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Transcript φ - INFN - Sezione di Padova
LO STANDARD MODEL
COME
TEORIA EFFETTIVA
Paolo Bellan
Università di Padova
-
Dottorato di Ricerca in Fisica
-
XX Ciclo
CONTENUTI
& dello SM
Origine delle masse nello SM
Correzioni quantistiche ad mH
Il Potenziale Efficace I: descrizione qualitativa
Il Potenziale Efficace II: derivazione analitica e tecniche di calcolo
Il Potenziale Efficace III: R-G improvement
Stabilità e metastabilità del potenziale
La probabilità di tunneling: derivazione, BOUNCE
Correzioni quantistiche: accenni alle tecniche e risultati.
Descrive coerentemente praticamente tutti i fenomeni osservati nel
laboratori di Fisica delle particelle e di HEP;
Testato con successo sino alle energie della scala e-w (~ 102 GeV);
Eccellente accordo coi dati dei vari esperimenti di tutto il mondo;
Contiene “CHICCHE” teoriche di notevole importanza: rinormalizzabilità
del modello, meccanismo GIM, presenza di simmetrie accidentali etc.
Non contempla la Gravità;
Non fornisce possibili spiegazioni per alcuni fenomeni
sperimentali (masse dei neutrini, pentaquarks(?), QGP, …);
astrofisici (D.E. / D.M.);
Non spiega l’origine dell’entità delle masse dei fermioni, del mixing tra
i flavour e della violazione di CP;
Troppi parametri liberi;
Non si pronuncia sull’unificazione delle c.c. ad alte energie
Problemi della GERARCHIA di gauge / della NATURALEZZA
Naturale considerare lo SM quale una Teoria Efficace o di bassa energia,
restirzione di una teoria piú generale con nuovi gradi di libertà @ ΛNP
Per campi a spin ½:
Proprietà di anti-commutazione
delle matrici γ ( ↔ comportamento
sotto trasformazioni di Lorentz )
L iD
R
R iD
L
ove
richiesta di invarianza
sotto trasf. di Gauge
locali
termini cinetici
nella forma:
D
D ( igT aWa ig YB )
ma non sono permessi termini di massa di Dirac o di Majorana:
M
(Dirac)
LT 2 M L oppure RT 2 M R
(Majorana)
Pertanto per i campi a spin ½ i termini di massa sono proibiti nel limite di simmetria esatta
Ma anche per i campi bosonici Aμ a spin 1 sono proibiti termini di massa tipo M2AμAμ....
Tali termini di massa si dicono
Rimangono “non protetti”
soltanto i termini di massa per
campi a spin 0 tipo M2φL+φL…
Per generare le masse non nulle di fermioni e bosoni di gauge si introduce la rottura
spontanea della simmetria di gauge della lagrangiana mediante l’introduzione di un
campo scalare φ dal VEV non nullo ed il meccanismo di Higgs…
Scelta più semplice:
• φ “elementare” (anche se si studiano teorie in cui…)
f
f
f
• doppietto di SU(2) (affinché siano scalari i termini di massa dei fermioni tipo g L R )
• potenziale semi-definito positivo ed inf. limitato a d ≤4 φ4
LHiggs ( , i , Ai ) D D V ( ) couplings. ferm ionici
2
V ( ) V0 2 ( ) 2
;
v 2 / 2 2 / 2
1
1
1
Ridefinendo il campo: V ( H ) v 4 2v 2 H 2 vH 3 H 4
4
2
4
2
0 instabilita'
MH
Higgs
polo di Landau
NB: struttura valida solo
a livello albero
correzioni quantistiche
potenzialmente larghe…
self -interactions
NUOVA PARTICELLA di massa M
L
m
R
2
m
m log 2
16 2
M
Stabilità
del
settore
bosonico / fermionico
rispetto alle correzioni
radiative: δm/m << 1 up 2
M~1019GeV
2
g2
2
m
M log 2
16 2
M
Se M2 >> 102 GeV
severo fine-tuning ad
m²bare per mantenere
v ~ 246 GeV
2
g 2
2
MH non è protetta da alcuna
simmetria
dipendenza
quadratica dal cut-off della teoria:
δm² ~ Λ²
(Tecnicamente) INNATURALE (ma
non impossibile!) problema del
fine-tuning e della sua stabilità
Una soluzione elegante
alla questione viene
dalle teorie SUSY:
Q, Q P
Q, Q Q , Q 0
Q, P Q , P 0
Q fermion boson
Q boson fermion
bosone
ferm ione
“−”
“=”
0
Sparisce la dipendenza
power-like dal cut-off
nel potenziale di Higgs
Con le SUSY il problema della “big hierarchy” (scala ew << Plank) non è più un problema tecnico
(ma la sua origine rimane inspiegata…)
Altro sospetto di una teoria soggiacente più ampia: cancellazione dell’anomalia della
corrente assiale sommando su ciascuna famiglia fermionica
J A
J V
f
A
v
Tale grafico conduce alla violazione della simmetria classica
della lagrangiana; se JA è associata ad una corrente di gauge e
C≠0 la rinormalizzabilità e persa! A MENO CHE sommando
sulle varie famiglie fermioniche non avvenga che:
v
J C
F F
C T rT a T b ,T c
J V
J A / V : correnteassiale / vettoriale
T
f
f
A
TVf TVf 0 ed infatti guarda caso
T QQ 0
3
f L uL ,d L ,vL ,eL
!
