Transcript La construction du nombre et du calcul au cycle 1 et 2

Denis Butlen, professeur des
universités, IUFM de l’académie de
Versailles, université de CergyPontoise




I. Construction du nombre
II. Numération : principes et situations de
référence
III. Calcul mental et construction de
connaissances numériques
IV. Des éléments sur les techniques opératoires
(soustraction, multiplication)
Des situations de référence

Des activités pré-numériques






Acquisition de la chaîne numérique (activités
rituelles et autres activités)
Des activités numériques



Construire des collections
Classification, tris
Désignations (codages et décodages)
Enumération
Rangement et ordre
Dénombrement
Comparaison de grandeurs
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L’énumération
Un pré-requis insuffisamment enseigné
(J. Briand)
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Les travaux de J. Briand, niveau CP
 L’activité : dénombrer le nombre d’arbres dessinés
(l’élève peut dessiner)
 Les procédures
 Partition de la collection avec marquage différents pour
chaque classe et comptage 8 8 8 8 8 2
 Partition en reliant les éléments de chaque sous-ensemble qui
est associé à une lettre, puis couple (nombre, lettre)
 Exploration de la collection en ligne sans succès (arrêt au 36e
élément)
 Chemin en escargot mais compte le nombre de saut plutôt
que d’arbre 44 au lieu de 45)
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
Utile dans la vie courante (faire ses courses avec une liste)
Sert pour les opérations et la combinatoire
Les tâches de comptage des éléments d’une collection: l’élève
doit nécessairement :








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1. Être capable de distinguer 2 éléments différents d’une collection
2. Choisir un élément d’une collection
3. Énoncer le mot nombre (un ou le successeur du précédent dans une
suite)
4. Conserver la mémoire de collection des éléments déjà choisi
5. Concevoir la collection des objets non encore choisis
6. Recommencer pour le reste de la collection tant qu’il y a des
objets à choisir
7. Savoir que l’on a fini
8. Énoncer le dernier mot-nombre.
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





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Matériel : huit à quinze boîtes d ’allumettes identiques percées des
deux côtés, une boîte plastique comportant des allumettes
situation : L ’enfant doit introduire une allumette et une seule dans
chaque boîte
validation : ouverture des boîtes
Variables de la situation :
 8 boîtes fermées mobiles (possible en PS),
 15 boîtes fermées mobiles (MS), observateur muet ou conseiller
 15 boîtes fermées mobiles (MS), un autre élève doit continuer le
travail
 15 boîtes fermées fixes. Seul puis interruption du travail et
continuation par un autre élève
Forme de travail : atelier, 15 mn, individuel
Cf. CD-ROM « Apprentissages mathématiques à la maternelle »,
J. Briand et al, Hatier
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
Les procédures :


Pas de stratégie bien définie
Exploration en ligne (la plus utilisée : 10)
 a. De gauche à droite et de bas en haut (6/10)
 b. De droite à gauche de haut en bas (1/10)
 c. De bas en haut alternant droite vers gauche et gauche vers




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droite (2/10)
d. Exploration par arcs de cercle concentriques en débutant en
bas à droite (5)
e. Mélange d et c (3)
Exploration circulaire non organisée (3)
5 élèves n’ont pas produit de marquage (dont 4 avec succès)
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Cf. J. Briand et al « apprentissage
mathématiques à la maternelle »,
Hatier



PS : respecter la file (1)
MS : respecter la file (2)
GS :


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boîtes en ligne
respecter l ’ordre
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
Reproduire une suite ordonnée d ’images ou
d ’objets selon un modèle

PS : Images alignées sur une réglette
 modèle proche, nombre 7
 modèle éloigné, nombre 7
 modèle non visible, nombre 7

PMS : rythmes et perles
 modèle éloigné, nombre 7
 modèle non visible, nombre 7
 modèle représenté par un dessin, modèle éloigné,
nombre 7
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

Une liste de lettres ou d ’images étant inscrite sur
une bande (train), l ’élève doit reproduire cette
liste en découpant une à une les lettres figurant
(par ordre alphabétique pour les lettres) ou les
images sur une bande modèle qui est éloignée.
Il doit se déplacer pour consulter le modèle
(autant de fois qu ’il veut)
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

Mobilisation du nombre éventuelle
Cf. vidéo
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



cf. vidéo CD-ROM
Matériel : un bâton orienté, 10 boîtes
d ’allumettes, des objets différents à mettre
dans les boîtes
variables : disposition des boîtes, orientation
évolution des procédures
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 l'élève dessine les objets en désordre dans la feuille
 l'élève dessine les boîtes alignées mais en désordre
 l'élève dessine les boîtes sur 2 niveaux mais les
alignements ne sont pas coordonnés
 l'élève effectue un rabattement incorrect
 le rabattement est réussi mais pas la position du repère
 la représentation est correcte.
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 l'élève ne tient pas compte de la position du repère,
même s'il l' a dessiné
 l'élève tient compte de la position du repère comme
une inversion de l'ordre.
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
Les procédures



