Transcript SMilewski_SZKOMES2011

8. Metody bezsiatkowe
i inne metody komputerowe
na tle MES
Sławomir Milewski
e-mail: [email protected]
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Tematyka
 Wprowadzenie
 Kryteria klasyfikacji metod komputerowych
 Sformułowania problemów brzegowych
 Dyskretyzacja i aproksymacja rozwiązania
 Przegląd metod komputerowych wg kryteriów
 Metoda różnic skończonych MRS na tle MES
 Przykład obliczeniowy –
program nr 1 (MRS / MES 1D) w Matlabie
 Metody bezsiatkowe
 Bezsiatkowa metoda różnic skończonych BMRS na tle MES
 Przykład obliczeniowy –
program nr 2 (BMRS 2D) w Matlabie
 Podsumowanie
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Wprowadzenie
Metoda Elementów Skończonych MES
 Ogólna, najbardziej rozpowszechniona, najbardziej rozwinięta
 Podstawa większości programów komercyjnych
(Abaqus, Adina, Ansys, Diana, FELT, Feap, Mark, Robot, …)
 Stosowana przy większości zadań inżynierskich mechaniki i fizyki
 Rozwinięte klasy i typy elementów skończonych, podstawy
matematyczne, opracowanie wyników, metody szacowania
błędów
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Wprowadzenie
Dlaczego mówimy o innych metodach komputerowych?
 Względy historyczne (MES nie jest najstarsza…)
 Względy dydaktyczne (łatwiej rozwiązać zadanie „ręcznie” za pomocą np.
metody różnic skończonych)
 Względy praktyczne

Niektóre zastosowania (analiza płyt, ruchomy brzeg, szczelina, …)

Dostępne oprogramowanie (własne lub komercyjne)

Kombinacje metod (np. MES + BMRS)

Potrzeba weryfikacji obliczeń MES inną metodą
 Efektywność i szybkość algorytmu

Potrzeba częstej przebudowy siatki (adaptacja)

Dokładność rozwiązania i jego pochodnych (nadzbieżność)

Końcowe opracowanie wyników (podejście hybrydowe)
 Aktualne trendy w nauce (metody bezsiatkowe)
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Kryteria klasyfikacji metod
 Sformułowanie problemu brzegowego
 Podstawa dyskretyzacji zadania (obszar, brzeg, podobszar, …)
 Sposób dyskretyzacji obszaru i brzegu (węzły, elementy + węzły)
 Sposób dyskretyzacji rozwiązania (wartości węzłowe, inne s.s.)
 Sposób aproksymacji rozwiązania
 Sposób całkowania numerycznego
 Sposób opracowania wyników
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
SFORMUŁOWANIE LOKALNE

Lu  f

Gu  g
L,G

SFORMUŁOWANIA GLOBALNE

u  u ( P)
P  

 P  
- operatory różniczkowe
n-tego i m-tego rzędu
FUNKCJONAŁ
I(u )=
1
B(u, u )  Lu
2
RÓWNANIE WARIACYJNE

SFORMUŁOWANIA MIESZANE
(NP. GLOBALNO – LOKALNE)
i
Sformułowania brzegowe
v 1
v0
B(u, v)  L(v) for v  V
B(u, v)  L(v) for v  Vadm
ZASADA WARIACYJNA SPEŁNIONA W
PODOBSZARACH i PRZYPISANYCH
KOLEJNYM WĘZŁOM
b( u , v )  l ( v )
v  i
v0
, i  1,..., N
(i)
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Dyskretyzacja obszaru


METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
METODA ELEMENTÓW BRZEGOWYCH
METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH
METODY BEZSIATKOWE
BEZSIATKOWA METODA RÓŻNIC
SKOŃCZONYCH
METODY RESIDUÓW WAŻONYCH
METODY ENERGETYCZNE
INNE…
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Aproksymacja rozwiązania
Metody bezsiatkowe
Metody brzegowe
Metody elementowe
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Klasyfikacja metod komputerowych
SPOSÓB
APROKSYMACJI
CAŁKOWANIE
NUMERYCZNE
OPRACOWANIE
WYNIKÓW
INTERPOLACJA
F.KSZTAŁTU
W ELEMENCIE
W ELEMENCIE
MES + INNE
INTERPOLACJA
BRZEGOWA
NA BRZEGU
(CAŁKI WŁAŚCIWE
I NIEWŁAŚCIWE)
MEB + INNE
WĘZŁY
WZORY
RÓŻNICOWE
NIE JEST
POTRZEBNE
APROKSYMACJA
OBSZAR
OBSZAR
WĘZŁY
WZORY
RÓŻNICOWE
DOOKOŁA
LUB POMIĘDZY
WĘZŁAMI
APROKSYMACJA
MOCNE / SŁABE
(WARIACYJNE)
OBSZAR
OBSZAR
WĘZŁY
METODA
MWLS
RÓŻNE
SPOSOBY
SŁABE
(WARIACYJNE)
BRAK
BRAK
KOMBINACJA
LINIOWA
F.BAZOWYCH
ANALITYCZNIE
INTERPOLACJA
SŁABE
(FUNKCJONAŁ)
BRAK
BRAK
KOMBINACJA
LINIOWA
F.BAZOWYCH
ANALITYCZNIE
INTERPOLACJA
NAZWA
METODY
SFOR-MUŁOWANIE
METODA
ELEMENTÓW
SKOŃCZONYCH
SŁABE
(WARIACYJNE
/ FUNKCJONAŁ)
OBSZAR
OBSZAR
METODA
ELEMENTÓW
BRZEGOWYCH
RÓWNANIE
CAŁKOWE
OBSZAR
BRZEG
METODA
RÓŻNIC
SKOŃCZONYCH
MOCNE
(LOKALNE)
OBSZAR
OBSZAR
WARIACYJNA
MRS
SŁABE
(WARIACYJNE)
METODY
BEZSIATKOWE
(BEZSIATKOWA MRS)
METODY
RESIDUALNE
(GALERKIN, NK, KOL.)
METODY
ENERGETYCZNE
(RITZ)
PODSTAWA
DYSKRETYZACJI
SPOSÓB
DYSKRETYZACJI
WĘZŁY
WĘZŁY
+ ELEMENTY
+ ELEMENTY
ELEMENTY
MWLS
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
MRS (lokalna) na tle MES
MRS lokalna
Sformułowanie
problemu
brzegowego
MES
- Wariacyjne B(u, v)  L(v)
Lokalne
Lu  f

Gu  g
u  u ( P)
P  

 P  
- Funkcjonał
I(u )=
for v  V
1
B(u, u )  Lu
2
Generacja siatki
Typ (prostokątna, trójkątna)
+ moduł h
Specjalne programy - generatory
Aproksymacja
Generacja wzorów różnicowych
dla pochodnych z równania
Interpolacja rozwiązania w elemencie
za pomocą funkcji kształtu
Generacja równań
dyskretnych
Kolokacja
Spełnienie równania wariacyjnego
w elemencie
Całkowanie
Brak
Kwadratury Gaussa w elemencie
Warunki brzegowe
Dodatkowe wzory różnicowe
brzegowe
Modyfikacja układu równań
Macierz
Układu równań
Na ogół
niesymetryczna
Symetryczna pasmowa
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Etapy MRS – generacja siatki
Źródło: Orkisz J., „Finite Difference Method”, part III in Handbook of Computational Mechanics, ed: Kleiber, Springer, 1998
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Etapy MRS – generacja wzorów różnicowych
i, j  1
1D:
2D:
h
h
i 1
i
h
i 1
i, j
h
i  1, j
h
i  1, j
h
Sposoby generacji:
- Składanie wzorów złożonych ze wzorów prostych:
u 'i 
ui 1  ui 1
2h
, u ''i 
ui 1  2ui  ui 1
h2
i, j  1
 u '''i   u ''i  '
- Wymuszenie zgodności dla jednomianów
- Interpolacja i różniczkowanie
- Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda Taylora)
u ''i  aui 1  bui  cui 1
ui 1  ui  hu 'i  0.5h 2u ''i  ...

ui  ui

2
ui 1  ui  hu 'i  0.5h u ''i  ...
u ''i  ui  a  b  c   u 'i (ah  ch)  u ''i (0.5h 2 a  0.5h 2c)
0
0
1
1

a


h2

2

b  2
h

1

c  h 2

Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Etapy MRS – generacja równań różnicowych
Lu  f

Gu  g
u  u ( P)
P  

 P  
Kolokacja
we węzłach
 Lui  f i

Gui  g i
 Pi  i



 Pj   j
Uwzględnienie warunków brzegowych
Operator budowany tylko
na węzłach wewnętrznych
Operator budowany
na węzłach wewnętrznych
- z wykorzystaniem
uogólnionych stopni swobody
Operator budowany
na węzłach wewnętrznych
i zewnętrznych
„fikcyjnych” węzłach
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
MRS wariacyjna – numeryczne całkowanie
I(u )=
1
B(u, u )  Lu
2
B(u, v)  L(v) for v  V
lub
Np.
b
b
 u ' v ' dx  u ' v   fvdx
b
1
2
I(u )=   u '  fudx , min I (u )  ?
(u )
2a
b
lub
a
a
a
wzór prostokątów
wzór trapezów
h
h
i2
x
for v  V
i 1
i 1
i
i2
wzory centralne
u u
u 'x  i 1 i  2
h
v v
, v 'x  i 1 i  2
h
xi 1
ui 1  ui  2 vi 1  vi  2