Leff LSM
i
ci
i(5) ...
NP
Parte rinormalizzabile (tutti i
possibili operatori a d≤4 compatibili
con la simmetria di gauge)
Possibile parametrizzazione
dei nuovi gradi di libertà
Leff NON è rinormalizzabile in senso stretto, ma può esserlo odine per ordine
Effective
QFT
Fino a quale scala lo SM e
una buona teoria effettiva,
cioè
Quanto vale ΛNP ?
PURTOPPO lo SM è rinormalizzabile! Gli effetti dei nuovi d.o.f. possono venir nascosti nella
rinormalizzazione delle coupling degli operatori a d≤4 i nuovi d.o.f. si DISACCOPPIANO
due possibili
approcci sono:
• studio della stabilità del potenziale di Higgs sotto
correzioni quantistiche, dalla scala ew fino a ΛNP
• ricerca indiretta di NP indotta dagli operatori a d>4
(test di precisione e processi rari)
Per studiare l’effetto delle correzioni quantistiche sul potenziale di Higgs si introduce
il concetto di POTENZIALE EFFETTIVO.
Qualitativamente:
Densità di Lagrangiana
“classica” per un campo
scalare φ
Hamiltoniana
Il “Potenziale” V(φi) è definito come
l’opposto della parte non derivativa della
(densità di) Lagrangiana
densità di energia di
un campo costante φ
VEV degli scalari φi della teoria,
(invarianti sotto traslazioni,
conservazione dell’ impulso
NON SSB) Funzioni di
Green (=VEV di un prodotto di
campi T-ordinato
Spettro di masse di
una teoria di gauge
Soluzioni della:
densità di energia (di un
sistema classico in termini del
VALORE) del campo φ(x)
V
0
i
Si cercano le soluzioni delle
e.o.m. invarianti sotto traslazioni
CORREZIONI QUANTISTICHE
Contributi alla densità di energia del campo φ tenendo conto delle possibili emissioni e
riassorbimenti di particelle virtuali contributi dei loop di particelle virtuali
all’energia di interazione
INTERAZIONI grafici con un
certo numero di gambe esterne:
0 gambe est.
Energia del vuoto shift
del livello 0 dell’energia di
una costante
1 gamba est.
Assorbiti in una
ridefinizione (shift)
del campo
I grafici riducibili (separabili in
due distinti dal taglio di una
linea interna) non contribuiscono
all’energia di interazione (il loro
contributo si semplifica nello
sviluppo della matrice S…)
Le correzioni quantistiche al potenziale classico si ottengono sommando tutti
e soli i grafici “1PI”.
Per esempio, esempi di grafici 1PI che contribuiscono alle correzioni quantistiche al
propagatore (per una teoria massless tipo λφ4, solo interazioni 4-lin):
+
+
+…
+
+ …+
+…
convenzionalmente valutati senza propagatori sulle gambe esterne.
Potenziale ↔ termini senza derivate nei campi si può considerare infinitesimo
l’impulso nelle gambe esterne di tali grafici
Correzioni quantistiche al potenziale classico ↔ somma di tutti e soli i grafici “1PI” ↔
Potenziale efficace, il cui (nuovo) minimo determina se avviene la SSB
Più quantitativamente…
STRATEGIA
Somma di tutti i
digrammi connessi
con n linee esterne
L L L J ( x) ( x)
•Si inserisce una “fonte esterna” J(x) linearmente
accoppiata al campo φ; è un C-numero in funzione
del punto dello spazio-tempo
S disc [ J ] 0 Out 0 In
•Il funzionale generatore W(J) e` definito in termini
dell’ampiezza di transizione tra gli stati di vuoto nel
iniziali e finali in presenza della fonte esterna J
•I coefficienti G dell’ espansione in serie di Taylor W
funzionale di W sono le funzioni di Green
connesse
n
exp L d xD[ ]
e
exp L d xD[ ]
4
J
iW [ J ]
4
1 4
4
(n)
d
x
...
d
x
G
( x1 ... x n ) J ( x1 )... J ( x n )
1
n
n!
J ( x)
l’azione effettiva Γ(φc); φc e’ chiamato il “campo
c ( x)
4
( c ) W ( J ) d x J ( x) c ( x)
medio” o “classico” (obbedisce all’eq. classica…)
1
Espansione in potenze di φc
( c ) d 4 x1 ... d 4 x n ( n ) ( x1 ... x n ) c ( x1 ) ... c ( x n )
•Nell’espansione dell’ l’azione effettiva in serie di
n n!
potenze di φc si individuano le funzioni di Green dei
2
1
d 4 x Veff ( c ) c Z ( c ) ...
grafici 1PI della teoria, detti anche vertici propri,
2
mentre espandendola potenze delle derivate di φ (in
W 0 Out 0 In
c
•La trasf. di Legendre funzionale di J fornisce
J ( x) 0 Out 0 In
J
c
impulso dal punto in cui quelli esterni si annullano)
si definisce il potenziale efficace
Espansione in impulso
POTENZIALE
EFFICACE
Somma di tutti i
diagrammi 1PI con
n linee esterne
Espandendo in potenzedelle derivatedi c :
2
1
( c ) d 4 x Veff ( c ) c Z ( c ) ...
