Transcript 第4章数值计算1

第4章 数值计算 (1)
第4章 数值计算 (1)
主要内容：
①数据分析；
②矩阵分析；
③多项式运算；
④数值插值和拟合；
⑤数值积分和微分 。
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第4章 数值计算 (1)
4.1 概述
数值计算的特点：
1）数值计算是定义在数值数组的基础上，在计
算之前必须定义变量并赋值。
2）数值计算有误差。
3）数值计算的计算速度较快。
4）数值计算除定义了算术运算、关系运算和逻
辑运算三种，还提供了许多运算函数。
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4.2 数据分析
4.2.1统计分析
1 最大值和最小值
1）求向量的最大和最小值
• y=max(X) 返回向量X的最大值存入y，如果X中
包含复数元素，则按模取最大值。
• [y,I]=max(X) 返回向量X的最大值存入y，最大
值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按
模取最大值。
• 求向量X的最小值的函数是min(X)，用法和
max(X)完全相同。
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例 4-1 已 知 x=[-43,72,9,16,23,47] ，
求向量x的最大值和最小值。
y=max(x)
%求向量x中的最大值
[y,l]=max(x) %求向量x中的最大值及其该元
素的位置
z=min(x)
%求向量x中的最小值
[z,m]=min(x) %求向量x中的最小值及其该元
素的位置
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2）求矩阵A的最大值和最小值
• max(A)
返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i
列上的最大值。
[Y,U]=max(A)
返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U
向量记录每列最大值的行号。
• max(A,[],dim)
dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同；
dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素
是A矩阵的第i行上的最大值。
• 求矩阵最小值的函数是min，其用法和max完全相同。
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• 例4-2
分别求三阶魔方矩阵中各列和各行元
素
中的最大值，并求整个矩阵的最大值和
最小值。
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3）同型的向量或矩阵比较
• U=max(A,B)
A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B
同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对
应元素的较大者。
• U=max(A,n)
n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，
U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。
• min函数的用法和max完全相同。
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例 4-3 分析下列程序的功能。
x=[4 5 6;1 4 8];
y=[1 7 5;4 5 7];
p=max(x,y) ;
P
分析：取两个2×3的二维数组x和y同一位
置上的元素值大者构成一个新矩阵p。
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2 平均值和中值
求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列
中值的函数是median。
• mean(X)
返回向量X的算术平均值。
• median(X)
返回向量X的中值。
• mean(A)
返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的
算术平均值。
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• median(A)
返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列
的中值。
• mean(A,dim)
当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当
dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素
是A的第i行的算术平均值。
• median(A,dim)
当dim为1时，该函数等同于median(A)；当
dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素
是A的第i行的中值。
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例4-4 已知x=[1 8 4 2;9 6 2 5;3 6 7 1]，从
不同维方向求出其平均值和中值。
• median(x)
median(x,1)
%按列方向，求数组的中值
• median(x,2)
• mean(x)
%按行方向，求数组的中值
mean(x,1)
%按列方向，求数组的平均值
• mean(x,2)
%按行方向，求数组的平均值
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3 求和与求积
• sum(X)
返回向量X各元素的和。
• prod(X)
返回向量X各元素的乘积。
设A是一个矩阵，函数的调用格式为：
• sum(A)
返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。
• prod(A)
返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。
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• sum(A,dim)
当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2
时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行
的各元素之和。
• prod(A,dim)
当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2