u
'
v
'
dx


h

x
h
h
i 2
xi  2

xi 1
fvdx 
1
h  vi 1 f i 1  vi  2 f i  2 
2
+ agregacja!
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Przykład obliczeniowy – MRS w zagadnieniach 1D
Zagadnienie:
Analiza ugięć belki swobodnie podpartej dla różnych obciążeń
P = 10 [kN]
q = 10 [kN/m]
EI = 1
P = 10 [kN]
L = 2 [m]
Sf. Słabe:
Sf. Lokalne:
M ( x)
u ''( x)  
EJ
u (0)  u ( L)  0
Metody:
•
MRS lokalna
•
MRS wariacyjna
•
MES
L
L
0
0
 u ' v ' dx  
M ( x)
vdx , v(0)  u (0)  v( L)  u ( L)  0
EJ
http://www.L5.pk.edu.pl/~slawek/SZKOMES/programy.rar
Cele:
•
Porównanie jakości rozwiązań MRS i MES
•
Analiza zbieżności na siatkach regularnych
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Bilans MRS i MES
MRS:
•
•
•
•
•
Najstarsza metoda komputerowa
Łatwość implementacji
Istnienie wersji lokalnej
Łatwa generacja siatki
Dydaktyczny charakter
• Trudności przy krzywoliniowym brzegu
• Nie można przeprowadzić adaptacji
• Nie można lokalnie zagęszczać siatki
(naroża, obciążenia skupione, …)
• Trudna do automatyzacji
MES:
• Najbardziej powszechna
metoda komputerowa
• Podstawa pakietów komputerowych
• Szerokie pole zastosowań
• Ogromna biblioteka
elementów skończonych
• Duża dokładność rozwiązania
• Kłopotliwa generacja siatki dla obszarów
o skomplikowanej geometrii
• Mało efektywna przy częstej przebudowie siatki
• Uwzględnianie nieliniowości geometrycznych
(duże przemieszczenia, …)
• Ruchomy brzeg, rozwój szczeliny
• Zjawisko blokady
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Bezsiatkowa (Uogólniona) Metoda Różnic Skończonych
BMRS
• DOWOLNIE NIEREGULARNE CHMURY WĘZŁÓW
(WĘZŁY NIE POWIĄZANE ZE SOBĄ ŻADNĄ STRUKTURĄ
TYPU SIATKA REGULARNA CZY ELEMENT)





Cecha
metod bezsiatkowych MB
• KAŻDY WĘZEŁ MOŻE BYĆ USUNIĘTY, DODANY, PRZESUNIĘTY
(ADAPTACJA TYPU h, OBCIĄŻENIE SKUPIONE, SZCZELINA, WĘDRUJĄCY BRZEG, ...)
• ZAMIANA OPERATORÓW RÓŻNICZKOWYCH NA RÓŻNICOWE
Cecha metod różnicowych MRS
• APROKSYMACJA LOKALNA JEST OPARTA NA GRUPIE WĘZŁÓW, DOKONYWANA
METODĄ NAJMNIEJSZYCH WAŻONYCH KROCZĄCYCH KWADRATÓW
Cecha metody BMRS
METODA
ELEMENTÓW
SKOŃCZONYCH
METODA
BEZSIATKOWA
(np. BMRS)
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Klasyfikacja metod bezsiatkowych
(kryterium: sposób lokalnej aproksymacji)
(i)
METODY OPARTE NA METODZIE LOKALNEJ APROKSYMACJI
WAŻONYMI NAJMNIEJSZYMI KROCZĄCYMI KWADRATAMI (MWLS)
- BEZSIATKOWA METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH (BMRS)
Meshless Finite Difference Method (MFDM)
Jensen 72; Nay, Utku 72, Wyatt et al.. 75; Perrone et al.. 75;
Liszka, Orkisz 76
- ELEMENT FREE GALERKIN (EFG)
Belytschko et al.. 94
- DIFFUSIVE ELEMENT METHOD (DEM)
Villon et al. 92
- FINITE POINT METHOD (FPM)
Onate, Idelsohn et al. 94
(ii)
METODY APROKSYMACJI JĄDRA CAŁKOWEGO
-
SMOOTH PARTICLE HYDRODYNAMICS (SPH)
Lucy 77; Gingold, Monaghan 77
-
REPRODUCING KERNEL PARTICLE METHOD (RKPM)
Liu et al. 96
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
(iii) METODY PODZIAŁU JEDNOŚCI
- PARTITION OF UNITY FEM (PUFEM)
Babushka, Melenk 96
- HP-CLOUDS
Duarte, Oden 95
(iv) METODY ELEMENTÓW NATURALNYCH (MEN)
Traversoni 94; Braun, Sambridge 95; Sukumar et al. 98
(v)
PARTICLE IN CELL TYPE METHODS (PIC)
Brackbill et al. 86; Li, Liu review – 2002
(vi) INNE METODY BEZSIATKOWE