(*)
2
1
4
4
(2n)
( c )
d
x
...
d
x
( x1 , ..., x n ) c ( x1 ) ... c ( x 2 n )
1
2
n
2
n
!
n 0
1
( Fourier)
d 4 x1 ... d 4 x 2 n c ( x1 ) ... c ( x 2 n ) (2 ) 4 (pi )
n 0 2n !
d 4 p1 ... d 4 p 2 n i ( x1 p1 ... x2 n p2 n ) ˆ ( 2 n )
e
( p1 , ..., p n )
2n *4
(2 )
espandendo ( 2 n ) ( p1 , ..., p n ) attornoad pi 0 e
confrontan
do terminea terminecon la (*) risulta :
1
[ c ]2 n 2 n (0,...,0)
n 0 2n !
V ( c )
Dunque avremo:
L= ½(∂φ)²- ½ μ²φ² - (λ/4!)φ4
+
φ → -φ
=
scompaiono le potenze dispari
negli sviluppi in potenze di Γ e Veff;
Veff(φc) ~ densità di energia dello
stato in cui φ(x)≡φc = const o
meglio valore di aspettazione della
densità di energia nello stato ψ che
minimizza <ψ|H|ψ> sotto la
condizione <ψ|φ(x)|ψ> = φc
Il potenziale efficace é dunque somma
di tutti i diagrammi 1PI con impulsi
infinitesimi sulle gambe esterne.
1 2
( ) U ( ) Vtree U ( c )
2
livello albero
L
+ correzioni
V 1loop
+
+
+…
Il meccanismo della SSB avviene se φc assume un VEV non nullo anche se J(x) va a zero:
W 0 Out 0 In
J ( x) 0 Out 0 In J
0
SSB se c 0 |
(
x
)
c
J ( x)
c ( x)
c
VEV invarianti
per traslazioni
dVeff
0
d c ( x)
per qualche c 0,
(diciamo
)
SSB se
Il valore <φ> di φc a cui si trova il minimo è il valore di aspettazione di φ nel nuovo minimo
Correz. radiative → potenziale efficace → diagrammi 1PI →
→ integrali sull’impulso → divergenze → RINORMALIZZAZIONE!
Teorie rinormalizzabili ↔ divergenze riassorbite nella ridefinizione di parametri e campi.
Definendo la (massa)² del mesone come
l’inverso del propagatore @ p=0:
…e la costante di accoppiamento tramite la
funzione a quattro punti sempre a @ p=0:
d 2V
( pi 0) 2
d c ( x)
d 4V
R 4 c 0
d c ( x)
2
R
2
c 0
tramite queste si ricaverà massa e coupling, definendo φ' = φ - <φ> ( φc' = φc - <φ>)
e valutandole NON in zero bensì in φc = <φ>
Potenziale efficace ↔ somma su tutti gli infiniti grafici 1PI… ?! Impossibile!
L L
1
Poi sarà α = max
[g²,g'²,λ,yt…]/4π;
vogliamo sia << 1
Potenze di α = N°[linee int.] - N°[vertici]
N°[ loop]= N°[integrali INDIP sul momento]
potenze di α = N°[ loop] +1
= N°[linee int.] - N°[vertici] - 1[pTot = cost ]
Pertanto:
loop-expansion
≈
sviluppo in una costante
che moltiplica l’intera
lagrangiana (p.es h, poi
posta uguale ad uno)
non influenza la sua
divisione nella parte
libera e di interazione,
o lo shift dei campi
Il potenziale a one-loop è dunque la somma di tutti i diagrammi ad un loop con attaccati
all’anello uno-due-…-N “ciuffi” di n-2 gambe esterne, se n è la potenza a cui compare φc nel
potenziale. Se il potenziale è del tipo g(φc)n/n!, per l’r-esimo grafico della somma avremo:
fattore (k2+iε)-r
fattore g/(n-2)! CIASCUNO (invarianza dello scambio delle
n-2 linee est. a ciascun vertice)
fattore g∙φcr(n-2)
integrazione sull’impulso
fattore combinatorio 1/2r
Una “i”
r propagatori
r vertici a (n-2)r gambe
r(n-2) linee esterne
La loop
simmetria per rotazioni e riflessione del grafico
definizione di funzionale generatore
n2
c
d k
1 g c /(n 2)!
1loop
Veff ( c ) g
n ! (2 ) 4 r 1 2r
k 2 i
n
Il potenziale effettivo a one-loop sarà:
con una rotazione di Wick, nel piano
Euclideo avremo:
V
1loop
eff
4
r
n2
g c
1 d 4 k
( c ) g
ln1
4
2
n ! 2 (2 )
(n - 2)!k
cn
Se ci fosse nel potenziale un altro termine del tipo g`(φc)m/m! come argomento del log
sarebbe comparso un termine analogo ma con potenza e fattoriale pari a m-2.