时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行
的各元素乘积。
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例4-5
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已知x=[4 5 6;1 4 8]，分析矩阵x
的每行、每列元素的乘积和全部元
素的乘积。
sum(x)
sum(x,1)
%求数组各列元素的和
sum(x,2)
%求数组各行元素的和
sum(sum(x))
%求数组所有元素的和
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prod(x)
prod(x,1)
%求数组各列元素的乘积
prod(x,2)
%求数组各行元素的乘积
prod(prod(x))
%求数组所有元素的乘积
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4
累加和与累乘积
• cumsum(X)
返回向量X累加和向量。
• cumprod(X)
返回向量X累乘积向量。
• cumsum(A)
返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加
和向量。
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• cumprod(A)
返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向
量。
• cumsum(A,dim)
当dim为1时，该函数等同于cumsum(A)；
当dim为2时，返回一个矩阵，其第i行是A
的第i行的累加和向量。
• cumprod(A,dim)
当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)；
当dim为2时，返回一个向量，其第i行是A
的第i行的累乘积向量。
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例4-6
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已知a = [1 2 3; 3 9 6; 4 10 8;
4 0 7]，求矩阵a的每行、每列元
素的乘积和全部元素的累加和。
cumsum(a)
%求矩阵的各列元素的累加和
cumsum(a,2)
%求矩阵的各行元素的累加和
cumprod(a)
cumprod(a,1)
%求矩阵的各列元素的累乘积
cumprod(a,2)
%求矩阵的各行元素的累乘积
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5 标准方差
• 对 于 向 量 x ， std(x ， flag) 返 回 一 个 标 准 方 差 。
flag取0或1。
• 对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元
素便是矩阵A各列或各行的标准方差。
Y=std(A,flag,dim)
其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方
差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag
取0或1。缺省flag=0，dim=1。
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例 4-7 已知a = [1 2 3; 3 9 6; 4 10 8;4 0
7]，从不同维方向求出其标准方差。
std(a)
std(a,0,1)
std(a,1,1)
std(a,0,2)
std(a,1,2)
%按列方向求矩阵a的标准方差
%按列方向求矩阵a的标准方差
%按行方向求矩阵a的标准方差
%按列方向求矩阵a的标准方差
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6 排序
sort(X)
返回一个对向量X中的元素按升序排列的新向量。
[Y,I]=sort(A,dim，MODE)
对矩阵A的各列或各行重新排序，
Y
是排序后的矩阵；
I
记录Y中的元素在排序前A中位置；
dim 指明对A的列还是行进行排序；
MODE为排序的方式。
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按升序排列行函数sortrows的调用格式：
B = sortrows(A)
按升序排列A 的列，其中A为矩阵或行向量。
B = sortrows(A,column)
以指定的列向量排序矩阵
[B,index] = sortrows(A)
排序时返回向量的序号。
如果A 为列向量，B = A(index)；
如果A 为m-by-n 矩阵，B = A(index,:)。
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例 4-8
已 知 a = [1 2 3; 3 9 6; 4
10 8; 4 0 7]，对矩阵排序。
sort(a,1)
sort(a,1,'ascend')
%对矩阵a的各列进行升序排列
sort(a,2)
sort(a,2,'ascend')
%对矩阵a的各行进行升序排列
sort(a,1,'descend')
%对矩阵a的各列进行降序排列
sort(a,2,'descend')
%对矩阵a的各行进行降序排列
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例4-9 分析下列语句的功能。
a=['one ','two
sortrows(a)
','three ','four ','five']
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4.2.2 协方差和相关系数
•
cov(x)
求向量x的协方差。
• cov(A)
求协方差矩阵，对角线元素是A中各列的方差。
• corrcoef(X)
返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。
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例 4-10
计 算 x的 协 方 差 、 y的 协 方 差 、
x与y的互协方差。
x=[1 2 3 4 5];
y=[2 4 6 8 10];
cx=cov(x)
cy=cov(y)
cxy=cov(x,y)
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4.2.3 傅立叶变换
函数名
fft
fft2
fftn
fftshift
Ifft
ifft2
ifftn
ifftshift
含义
离散傅立叶变换
二维离散傅立叶变换
n维离散傅立叶变换
将零延迟移到频谱中心