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prise en compte de la place en comptant à partir du
début
prise en compte de la place en comptant à partir
d ’une lettre ou d ’une image déjà placée
évaluation de visu de la place (quand la lettre est au
« milieu », par exemple)
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Construire une collection équipotente à
une collection donnée
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
Modalités de communication :



situation d ’autocommunication : l ’élève réalise une
deuxième collection équipotente à la première avec
celle-ci visible ou non (si dénombrement)
situation de communication orale ou écrite (E/R)
situation d ’autocommunication différée dans le temps
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

cf. polycopié
autres activités : boutons, buchettes, etc.


Les Boutons :Aller chercher autant de boutons que de cases vides
Les bûchettes
 Assembler des bûchettes pour faire un motif
 Dessiner de motif
 Reconstruire ce motif (après avoir chercher le nombre de bûchettes
nécessaire)…
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


Utiliser le nombre comme mémoire de quantité
pour construire plusieurs collections
équipotentes à une collection donnée
Contrainte : « 3 sous »
Évolution de la complexité (on peut tout
commander à la fin.
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


Voitures et voyageurs (1 à 3 places)
Même principe mais on écrit pas le nombre
Cf. CD-ROM
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



Construire une collection double d ’une
collection donnée : deux oiseaux dans son nid
construire une collection triple d ’une collection
donnée : les clowns
comparer des collections
partager des collections
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



Entre 4 et 8 nids dans un arbre dessiné
Des oiseaux dessinés à découper
Commander en une (ou plusieurs fois) autant
d’oiseaux qu’il faut, juste ce qu’il faut pour
mettre deux oiseaux dans chaque nid
Les procédures
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

Même principe mais avec 2 à 4 clowns
Chaque chemise doit avoir 3 boutons
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
Des nombres pour comparer : Ermel GS : Le
jeu des boîtes empilées
Matériel : des boîtes empilées (seule, celle du dessus
est visible), un dé
 Règle du jeu : lancé du dé, prendre la boîte si le
score obtenu est supérieur au nombre de jetons
dans la boîte
 Gagnant : à la fin de la partie, celui qui a le plus de
jetons…

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
Des nombres pour comparer : Ermel GS : Le
jeu des boîtes alignées
Matériel : des boîtes alignées (toutes visibles), un dé
 Règle du jeu : lancer du dé, prendre la boîte que
l’on veut si le score obtenu est supérieur au nombre
de jetons dans la boîte
 Gagnant : à la fin de la partie, celui qui a le plus de
jetons…

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
Le jeu des pistes



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3 joueurs, 5 pistes concourantes
Si le nombre de cases d’une piste est plus petit que le
score du lancé de dé, le jeton est placé sur la case
arrivée.
Après 5 tours, celui qui a sauvé le plus de jetons a
gagné.
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Les caisses
 Les maracas
 Les bandes de gommettes
 Les pots de yaourts
 Etc.

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






Objectif : réaliser une partition d’une collection de 26 à 28 objets en
7 parties contenant 3, 4 ou 5 objets chacune
Matériel :26 cubes (caisses), 7 cartons (camions)
Étape 1 : Répartition des caisses : répartir les caisses dans les
camions, on ne peut pas mettre plus de 5 caisses dans un camion et
pas moins de 3 caisses
Étape 2 : anticipation sur la partition : Il faut commander les 7
camions (camions de 3, camions de 4 ou camions de 5), il faut
préparer la commande
Étape 3 : modifier la partition : au moment de la commande, le
maître déclare ne pas avoir assez de camions de telle catégorie
Ex : pour 3 camions de 5 ; 1 camion de 4 ; 3 camions de 3? Il y a un
seul camion de 5
Les élèves utilisent les cubes pour préparer les chargements
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


Matériel : rouleaux de carton, papier aluminium, élastiques,
80 à 100 grains de maïs pour un groupe de 4 à 5 enfants
Consigne : « Vous allez fabriquer un maracas chacun avec
les rouleaux et les grains de maïs. Pour cela il faut partager
les grains, il faut que chacun de vous en ait autant, et il doit
en rester le moins possible.
Procédures de distribution un à un ou paquet par paquet
avec réajustement qui vont mobiliser le dénombrement pour
comparer les sous-collections
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
Objectifs