- MESHLESS LOCAL PETROV – GALERKIN
Atluri et al. 98
- FINITE VOLUME METHODS
Heinrich 88
v

v
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
1.
MESHLESS FINITE DIFFERENCE METHOD
MFDM
2.
SMOOTHED PARTICLE HYDRODYNAMICS (SPH)
SPH
3.
FINITE SUPPORT KERNAL METHOD (FSKM)
SPH
4.
MULTIPLE SCALE REPRODUCING KERNAL METHOD (MSRKM)
SPH
5.
WAVELET REPRODUCING KERNAL PARTICLE METHOD (WRKPM)
SPH
6.
MOVING LEAST SQUARE REPRODUCING KERNAL METHOD (MLSRKM)
SPH
7.
PSEUDO DIVERGENCE-FREE ELEMENT FREE GALERKIN METHOD
MFDM
8.
CORRECTED SMOOTH PARTICLE HYDRODYNAMICS (CSPH)
SPH
9.
MLSPH – METHOD: MOVING LEAST SQUARES
SPH
10.
MESHFREE METHODS (MM)
MFDM
11.
HAMILTONIAN PARTICLE – MESH METHOD
PM
12.
MULTI-LEVEL MESHLESS METHOD
MFDM
13.
PARTICLE-PARTITION OF UNITY METHOD (PPUM)
PU
14.
FINITE VOLUME – PARTICLE METHOD (FVPM)
15.
UPWIND FINITE POINT SET METHOD (UFPSM)
MFDM
16.
GALERKIN PARTICLE METHOD (GPM)
PM
17.
DISTINCT ELEMENT METHOD (DEM)
18.
ADVANCE DIFFRACTION METHODS (ADM)
EFG
19.
STOCHASTIC WEIGHTED PARTICLE METHOD (SWPM)
SPH
20.
FINITE-COVER BASED ELEMENT FREE METHOD (FCEFM)
EFG
FV
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
FINITE MASS METHOD (FMM)
MULTI-SCALE MESHFREE PARTICLE METHOD (MSMPM)
RBF-PM
MULTI-QUADRICS METHOD (MQM)
RADIAL BASIS FUNCTION – BASED ON MESHLESS BOUNDARY
KNOT METHODS
BOUNDARY PARTICLE METHODS (BPM)
MATRIX-FREE MULTILEVEL MOVING LEAST SQUARES METHODS
MOVING LEAST-SQUARE REPRODUCING KERNEL METHOD (MLSRKM)
RBF COLLOCATION METHODS
DIFFUSE ELEMENT METHOD (DEM)
ELEMENT FREE GALERKIN (EFG)
REPRODUCING KERNEL PARTICLE METHOD (RKPM)
FINITE POINT METHOD, FREE MESH METHOD (FPM)
FINITE SPHERES METHOD (FSM)
PARTITION OF UNITY FINITE ELEMENT (PUFEM)
EXTENDED FEM (XFEM)
FINITE VOLUME PARTICLE – IN – CELL (PIC)
MATERIAL POINT METHOD (MPM)
LOCAL BOUNDARY INTEGRAL EQUATION (LBIE)
MESHLESS LOCAL PETROV-GALERKIN METHOD (MLPGM)
NATURAL ELEMENT METHOD (NEM)
CORRECTIVE SPH (CSPH)
PIC
RBF-PM
MFDM
BMP
MFDM
KPM
KM
EFG
KPM
FDM
PU
PU
PU
PIC
PIC
MLPG
NEM
SPH
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Generacja węzłów
Generacja gwiazd
Topologia - wielokąty
Generacja wzorów
różnicowych (MWLS)
Topologia - trójkąty
Całkowanie numeryczne
Du  K q
x
x
u ( x , x)
u( x , x )
x
f
u2
x
x
x
x
x
x
(xj , u j )
x
x
x
x
x x
Gauss points
nodes
central point
a) integration over the Voronoi
polygons
( xi , ui )
x
uj
u3
u1
Uwzględnienie warunków
brzegowych
x
x
x
x
x
b) integration over the Delaunay
triangles
c) integration over the element of
the independent mesh
d) integration over the support
of the approximation weight
x
Generacja
równań różnicowych
- kolokacja
- minimum funkcjonału
- równanie wariacyjne
Rozwiązanie układu
Równań
+
Postprocessing
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Aproksymacja MWLS
u(x,y)
aproksymacja
globalna
u(x,y)
u(x,y)
krocząca
lokalna aproksymacja
Aproksymacja lokalna:
l
1 
 
u  u    h  k  u x,y 
x
y 
j l!
u 
u 
x

h2
k2   
 1 h k
hk
...  u y  
2
2

 u 
 xx 
 ... 
Shepard 1968
Wyatt et al. 1975
Liszka, Orkisz 1976
Krok, Orkisz 1980
Lancaster and Salkauskas 1981
Nayroles, Villon 1992
Belytschko et al. 1994
 p t Du  e  p t D u
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Aproksymacja MWLS
WAŻONY FUNKCJONAŁ BŁĘDU
J   w ( x - xi )  pt ( xi ) Du ( xi )  ui   ( P T Du  q )T W ( P T Du  q )
2
i
0
 P1 ( x1 ) ... Pr ( x1 ) 
 w1 ( x  x1 ) ...