离散傅立叶反变换
二维离散傅立叶反变换
n维离散傅立叶反变换
逆fftshift
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例4-11 求行向量（0，0.1 ，0.2 …，3.14）
的离散傅立叶变换，并通过傅立叶
反变换验证结果是正确的。
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4.3 矩阵操作
4.3.1 矩阵的结构变换
1 转置
转置运算的操作符： ‘
求A的转置，运算表达式为 A‘
其中A可以是行向量、列向量和矩阵。
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例4-12 分析下列语句的执行结果。
a=[1 2 3];
b=a′ %行向量的转置
a=[1; 2; 3];
b=a′ %列向量的转置
a=[1 2; 2 3; 3 4];
b=a′
%矩阵的转置
a=[1+2*i 3-4*i];
b=a′ %复数矩阵的转置
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第4章 数值计算 (1)
2
对角阵
• X = diag(v,k)
当v 是n个元素的向量时，返回有第k个对
角线的n+abs(k)顺序的方阵，k = 0（可省
略）代表主对角线，k > 0代表上方的次对
角线， k < 0代表下方的次对角线。
• v = diag(X,k)
返回第k 条对角线构成的列向量，k = 0
（可省略） 时，返回主对角线。
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diag也允许嵌套使用，格式为：
diag(diag(A))
内部的diag取A的对角元素，外diag利
用取出的列向量构成对角阵。
例4-13 编程求出n阶魔方矩阵的各对角线。
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3 对称变换
上下对称交换函数：flipud
左右对称变换函数：fliplr
•
B = flipud(A)
返回上下方向翻转的矩阵。如果是列向量，
返回相反顺序的向量；如果是行向量，返
回原向量。
•
B = fliplr(A)
返回水平方向翻转的矩阵。如果是行向量，
返回相反顺序的向量；如果是列向量，返
回原向量。
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以指定的维翻转矩阵的函数flipdim，格式为：
B = flipdim(A,dim)
返回以指定的维翻转矩阵。dim =1，以行方向翻
转；dim =2，以列方向翻转。
flipdim(A,1) 等 价 flipud(A), flipdim(A,2) 等 价
fliplr(A)。
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例 4-14
分 析 下 列 语 句 的 功 能 。
a=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16];
flipud(a)
%flipdim(A,1)
fliplr(a)
%flipdim(A,2)
a=[1; 2; 6; 7; 8];
flipud(a)
a=[1 2 6 7 8];
flipud(a)
%上下方向翻转矩阵
% 水平方向翻转矩阵
%列向量的上下方向翻转
%行向量的上下方向翻转
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•
•
4 旋转
B = rot90(A)
返回A的逆时针旋转90度的矩阵
B = rot90(A,k)
返回A的逆时针旋转k×90度的矩阵，其中k
为正整数。
• 例4-15
已知a=[1 2; 6 7; 8 0]，分析下列语句
的功能。
rot90(a)
rot90(a,2)
rot90(a,3)
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第4章 数值计算 (1)
5 重组
B = reshape(A,m,n)
返回矩阵A的元素重组的m×n 的矩阵B。如
果A没有m×n 个元素，结果错误。
例 4-16 建立有12个元素的行向量，并分别重组
为3×4和2×6的矩阵。
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第4章 数值计算 (1)
6 下三角和上三角矩阵
•
tril (X)
提取X的下三角矩阵
•
tril (X,K)
提取X的主对角线上和第K条对角线上、下的
元素。其中K =0是主对角线，K >0是主对角线
的上面，K< 0是主对角线的下面。
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第4章 数值计算 (1)
• triu
(X)
提取X的上三角矩阵.
• triu (X,K)
提取X的主对角线上和第K条对角线上的
元素。其中K =0是主对角线，K >0是主
对角线的上面，K< 0是主对角线的下面。
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第4章 数值计算 (1)
例4-17 求出3阶魔方矩阵的各下三角阵和各上三
角阵。
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第4章 数值计算 (1)
例 4-18 分析下列程序的功能。
a=-4:4
A=reshape(a,3,3)
%把一维数组a重组为二维数组
a1=diag(A,1)
%取A阵第一对角线的元素
A1=diag(a1,-1)
%产生以a1数组元素为第一下对角线元素的二维数组
flipudA=flipud(A) %上下方向翻转矩阵A
fliplrA=fliplr(A) %水平方向翻转矩阵A
rot90A=rot90(A)
%逆时针旋转90度矩阵A
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第4章 数值计算 (1)
例 4-19 将 三 个 2×2 的 矩 阵 x,y 和 z 组 合
成两个新矩阵：
（1）组合成一个43的矩阵，其中第一列为
按列顺序排列的x矩阵元素，第二列为按
列顺序排列的y矩阵元素，第三列为按列
顺序排列的z矩阵元素。
（2）按照x,y和z的列顺序组合成一个行向
量。
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第4章 数值计算 (1)
4.3.2矩阵分析
1 逆矩阵
inv(A)
求方阵A的逆矩阵
求伪逆的函数为:pinv(A)
例4-20 求矩阵的逆。
a=[-1 2 0;-2 3 0;3 0 2]; inv(a)
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第4章 数值计算 (1)
例4-21 解方程组
 2 x1  2 x2  x3  x4  4
4 x  3x  x  2 x  6
 1
2
3
4

