Transcript Représentations-et-rationnels7

Cours 2010-2011
diaporama 12
Ingénierie didactique des
curriculums (2)
Rationnels et Décimaux
1
I. Rationnels et leurs
représentations
1.
Représentations mathématiques
2. Questions de didactique
cours de Sao Paolo 2009
2
introduction

Des notions anciennes et qui paraissent élémentaires,
comme celles de fractions, de rationnels ou de décimaux
sont en fait très complexes.

Elles offrent un bon champ pour observer
 les différents types de représentations que nous
avons envisagés précédemment
 et le rôle qu’ils peuvent jouer dans l’enseignement:


les facilités
et les difficultés…
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Types de représentations
envisagés
I. Ostension d’éléments dits « équivalents » *
 II. Classe et éléments **
 III. Représentations d’une même structure*
 IV. Définitions équivalentes d’un même objet*
ou problèmes ayant la même solution
 V. Représentation par un voisin (en topologie)
 VI. Changements de « langage » de cadre ou de
registre
 VII. Représentation de situations et de processus
 VIII. Et la même dénomination pour des objets
différents ?

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fractions, rapports, fonctions



Les « fractions » ont été d’abord un moyen d’exprimer des
mesures non entières à l’aide d’entiers. Elles doivent être alors
accompagnées d’une unité:
Définition 1 Nombre de quantièmes, unité intermédiaire. Ex. 7/3
d’acre exprime 7 fois le quantième 1/3 d’acre.
Définition 2: la « commensuration »: ex. 3 fois la quantité mesurée
coïncide avec 7 acres (pas de division explicite)

Elles ont exprimé des rapports (ratios)
 Soit, scalaires, sans unité, (dits rapports internes)
 Ex. 1203 et 2807 sont dans le rapport de 3 à 7.
 Soit avec une dimension ± complexe (rapport externe) Ex. : 3m/s

Elles expriment des applications linéaires: ex: Cet actionnaire
prélèvera 21/100 des bénéfices obtenus
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des Fractions aux…



7/3 est une fraction
14/6 en est une autre, ainsi que 21/9 etc.
Ces fractions, et toutes celles obtenues en multipliant le
numérateur et le dénominateur par un même nombre ont
certaines propriétés en commun:
 dans les opérations arithmétiques ou dans les mises en
ordre, on peut toujours en remplacer l’une d’elle par une
autre, sans changer autre chose que la longueur des
calculs. Les résultats sont équivalents
 De ce point de vue, ces fractions, toutes différentes, (donc
pas égales) sont équivalentes : 7/3  28/12
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… rationnels
7/3 peut représenter ( (sens I: remplacer dans les calculs )
chacune des fractions de cette classe
La classe (l’ensemble) de toutes ces fractions est
le rationnel [7/3].
Il peut être représenté (sens II) par n’importe laquelle des fractions
qui le composent par ex. par 7/3 ou par 2807/1203
 les mêmes calculs seront possibles et donneront des résultats
équivalents
 On les confond dans la pratique mais on peut être amené à
distinguer la fraction, le rationnel et les rationnels :
fraction : 7/3 rationnel : {7/3, 14/6, …}
Ce rationnel peut être aussi « désigné » exactement (sens VI) par
des procédés qui ne sont pas formellement des fractions : 2,333. Il
peuvent être approchés par un autre rationnel : 233/100 etc.




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Les rationnels








1203 et 2807 sont dans le rapport de 3 à 7.
Le rapport de 3 à 7 est exprimé par 7/3 mais aussi par 14/6 et par …
2807/1203!
Le rapport 7/3 est donc aussi le rationnel [7/3]
Finalement le rationnel a/b est
a/b = { (n, m) N2 : a x m = b x n}
Et l’ensemble des rationnels est
Q = { a/b, (a, b)  N2 : b  0}
L’usage qui consiste à calculer sur les rationnels avec les
opérations des rationnels conduit à opérer sur des fractions qui les
représentent
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Les applications linéaires
rationnelles
Une application de Q dans Q, est linéaire si elle fait correspondre
la somme des images de deux nombres à l’image de la somme
de ces deux nombres:
f(a+b) = f(a) + f(b) ex. : 7/3(a +b) = 7/3 a + 7/3 b
 La somme de deux applications linéaires f et g est l’application
qui fait correspondre au nombre a le nombre f(a) + g(a).
(f+g)(a) = f(a) + g(a). ex. : (7/3 + 2/5)(a) = 7/3 a + 2/5 a
Elle est linéaire : (f+g)(a+b) = (f+g)(a) + (f+g)(b)
 La composition g ° f de deux applications linéaires f et g est une
application qui au nombre a fait correspondre le nombre g(f(a))
elle est linéaire et elle a toutes les propriétés nécessaires pour
être une multiplication de deux applications rationnelles
(distributivité, commutativité, etc.) son unité est l’identité 1(a) = a

