Transcript Calcolo combinatorio e calcolo delle probabilità
Calcolo delle probabilità
Una trattazione elementare
Probabilità di un evento (definizione classica)
La maggior parte dei fenomeni, ai quali assistiamo quotidianamente, può manifestarsi in vari modi, ma è quasi sempre impossibile stabilire
a priori
quale di essi si presenterà ciascuna volta. Pensiamo al papà in attesa davanti alla sala parto, prima che l'ecografia permettesse di conoscere in anticipo il sesso del nascituro o allo scommettitore che ascolta alla radio i risultati delle partite, mentre scorre quelli da lui pronosticati sulla schedina. In alcuni casi i vari eventi si presentano tutti con la stessa probabilità, nel senso intuitivo del termine. Pensiamo al lancio di una moneta, in cui non vi sono elementi per dare all'esito "testa" una maggiore o minore probabilità rispetto all'esito "croce". Altre volte, valutati i pro ed i contro, crediamo di poter assegnare a qualcuno di essi un
grado di fiducia maggiore
, come fa un pescatore prima di decidere dove lanciare la lenza.
Probabilità di un evento (definizione classica)
Calcolare le probabilità non significa "prevedere il futuro", ma trovare come distribuire un
maggiore o minore grado di fiducia
tra i vari possibili modi in cui si potrà presentare un certo fenomeno aleatorio e su come definire operazioni e proprietà che rendano coerenti i risultati ottenuti. Storicamente una prima definizione, che si usa chiamare "classica è quella che definisce
la probabilità di un evento aleatorio come rapporto tra il numero di casi favorevoli ad esso e quello di tutti i casi possibili
,
purché essi abbiano la stessa probabilità di verificarsi
. Tale definizione non è esente da difetti, tra i quali ad esempio l'uso della parola probabilità all'interno della stessa definizione di probabilità, che rende quindi incerto il significato di tale termine.
Probabilità di un evento (definizione classica)
Essa, tuttavia, si associa abbastanza bene a quelle situazioni in cui i fenomeni aleatori presentano situazioni di simmetria: si pensi alle due facce di una moneta o alle sei facce di un dado, o all'estrazione di una carta da un mazzo o all'uscita di un numero alla roulette. Tutti i vari eventi, a meno di trucchi, hanno la stessa probabilità di verificarsi. Indicando con
p
la probabilità si ha pertanto: ESEMPI: L'uscita di testa nel lancio di una moneta rappresenta uno dei due possibili esiti con
p
= 1/2, L'uscita di una certa faccia nel lancio di un dado ha un caso favorevole sui sei possibili e quindi
p
= 1/6, L'estrazione dell'asso di picche da un mazzo di carte da poker ha un caso favorevole su 32, con
p
= 1/32, L'uscita del rosso alla roulette ha 18 su 37 probabilità di verificarsi (nei Casinò con un solo zero), e quindi
p
= 18/37.
Probabilità di un evento (definizione classica)
Dalla suddetta definizione deriva che la misura della probabilità di un evento può variare
da un minimo di 0
(nessun caso favorevole) come ad esempio l'uscita del 91 al Lotto (0 su 90)
ad un massimo di 1
(tutti i casi favorevoli), come ad esempio pescare una pesciolino rosso da una vasca che contiene solo pesci rossi (
n
su
n
). Nel primo caso, che l'evento è
impossibile
Nel secondo caso che l'evento è
certo
. In tutti gli altri casi, gli eventi, che chiameremo aleatori hanno una probabilità
0 < p < 1 La somma delle probabilità di tutti i possibili esiti di un evento aleatorio deve ssere 1
, poiché è certo che uno qualsiasi di essi dovrà per forza verificarsi.
Probabilità di un evento (definizione classica)
Dalla suddetta definizione deriva che la misura della probabilità di un evento può variare
da un minimo di 0
(nessun caso favorevole) come ad esempio l'uscita del 91 al Lotto (0 su 90)
ad un massimo di 1
(tutti i casi favorevoli), come ad esempio pescare una pesciolino rosso da una vasca che contiene solo pesci rossi (
n
su
n
). Nel primo caso, che l'evento è
impossibile
Nel secondo caso che l'evento è
certo
. In tutti gli altri casi, gli eventi, che chiameremo aleatori hanno una probabilità
0 < p < 1 La somma delle probabilità di tutti i possibili esiti di un evento aleatorio deve ssere 1
, poiché è certo che uno qualsiasi di essi dovrà per forza verificarsi.