Per un generico potenziale polinomiale U avremmo:
1loop
eff
V
1 d 4 k U ( c )
( c ) U ( c )
ln1
2 (2 ) 4
k2
Divergente! si taglia a k = Λ (e se la th è
rinormalizzabile la dipendenza da Λ sparirà)
Un metodo alternativo (Lee-Sciaccaluga) molto semplice e più efficace ad ordini superiori:
espansione dell’azione effettiva non attorno a φc=0 ma attorno ad φc = ω Γ(n) sarà il
generatore dei diagrammi 1PI di una teoria in cui φc è stato sostituito da φc – ω;
l’espressione per il potenziale efficace conterrà ora potenze di φc – ω.
Differenziando ora l’espressione di Γ(1) rispetto ad ω e ponendo φc = ω si ottiene subito:
Per esempio nel caso di una teoria con
scalare massivo auto-interagente avremo il
“solito” potenziale dello SM, shiftato di ω:
La massa di φc ora vale μ2 + λω2 : il termine
tri-lineare sarebbe –λωφc3 così tale vertice
avrebbe il fattore –3!iλω il tad-pole
varrebbe:
Moltiplicato per i ed integrando su ω:
cioè come prima a meno di costante.
dV
d
V0
(1)
“
i
”
c
1 2
1
( c ) 2 4 ( c ) 4
2
4
i d 4k
3!
2 (2 ) 4 k 2 2 3 2
1 d 4k
ln k 2 2 3 2
4
2 (2 )
c
1
1
Vtree 2 2 4
2
4
Per un potenziale quartico
( 2 3 c2 ) 2
2
2
2
4
Veff Vtree
ln(
3
)
a
b
c
c
c
64 2
il potenziale efficace risulta:
con a e b controtermini (cutoffdependent) da determinarsi con le
condizioni di rinormalizzazione
L’origine non è più di minimo, ma ve ne può essere uno nuovo
SSB!
Inoltre, se φc piccolo & μ²<0 → V immaginario!
Occorre implementare la sottrazione ad un valore di φc tale che Veff sia reale
PROBLEMA!
Rinormalizzazione
d 2V
( pi 0) 2
d c ( x)
d 4V
R 4 c 0
d c ( x)
2
R
2
c 0
La derivata IV del potenziale
non esiste, ha una singolarità
logaritmica nell’origine!
Si definisce allora la c.c. in un
qualche arbitrario “punto” M
lontano dalla singolarità:
d 4V
R 4
d c ( x)
c M
Così facendo:
• si introduce un parametro arbitrario M con le
dimensioni di una massa;
• il nuovo minimo dipende da M, cosiccome la c.c.
• La dipendenza da M NON entra nella fisica:
cambiando M cambia solo λR
2
1
9R 4 c2 25
4
Veff R c
ln 2
2 c
4
64
M 6
9
M 2
M M R R
ln 2
2
16 M
2
Il valore a cui si opera la sottrazione può essere LONTANO dal range di validità della
loop-expansion: affinché sia affidabile, il parametro di espansione dev’essere sia << 1
n
c 2
c 2
n loop
n 1
(1)
Veff ( c ) ln 2 Vogliamo che Veff ( c ) ln 2 1
M
M
posso fissare adeguatamente M; ma se voglio lavorare in un intervallo del potenziale
tra φ1 e φ2 , dovrà essere anche ln( (φ1/φ2)²) << 1;
Occorre calcolare il potenziale efficace “RG-improved”
M arbitrario (entra nell’espressioni di λ); la “Fisica”, il Veff non deve dipendervi (le
dipendenze si devono poter assorbire) → Equazioni del gruppo di rinormalizzazione;
Veff
0 M
gi
Veff ( ) 0
M
g i
M
βgi: “β-function” (una per
ciascuna coupling) e γ
“dimensione anomala”:
coefficienti parametrici che
dipendono dalle c.c. e da M
dgi
dM
d
/ M
dM
( , g i ) M
β e γ sono note solo come sviluppi in
serie di potenze nelle c.c., che saranno
affidabili se le gi << 1 SENZA
richiedere che gi ln(φc/M) << 1 !
NB Una RGE per ciascuno dei termini μ²φ², (λ/4!)φ4 del potenziale; quindi avremo le βfunction βμ , βλ (in realtà un’equazione per ciascuna Γ(n), visto non devono dipendere dalla
scala di rinormalizzazione M)
Condizioni al contorno per le RGE:
dV
d c ( x)
d 2V
d c
0
Note dunque le masse di fermioni ed Higgs, risulta
determinato il potenziale efficace “RG-improved”;
mH2
viceversa dal suo calcolo e confronto coi dati si
possono mettere limiti su mH…
v ( 247 GeV )
2 v ( 247 GeV )
…tutti con interazioni rinormalizzabili:
• gauge invarianti
• self-interaction quartiche per i φa
• Yukawa-type per quelle bosoni - fermioni
Nello SM avremo anche (TUTTI a M=0):
• campi bosonici a spin 0, φa
• bi-spinori di Dirac, ψa
• campi vettoriali, Aaμ
• campi ghost Gauge di
Landau
V Vtree Vs V f Vg Vc
2V0
Vs Wab ( c )
a b
V f L f s ... a mab ( ) b ...
ab
Vg Lg s ...