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9
Une représentation
Application linéaire 7/3
3
7
9
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12
28
Un petit puzzle
est représenté
par un grand
7/3 est une représentation
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Une autre représentation
Application linéaire 7/3
Mesure 7/3 u
L’application linéaire
7/3 représente aussi
la mesure 7/3
3
7
9
21
12
28
7/3 est une représentation
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Beaucoup de représentations
Mesures
rationnelles
Applications linéaires
rationnelles
7/3 u
7/3
3/4 u
3/4
L’ensemble des applications linéaires représente
l’ensemble des mesures
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Beaucoup de représentations
Mesures
rationnelles
Applications linéaires
rationnelles
7/3 u
x(7/3)
3/4 u
x(3/4)
7/3 + 3/4
7/3 x 3/4
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x (7/3) + x (3/4)
(3/4)

(7/3)
13
Représentation de L(Q) dans Q

L’ensemble des applications linéaires de Q dans Q est le
groupe linéaire, L(Q).

Q et L(Q) sont « isomorphes » autrement dit on peut nommer
une application linéaire par son rationnel canonique (ou par
l’une de ses fractions) et calculer sur les applications comme
sur les rationnels, comme sur les rapports et comme sur les
fractions.
Q et L(Q) sont représentants l’un de l’autre (au sens III), c’est
une même structure (un anneau unitaire)


Nous rencontrerons par la suite d’autres formes de
représentations des mêmes concepts
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Conclusion


Ainsi les représentations sont omni présentes dans les
mathématiques, non seulement comme une variété
d’expressions de chaque objet, mais comme moyen de
construction progressive des connaissances.
Il est essentiel de les étudier dans ce rôle constitutif

Et de considérer quelques uns des problèmes qu’elles posent
à l’enseignement

C’est ce que se proposaient les recherches que je vais
évoquer maintenant
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Représentations et
Rationnels
2. Questions de didactique
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Des notions et des
interprétations…

Ainsi sous des aspects différents, les rationnels sont un seul
et même objet. Mais par contre il existe un très grand nombre
d’autre possibilités d’interprétation (et encore plus de
formulation)

Par exemple une fraction peut être :
 Le résultat d’une décimation (quantième)
 un programme de partage en parts égales d’une grandeur
naturelle (une division) que l’on ne calcule pas, mais sur
lequel on peut calculer…
 une échelle, un agrandissement
 une correspondance linéaire entre deux ensemble de
mesures (non exprimée numériquement)
 etc.
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…Polymorphes et
polysémiques

Nous sommes habitués à considérer toutes ces conceptions
comme équivalentes – comme des représentations
différentes d’un même objet mathématique et à passer de
l’une à l’autre selon les circonstances pour concevoir plus
facilement un problème ou un calcul.

Pourtant il a fallu des siècles pour inventer toutes ces
significations particulières adaptées à toutes sortes de
situations et des siècles encore pour établir en quoi elles
étaient équivalentes.
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Conséquences pour
l’enseignement

Aujourd’hui, dans les mêmes conditions qu’autrefois, les élèves
développent des connaissances aussi variées :
 l’équivalence entre les différents aspects ne leur apparaît pas
 et les obstacles épistémologiques ressurgissent

D’ailleurs notre culture porte la trace de cette complexité et des
tâtonnements historiques pour la résoudre. Elle donne aux élèves
des termes pour exprimer ces différences : les mots presque
synonymes abondent mais l’imprécision est quasi systématique

Par contre les enseignants, qui connaissent les équivalences, les
utilisent couramment et voudraient que les élèves les trouvent
évidente, comme eux:
Il s’ensuit des malentendus et des difficultés :

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sujet de recherches : vérifier ou
contredire ces assertions



Exemples : Le professeur
 Voudrait, dès que possible, illustrer la notion par toutes ses
formes et ses propriétés particulières
 Et donc utiliser la terminologie approximative, ambiguë,
contradictoire même, fournie par la culture
 Mais il voudrait aussi que l’élève utilise correctement les
algorithmes liés a la notion la plus générale dans tous les
usages et exemples concrets,
 Et donc reconnaisse « spontanément » ce qui est
équivalent et ce qui ne l’est pas
Pour soutenir ce désir il adhère à des «croyances
épistémologiques » favorables:
il naturalise les représentations
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Résultats connus