DEFINIZIONI
Alcune definizioni:
- Casuale
, ciò che dipende dal caso, come la faccia di un dado, che in latino si dice
alea
, da cui l'altro aggettivo
aleatorio
, con cui sono definiti i fenomeni non deterministici (dei quali non si può predeterminare l'esito).
-
Spazio campione
, come insieme che contiene tutti i possibili modi in cui può manifestarsi un certo fenomeno casuale.
- Evento aleatorio
, cioè un sottoinsieme dello spazio campione, in cui sono contenuti alcuni dei possibili casi, quelli favorevoli all'evento considerato.
- Esito
è ciò che effettivamente si verifica quando il fenomeno accade. L'esito dunque è certo e lo si conosce solo
a posteriori
.
Probabilità
di un evento aleatorio, come misura del grado di fiducia che si può stabilire
a priori
circa il verificarsi o meno dell'evento.
ESERCIZIO
Esercizio 1.1 Si lancino
contemporaneamente due monete. Qual è la probabilità che esca testa su entrambe?
Occorre un po' di combinatoria ed un grafo ad albero. Partendo dal vertice in alto e percorrendo fino al termine i vari rami che traggono origine da esso, troviamo i quattro casi possibili, che costituiscono lo spazio campione: {TT, TC, CT, CC}. L'evento TT è uno dei quattro, quindi p=1/4.
ESERCIZIO
Esercizio 1.2 Un giocatore di poker ha
in mano quattro carte di cuori ed una di picche. Decide di scartare quest'ultima, pescando un'altra carta e tentare di fare "colore". Quale probabilità ha?
Occorre togliere dallo spazio campione le 5 carte che il giocatore ha in mano. Restano così 27 carte, fra le quali ci sono 4 cuori (escludendo quelli già in mano). La probabilità è dunque 4/27.
Qualche alunno potrebbe chiedersi se non debbano essere tolte anche le 15 carte in mano agli altri 3 giocatori
. Occorre chiarire loro che, non sapendo quali carte hanno in mano tali giocatori, dobbiamo considerare possibili tutti i 27 casi, anche se il mazzo da cui il banco prenderà la carta ne contiene solo 12.
ESERCIZIO
Esercizio 1.3 Due ragazzi fanno alla
conta, gettando la mano con alcune dita distese e facendo la loro somma. Il primo ha scelto "Pari". Qual è la probabilità che si verifichi tal evento?
Si è portati a credere che pari e dispari siano eventi ugualmente probabili ciascuno con probabilità 1/2. Se si analizza invece la situazione con una tabella a doppia entrata, si vede che l'evento "esce un numero pari" (caselle gialle) è leggermente avvantaggiato, poiché i casi favorevoli sono 13 su 25 contro i 12 su 25 dell'evento opposto (caselle verdi).
ESERCIZIO
Esercizio 1.4 Si lanciano due
dadi. Qual è la probabilità che almeno uno di essi sia un 6?
Costruiamo lo spazio campione, utilizzando una tabella a doppia entrata, con i 36 casi possibili. Abbiamo utilizzato dadi di due colori diversi per far vedere che l'uscita della coppia {1,2} è un evento distinto da quello della coppia {2,1} e così per le altre coppie. Si vede che ci sono 11 casi (evidenziati in blu) in cui esce il 6 su almeno uno dei dadi. La probabilità dell'evento è quindi p=11/36. E' probabile che qualche alunno abbia risposto 2/6 o, semplificando, 1/3, pensando che in un dado la probabilità è 1/6 e quindi con due dadi tale probabilità si raddoppi. E' un errore abbastanza comune. Più avanti si vedrà come calcolare razionalmente la probabilità del sei su ciascun dado e come ottenere quella dei due dadi.