Partager une collection comportant un nombre pair d’objets non
déplaçables en deux collections équipotentes
Constituer une collection équipotente à une collection donnée
Constituer une collection ayant deux fois plus d’objets qu’une
collection témoin
Utiliser le dénombrement pour valiser son travail ou celui d’un
pair
Matériel
Bandes bristol (ou de papier) de même format 27x10
 Des bandes avec trait de partage
 Des bandes avec des gommettes collées
en double
 Des gommettes, ficelle, crayons, ciseaux

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

Organisation : groupe de 6 enfants
Étape 0 : présentation de l’activité



Présentation de l’activité
Simulation : coller des gommettes de part et d’autre du trait sur
une bande de manière à ce qu’il y en ait pareil, autant de chaque
côté
Étape 1 :




Groupe émetteur, groupe récepteur
Groupe émetteur reçoit une bande et des gommettes en nombre
pair (de 6 à 20)
C1: placer les gommettes sur la bande, il en faut autant de chaque
côté, quand vous êtes sûrs, vous collez
C2 : Découpez selon le trait et transmettez à chaque équipe, P
donne une bande vierge à chacun des groupes récepteurs
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


C3: Coller les morceaux reçus sur votre bande ; compléter la bande
avec des gommettes pour avoir autant de gommettes qu’avant le
découpage (à expliciter éventuellement)
Validation par équipe, débat (mobilisation du dénombrement)
Étape 2 :




Les émetteurs reçoivent en 2 exemplaires une bande avec 6 à 10
gommettes déjà collées.
C1 : trouver la ligne de partage pour qu’il y en ait autant de chaque
côté (simulation avec la ficelle)
Idem pour les récepteurs
Validation à l’aide de la bande témoin
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
Étape 3 :





2 équipes d’émetteurs, le reste de la classe sont des récepteurs
E : bande avec des gommettes ; trouver ligne de partage et découper
en deux
R : la ½ bande est affichée au tableau ; construire une bande ayant
autant de gommettes que la bande initiale
Validation avec la partie témoin
Étape 4



Institutionnalisation des procédures de recherche de la moitié et du
double, vocabulaire : moitié
« pour chercher la moitié, on fait un essai à vue, on compte, on
ajuste »
« pour chercher la bande entière, on compte le nombre de gommettes
de la moitié et on le répète deux fois »
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
Étape 5 : évaluation individuelle


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Compléter une bande dont on connaît la moitié
Trouver la ligne de partage sur une bande
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

Cf. CD-ROM apprentissages mathématiques à
la maternelle J. Briand et al
Repérer les procédures des élèves
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


À faire avant les paniers (situation additive)
Le trésor, cf polycopié (fin GS, début CP)
Objectif :



Le nombre comme mémoire de quantité et outil d’anticipation,
Fréquenter des situations additives
L’activité:


A partir d’un jet de dé, chaque enfant gagne un certain nombre
de pierres précieuses qu’il stocke dans une boîte (trésor)
Un lutin farceur fait disparaître tout ou une partie du trésor
qu’il mélange avec celles prises au autre enfant. Comment
savoir ce qui manque à chacun ?
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
Quatre étapes :
1. Chacun se constitue son trésor an lançant deux dés, échange du
trésor contre un reçu
 2. Les boîtes sont vides, il faut reconstituer le trésor de chacun
 3. Le nombre de pierres augmente par un nouveau lancer de dés
 4. Quelques pierres ont disparu, il faut trouver ce qui manque


Déroulement :

Étape 1: Constitution du trésor :
 un gestionnaire des « pierres », des joueurs, vérification à chaque étape
(phase orale)
 Utilisation de l’écrit : des cartes (recto : nombre écrit en chiffres, verso :
collection de ronds correspondante), une grande boîte cherchant de
cachette ; chaque enfant échange son trésor contre un reçu (carte) et
vérifie pendant plusieurs jours que le trésor est toujours là.
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
Étape 2 : disparition du trésor, nombre : mémoire de
quantité



Un grand carton ou tous les trésors d’un groupe sont mélangés( à
peine caché)
À la place des trésors, un message du lutin-farceur : les enfant
doivent retrouver la cachette et trouver un moyen de récupérer son
trésor (à l’aide du reçu). Les reçus servent à valider les retraits de
chacun
Étape 3 : augmentation du trésor

Résolution d’un problème additif : u
 Un dé (1, 2 et 3), lancer du dé (boîte fermée), l’enfant doit prévoir le
résultat sans chercher les pierres à rajouter, en les cherchant s’il
échoue (boîte fermée), de compter le tout s’il échoue à nouveau
 Modification des reçus
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
Étape 4 : disparition partielle du trésor