P   ...
...
...  , W  
...
...
...

 P1 ( xn ) ... Pr ( xn ) 

0
... wn ( x  xn ) 
qT  u1,..., un 
DuT  u
I
  P T Du  q WP  0 
Du
gdzie
skąd
M =  P WP  P TW
T
1
ux
uy
u xx
...
q
M
Du   P WP  P TWq = Mq
T
1
Macierz wzorów różnicowych
n
u ( x)   i ( x)ui
Aproksymacja MWLS
i ( x) = p( x ) M 1 ( x ) Pi ( x)W ( x  xi )
Pseudo - funkcja kształtu
h
i 1
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Aproksymacja MWLS
FUNKCJE WAGOWE
w  x   xI   f ( d )
d  x  xI
powszechnie stosowane
KLASYFIKACJA
nośnik nieskończony
(wygodne dla obliczeń)
osobliwe
interpolacja
BMRS: operatory
różnicowe
nośnik skończony
(wygodne dla matematycznych
dowodów)
BMRS: operatory
różnicowe
2a
nieosobliwe
wygładzanie
BMRS: wygładzanie
danych
EFG, metody jądrowe, hp-clouds
BMRS: wygładzanie danych
2a
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Całkowanie w BMRS
a) CAŁKOWANIE DOOKOŁA WĘZŁA – PO WIELOKĄTACH VORONOI
(NAJLEPSZE DLA PARZYSTYCH OPERATORÓW) – TAK JAK W KLASYCZNEJ MRS
b) CAŁKOWANIE POMIĘDZY WĘZŁAMI – PO TRÓJKĄTACH DELAUNAY (2D)
(NAJLEPSZE DLA NIEPARZYSTYCH OPERATORÓW) – TAK JAK W MES
c) CAŁKOWANIE PO SIATCE TŁA –
NIEZALEŻNEJ OD WĘZŁÓW – TAK JAK W METODACH BEZSIATKOWYCH
d) CAŁKOWANIE PO STREFACH WPŁYWU
FUNKCJI WAGOWYCH APROKSYMACJI MWLS – TAK JAK W MET. BEZSIATK.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
Gauss points
nodes
central point
a) integration over the Voronoi
polygons
b) integration over the Delaunay
triangles
c) integration over the element of
the independent mesh
d) integration over the support
of the approximation weight
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Warunki brzegowe w BMRS
( xi , ui )
• użycie jedynie wewnętrznych węzłów – słaba jakość
(xj , u j )
m
ui   a j  u j
j 1
• użycie węzłów wewnętrznych z warunkiem brzegowym i równaniem z obszaru
zapisanym na brzegu
Lui  fi , Gui  gi , Pi 
(x j , u j , f j , g j )
( xi , ui )
(xj , u j )
• użycie węzłów wewnętrznych i uogólnionych stopni swobody
m1
m2
j 1
j 1
m1
m2
ui   a j  u j   b j  u (jk )
• podejście wielopunktowe
 a  u  b  f
j 1
j
j
j 1
j
( xi , ui )
j
• użycie wewnętrznych i dodatkowych zewnętrznych węzłów
m1
m2
j 1
k 1
ui   a j  u j   bk  ukf ,
f
k
f
k
(x , u )
(xj , u j )
• kombinacje powyższych sposobów
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Rozwinięcia BMRS
• ANALIZA BŁĘDU A’POSTERIORI
• ADAPTACJA SIATKI
Proposed location of
new nodes
Old nodes
• PODEJŚCIE WIELOSIATKOWE (MULTIGRID)
n
• UOGÓLNIONE STOPNIE SWOBODY
Lui  fi
…
2
• APROKSYMACJA PODWYŻSZONEGO RZĘDU
1
rn,n1
p23
pn 1,n
r21
p12
Lui  fi  i H
rn,n1
p23
r32
p12
pn 1,n
p23
r32
r21
P
P
S
• BMRS NA ROZMAITOŚCI RÓŻNICZKOWEJ
Lui  fi S
Lui  fi  i D
D
pn 1,n
Accepted new
nodes
S – exact solution for the given mesh
D – defect of the FD equation
P – correction yielded on the given mesh
• KOMBINACJE BMRS / MES
• WYGŁADZANIE DANYCH EKSPERYMENTALNYCH
I NUMERYCZNYCH
H – HO solution for the corrected FD equation
T ( x, y,0.1)
T ( x, y,0.1)
T ( x, y,0.1)
• ROZWÓJ OPROGRAMOWANIA
• ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE
a) explicit scheme
b) standard implicit
scheme
c) C-N implicit
scheme
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Polepszenie jakości rozwiązania BMRS
Zwiększenie liczby węzłów
#1 (n=16)
#5 (n=27)
#9 (n=40)
#13 (n=51)
1
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0
0
0
0 #17 0.5
(n=61) 1
0 #21 0.5
(n=67) 1
0
0 #25 0.5
(n=75) 1
0 #29 0.5
(n=86) 1
1
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0
0
0
0 #33 0.5
(n=99) 1
0 #37 (n=113)
0.5
1
0
0 #41 (n=127)
0.5
1
0 #45 (n=140)
0.5
1
1
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0
0
0 #49 (n=153)
0.5
1
0
0 #53 (n=165)
0.5
1
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0
0.5
1
0
0
0.5
1
Uogólnione
stopnie
swobody
Aproksymacja
wyższego rzędu
(Liszka, Orkisz,
Krok, 1980)
0 #60 (n=179)
0.5
1
1
0
Operatory
wyższego rzędu
0
0 #57 (n=170)
0.5
1
0.5
0
Podniesienie rzędu aproksymacji
0
0
0.5
1
0
(Liszka, Orkisz, 1978
Przybylski, Leżański, Orkisz, 1994
Milewski, Orkisz, 2005)
0.5
1
(Hackbush, 1981)
(Jaworska,
Orkisz, 2004)
Podejście
wielopunktowe
f
u
=
Człony korekcyjne
(Milewski,
Orkisz, 2003)
+
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Estymacja błędu
w BMRS
 h , e   Pi , ei 
ii
hi  i
i
 Pi , ei 
 h , e 
ii
LOKALNY BŁĄD ROZWIĄZANIA
ei( LT )  ui( L )  ui(T )