8
x

3
x

3
x

4
x

12
1
2
3
4

3 x1  3 x2  2 x2  2 x4  6
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第4章 数值计算 (1)
A=[2 2 -1 1;4 3 -1 2;8 3 -3 4;3 3 -2 -2];
b=[4 6 12 6]';
x=inv(A)*b
执行结果为：
x=
0.6429
0.5000
-1.5000
0.2143
由执行结果可知方程组的解为：
0.6429 0.5000 -1.5000 0.2143 。
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第4章 数值计算 (1)
例4-22 求矩阵X，使满足：AXB = C。
A=[1 2 3;2 2 1;3 4 3];
B=[2,1;5 3];
C=[1 3;2 0;3 1];
X=A\C/B
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第4章 数值计算 (1)
例4-23
求方程组的最小范数解。
2 x 4 x  7 x  4 x  8

 1 2
3
4

9
x

3
x

5
x

6
x

5

 1
2
3
4
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第4章 数值计算 (1)
2秩
rank(A)
求A的秩
例4-24 求矩阵的秩：
（1）a=[4 2 -6;7 5 4 ;3 4 9];R=rank(a)
（2）a=[5 4 -2 ;4 5 2;-2 2 8] ; R=rank(a)
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第4章 数值计算 (1)
3 行列式
det(A)
求方阵A对应的行列式的值
例4-25 求任意阶魔方矩阵的行列式。
n=input('please input the order
of magic matrix');
a=magic(n);
det(a)
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例4-26
第4章 数值计算 (1)
求例4-24中方阵的行列式和逆：
定义函数文件 qiuni：
function ii=qiuni(a)
%a matrix
ad=det(a)
if ad==0
disp('no inverse')
ii=pinv(a);
else
ii=inv(a);
end
在命令窗口输入语句：
a=[4 2 -6;7 5 4 ;3 4 9];
ii=qiuni(a)
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第4章 数值计算 (1)
4 迹
trace(A)
求矩阵A的迹，返回sum(diag(A))
例4-27 求三阶魔方矩阵的迹。
方法1：trace(magic(3))
执行结果为：
ans =
15
方法2：sum(diag(trace(magic(3))))
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第4章 数值计算 (1)
•
5 范数
1) 向量的范数
norm
norm
norm
norm
(x)
求向量x的2—范数
(x,1)
求向量x的1—范数
(x，inf) 求向量x的无穷大范数 max(abs(A))
(x，-inf)求向量x的负无穷大范数min(abs(A))
• 2) 矩阵的范数
norm (A,1) 求矩阵的1—范数
norm (A,2) 求矩阵的2—范数
norm (A,inf) 求矩阵的无穷大—范数
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第4章 数值计算 (1)
例4-28 求向量( 0 1 2 3)的范数。
x = [0 1 2 3] ;
norm(x,1)
%求x的1—范数
norm(x)
%求x的2—范数
norm(x,inf) %求x的—范数
norm(x,-inf) %求x的-—范数
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第4章 数值计算 (1)
例4-29 求矩阵的范数。
A=[2 2 -1 1;4 3 -1 2;8 3 -3 4;3 3
-2 -2] ;
norm(A,1)
%求A的1—范数
norm(A)
%求A的2—范数
norm(A,inf) %求A的 —范数
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第4章 数值计算 (1)
6
条件数
• cond(A，1)
计算A的1-范数下的条件数
• cond(A)或cond(A，2)
计算A的2-范数下的条件数
• cond(A，inf)
计算A的-范数下的条件数
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第4章 数值计算 (1)
例4-30 求矩阵的条件数。
A=[2 2 -1 1;4 3 -1 2;8 3 -3 4;3
3 -2 -2] ;
cond(A,1) %求A的1—条件数
cond(A)
%求A的2—条件数
cond(A,inf)%求A的无穷大条件数
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第4章 数值计算 (1)
7 行阶梯形
R = rref(A)
求矩阵A的减少行阶梯形式
8 有理基
z = null
z的列向量为方程组的正交规范基
z = null(A,’r’)
z的列向量是方程AX=0的有理基
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第4章 数值计算 (1)
例4-31 解方程组
 x1  x2  2 x3  x4  0
x  x  2x  x  0
 1 2
3
4

2
x

x

x

x

0
1
2
3
4

 2 x1  2 x2  x3  2 x4  0
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第4章 数值计算 (1)
•例4-32
求方程组的通解。
 x1  2 x2  2 x3  x4  0