Prélèvement par le lutin-farceur de 2 à 3 pierres dans chaque trésor, 1
boîte commune avec toutes les pierres prélevées
Travail par groupe de 5 à 6 : Chaque enfant doit trouver combien il lui
manque de pierres, validation à l’aide du reçu.
On peut apporter des aides






Sachets individualisés plutôt que des pierres en vrac
Opérer le prélèvement très vite en présence de l’enfant
Prélever une seule pierre
Utiliser les reçus dès la résolution
Étape 5
Au CP on peut envisager de poursuivre


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en dénombrant de « grandes collections »,
échange du trésor (ex : deux pierres contre un bonbon, etc…)
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




Cf. CD-ROM
Choisir le panier correspondant à un message
et colorier les œufs ex : rouge 4, bleu 3, vert 1
Se déplacer avec le message pour chercher le
panier
Se déplacer sans le message
Alternance de résolution individuelle, en
atelier et de bilan-débat, énonciation puis
mémorisation de certains faits numériques
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Acquisition de la chaîne numérique
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
Matériel



Un lot d’enveloppe avec des grilles comportant




une enveloppe avec un message 3 6 ou 3 5 7
et le nombre de jetons correspondant
l’affichage du nombre de cases
et la grille correspondante
Choisir la grille correspondant à la première
enveloppe
Phase de bilan visant l’exposition des procédures
et de certain fait numériques
Denis Butlen - Calcul mental et
résolution de problèmes
55
-
-
Que sait-on sur le sujet ?
l’appel, le nombre de filles et de garçons
la cantine
le calendrier (vidéo)
le nombre de participants à un atelier, le
nombre d’ateliers
les anniversaires
les naissances (vidéo)
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D.B. maternelle
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-
Réciter la comptine numérique (vidéo)
les comptines numériques
les jeux avec les doigts (doigts cachés)
les jeux de dés
les jeux de cartes (bataille, pouilleux)
09/04/2015
D.B. maternelle
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Des principes
I. rappels de numération
 Rappels sur l’écriture des
nombres entiers (N)
 II. Les situations de numération
(nombre entiers)

Les différents systèmes de numération

1. Deux situations d’introduction



Inventer un système de numération
Exploration de la numération orale française
II. Les différents systèmes de numération
enseignés à l’école



Système d’addition
Système de position
Système hybride (ou polynomial)

Avec les quatre symboles : * £ ¤ ¥
 inventer un système de numération.
 Décrire les règles de fonctionnement de ce système
 Préciser les limites et les avantages.

Apprend-on un tel système de numération à
l'école? Si oui lequel?





Chaque symbole représente une puissance de dix (voire cinq)
 * → 1 = 100
 £ → 10 = 101
 ¤ → 100 = 102
 ¥ → 1000 = 103
On écrit autant de fois que nécessaire les symboles,
on fait des additions implicites,
 Exemple 3452 =
(1000+1000+1000)+(100+100+100+100)+(10+10+10+10+10)+(1+1) → ¥
¥¥¤¤¤¤£££££**
On ne peut pas écrire les nombres supérieurs à 999
Des essais ne respectant pas les règles implicites fonctionnant ci-dessus :
 Jouer sur le sens de l’écriture :
*
 Signifie 10000
¥
 Mais alors un nombre pourrait avoir deux écritures
 Par exemple 100 peut s’écrire : ¤ et £

£






Un deux trois quatre cinq six sept huit neuf dix
onze douze treize quatorze quinze seize
Dix-sept,
Vingt trente quarante cinquante soixante
Vingt et un
Quatre vingts
Cent mille million millard billion trillion, etc
72 = 1x 64 + 0 x 16 + 2 x 4 + 0 x 1
64
43
16
42
4
41
1
40
1
0
2
0
£
*
¤
*

Les systèmes d'addition (les plus "primitifs ")



Les systèmes de position :



Les systèmes alphabétiques (grec, etc.)
Les systèmes égyptien, romain (plus complexe), etc.
Notre numération chiffrée (écrite avec des chiffres)
Les systèmes babylonien, maya, etc.
Les systèmes polynomiaux ou hybrides


Notre système de numération avec des mots-nombres
(d'autres" chiffres ")
Certains systèmes asiatiques (sino-japonais, etc.)


