Transcript Disini

PENGANTAR
HIMPUNAN
Sutama
Pend.Matematika FKIP UMS
A. Pengantar
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek baik yang nyata
maupun abstrak yang semuanya didefinisikan dengan jelas.
Contoh :
Pada umumnya himpunan ditunjukkan dengan huruf besar A, B,
C,…., dan anggotanya ditunjukkan dengan huruf kecil a, b, c,…
x anggota A ditulis xA
x bukan anggota A ditulis xA
x, y anggota A ditulis x, yA
x, y bukan anggota A ditulis x, yA
B. Penyajian Himpunan
Himpunan dapat disajikan dalam 2 cara
1.
Dengan bahasa matematika
2.
a. Dengan menulis sifat anggotanya
A={bilangan asli kurang dari 10}
B={bilangan bulat}
b. Metode roster
A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
B={…,-2,-1,0,1,2,..}
c. Metode rule
A={x/x bilangan asli <10}
B={x/x bilangan bulat}
Dengan bahasa sehari-hari
a. Himpunan bilangan 1,2,3,4,5,6,7,8,9
b. Himpunan bilangan bulat
• Bilangan kardinal dari suatu himpunan
adalah bilangan yang menunjukkan
banyaknya elemen yang berbeda dari
himpunan itu.
C. Macam-macam himpunan
1.
2.
Himpunan kosong/null set/void set, yaitu
himpunan yang tidak mempunyai anggota.
Simbol :  atau { }
Singleton
3.
Himpunan semesta
Yaitu himpunan yang hanya mempunyai satu
anggota
Yaitu himpunan seluruh benda atau anggota
yang dibicarakan.
D. Himpunan Bagian (sub set)
Himpunan A dikatakan menjadi himp.
bagian dari B dengan simbol AB bila
dan hanya bila setiap anggota dari A
menjadi anggota dari B.
AB bhb (x).xAxB
Setiap himpunan pasti merupakan himpunan bagian
dari himpunan itu sendiri, dan himpunan kosong pasti
menjadi himpunan bagian dari setiap himpunan.
Jika A memuat n elemen yang berbeda, maka
banyaknya himpunan bagian yang dapat dibuat dari n
elemen ini sebanyak 2n.
Himpunan yang anggotanya adalah himpunanhimpunan bagian dari himpunan disebut kuasa
himpunan (power set).
E. Diagram Venn
S
B
A
●c
●a
●b
●d
●e
●f
RELASI HIMPUNAN
A.
Dua himpunan A dan B disebut sama atau berimpit
bhb setiap anggota dari A menjadi anggota dari B
dan sebaliknya.
A=B bhb (Ax).xAxB
A
●a
●b
●c
B
AB
BA
A=B
B.
Dua himpunan A dan B disebut saling asing atau saling
lepas atau disjoint bhb kedua himpunan itu tidak
memuat sesuatu anggota persekuan.
A//B bhb (x). xAxB.. ( x). xBxA
A
●1
●3
●5
●2
●4
●6
B
C. Dua himpunan A dan B disebut
berpotongan ditulis AB bhb
1. Ada elemen A dan elemen ini B
2. Ada elemen B dan elemen ini A
3. Ada elemen A dan elemen ini B
A
B
●1
●4
●3
●2
●5
D. Dua himpunan A dan B ekuivalen
Tiap anggota dari A dapat diadakan
korespondensi satu-satu dengan tiap
anggota dari B dan sebaliknya, ditulis
A~B
B
A
A~B bhb n(A)=n(B)
1
2
3
a
b
c
Sifat relasi ekuivalen :
1. Refleksi : A~A
2. Simetris : A~BB~A
3. Transitif : A~Bb~CA~C
OPERASI HIMPUNAN
A. Irisan
irisan dari dua himpunan A dan B
ditulis AB adalah himpunan yang
anggotanya terdiri atas elemen yang
berada dalam A dan B
AB ={x/xAxB}
B. Gabungan
gabungan dari dua himpunan A dan B
ditulis AB adalah himpunan yang
anggotanya terdiri atas elemen dari A
atau B
AB ={x/xAxB}
C. Selisih
selisih dari dua himpunan A dan B
ditulis A-B adalah himpunan yang
angotanya terdiri atas elemen dari A
yang bukan elemen dari B
A-B={x/xAxB}
B-A={x/xBxA}
A-B
B-A
D. Komplemen
komplemen relatif A terhadap B
ditulis A’ atau Ac adalah himpunan
yang anggotanya terdiri atas elemen
dari B yang bukan elemen dari A
A’={x/xBxA}
E. Selisih simetri
selisih simetri dari dua himpunan A
dan B ditulis A∆B adalah himpunan
yang anggotanya terdiri atas elemen
dari (A-B)(B-A)
A∆B ={x/xABxAB)
F. Partisi
partisi suatu himpunan A adalah pembagian
A atas subset-subset yang saling asing dan
gabungan dari semua subset itu merupakan
himpunan A itu sendiri.
himpunan A1, A2,…,An merupakan partisi
dari himpunan A bhb
a. AiAj= untuk ij
i. j = 1,2,…,n
b. A1A2…An=A atau
A=[A1, A2,…,An]
Latihan
1.
