2 = 1- √5 = Ø
2
2
MIGO ET COMPLEXITE
5
La solution est de la forme
F(h) = λ1 Øh + λ 2 (Ø)h
F(o) = 2
2 = λ1 + λ2
(1)
F (1) = 3
3 = λ1 Ø + ‫ג‬2 Ø
3 = λ1 (1+√5) + λ2 (1-√5)
2
2
6 = λ1 (1+√5) + λ2 (1-√5)
6 = λ1 + ‫ג‬2 + √5 (λ1 - ‫ג‬2 )
6 = 2 + √5 (‫ג‬1 - ‫ג‬2 )
4 = ‫ג‬1 - ‫ג‬2
(2)
(1) + (2) :
2 + 4 = 2 ‫ג‬1
√5
λ1 = 1 + 2 = √5 + 2
√5
√5
MIGO ET COMPLEXITE
6
Ø = 1 + √5
2 Ø-1 = √5
2
λ1 = 2Ø-1+2 = 2Ø+1
2Ø-1
2Ø-1
λ2 = 2- ‫ג‬1
= 2-(√5 + 2) Øh + (√5 – 2)
√5
√5
F(h)= 1 (√5 + 2) Øh + (√5 – 2) Øh
√5
MIGO ET COMPLEXITE
7
F (h) = 1
(Øh+3 – Øh+3)
√5
Nmin (h)+1 = 1 (Øh+3 – Øh+3)
√5
Donc pour tout arbre H-équilibré à n noeuds et de hauteur h
N+1 >1 (Øh+3 – Øh+3)
√5
Or :
-1 <Øh+3 = (1- √5 )h+3 <1
2
n+1>1 (Øh+3 – 1)
√5
1+ √5(n+1) ≥ Øh+3
Log Ø
1+√5(n+1) ≥ h+3
Log Ø
√5(n+2) ≥ h+3
MIGO ET COMPLEXITE
8
Log Ø (x) = (log2 (Ø))-1 log2 (Ø)
h+3 < logØ ( √5) + logØ (n+2)
< 2 +1
log2 (n+2)
log2(Ø)
Remarque :
√5 < Ø2 = (1+√5)2
2
logØ (√5) < logØ (Ø2)
<2
1
~1,44
Log2 Ø
h+1 < 1,44 log2 (n+2)
MIGO ET COMPLEXITE
9
Arbres AVL
Adelson – Velskii – Landis
Définition
Un AVL est un arbre binaire de recherche H-équilibré
Equilibrage ?
Rotations
Rotation droite, rotation gauche
A=
q
p
u
w
v
p
rd (A)
q
u
rz (A)
v
w
A, u, v, w : arbres binaires de recherche
MIGO ET COMPLEXITE
10
 Rotation gauche-droite
r
A=
rgd (A)
p
T
u
r
p
q
T
q
w
u
y
w
v
A, T, u, v, w : arbres binaires de recherche
Remarque :
rotation gauche-droite = la composée d’une rotation gauche
sur le sous-arbre gauche de A suivie d’une rotation droite sur
A
MIGO ET COMPLEXITE
11
Function RD (A : ARBRE) : ARBRE ;
Var Aux : ARBRE ;
Begin Aux : = A .g ; A .g : = Aux .d ;
Aux .d = A ; RD : = Aux
end RD ;
Function RGD (A : ARBRE) : ARBRE ;
Begin
A .g : = RG (A .g) ;
RGD : = RD (A)
end RGD ;
MIGO ET COMPLEXITE
12
Adjonction dans un AVL et rééquilibrages
Exemple : 12, 3, 2, 5, 4, 7, 9, 11, 14, 10
12
E1 :
12
E2 :
3
12
3
rd
E3 :
3
2
12
3
2
E4 :
2
12
5
3
3
E5 :
2 12
2
rd
2
5
0
1
0
4
5
4
MIGO ET COMPLEXITE
12
13
E6 :
-2
3
5
rg
2
5
3
4
12
12
2
4
7
7
E7 :
5
5
rgd
3
2
12
3
9
7
4
2
2
4
12
9
E8 et E9 :
5
3
2
7
9
4
7
12
11
MIGO ET COMPLEXITE
14
14
5
3
2
5
rgd
-2 9
4
7
12
11
3
2
11
4
14
9
7
12
10
14
10
Principe général
Soit T= <r, G, D> un AVL
Supposons que l’adjonction de l’élément x ait lieu sur
une feuille de G et qu’elle fasse augmenter de 1 la
hauteur de G et que G reste un AVL
1) Si le déséquilibrage de T valait 0 avant l’adjonction, il
vaut 1 après.