Branchement système égyptien ou romain
Les règles de fonctionnement





Les chiffres représentent les puissances de la base
(principale: en générale dix ou auxiliaire: souvent 5)
Les opérations implicites: des additions (plus rarement des
soustractions)
On écrit autant de fois que nécessaire (à concurrence de la
valeur de la base, les chiffres)
On ne peut pas écrire tous les nombres (car il y a
potentiellement un nombre infmi de puissances de la base)
L'ordre n'est pas nécessaire (us et coutumes)

Des règles de fonctionnement

Deux bases
 une base 10
 une base auxiliaire 5



Un ordre partiel
des additions (et des soustractions, « dérives »)
Des chiffres représentant les puissances des bases :
 I pour un,
V pour cinq,
 L pour cinquante
C pour cent
 M pour mille (et ensuite ????)

X pour dix
D pour cinq cents
Pas de zéros mais des fractions en base douze .. et des
abaques pour les opérations


Branchement système babylonien, maya
Des règles de fonctionnement
Les chiffres représentent les coefficients
multiplicatifs des puissances de la base (base
principale: en générale dix parfois vingt ou soixante
ou base auxiliaire: souvent 5 parfois dix)
 Les opérations implicites: des additions et des
multiplications
 On écrit que les coefficients multiplicatifs sauf en cas
d'absence de zéro (Babylone) (éventuellement à
concurrence de la valeur de la base, les chiffres)
 On peut pas écrire tous les nombres sauf en cas
d'absence de zéro (Babylone)
 L'ordre est indispensable






Les bases :
 Base dix le plus souvent
Références: numération écrite avec des motsnombres, systèmes sino-japonais
Deux (voire trois) types de chiffres représentant
respectivement :

Les puissances de la bases

Les coefficients multiplicatifs des puissances de la base
Opérations implicites: multiplications, additions
On ne peut pas écrire tous les nombres


Les bases :

Base dix avec base auxiliaire mille

des traces de bases " anciennes ": seize, vingt
Trois types de chiffres représentant respectivement:




Les puissances de la bases: dix, cent, mille, million, etc. (lesquels ?)
Les coefficients multiplicatifs des puissances de la base: zéro, un,
deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix, onze, douze, treize,
quatorze, quinze, seize (parfois utilisés localement)
Des concaténations des deux précédents: vingt (pour deux dix), trente
(pour trois dix), quarante, cinquante, soixante .
Opérations implicites: multiplications, additions .:. On ne
peut pas écrire tous les nombres
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Les situations d’échanges pour travailler l’écriture du
nombre
Les situations de groupements (rendus nécessaires
quand il s’agit de dénombrer des collections
importantes)
Les situations qui amènent à repenser les groupements
par rapport aux échanges
Les situations de découverte du point de vue
algorithmique (dans les deux systèmes de numération)
qui amènent à regarder comment s’enchaînent les
écritures
Les situations d’exploration des règles de la numération
orale (écrite avec des mots traduits par des nombres)
Les situations autour du passage de la numération écrite
(chiffrée) de position à la numération orale (utilisant des
mots)

Il s’agit de répondre à la question : à quoi sert la
numération ?
à lire dans l’écriture d’un nombre des informations
liées aux échanges ou aux groupements qui ont été
effectués (Exemples de situations dans ERMEL : « les
craies »; « stockage » « les daltons » « les timbres »,
« les tickets de cantine », « les trombones »).
 à structurer les ensembles de nombres à partir de
leurs écritures canoniques mais aussi à partir de
décompositions plutôt canoniques
 à construire des algorithmes opératoires efficaces
 à faciliter l’usage des systèmes métriques


Au travers des évaluations, on constate un
déficit en CE2 et en sixième




« Dans 238, combien de paquets de dix ? »
50 % réussissent à répondre en CE2 mais peu lisent
directement la réponse « sur le nombre »
En sixième, on observe 80 % de réussite et
seulement un élève sur deux qui mobilise des
connaissances sur la numération
Le problème des Daltons, le problème des
« craies », des timbres





À traiter dans les deux systèmes de numération
amènent à regarder comment les écritures des nombres se
transforment de un en un
Toutes les activités autour des compteurs (avec des chiffres
ou avec des mots) et des calculatrices entrent dans cette
catégorie en liaison avec un travail avec les abaques. t
s’enchaînent les écritures
Un travail autour des familles de nombres comme la
situation du « jeu du château » en CP / CE1.
La structuration des nombres est également en jeu dans les
situations utilisant la droite numérique comme « les fils
numériques » ou encore celle qui consiste à fabriquer le
« livre du million » : chaque page contient mille nombres
(famille des mille).