Dengan S= {1,2,3,4,5,6}, jika
A={2,4}, B={2,3,5,6}
Tentukan :
a. AB
c. A-B
b. AB
d. B-A
e. A’
f. B’
2. Buktikan bahwa AB bila A={1,2,3,4} dan
B={bilangan genap}
3. Tentukan power set dari A={3,{2,3}}
RELASI ANTAR
ANGGOTA HIMPUNAN
Relasi yang menyangkut satu anggota semestanya
disebut relasi monair (monodisc), menyangkut dua
anggota disebut relasi binair (diadic), menyangkut
tiga anggota disebut relasi ternair (triadic),
menyangkut empat anggota disebut relasi
quarternair (tetradic), dan menyangkut lebih dari
empat anggota disebut relasi polynair (polydic).
Contoh :
aBerada dalam relasi R dengan b ditulis
aRb atau R(a,b)
A. Relasi Determinatif
Suatu relasi R dikatakan determinatif
antar anggota-anggota S bhb aRb
merupakan kalimat deklaratif untuk
setiap a, b dalam S.
B. Relasi Ekuivalen
1. Relasi refleksi
Relasi R disebut refleksi bhb untuk
setiap anggota dari semestanya berlaku
aRa
R refleksi bhb (aS)
Relasi refleksi ada 2 macam
a. Relasi non refleksi
Relasi R disebut non refleksi bhb
terdapatlah sekurang-kurangnya satu
elemen a yang tidak berada dalam relasi
R dengan dirinya sendiri
R non refleksi bhb (aS). aRa
b. Relasi irrefleksif
Relasi R disebut irrefleksif bhb
setiap elemen a tidak berada dalam
relasi R dengan dirinya sendiri
R irrefleksif bhb (aS). aRa
2. Relasi Simetris
Relasi R disebut simetris bhb untuk setiap
a,b dari semestanya berlaku bila aRb maka
bRa
R simetris bhb (a,bS).aRbbRa
Relasi simetris ada 3 macam :
a. Relasi non simetris
relasi R disebut non simetris bhb terdapatlah
sekurang-kurangnya satu pasang a,b demikian
sehingga aRb dan bRa
R non simetris bhb (a,bS).aRbbRa
b. Relasi Asimetris
Relasi R disebut asimetris bhb setiap
pasang a, b dalam semestanya berlaku
bila aRb maka bRa
c. Relasi Anti Simetris
Relasi R disebut anti simetris bhb untuk
setiap pasang a,b dalam semestanya
berlaku
(a,bS).a<bb<aa=b
3. Relasi Transitif
Relasi R disbut transitif bhb untuk
setiap tripel a,b,c dalam semestanya
berlaku bila aRb dan bRc maka aRc.
R transitif bhb
(a,b,cS).aRbbRcaRc.
Relasi transitif ada 2 macam
a. Relasi non transitif
Relasi R disebut non transitif bhb sekurangkurangnya ada satu tripel a,b,c dalam
semestanya sehingga berlaku aRb dan bRc dan
aRc
R
non trans. Bhb (a,b,cS).aRbbRcaRc)
b. Relasi intransitif
Relasi R disebut intransitif bhb untuk setiap
triple a,b,c dalam semestanya berlaku bila aRb
dan bRc maka aRc
R
intrans. Bhb (a,b,cS).aRbbRcaRc
Relasi R disebut ekuivalen bhb R
sekaligus memiliki sifat refleksi,
simetris, dan transitif.
c. Relasi
Diberikan 2 himpunan B dan D dengan
B={mahasiswa}, D={mahasiswi}
Relasi R antara mahasiswa, mahasiswi adalah
relasi “kawan dari”
Relasi R dari B ke D, dan himpunan elemen
dari B yang mempunyai kawan dari elemen
dari D disebut daerah sumber (domain),
sedang himpunan elemen dari D yang
mempunyai kawan elemen dari B disebut
daerah hasil (range)
PEMETAAN
Definisi
Suatu fungsi f dari himpunan A ke B
adalah aturan pengawanan yang
memetakan setiap x anggota dari A
dengan tungal y anggota dari B
Contoh
A={d1,d2,d3,d4}
B
A
B={1,2,3,4,5,6}
●
●
●
Suatu lemparan menentukan suatu
fungsi f dari A ke B
1. A dihabiskan dan setiap anggota dari A
mempunyai kawan tunggal dari B
2. B tidak/boleh dihabiskan dan anggota B
ada yang mempunyai kawan tunggal atau
lebih dari satu, dan ada yang tidak
mempunyai kawan.
Definisi tentang fungsi di atas
menunjukkan bahwa suatu fungsi
merupakan kejadian khusus dari suatu
relasi, yaitu relasi dari A ke B dengan
setiap anggota dari A mempunyai kawan
tunggal dalam B.