ESERCIZIO: probabilità di eventi continui
Esercizio 1.5 Al Luna Park una ruota
di legno, suddivisa in settori colorati di ampiezze diverse, gira velocemente (rendendo indistinguibili i vari colori, come in un disco di Newton), mentre un giocatore spara una freccetta con una carabina ad aria compressa, colpendo a caso uno dei settori. Che probabilità ci sono di vincere la bambolina abbinata al settore di colore nero, il cui angolo misura 18 gradi?
Probabilità dell'evento opposto
Dato un evento A, definiamo ~
A
(
non A)
l'evento opposto o contrario o negazione di A. L'evento ~A si verifica tutte le volte in cui non si verifica l'evento A. In pratica, o si verifica l'evento A oppure si verifica l'evento ~A.
Ad esempio, se A è "Domani pioverà", allora ~A è "Domani non pioverà".
Attenzione a commettere qualche errore!!!
Ad esempio, se si chiede il contrario di "Vincere sempre", si può avere come risposta "Non vincere mai.", mentre la riposta corretta è "perdere almeno una volta". Il contrario di "Tutti mentono" non è "Nessuno mente", ma "Qualcuno dice la verità". In ogni caso, dato che certamente uno dei due si verificherà, se la probabilità di
A
è
p
, allora la quella di ~
A
sarà:
p(~A) = 1- p.
Esercizi
Esercizio 1 In un nido di piccioni ci sono due uova. Trova la probabilità che nasca almeno un
maschio.
Tal evento è l'opposto di quello in cui si hanno due femmine. Quest'ultimo evento ha probabilità 1/4 (vedi l'esempio delle due monete nell'esercizio 1.1). Dunque la probabilità di avere almeno un maschio sarà 1-1/4 = 3/4. Esercizio 2 Lancia una coppia di dadi. Trova la probabilità che il 6 non compaia su nessuno dei
due dadi
. Anche quest'evento può considerarsi l'opposto di quello dell'esercizio 1.4 in cui abbiamo trovato che la probabilità di avere almeno un sei era 11/36. L'evento opposto (non avere nessun sei) ha dunque probabilità 1- 11/36 = 25/36. Esercizio 3 Lancia una coppia di dadi. Trova la probabilità che le due facce presentino numeri
diversi tra loro.
Questo caso si può considerare come opposto dell'evento "Due facce uguali" che si presenta 6 volte sui 36 casi possibili (si osservi lo spazio campione descritto nella figura dell'esercizio 1.4), con probabilità 1/6. L'evento opposto avrà dunque probabilità (1-1/6) = 5/6. Esercizio 4 Antonio e Bruno decidono che il conto del Bar sarà pagato da colui che pesca la carta
più bassa. Per evitare la parità, decidono di usare solo le 13 carte di uno stesso seme. Antonio pesca un 5. Che probabilità ha ora Bruno di non pagare il conto?
Le carte inferiori al 5 sono 4 delle 12 rimaste. Bruno ha 1/3 di probabilità di pagare il conto. La probabilità di non pagare sarà: (1-1/3) = 2/3.
Eventi compatibili o incompatibili
Due eventi si dicono
compatibili
quando il verificarsi dell'uno non esclude il verificarsi anche dell'altro.
Ad esempio l'evento "rosso" è compatibile con l'evento "pari" alla roulette, poiché fra i numeri rossi ce ne sono di pari e di dispari e quindi rosso e pari è un evento possibile.
Sono
incompatibili
invece gli eventi in cui il verificarsi di uno dei due esclude il verificarsi dell'altro, come ad esempio nel lancio di due dadi considerare l'evento "escono due facce uguali" e l'evento "la somma è dispari".
Gli eventi incompatibili non vanno confusi con quelli opposti.
In questo caso deve verificarsi necessariamente l'uno o l'altro dei due eventi, mentre per gli eventi incompatibili può darsi che non si verifichi né l'uno né l'altro, come ad esempio "nero e dispari" oppure "pari, con due facce diverse" nei due esempi precedenti.