CONTROTERMINI DALLA RINORMALIZZAZIONE DELLE C.C.
( Vc in funz degli altri 4 termini)
Poligoni n-agoni
∑(possibili mesoni interni) ≡ Tr{∏ matrici(attorno alla loop)}
1 ~2
M ( ) Aa Ab ...
2 ab
Wab ( c )
SCALARI:
M ab2 ( c )
BOSONI
DI GAUGE:
mab ( c )
FERMIONI:
+
+
+
4 W 2 ( c )
1
Vs
Tr W ( c ) ln
2
+…
64
M2
~
~ 4 M 2 ( c )
3
Vg
Tr M ( c ) ln
+…
2
64
M2
2 mm ( c )
1
+ … V f 2 Tr mm ( c ) ln
2
64
M
Solo grafici con un numero pari di gambe esterne (la traccia di un num. dispari di matrici γ vale zero)
Nel modello GWS standard avremo:
V Vtree Vs V f V g
1 2 2 1 4
3[2 g 4 ( g 2 g 2 ) 2 ] 4 c2
Vtree c c
;
Vg
c ln 2
2
2
4
1024
M
2 3 c2
2 c2
1
3
2
2 2
2
2 2
Vs
( 3 c ) ln
( c ) ln
64 2
M2
64 2
M2
3g Y4 4 c2
Vf
c ln 2 Assumendo tras cur abili i loop scalari:
64 2
M
c2
3 1
4
4
2
2
4
4
V V0 B c ln 2 con B
(
3
g
2
g
g
g
)
g
Y
2
16
M
64
g, g' c.c. di gauge e gY
Yukawa-coupling del top
NB: Se gY (=√2mtop/σ) è
grande B può diventare
negativo!
Potenziale non limitato
minimo instabile!
Sommando tutti i contributi dei loop con scalari, fermioni e bosoni vettori, trascurando i
contributi di tutti i quark escluso il top e ponendosi a φ<<v si perviene all’espressione:
1
1
2
2
Veff1loop 4 ( M )
(
,
g
)
4
(
,
g
)
log
O
(
,
g
i
i
i )
4
16 2
M
2
con ( , g i ) 42 9 g t4 12g t4 ...
et
λ( v) M Higgs
/ 2v 2
Risommando i Log:
Veff ( )
1
( M ) ( M ) 4 O 2 ( M ), g i2 ( M )
4
Per H v le correzioniquantistiche ad V ( H ) vengono
riassorbite nel runningdi ( M ), rinormalizzato@ M ~ H
1
V ( H v) ( H ) H 4
4
Instabilita H | ( H ) 0
Differenti comportamenti del potenziale a
seconda del valore iniziale di λ(M) ↔ mH
Veff(φ)
LA RICHIESTA DELLA STABILITA’ DEL
POTENZIALE PER φ<Λ COINCIDE COL
LA CONDIZIONE λ(Λ)>0
v
φ
Valori iniziali di λ (di mH)
troppo grandi
portano
ad un polo prima della scala
di Plank
Valori troppo piccoli conducono
ad una λ negativa IL
VUOTO
DELLO
SM
DIVENTA INSTABILE!
Log10(Λ/1GeV)
Soltanto per mH in una limitata finestra
di valori lo SM rimane stabile sino alle
energie di Planck…
Se λ(M) diventa negativa per M > Λ si può ripristinare la stabilità assoluta del minimo e-w (NO
nuovi minimi del potenziale) introducendo nuovi gradi di libertà (NP) PRIMA della scala Λ, per
“congelare” il running di λ grazie a loop di nuove particelle (SUSY, p.es.) limiti superiori sulla
scala di NP in funzione di mH (ed mt).
Ma l’assoluta stabilità non è richiesta da alcuna evidenza sperimentale!
Se si RINUNCIA alla richiesta di stabilità assoluta “accontentandosi” che il vuoto e-w sia
(instabile ma) sufficientemente longevo, si può allora rilassare le condizioni e richiedere la
stabilità del minimo sotto:
FLUTTUAZIONI TERMICHE
FLUTTUAZIONI QUANTISTICHE (@ T~0)
paragonabili alle quantistiche solo @ T~108 GeV
calcolabili in modo model-indep.
(non ne parleremo)
Possono aver avuto un ruolo importante nelle
primissime fasi di vita dell’Universo…
Limiti su mH dalla richiesta che la probabilità
di QUANTUM TUNNELING del minimo ew
integrata sull’età dell’Universo TU sia piccola
U
CLASSICAMENTE:
2 eq. stabili: φ+ , φ- .