 ( HT )
 ui( H )  ui(T )

ei
 ei( LH )  ui( L )  ui( H )
LOKALNY BŁĄD RESIDUALNY
r  Lu  f
ri(T )  Lui  i  Ri  fi


  ( L)
ri  Lui  fi
r ( H )  Lu    f
i
i
i
i
i
GLOBALNY BŁĄD ROZWIĄZANIA
 E  b( e , e ) ,  L 
2
 e 
2
d

ESTYMATORY:
- HIERARCHICZNE (h, p, HO)
- WYGŁADZENIOWE (ZZ, HO)
- RESIDUALNE (JAWNY, NIEJAWNY)
i  1
e 
e
INDEKS
EFEKTYWNOŚCI
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Adaptacja węzłów w BMRS
i
×
×
hi
×
×
KRYTERIA GENERACJI WĘZŁÓW
(hi  i , ei )

×
• BŁĄD RESIDUALNY
rx 
Lux   x  f x
f
 p  rmax
p  0,1
,
• GŁADKOŚĆ SIATKI
× ×
ij 
i   j
ij
 adm
, ij2   xi  x j    yi  y j 
2
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
2
1D PROBLEMS
2D PROBLEMS
BENCHMARK NO.1 - EXACT SOLUT ION
1D TEST PROBLEMS
2D TEST PROBLEMS
BENCHMARK NO.1 - RIGHT HAND SIDE
1
0
0.8
-0.5
w ''( x)  a w '( x)  f ( x),
x  (0, 4)
w(0)  w(4)  0, a  1
0.6
 2 w  f ( x, y ) in 

 w  w on 
-1
0.4
-1.5
0.2
0
-2
1
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
y
0
x SOLUT ION
0- EXACT
BENCHMARK NO.2
  {( x, y),
0  x  1, 0  y  1}
y
0
x
0
BENCHMARK NO.2
- RIGHT
HAND SIDE
1
20
0
0.5
-20
0
-40
-0.5
-60
-1
-80
-1.5
-100
-2
-120
1
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.02
0.04
0.06
0.1
0.6
0.2
0
0.4 5
0.
0.6
0.5
0. 3
1
0
0.
0.5 4
0
0
0
0.
3
0.4 0.5
0.6
0.0
8
0.06
0.04
0.5
0.6
0.1
0.04
0.06
0
0.
1
0.02
0.2
0
1
0.
0.6
0.5
0.4
0.14
0.3
0.2
0. 3
0. 3
0.3
0.4
0.5
0.4
0.5
0.08
0.1
0
0.08
0.5
0.6
0
STRESS ANALYSIS IN RAILROAD RAIL
SUBJECTED TO TORSION
0.4
0.3
0.3
0
0.12
0.2
0.3
1
0.8
0.6
0.6
0.
0.4 5
0. 3
0.4 0.3
0.1
1
TRUE STRESS (max=0.68, mean=7.7)
1
0.3
0.2
0.4
6
0.0
0.04
0.02
0.5
0
0
0.02
0
0
0
0. 3
1
CLOUD OF NODES (300) WITH DELAUNAY TRIANGULATION (463)
3
x2  (2,3)
x1  (1.5, 2.5)
1
0
-1
 zx 
u ''( x)  f ( x), x  (0, 4)
u (0)  u (4)  0
x2  (2,3)
2
in 
on 
y
  C