Numération écrite avec des mots traduits par
des nombres
Il s’agit de faire travailler les élèves sur ce qui
distingue les deux systèmes de numération.
Construire un dictionnaire de nombre
Construire une simulation de « compteur »
adaptée à la numération orale (écrite avec des
mots)



déterminer le nombre de « chiffres »
(d’étiquettes) nécessaires pour écrire les nombres
entiers jusqu’à un nombre donné 10n.
utiliser ces étiquettes pour écrire la suite des
nombres entiers, déterminer les régularités, la
variation de la longueur des écritures, (faire une
frise), etc.
une écriture d’un nombre N étant donnée,
quelles étiquettes faut-il changer pour écrire : N
+ 1, N – 1, N + 10, N + 20, …, N + 10n, N+ a10
avec 0<a<9, 2N, 10N, 20N, 10n xN, etc.










exemple : 17 x 10n
dix-sept ↔ 17
cent soixante dix ↔ 170
mille sept cent ↔ 1 700
dix sept mille ↔ 17 000
cent soixante dix mille ↔ 170 000
un million sept cent mille ↔ 1. 700 000
dix sept million ↔ 17 000 000
cent soixante dix million ↔ 170 000 000
etc.




Un nombre étant donnée par son écriture chiffrée,
combien faut-il d’étiquettes pour l’écrire.
Un nombre étant oralement ou par écrit (avec des
mots), déterminer le nombre de chiffres nécessaires
pour l’écrire
Test : construire simultanément des suites de
nombres (de 1 en 1, de 2 en 2, de 10 en 10, de 100 en
100, etc…) en numération chiffrée et numération
orale
un nombre étant donné oralement, écrire ce que
l’on entend avec des chiffres, retrouver l’écriture
canonique.






On ne peut se limiter à des dictées de nombres.
Un travail spécifique est à mener.
Exemple : « les mots nombres » sur ERMEL
2347 lu « deux mille trois cent quarante-sept »
soit
2 - 1000 – 3 – 100 – 40 – 7
2000 + 300 + 47
2347





Ces situations sont incontournables au cycle 2
Elles permettent d’explorer les règles
d’échanges qui justifient le système de
numération de position
Au CP c’est la situation de type « jeu du
banquier »
au CE1, c’est le « jeu du caissier »
L’évolution se traduit au niveau de la règle
d’échanges (un contre cinq, puis un contre dix)
et tout le travail sur la monnaie.






Les groupements sont rendus nécessaires quand il s’agit de
dénombrer des collections importantes
Pour les CP, il s’agira de construire des stratégies pour dénombrer
rapidement et de manière fiable des collections de 30 à 100 objets
au CE de plusieurs centaines voire milliers
Ces situations amènent à constater que l’utilisation des paquets de
dix puis des paquets de paquets va faciliter la détermination de
l’écriture du cardinal qui pourra être d’abord traduit sous la
forme d’une écriture additive
L’évolution du CP au CM2 se fait au niveau du passage de
collections réelles à des collections représentées sous différentes
formes.
Dans ERMEL les situations « les fourmillions » (CP), « les
cahiers » (CE1), « les craies » (CE2), « les trombones » (CM1) et
« les tickets de cantine » (CM2) entrent dans cette catégorie.
Référence : le nombre au cycle 2
Les enjeux du calcul mental, le
paradoxe de l ’automatisme, un travail
sur les pré-requis
I.2. Éléments bibliographiques
• Des ouvrages de référence
• BOULE F., (1997), Performances et démarches de calcul mental au cycle
III. Éléments pour une pédagogie du calcul mental, Thèse de doctorat,
Villeneuve d’Asq, Presses universitaires du Septentrion
• BUTLEN D. (2007) Le calcul mental, entre sens et technique, Presses
universitaires de Franche Comté, Besançon
• BUTLEN D. PEZARD M., (2007) Conceptualisation en
mathématiques et élèves en difficulté, Grand N, n° 79, 3-32, IREM de
Grenoble, université Joseph Fourrier, Grenoble
1
• BUTLEN D. PEZARD M. et al, (2000) le rôle du calcul mental dans
la connaissance des nombres, des opérations et dans la résolution
de problèmes, Repères-IREM n°41, Tpiques éditions
• Des exemples de progressions
• LETHIELLEUX C., (1992), Calcul mental, volumes 1 et 2, Paris, Armand
Colin
•17/01/11
PELTIER M.L. : CalculDenis
mental,
Mosaïques,
Hatier, Paris89
Butlencollection
- Calcul mental
et
résolution de problèmes
II. Les enjeux du calcul
mental, le paradoxe de
l ’automatisme
Du diagnostic au traitement des
pré-requis, le paradoxe de
l’automatisme
17/01/11
Denis Butlen - Calcul mental et
résolution de problèmes
90
Du diagnostic à un premier
traitement des difficultés
•
•
•
•
Une manière de poser le problème
Un diagnostic (daté historiquement)
Deux dynamiques et un paradoxe
Des exemples d’activités préparatoires,
un travail sur les pré-requis
17/01/11
Denis Butlen - Calcul mental et
résolution de problèmes
91
II.1. Une manière de poser le
problème
Calcul de 45 + 17
17/01/11
Denis Butlen - Calcul mental et
résolution de problèmes
92