QUANTISTICAMENTE: 1 solo eq. stabile: φφ+ reso instabile dalle fluttuazioni
quantistiche (effetto tunnel, “barrier
penetration”): è un “FALSO VUOTO”
φφ+
φ
Con un potenziale simile si potrebbero dunque
formare bolle di vero vuoto in un fondo
omogeneo di falso vuoto…
Analogia: fluido sovra-riscaldato formazione di bolle di vapore: energia minore all’interno,
maggiore all’esterno (fase di vapore ↔ MINORE energia libera)
crescita
guadagno in en. di volume
VS
perdita di en. di superficie
effetti in competizione, compensazione o meno: le bolle piccole scompaiono, le bolle grandi crescono
~ O(1 ms): l’universo è ancora caldo quando il falso
vuoto decade
Quantità rilevante: probabilità
di decadimento del falso vuoto
x unità di volume e di tempo
Se
t
|
p 4 D
Vcone ( past ) 1
V
~ O(1 yr): brusco cambiamento di stato dell’Universo
(Big Bang secondario?)
~ O(109 yr): …C’E` DI CHE PREOCCUPARSI!
Consideriamo il problema 1-D con m=1 e V(q):
V
V(q)
Quantisticamente il minimo q0 non è stabile:
grazie a fluttuazioni quantistiche la particella
può penetrare la barriera. L’ampiezza di
transizione per tale processo ha la forma:
B /
σ
q0
/ V Ae
q
1 O()
ove: B 2 dq 2V (q)
q0
Si può scegliere Etot=0 e lo zero dell’energia in
modo che il punto di eq. “classico”, q0, sia zero
di V; σ è il II zero di V.
-V(q)
Generalizzando in più dimensioni: L 1 q q V (q )
2
σ Σ superficie di minimi; l’intergale sarà su quel
percorso per cui B è minimo: la particella penetra
dove trova meno resistenza
B 2 ds 2V (q ) ds 2 dq dq
q0
ds 2V 0
q0
Formalmente il problema è equivalente studiare il problema variazionale canonico, ove però:
estremi
ds
2( E V ) 0
V -V
fissi
1
L q 2 V ( q )
2
d 2q
V
q
dt 2
1 dq dq
V (q ) E
2 dt dt
it
E0
2
1 dq
LE d d V (q ) 0
2 d
2
d q V
1 2
L
q V (q)
E
d 2 q
2
1 d q dq
V (q ) 0
2 d d
1 dq dq
V ( q ) 0.
2 d d
V(q)
-V(q)
Ma
V
q0
Quindi
ds
2
V
(
q
)
q0
dq
0
d 0
Inoltre potendo scegliere come
istante zero quello in cui la
particella raggiunge σ, dovrà essere:
σ
lim q q 0
V ( q0 ) 0
q
0
L
E
d
Notiamo che la variazione di quest’espressione rispetto
ad un cambio del punto σ di Σ si annulla (quella
condizione si può dunque rilassare…)
Per τ>0 il suo moto è l’esatto inverso che per τ<0: balza fuori da Σ a τ=0 e torna in q0 a τ=∞.
La particella parte in q0 a τ = -∞, colpisce la superficie degli
equilibri “classici” dall’altra parte della barriera, e BALZA indietro
in q0 ad τ = +∞. Questo moto viene appunto detto il “bounce”
B
L
E
d S E
Quindi per conoscere B:
• si risolvono le e.o.m. a tempo
immaginario con le appropriate
condizioni al contorno
• se ne calcola l’azione euclidea
NB_1:
con
PIU’
bounces prendo
quello che minimizza
l’azione euclidea
NB_2: con PIU’ bounces a
pari azione sommo tutti
tali contributi su Γ (integro
sul gruppo di simmetria )
Tornando ai campi, l’e.o.m.
a tempo immaginario sarà:
2 2 U ( )
lim ( , x ) (1)
( , x )
0
(2)
lim
(
,
x
) ;
con condizioni al contorno:
(la 1 ci dice che al principio
c’è ovunque il “falso” vuoto)
Inoltre: B finita (↔ lontano
dalla “bolla” di vero vuoto il
vuoto rimane quello “falso”)
2
2
r
x
definito:
così avremo che:
(r )
U
2
x
1/ 2
U(φ)
φφ+
-U(φ)
2
1
1
2
3
B S E dd x
U
2
2
si vede che esistono sempre soluz
alle equazioni sopra, diventate:
d 2 3 d
U ( )
dr2 r dr
lim (r )
r
1 d
B S E 2 r dr
U
2
dr
0
2
2
3
φ
d (r )
dr
(1)
0
r 0
(continuità nell’origine)
traslazioni spaziali di soluzioni sono ancora soluzioni
il bounce è invariante per rotazioni euclidee 4-D
(soluzioni non O(4) invarianti hanno azione maggiore ignorabili)
analogia QFT meccanica:
il campo classico compie un
“balzo” dallo stato definito dalle
2
2 2 U ( )
2
r x t 2
(t 0, x ) ( 0, x )
(t 0, x )
t
0
continuazione
analitica
poi evolve secondo l’
equazione dei campi
classici:
2
2 2 U ( )
t
(t , x )
b≡b(r)
• è calcolabile in forma chiusa nella “tiny wall approximation” (piccola ΔE tra I due
minimi)
• la funzione φ fornisce la forma del bounce nello spazio 4-D euclideo come in quello
ordinario al momento della sua materializzazione al di là della barriera
• l’O(4)-invarianza diviene O(3,1) la crescita della bolla dopo la sua materializzazione
appare la stessa ad ogni osservatore di Lorentz
• tutta l’energia guadagnata nella conversione del falso vuoto nel vero vuoto, quindi nella
crescita finisce nell’accelerazione della bolla stessa
Circa il coefficiente A:
xf e
HT
xi per H n E n n e
E nT
n
x f n n xi N e
1 dx 2
S dt V ; dx (2) 1 / 2 dcn
n
2 dt
T / 2
T /2
P er x (T / 2) xi / f , x(t ) x (t ) c n x n
Azione
euclidea
n
T /2
con
x n (t ) x m (t )dt nm ; x n (T / 2) 0
S
dx
Versione
euclidea
(τ=it) dell’ integrale di
Feynman sui cammini
Nel limite semiclassico, dominato dai
(contributi dei) punti stazionari di S
Ivi il termine dominante per grandi T “parla”
dell’ autostato più basso dell’energia
T / 2
S
d 2x
Suponiam o ! x |
2 V ( x ) 0
x
dt
d 2 xn
Scelti x n autovaloridi DS :
V ( x ) x n n x n
2
dt
l' integralediventaprodottodi gaussiane :
xf e
HT
xi Ne
S(x)
1 / 2
n
[1 O()]
n
Ne
S(x)
det
2
t
V ( x )
1 / 2
[1 O( )]
Eq di una particella (di massa unitaria)
che si muove sotto un potenziale –V
E=1/2(dx/dt)²-V(x) è integrale primo
Siamo al risultato:
(semi-classical
approx.)