  0
f ( x)  
x1  (1.5, 2.5)
1
0.0
4
0. 12
0.2
0
0.6
0.5
0.8
xL
b.v. problem
(beam deflection) with
fuzzy data
(variant locations of
concentrated loads)
0.4
6
0.0
0.5
0.4
ds
dx
x + dx
0.02
x
0.3
0.4
0.5
0.6
0.5
0.08
w
y, w
0
0.6
HO STRESS (max=0.68, mean=7.7)
0.6
M ( x)
EJ
u (0)  u (4)  0 , x   0, 4 
u ''( x)  f ( x) ,
x dw
0
0.14
0.02 0
0
0.5
0
0
0.06
0.0
4
0.6
P
x
FUZZY SETS ANALYSIS
0.2
1
0.8
1
0.6
0.4
TRUE (max=0.15, mean=1.7)
0
0.1
0.12
1
0. 08
0.
3
0.
0.6
,
0.6
0.5
0.4
0.3
0.12
LO STRESS (max=0.64, mean=7.4)
1
   zx2   zy2
EJ
0
1
0.4
L
0.2
0.02
0.5
3
0.
w ''( x)
1

M ( x),
[1  ( w '( x))2 ]3/ 2
EJ
w(0)  0, w '(0)  0, x  (0, L)
0.4
3
0.
CANTILEVER BEAM WITH LARGE DEFLECTIONS

,  zy  
x
0.1
0
0.8

 zx 
y
4
0.1
x
0
0.06
0
0.2
0
0
in 
on 
0.4
2
0.0.04
0
0.8
0.6
4
0.0
  C

  0
0.6
0
HO (max=0.15, mean=1.7)
1
0.04
0. 06
8
0.0
0. 12
0.12
E ( w)  J  w ''( x)   M ( x),
x  (0, L), w(0)  w( L)  0
LO (max=0.15, mean=1.7)
1
0.8
0.06
STRESS ANALYSIS IN
PRISMATIC BAR
SUBJECTED TO TORSION
0.5
y
x
0
2
0.0
SIMPLY SUPPORTED BEAM WITH NONLINEAR
CONSTITUTIVE LAW
0
0.2
y
x1  (1.5, 2.5)
x2  (2,3)


,  zy  
,    zx2   zy2
y
x
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
NONSTATIONARY HEAT FLOW ANALYSIS
IN RAILROAD RAIL
CLOUD OF NODES (300) WITH DELAUNAY TRIANGULATION (463)
M ( x, P)
EJ
u (0)  u (4)  0 , x   0, 4 
u ''( x)  f ( x) ,

R  1
f ( x)  
safe
location
T
t
T ( x, y,0.1)
2
T ( x, y, t  0)  500
T ( x, y,0.1)
T ( x, y,0.1)
1
0
-1
safe
-2
p( x)  d  f
f

 2T 
failure location
y
RELIABILITY ESTIMATION
3
T ( x, y, t )   100
 f  s
p( x)  d 
safe
s
failure
f
-3
p ( x)
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
s
a) explicit scheme
b) standard implicit
scheme
c) C-N implicit
scheme
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Przykład obliczeniowy – BMRS w zagadnieniach 2D
http://www.L5.pk.edu.pl/~slawek/SZKOMES/programy.rar
Zagadnienie:
Wyznaczenie całkowitych naprężeń skręcających w pręcie pryzmatycznym
   zx2   zy2


 zx 

Sf. Lokalne:
  C

  0
w 
na 


,  zy  
y
x
FUNKCJA PRANDTL’A
Sf. Słabe:
   'x v 'x   ' y v ' y d  

 '

x
vx nx   ' y v y n y d   C  vd  ,    0

Metody:
•
BMRS w sformułowaniu lokalnym
•
BMRS w sformułowaniu wariacyjnym
Cele:
•
Porównanie jakości rozwiązań BMRS
•
Analiza zbieżności na siatkach regularnych
•
Przykładowa adaptacja siatki
Przekrój 1
Przekrój 2
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
PROBLEM FORMULATION: FIND TOTAL SHEAR STRESSES
  C