Eventi compatibili o incompatibili
Se si esamina lo spazio campione, gli eventi compatibili ed incompatibili costituiscono rispettivamente due insiemi congiunti e due disgiunti. Se si tratta di due eventi incompatibili si sommeranno le probabilità dei due eventi (
principio di addizione
):
p(A
B) = p(A) + p(B) (1)
Se si tratta di due eventi compatibili si dovrà, togliere la probabilità dell'evento composto "A B" in cui si verificano entrambi gli eventi (
somma logica
):
p(A
B) = p(A) + p(B) - p(A
B) (2)
Probabilità di A Λ B
Si hanno i seguenti quattro eventi:
BB
(bianca la prima e bianca la seconda)con 9 casi (p=9/25)
BN
(bianca la prima e nera la seconda)con 6 casi (p=6/25)
NB
(nera la prima e bianca la seconda)con 6 casi (p=6/25)
NN
(nera la prima e nera la seconda)con 4 casi (p=4/25)
A
Λ
B = EVENTO COMPOSTO, A e B si devono verificare contemporaneamente
Immaginiamo di avere due scatole e di aver messo in entrambe 5 palline, 3 bianche e 2 nere. Estraiamo ora una biglia a caso da ciascuna scatola. Lo spazio campione può essere rappresentato da una tabella, le cui righe rappresentano la biglia estratta nella prima scatola e le colonne quella estratta nella seconda. Le probabilità di estrarre una singola biglia bianca o una nera sono rispettivamente 3/5 e 2/5 in entrambe le urne Nella tabella sono indicate le 25 possibili coppie di palline estratte.
Probabilità di A Λ B
Consideriamo le probabilità dei quattro eventi. E' facile verificare che:
p(BB) = (3/5) ×( 3/5) = 9/25; p(BN) = (3/5) ×( 2/5)= 6/25; p(NB) = (2/5) ×( 3/5) =6/25; p(NN) = (2/5) ×( 2/5) = 4/25
Come si vede, le probabilità delle varie coppie di eventi, in tutti e quattro gli esempi, si possono calcolare moltiplicando quelle dei rispettivi singoli eventi. Si tratta di una situazione particolare che si verifica solo se i due eventi A e B sono fra loro indipendenti, cioè se il verificarsi o meno del primo evento non modifica in alcun modo la probabilità che si verifichi o meno il secondo.
EVENTI INDIPENDENTI
Def.
: quando due o più eventi sono tali che la probabilità che si verifichino tutti insieme è data dal prodotto delle rispettive probabilità, gli eventi si definiscono
fra loro indipendenti
. Da questa definizione deriva la formula:
p(A
Λ
B) = p(A)×p(B) (3) eventi indipendenti
L'indipendenza dei due eventi, nell'esempio delle due urne distinte, è del tutto evidente, poiché l'estrazione di una biglia, bianca o nera che sia dalla prima urna, non influisce in alcun modo sulla biglia che sarà estratta dalla seconda urna. La situazione sarebbe del tutto analoga nel caso che, in mancanza di due urne, si procedesse a fare due estrazioni successive dalla stessa urna, rimettendo però nell'urna la biglia estratta la prima volta e rimescolando con cura le biglie (estrazione con reimbussolamento).
Eventi dipendenti ed indipendenti.
E' bene a questo punto precisare meglio il concetto di
dipendenza
o indipendenza
tra due eventi.
Immaginiamo due eventi:
A: "Il primo estratto sulla ruota di Genova è il 65." B: "A L'Aquila la temperatura notturna è scesa sotto lo zero."
E' del tutto evidente che la temperatura notturna a L'Aquila è assolutamente indipendente dal numero estratto sulla ruota di Genova e viceversa. I due eventi sono quindi indipendenti fra loro.
Eventi dipendenti ed indipendenti.
Esempio
. Gettiamo due dadi uno rosso ed uno bianco e consideriamo i seguenti due eventi:
1. il dado rosso presenta la faccia 6 (p=1/6) 2. i due dadi presentano facce uguali (p= 6/36 = 1/6)
Nel lancio di due dadi, lo spazio campione è costituito da 36 coppie di dadi. Tuttavia il verificarsi dell'evento A, riduce lo spazio campione ai soli sei casi in cui il dado rosso presenta la faccia 6. In tale situazione c'è un solo caso con due facce uguali: (6, 6); quindi la probabilità di B, sapendo che A si è verificato, è 1/6.
Eventi dipendenti ed indipendenti.