4
T
p U e S0 [b ] / 1 O()
R
b è il “BOUNCE”
S0 : azioneeuclidea (tree-level)
1
b b V (b )
2
R: parametro di scala arbitrario
associato alla dimensione
caratteristica del bounce
TU/R: fattore di volume
la soluzione delle equazioni del moto euclidee (τ = it):
soddisfacente alle condizioni:
b V (b) (r 2 x x )
d 2 b 3 db
2
V (b) 0
r dr
dr
lim b(r ) v 0 ;
b (0) 0
r
connette le regioni di falso vuoto con quelle di vero
vuoto al di là della barriera; è O(4)-invariante
SOLUZIONI tree-level Inserendole nell’espressione per p:
(λ < 0 e trascurando la parte
4
quadratica del potenziale):
2
T
b( r )
2
2R
r 2 R2
8 2
S 0 [b]
3
p semicl . U e
R
8 / 3
richiedendo p<1 limiti su λ
(λ piccolo tunneling rate bassa)
RGE per λ(μ) limiti inferiori su mH
P<1 VU=(1010yr)4
S (mZ ) 0.118
Si, ma…
• QUALE R, ?
• QUALE μ ?
Nel calcolo della probabilità di tunneling a 1-loop tali ambiguità
dimensionali vengono entrambe rimosse; l’espressione da calcolare è:
p e S1[b ] S 02 [b] S0 [b ] SDe t S 0'' [b]
e
V
V
4 2
SDet S 0'' [ v]
(forse μ =1/R…?)
b : il “bounce” al tree-level (b=v è il falso vuoto ew)
S0/1: funzionale d’azione al tree-level / one-loop;
l’ apice denota la derivata funzionale
4
T
p max U e
R
R
8 2
S
3 ( )
g t2
g t4
2
S (5 6 L)
(13 12L) 2 (5 6 L)
3
6
6
1 / 2
SDet: il determinante funzionale; l’apice indica l’omissione
nel calcolo delle autofunz. dell’autovalore zero (gli
“zero-modes” (già contato integrando b che è t-invar.)
= Det
quando agisce su campi bosonici
= 1/Det² quando agisce su campi fermionici
mH=115 GeV,
mt=175 GeV
2 g 22 g Z2
2 g 24 g Z4
(7 6 L )
(1 2 L)
12
322
g t2
g Z2
g 22
2 fg
f h ( ) f t f g
E
g 22( Z ) 4mW2 ( Z ) / v 2
L ln(R e / 2);
fh/g funzioni che esprimono la parte da sottrarre
dei contributi all’azione dei loop del top e dei
bosoni di gauge (da ricavare numericamente)
Il valore critico di R è molto grande (
trascurare il termini quadratici nel
potenziale è ben giustificato)ma < MPL!
Se NON si trovasse NP
fino a MPL esiste una
considerevole probabilità
che il vuoto dello SM in
SIA METASTABILE!
S (mZ ) 0.118 0.002
In definitiva: per mH=115 GeV, il potenziale di Higgs esibisce instabilità sotto la
scala di Plank per mt > (166±2)GeV, mentre è metastabile, ma sufficientemente
longevo per mt < (175±2)GeV.