 2 x1  x2  2 x3  2 x4  0
 x  x  4 x  3x  0
3
4
 1 2
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第4章 数值计算 (1)
•例4-33
求解方程组 的通解。
2 x1  x2  x3  x4  2 x5  2

 x1  x2  2 x3  x4  x5  4
2 x  3x  4 x  3x  x  8
2
3
4
5
 1
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第4章 数值计算 (1)
例4-34 求解方程组 。
 x1  x2  3 x3  x4  1

3 x1  x2  3 x3  4 x4  4
 x  5x  9 x  8x  0
2
3
4
 1
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第4章 数值计算 (1)
•例4-35
求解方程组 。
 x1  2 x2  3 x3  x4  1

 3 x1  x2  5 x3  3 x4  2
2 x  x  2 x  2 x  3
3
4
 1 2
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第4章 数值计算 (1)
9 子空间夹角
subspace (A,B)
返回两个列指定的A,B子空间的夹角
例4-36 求魔方矩阵的子空间夹角。
H=magic(8);
A=H(:,2:4);
B=H(:,5:8);
theta=subspace(A,B)
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第4章 数值计算 (1)
4.3.3 矩阵的特殊值分析
•
eig(A)
求包含矩阵A的特征值的向量。
•
[X,D]=eig(A)
产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角
矩阵D和矩阵X，它们的列是相应的特征向量，
满足AX=XD。
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第4章 数值计算 (1)
例4-37 求矩阵的特征值和特征向量
 2 1 1 


0
2
0


 4 1 3 


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第4章 数值计算 (1)
4.3.4矩阵的分解
1 LU分解
• [L,U]=lu(A)
求上三角矩阵U和交换下三角矩阵L，使
LU=A。
• [L,U,P]=lu(A)
求上三角矩阵U、有单位对角线的下三角
矩阵L和交换矩阵P，满足LU=PA。
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第4章 数值计算 (1)
例4-38
对三阶魔方矩阵作LU分解。
[L,U]=lu(magic(3))
为验证结果的正确性，用语句：
L*U
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第4章 数值计算 (1)
例4-39 求方程组的一个特解。
 4 x1  2 x2  x3  2

3 x1  x2  2 x3  10
 11x  3 x  8
1
2

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第4章 数值计算 (1)
2 Cholesky因式分解
•
chol(A)
求正定矩阵A的Cholesky因子，是一个上
三角矩阵。如果A不是一个正定矩阵，则给
出一个错误信息。
• [G,err]=chol(A)
求矩阵A的Cholesky因子G。如果A不是一个
正定矩阵，则不给出错误信息，而是将err
设为非零值。
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第4章 数值计算 (1)
例4-40 对矩阵作Cholesky因式分解。
a=[2 5 4;5 2 1;4 1 8];
chol(a)
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第4章 数值计算 (1)
3
qr因式分解
•
[Q,R]=qr(A)
求得m×m的矩阵Q和上三角矩阵R，Q的列
形成了一个正交基，Q和R满足A=Q×R。
• [Q,R,P]=qr(A)
求矩阵Q、上三角矩阵R和交换矩阵P。Q的
列形成一个正交基，R的对角线元素按大
小降序排列，它们满足A×P=Q×R。
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第4章 数值计算 (1)
例 4-41 对 矩 阵 作 qr 因 式 分 解 。
a=[2 5 4;5 2 1;4 1 8];
[Q,R]=qr(a)
[Q,R,P]=qr(A)
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第4章 数值计算 (1)
4
SVD分解
计算奇异值分解的函数svd的格式为：
• svd(A)
返回一个包含矩阵A的奇异值的向量。
• [U,S,V]=svd(A)
返回奇异值为对角线的矩阵S和A同型的矩
阵 ， m×m 和 n×n 的 酉 矩 阵 U 和 V ， 使
A=U×S×V′和U′×A×V=S成立。S中奇异
值是非负数且按降序排列。
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第4章 数值计算 (1)
例4-41 分别对a进行特征值分解、奇异值
分解、LU分解、QR分解及
Chollesky分解。
a=[9 1 2;5 6 3;8 2 7];
[v,d]=eig(a)
a=[9 1 2;5 6 3;8 2 7];
[u,s,v]=svd(a)
[l,u]=lu(a)
[q,r]=qr(a)
c=chol(a)
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