Anche nel caso che non si sia verificato l'evento A la situazione non cambia, poiché lo spazio campione si riduce a 30 casi e fra essi 5 sono quelli con due facce uguali, quindi p(B)= 5/30 = 1/6. Come si vede, sia che A si sia verificato, sia nel caso contrario, la probabilità di B resta sempre 1/6. E' altrettanto facile verificare che non viene modificata la probabilità di A supponendo che si sia verificato oppure no l'evento B. I due eventi sono quindi da considerare fra loro indipendenti.
Probabilità dell'evento A noto che sia l'evento B
Introduciamo un nuovo simbolo
p(A|B)
, che si legge "
probabilità dell'evento A noto che sia l'evento B
", cioè la probabilità che assume l'evento A, sapendo (o supponendo) che B si sia verificato.
Probabilità dell'evento A noto che sia l'evento B
Si tratta di calcolare il rapporto tra la probabilità dell'intersezione A cioè Λ B e la probabilità dell'insieme A. Abbiamo
p(B|A) = p(A
Λ
B)/p(A).
(4)
Nel caso di eventi indipendenti si ha
p(B|A)=p(B).
Dalla figura a lato si evince anche che, se si tratta di eventi incompatibili, allora
p(B|A)=0
, poiché i due elementi hanno intersezione vuota e quindi il numeratore della (4) vale 0. Dalla (4) si ricava che
p(A
Λ
B) = p(A) × p(B|A).
eventi dipendenti
(5)
Esempi
Esercizio: Prendi una moneta da 1 euro (la cifra è scritta da una sola parte) e un
dado. Lancia entrambi e calcola la probabilità di avere 1 sia sulla moneta che sul dado
. Abbiamo i seguenti due eventi. Sulla moneta appare il valore 1 (p=1/2) Sul dado appare il valore 1 (p=1/6) I due singoli eventi sono indipendenti. Per la (3), la probabilità dell'evento composto (A U B) è data dal prodotto delle due probabilità:
(1/2) × (1/6) = 1/12
. Esercizio: Si prendano due carte da un mazzo da poker. Calcola la probabilità di
avere una coppia di assi.
L'evento si compone dei due eventi singoli: la prima carta è un asso la seconda carta è asso. I due eventi non sono indipendenti,
poiché l'estrazione della prima carta modifica lo spazio campione
, in cui resta una carta in meno.
Abbiamo p(A)= 4/32 = 1/8 (ci sono 4 assi nelle 32 carte da poker) e p(B|A) = 3/31 (restano solo 3 assi nelle 31 carte rimaste). Quindi, siccome:
p(A U B) = p(A) × p(B|A),
si ha
p(A U B) = (1/8) × ( 3/31) = 3/248.
Probabilità dell'evento A noto che sia l'evento B
Esercizio 2.10 In un consiglio comunale alla
lista di maggioranza è andato il 60% dei seggi e a quella di opposizione il restante 40%. I consiglieri di maggioranza sono per il 60% uomini e per il 40% donne. I consiglieri di opposizione, invece, sono per il 70% uomini e per il 30% donne. Vedendo entrare in consiglio una donna, qual è la probabilità che appartenga al partito di maggioranza?
Probabilità dell'evento A noto che sia l'evento B
Nella situazione appena descritta possiamo definire i seguenti due eventi: A: "
E' un consigliere donna
" B: "
E' un consigliere della maggioranza
" La probabilità che si chiede di calcolare è quindi quella dell'evento (B|A), cioè quella che il consigliere "
sia della maggioranza sapendo che è donna
". La situazione può essere analizzata con una tabella suddivisa in quattro aree. La riga orizzontale suddivide lo spazio campione in due zone: quella superiore azzurra che rappresenta i consiglieri di maggioranza (60%) e quella inferiore verde, che rappresenta l'opposizione (40%). I consiglieri di maggioranza sono a loro volta suddivisi in una zona azzurro scuro che indica i maschi (60%) e una azzurro chiaro che indica le donne (40%). Analogamente i consiglieri maschi di opposizione sono indicati con una zona verde scuro (70%) e con una zona verde chiaro le donne (30%).