simulation mentale de l’algorithme écrit, l’élève «
pose dans sa tête » l’opération en colonnes :
utilisation de la décomposition additive canonique de
l’un ou des deux termes :
45 + 17 = 45 + 10 +7 = 55 + 7 = 62
 ou 45 + 17 = 40 + 5 + 10 + 7 = 50 + 12 = 62 ;



utilisation d’une décomposition additive de l’un des
termes s’appuyant sur un passage à une dizaine
supérieure :
45 + 17 = 45 + 5 + 12 = 50 + 12 = 62
 ou 45 + 15 + 2 = 60 + 2 = 62
 ou 2 + 43 + 17 =2 + 60 = 62 ;


utilisation d’une décomposition soustractive de l’un
des termes : 45 + 20 – 3 = 65 – 3 = 62 ;


Ces procédures se différencient par les
connaissances mobilisées, le coût en mémoire
et en calcul.
Des recherches ont montré que les procédures
mobilisées par les élèves de fin de cycle 2, sont :



l’algorithme écrit « posé dans la tête » (procédure
quasi majoritaire), les différentes procédures
mobilisant
des décompositions canoniques et, beaucoup plus
rarement, celles mobilisant d’autres décompositions
additives ou soustractives.
Ces dernières nécessitent une prise en compte de la
spécificité des nombres intervenant dans le calcul et
de leurs propriétés, leur domaine de validité est
limité. Un enseignement spécifique préalable semble
donc nécessaire.
calcul de produits, évolution
des procédures
• Une hiérarchie de procédures
•
•
•
•
•
Addition réitérée
algorithme posé dans la tête
distributivité simple
mobilisation de décompositions soustractives
mobilisation de décompositions
multiplicatives
• Des connaissances peu disponibles
17/01/11
Denis Butlen - Calcul mental et
résolution de problèmes
95
II.3. Deux dynamiques
le paradoxe de l’automatisme
17/01/11
Denis Butlen - Calcul mental et
résolution de problèmes
96
II.3. Deux dynamiques
le paradoxe de l’automatisme
17/01/11
Denis Butlen - Calcul mental et
résolution de problèmes
97
Construction du sens des opérations,
connaissances sur les nombres et maîtrise des
techniques opératoires : des développements
imbriqués
•
•
Une dynamique positive : Des pré-requis sur les nombres et les
opérations
des connaissances disponibles —> mobilisation de
procédures adaptées —> exploration des nombres et des propriétés —>
des connaissances plus riches, plus disponibles —> une plus grande
adaptabilité
Une dynamique négative : un manque de pré-requis sur les nombres et
les opérations —> des connaissances peu disponibles —> mobilisation de
procédures sûres (automatisées) mais peu économiques —> peu ou pas
d’exploration des nombres et des propriétés —> un déficit de
connaissances disponibles —> une plus faible adaptabilité
17/01/11
Denis Butlen - Calcul mental et
résolution de problèmes
98
Le paradoxe de l ’automatisme
• Une installation suffisante de
• faits numériques mémorisés
• de modules élémentaires de calcul
permet aux élèves d e mobiliser des procédures
plus adaptées, plus économiques et d ’échapper
à l ’automatisme
• Pour cela, il est nécessaire :
• de faire appel à la mémoire
• d ’institutionnaliser à la fois la procédure et son domaine d ’efficacité
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Denis Butlen - Calcul mental et
résolution de problèmes
99
II. 4. Des activités
préparatoires
Une intervention sur les prérequis
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Denis Butlen - Calcul mental et
résolution de problèmes
100





Une première série d’activités, plus traditionnelles,
revient à explorer, mémoriser et tester les tables
d’additions.
Une deuxième série d’activités porte sur la
recherche de compléments à dix, cent, mille, etc.
Une troisième concerne davantage les additions et
soustractions mentales.
Nous présentons ici uniquement les calculs
élémentaires à automatiser et les faits numériques
à mémoriser.
Pour les aborder, le professeur aura recours à
différents types de matériels et différents modes de
gestion.