T reste un AVL et sa hauteur a augmenté de 1
MIGO ET COMPLEXITE
15
2) Si le déséquilibrage de T valait -1 avant l’adjonction, il
vaut 0 après.
T reste un AVL et sa hauteur n’est pas modifiée
3) Si le déséquilibre de T valait +1 avant l’adjonction, il
vaut +2 après.
T n’est plus H-équilibré
il faut le restructurer en AVL
adj dans sous-arbre
2 cas possibles
gauche de G
adj dans sous-arbre
droit de G
MIGO ET COMPLEXITE
16
b
a
a
rd
b
..
..
c
...
..
...
..
a
b
..
rgd
b
...
..
...
...
..
...
a
MIGO ET COMPLEXITE
c
17
ALGORITHME D’ADJONCTION DANS UN AVL
Ajoutavl : Arbre x Valeur
Arbre
ajoutavl (Ø,x) = x
x≤r
ajoutavl (<r, G, D>, x) =
rééquilibrage (<r, ajoutavl (G, x), D>)
x>r
ajoutavl (<r, G, D>, x) =
rééquilibrage (<r, G, ajoutavl (D, x)>)
Rééquilibrage :
Arbre
Arbre
Déséquilibre :
Arbre
{-2,-1,0,1,2}
MIGO ET COMPLEXITE
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Déséquilibre (T)=0 (ou 1 ou -1)
rééquilibrage (T) = T
Déséquilibre (T)=+2 et Déséquilibre (g (T))=+1
rééquilibrage (T) = rd (T)
Déséquilibre (T)=-2 et Déséquilibre (d (T))=-1
rééquilibrage (T)=rg (T)
Déséquilibre (T)=+2 et Déséquilibre (g(T))=-1
rééquilibrage (T)=rgd (T)
Déséquilibre (T)=-2 et Déséquilibre (d(T))=+1
rééquilibrage (T)= rdg (T)
Implémentation
NŒUD ;
type AVL =
NŒUD = record deseq : -2..+2 ;
val : VALEUR ;
g, d : AVL
end ;
MIGO ET COMPLEXITE
19
Procédure AJOUTAVL (var T : AVL ; x : VALEUR) ;
Var Y, A, AA, PP : AVL ; { AA est le père de A ; PP père
de P }
begin { création du noeud à ajouter }
new (Y) : Y .val : = x ; Y .deseq :=0 ; y
.g=nil ; y .d : = nil ; if T = nil then T:=Y
Else
Begin { descente à la recherche de la feuille, en
mémorisant le dernier noeud pointé par A dont le
déséquilibre est + 1 }
A : = T ; AA : = nil ; P : =T ; PP:= nil;
while P <> nil do begin
if P
. deseq <> 0 then begin A : = P ; AA : =
PP : P ;
If x ≤P .val then P : = P .g else P:z P .d
PP; end
{ adjonction }
If x ≤ PP .val then PP .g : = Y else PP .d : = Y ;
{modification du déséquilibre sur le chemin de A à Y}
MIGO ET COMPLEXITE
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P = A;
while P <> Y do if x ≤ P .val then begin
P .deseq : = P .deseq + 1 ; P : = P .g end else begin
P .deseq : = P .deseq - 1 ; P : = P .d end ;
{ rééquilibrage }
Case A .deseq of
O, +1,-1 : return ;
+2:
Case A .g deseq of
+1:begin A:=RD(A) ; A deseq :=0 ; A .d .deseq:=0 ;
End ;
-1:begin A:=RDG (A);
Case A .deseq oF
+1:begin A .g .deseq :=O ; A .d .deseq :=-1 end ;
-1:begin A .g .deseq :=-1 ; A .d .deseq :=0 end ;
0:begin A .g .deseq :=O ; A .d .deseq :=0 end ;
End ;
A .deseq :=0;
End ;
End ;
MIGO ET COMPLEXITE
21
-2:{ cas symétrique du cas +2 }...
End { fin du cas }
If AA = mil then T:=A
Else if A .val ≤AA .val then AA .g : = A else
AA .d:=A
End ;
+2:
Case A .g deseq of
+1:begin A:=RD(A) ; A deseq :=0 ; A .d .deseq:=0 ;
End ; { descente }
End AJOUT VAL ;
MIGO ET COMPLEXITE
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