Viceversa prendendo mt dal PDG04, la metastabilità risulta perfettamente
compatibile con gli attuali limiti sperimentali su mH
Per porre i limiti in figura si è posto pmax = 1 e si sono utilizzate:
• soluzioni delle equazioni di QCD a two-loop gt(mt@1/R) VS mt
• integrazione a two-loop delle RGE eq per λ, gt per le tre c.c gi
BIBLIOGRAFIA
Articoli:
• S. Coleman, E. Weinberg, Phys. Rev. D & (1973) 1888;
• J. Iliopoulos, C. Itzykson, A. Martin, Rev. of Mod. Phys. 47-1 (1975) 165;
• S. Coleman, Phys. Rev. D 15 (1977) 2929 ;
• C. G. Callan, S. Coleman, Phys. Rev. D 16 (1977) 1762;
• M. Sher, Phys. Letters B 317 (1993) 273-420;
• G. Isidori, G. Ridolfi, A. Strumia, (2001) hep-ph/0104016.
Testi:
• J.D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistic Quantum Fields McGraw-Hill, 1965;
• R.P Feynman, A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, 1965.
BACKUP
SLIDES
(ritagli)
MEMO :
avevamoche dato il doppiettoscalare
Vtree 2
2
H v;
4
H / 2
termini
nulli
se
0
246.2 GeV
m H2 V ( H ) |H v 2v 2 ;
1 2 2 1
H H 4 ...
2
4
v ( 2G F ) -1/2
( H iG ) / 2
G
mH
Il significato fisico di
Veff emerge meglio
integrando sul tempo:
1loop
eff
V
1 d 4 k U ( c )
( c ) U ( c )
ln1
(...)dk0
2 (2 ) 4
k2
1 d 3k
U ( c )
k 2 U ( c ) const
3
2 (2 )
Le fluttuazioni quantistiche attorno al campo classico (emissioni e riassorbimento) sono
la somma delle densità di energia delle fluttuazioni del vuoto; la loro frequenza, o
massa, è coerentemente proporzionale alla “curvatura” (U'')½
Funzioni di Green: VEV di un prodotto di campi T-ordinato
(α: lorentz+group ind.)
n
(2 ) ( p1 ... pn )G1 ... n ( p1 , ..., pn ) d 4 xi e ixi pi 0 T [1 ( x1 )... n ( xn )] 0
4
4
i 1
G1...n ad ogni dato ordine perturbativo, è somma di tutti i grafici; in essi,
corrispondentemente ad ogni campo, ogni gamba esterna avrà un propagatore
che porta impulso pi con un indice libero α;
• NON sono direttamente connesse con gli osservabili fisici,
• NON sono gauge-invarianti
• le linee esterne dei grafici non sono necessariamente on-mass-shell
Gαβ (p) Rφ Gαβfree(p) (cost )
S (p1 ,s1 ) (p2 ,s2 ) (p3 ,s3 ) ... (pn ,sn )
G free(p ) 1
αβ
i
G (p , p , p ,..., p )
ψ αexti (pi ,si ) i i 1/ 2
3
n
β1...βn 1 2
Rφ
i
S 1 iT
iT (p1 ,s1 ) (p2 ,s2 ) (p3 ,s3 ) ... (pn ,sn )
(2 ) 4 4 ( p1 p2 p3 ... pn ) M (p1,s1 )(p2 ,s2 )(p3,s3 ) ...(pn ,sn )
d ((p1 ,s1 ) (p2 ,s2 ) (p3 ,s3 ) ... (pn ,sn ))
1
4 ( p1 p 2 ) 2 m12 m22
dLipsn M
2
Il DETERMINANTE FUNZIONALE di un
operatore ellittico (autoval. dei coeff. delle
derivate tutti positivi o tutti negativi) a spettro
discreto e positivo si può definire come e–Z'(0) ove
Z(0) è la continuazione analitica nell’origine di:
~2
M ab g a g b (Ta , Tb )
mab Aab ( c ) iBab ( c ) 5
Z(s)=∑ n(λ n)–s
Il metodo standard sviluppato per la determinazione del potenziale efficace tramite il
calcolo dell’integrale funzionale è il cosiddetto “steepest descendent method, nel quale si
calcola esplicitamente il funzionale integrale e quindi la trasf. di Legendre,
successivamente espansa: si definisce una nuova lagrangiana (che avrà nuovi propagatori e
nuovi vertici):
L
( y)
L ( x), L ( x) L d 4 y
(
y
)
con const
1
d 4k
i
1
( x), c
V( c ) - L - i
ln
det
D
[
,
k
]
i
exp
d 4 xLint
c
4
2
(2 )
Il potenziale efficace
sarà dato da:
Dove il determinante
agisce sui gradi di
libertà interni e di spin
U
d 2 3 d
d 2 3 d
U
(
)
U
(
)
( ) 0
dr 2 r dr
dr 2 r dr
soluz : ( ) 2[ (0) ]I1 (rU ( )) / rU ( )
lim (r )
r
d (r )
dr
(1)
~ legge di Stokes con viscostà
inversamente proporzionale al tempo
0
U(φ)
φφ1
-U(φ)
r 0
2
2
d 1 d
3 d
U
0
dr 2 dr
r
dr
Era:
φ+
+
c2
V V0 B ln 2
M
+
4
c
V V0 B( g , g , yt ) c4 ln
M
2
c
con B( g , g , yt )
3
64 2
+
2
p 2
1
4
2
2
4
3
g
2
g
g
g
y
t
16
( p 2 m 2 ) 1
+
…
+
…
+
…
Z ( c 0) 1
φ