Les résultats des tables d’addition deviendront
progressivement des faits numériques automatisés.
Certains s’acquièrent plus vite que d’autres (n + 1,
n + n) ;
certaines désignations (par exemple, les
constellations ou les doigts dans le cas de 5 + n
avec n compris entre 1 et 5) peuvent aider à en
« voir » quelques uns.
Mais ce n’est pas toujours la taille des nombres qui
rend le calcul plus difficile (ainsi 5 + 5 est plus vite
mémorisé que 4 + 3).



Le premier type est constitué de jeux de calcul mental
utilisant différents supports : jeux de cartes (bataille,
mariages, recto-verso…), jeux de dominos, lotos,
labyrinthes, etc. (différents ouvrages détaillent ces
jeux).
Un second type d’activités a aussi pour objectif la
mémorisation des tables,
il convient de distinguer :
La recherche de la somme ou de la différence : 8 + 7 = ? 9 – 3 =
?
 La recherche de l’un des termes de la somme ou de la
différence :
9 + ? = 14
7  14
8-?=5?–7=4
 La recherche des deux termes de la somme ou de la différence :


? + ? = 18
?-?=6

Compléter à 10
Servant de base à de nombreuses procédures de calcul
réfléchi, les cinq paires de nombres non nuls dont la somme
est 10 sont à connaître suffisamment tôt.
 Les différentes représentations des nombres (constellations,
doigts des mains, etc.) contribuent à leur mémorisation.



Afin de rendre disponibles différentes
décompositions d’un nombre, dans cette activité mais
aussi dans beaucoup d’autres, le professeur pourra
jouer sur la formulation de la consigne
chaque consigne privilégie un point de vue



compléter une collection,
se déplacer sur la droite numérique, égaliser deux
collections, etc.).
Ces changements de point de vue participent de la
construction du nombre et contribuent à accroître la
disponibilité des faits numériques.







Complète 3 pour faire 10
Combien manque-t-il à 3 pour faire 10 ?
Que faut-il ajouter à 3 pour faire 10 ?
3 pour aller à 10 ?
3  10 ?
3 + ? = 10
10 – 3 = ?






Compléter à la dizaine supérieure
14  20 32  40
53  60
Compléter à 100 ou à la centaine supérieure
avec
30  100
54  100 327  400 1350 
1400
Trouver le complément quand il s’agit de 10
ou d’un multiple de 10, voire de 100
32  42 48  78
25  325 1235  1635


il s’agit de procédures automatisées liées le plus souvent à
la spécificité de notre système de numération dont l’usage
rend certains calculs plus faciles que d’autres.
Ajouter 10 ou un nombre entier de dizaines à un nombre
de deux ou trois chiffres




497 + 10
40 + 122
265 + 40
64 – 10
55 – 30
238 – 40
Ajouter ou soustraire 100 ou un nombre entier de
centaines à un nombre de trois ou quatre chiffres


257 + 10
38 + 60
Soustraire 10 ou un nombre entier de dizaines à un
nombre de deux ou trois chiffres


55 + 10
60 + 30
325 + 100
4500 – 600
1234 + 500
1370 - 500
325 – 100
1234 – 200
Trouver le plus rapidement possible le résultat d’une
addition en ligne
27 + 4 + 15 + 3 + 5

Décomposer additivement un nombre en un
nombre entier de centaines, dizaines et unités
(décomposition canonique)


47 = 50 – 3
47 = 100 – 53
37 + 18 = 47 + ?
54 + 27 = 74 + ?
En utilisant la décomposition décimale du second
terme.
27 + 8 = 30 + ?
?
 128 + 15 = 130 + ?


1004 = 1000 + 4
Compléter des égalités du type


327 = 300 + 20 + 7
Exprimer un nombre en faisant intervenir la
dizaine, la centaine supérieure, etc.


34 = 30 + 4
54 + 27 = 60 + ?
54 + 27 = 80 +
128 +15 = 140 + ?
En faisant apparaître dans le calcul un multiple de
10 ou 100.
Calcul mental et résolution de
problèmes standards
(soustraction, multiplication)


Une progression non linéaire, éviter le schéma : tables, technique
dans les cas simples puis complexes, problèmes
Le champ conceptuel de l’opération :



les différentes techniques opératoires,






lister l’ensemble des problèmes,
faire une répartition sur plusieurs années (au moins un cycle)
Lister ces techniques
comparer leurs avantages et inconvénients,
faire un choix (savoir le justifier)
Penser les différentes étapes de l’apprentissage et une répartition dans le
temps
Accompagner l’apprentissage de l’algorithme d’une pratique de calcul
mental
La construction des « tables » :



de la fréquentation de faits numériques à leur organisation en tables
(plusieurs organisations possibles),
penser les étapes de leur mémorisation,
justifier cette mémorisation par la maîtrise de la technique opératoire
Éléments de comparaison