  0
in 
on 
 zx 


,  zy  
y
x
   zx2   zy2
 PRANDTL FUNCTION
IN THE RAILROAD RAIL GIVEN BELOW
CLOUD OF NODES
(300)(300)
WITH
DELAUNAY
TRIANGLES
(463)
CLOUD OF NODES
WITH DELAUNAY
TRIANGULATION
(463)
3
2
2
1
1
0
0
y
y
RAILROAD
RAIL
CONTOUR
RAILROAD RAIL
CONTOUR
3
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
4
CLOUD OF 300 NODES WAS USED FOR CALCULATIONS
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
SF_LOK /
HO MFDM
SF_LOK /
HO MFDM
( x, y)
   zx2   zy2
SF2_MLPG’7’ /
HO MFDM
SF2_MLPG’7’ /
HO MFDM
( x, y)
   zx2   zy2
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
FEM
FEM
( x, y)
   zx2   zy2
SF2_MLPG’7’ /
HO MFDM
SF2_MLPG’7’ /
HO MFDM
( x, y)
   zx2   zy2
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Kombinacje metod (MES + BMRS)
• Użycie dwóch metod w tym samym czasie do dyskretyzacji w różnych podobszarach
t = t
t=0
• Użycie jednej metody i drugiej metody na różnych etapach obliczeń,
np. opracowanie wyników MES za pomocą technik BMRS
• Użycie BMRS do generacji charakterystycznych wielkości elementowych w MES,
np. macierzy sztywności
• Użycie MES do generacji wzorów różnicowych poprzez różniczkowanie interpolacji
J.Krok, M.Stanuszek, J.Orkisz, „On combination of the adaptive meshless FD and FE methods in the NAFDEM
system of analysis of b.v. problem”, 8th US National Congress on Computational Mechanics, Austin, July 25-27
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Kombinacje metod (MES + BMRS) - przykład
2u  f ( x, y) w 
u u
na 
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Kombinacje metod (MES + BMRS) - przykład
Błąd rozwiązania
BMRS
Oszacowanie
rozwiązania BMRS
za pomocą estymatora
BMRS
i
Błąd rozwiązania
MES
 e
e
Oszacowanie
rozwiązania MES
za pomocą estymatora
BMRS
S.Milewski, J.Orkisz, „Improvements in the global a-posteriori error estimation of the FEM and MFDM solutions”,
KUKDM AGH Cyfronet 2010, 18-19 marzec, 2010, Zakopane, Polska
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Kombinacje metod (MES + BMRS) - przykład
2u  f ( x, y) w 
u u
na 
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Kombinacje metod (MES + BMRS) - przykład
Błąd rozwiązania
BMRS
Oszacowanie
rozwiązania BMRS
za pomocą estymatora
BMRS
i
Błąd rozwiązania
MES
 e
e
Oszacowanie
rozwiązania MES
za pomocą estymatora
BMRS
S.Milewski, J.Orkisz, „Improvements in the global a-posteriori error estimation of the FEM and MFDM solutions”,
KUKDM AGH Cyfronet 2010, 18-19 marzec, 2010, Zakopane, Polska
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego
Podsumowanie
Metody bezsiatkowe, w tym BMRS, są intensywnie rozwijane na całym świecie
Udział uczonych:
USA I. Babuska, Melenk JT.Oden, A.Duarte, T.Liszka, W.Tworzydło T.Belytshko, W.K. Liu, S.Shen, J.S.Chen
J.K.Bathe, S.De, S.Atluri
EU
O.C.Zienkiewicz E.Onate, S.Idelsohn A.Huerta, M.Griebel, M.Schweitzer, P.Bouillard, J.V.Sladek, P.Villon
AZJA G.R.Liu , H. Noguchi
PL
Z.Kączkowski, R.Tribiłło, J.Cendrowicz , J.Kitowski, Cracow Group: J.Orkisz, T.Liszka, W.Tworzydło, J.Krok,
W.Karmowski, M.Pazdanowski, J.Magiera, S.Milewski, I.Jaworska
Konferencje, seminaria, sympozja: WCCM, CMM, ICCES, US Congress, ECCM
Publikacje, opracowania, monografie:
•
•
•
•
•
•
•
•
T.P. Fries, H.G. Matthies „Classification and Overview of Meshfree Methods” , Technische Universitat Braunschweig, 2004
S.N. Atluri, S.Shen „The Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) Method”, Tech Science Press, 2002
S. Li, WK Liu, „Meshfree Particle Methods”, Springer, 2004
S.N. Atluri „The Meshless Method (MLPG) for Domain & Bie Discretizations”, Tech Science Press, 2004
T.P. Fries, H.G. Matthies „Classification and Overview of Meshfree Methods”,Techn. Univ. Branschweig, 2004
M. Griebel, M.A.Schweitzer „Meshfree Methods for Partial Differential Equations”, Springer, 2002 - 2008
V.M.A. Leitao, C.J.S. Alves, C.A. Duarte „Advances in Meshless Techniques”, Springer, 2007
Orkisz J., „Finite Difference Method”, part III in Handbook of Computational Mechanics, ed: Kleiber, Springer, 1998
Projekt ''Rozwój potencjału dydaktycznego Politechniki Krakowskiej w zakresie nowoczesnego budownictwa'' współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego realizowany pod nadzorem
Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa Wyższego