Probabilità dell'evento A noto che sia l'evento B
Abbiamo già visto che nella probabilità condizionata occorre operare un restringimento dello spazio campione. Nel nostro caso si tratta quindi di restringiere lo spazio campione alle due parti più chiare, corrispondenti all'evento A (consigliere donna). La probabilità cercata sarà data dal rapporto tra l'area azzurro-chiaro (donne di maggioranza) e l'intera area chiara (donne di maggioranza più donne di opposizione). La zona azzurro chiaro F rappresenta il 40% del 60% del campione: (40/100).(60/100) = 24/100. La zona verde chiaro F' rappresenta il 30% del 40% del campione: (30/100).(40/100)= 12/100. Le donne nel consiglio comunale sono quindi pari alla somma F + F' = 24/100 + 12/100 = 36/100. La probabilità cercata è quindi data dal rapporto tra le donne della maggioranza F e il totale delle donne (F + F'):
p(B|A) = (24/100)/(36/100) = 24/36 = 2/3
RICAPITOLAZIONE
1. Probabilità di un evento:
p = m (Casi favorevoli) n (tutti i casi possibili)
2.
p(~A) = 1- p
3. Eventi compatibili o incompatibili: -
compatibili:
il verificarsi dell'uno non esclude il verificarsi anche dell'altro
- incompatibili:
il verificarsi di uno dei due esclude il verificarsi dell'altro 4. Esito positivo per almeno uno dei due eventi
Eventi incompatibili: p(A
Eventi compatibili: p(A
B) = p(A) + p(B) B) = p(A) + p(B) - p(A
B)
5. Eventi
fra loro indipendenti:
il verificarsi di uno non condiziona la probabilità dell’altro
Eventi indipendenti: p(A
Λ
B) = p(A) p(B) Eventi dipendenti: p(A
Λ
B) = p(A) × p(B|A)
6.
p(A|B)
, "
probabilità dell'evento A noto che sia l'evento B
"
p(B|A) = p(A
Λ
B)/p(A) eventi dipendenti p(B|A)=p(B) se indipendenti p(B|A)=0 se incompatibili
Lotto e Super Enalotto
Lotto e Super Enalotto.
Vediamo come usare le formule precedenti, per vedere quanto guadagna lo Stato organizzando le lotterie nazionali del Lotto e del Super Enalotto.
Esercizio 4.4
Supponiamo di scommettere 1 euro e vediamo quanto dovrei vincere in un gioco equo e quanto si vince, invece, secondo le regole vigenti. Dobbiamo prima calcolare le probabilità dei vari tipi di gioco:
Estratto semplice
: ho 5 probabilità su 90 di indovinare il numero giocato, cioè 1/18
Ambo
: Per fare ambo devo indovinare il primo numero (p=1/18) e poi anche il secondo, la cui probabilità è 4 su 89. Per la (5) si ha p(N 1 ) ∙ p(N 2 |N 1 ) = (1/18) ∙ (4/89) = 20/8100 = 1/400,5
Terno
: devo indovinare anche il 3° numero, che ha probabilità 3/88. La probabilità è (1/400,5) ∙ (3/88) = 1/11748
Quaterna:
fatto terno, facciamo quaterna. Il 4° numero ha probabilità 2/87. Abbiamo p = (1/11748) ∙(2/78) =1/511038.
Cinquina.
Il 5° numero ha probabilità 1/86. Dunque (1/511038) ∙ (1/86) = 1/43.949.268.
Lotto e Super Enalotto
Ecco la tabella con i raffronti:
Lotto e Super Enalotto
Esercizio
Vediamo quanto si dovrebbe vincere e quanto si vince al Super Enalotto, il gioco che appassiona gli italiani, con il miraggio di vincite supermilionarie .
La probabilità di fare sei giocando 6 numeri è (probabilità condizionata) (6/90) ∙ (5/89) ∙ (4/88) ∙ (3/87) ∙ (2/86) ∙ (1/85) =1/622.614.630. Si dovrebbero vincere più di 622 milioni di euro (oltre 1.200 miliardi di vecchie lire) per ogni euro puntato.
Ecco perché qualcuno ha definito le lotterie "la tassa sugli sciocchi".
Calcoliamo la stessa cosa con il calcolo combinatorio: Si tratta di una combinazione semplice, in quanto l’ordine non cambia la sestina (non
n
(
n
k
)!
k
!
Dunque
D n,k = ovvero 90*89*88*87*85/6!