Les élèves ne disposent que de « représentations »
particulières, inadéquates hors des conditions d’un champ
très limité.
Exemple : les fractions bien connues des élèves sont des
mesures simples, et suffisamment inférieures à l’unité (1/2,
1/3, 3/4,…). Elles se réfèrent au partage en parts égales
(quantièmes), c’est-à-dire au mesurage d’une grandeur
« grande » avec une unité « petite »…
Leurs propriétés ne s’étendent pas bien aux rapports
externes, aux fractions supérieures à l’unité ou très voisines
de l’unité, la compréhension des décimaux est limitée aux
mesures
Même dans des conditions très familière les conceptions
peuvent être totalement inappropriées, métaphoriques.
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méthodes didactiques
classiques
Les propositions habituelles opposent volontiers diverses
« méthodes didactiques »
Ex.
 « Du général au particulier » (concrétisation) Vs « Du
particulier au général » (abstraction)
 méthode axiomatique Vs heuristique (problématique)
 Méthode axiomatique déductive (C Condition nécessaire)
Vs inductive (C  C. Suffisante)
 Méthode descriptive Vs méthode constructive.
 etc.
 Toutes ces méthodes sont utiles et présentent un intérêt
certain…
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Mode d’emploi ?

Mais aucune n’est satisfaisante, toutes présentent des
difficultés. Exemples.






L’analogie comme moyen officiel d’enseignement
(Diénès), les absurdités et les abus qui en
découlent
L’option constructiviste radicale et ses
conséquences
La méthode axiomatique et ses limites
Elles paraissent opposées, elles ne sont incompatibles que
localement
Mais ce sont les utilisations systématiques qui le sont
En fait, elles peuvent être conjuguées et intervenir à divers
moments opportuns dans un même processus
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Proposition d’études
expérimentales





Nous avons montré dans l’expérience présentée plus loin
qu’on peut alors corriger les erreurs dues aux utilisations
aveugles et systématiques des méthodes classiques.
Il ne s’agit pas de proposer la diffusion de notre expérience
dans des classes ordinaires
Car les professeurs ne peuvent pas Ignorer ou changer la
culture ni se passer d’applications et de problèmes :
Dans les relations didactiques, ils ont hérité, par tradition, d’un
jeu très complexe de représentations, qu’ils doivent, soit
utiliser, soit rejeter soit ignorer selon les circonstances.
Quels sont leurs stratégies ? Quels en sont les effets ? Quels
rôles y jouent les représentations, correctes ou abusives ?
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Comment?



1. Étudier a priori les effets prévisibles des divers abus
signalés ici dans l’usage des diverses formes de
représentations
2. Puis les repérer dans des ouvrages et par l’observation
clinique de pratiques scolaires
3. Ensuite, les étudier, expérimentalement, c’est-à-dire à
l’aide de
 d’observations cliniques et statistiques de leçons


d’expériences d’enseignement bien définies
De problèmes et de questionnaires posés aux élèves et à leurs
professeurs (prévision des réponses)
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II. Le curriculum
« Rationnels et décimaux
de 9 à14 ans»
1.
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Introduction
Les fractions-mesures
26
Les expériences de 73-90




Présentation rapide du plan général de l’étude
« expérimentale » menée à ce propos au COREM
le processus s’étend sur 65 leçons
La méthode utilisée consistait à choisir des processus
d’enseignement « alternatifs » aux choix traditionnels et à en
comparer les effets.
Par exemple:
 nous avons enseigné les rationnels alors que nous pensons
que cette connaissance est obsolète et inutile pour ce niveau :
l’enseignement des décimaux suffirait.
 Nous avons choisi une définition inhabituelle des fractions
pour savoir si elle constituait un obstacle à l’apprentissage de
la conception usuelle.
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Principes

Ainsi les divers aspects des rationnels (fractions, rapports,
fonctions) étaient présentés
 séparément et successivement avec leurs opérations,
 suivant une « logique » des questions posées par les
situations,
 suivant leurs fonctions mathématiques réciproques,
 de façon à former une genèse mathématique cohérente,
 justifiée du point de vue épistémologique et psychologique
 dans un quête attractive.
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Le Plan







Première grande partie : les rationnels-mesures,
La deuxième: les rationnels applications linéaires, (cas III)
Ces parties sont enseignées séparément avec leurs
opérations « signifiantes »,
Dans chacune de ces parties les fractions précèdent les
décimaux, qui sont inventés pour les décrire, pour les
approcher : est-ce que 0,33 représente 1/3 ? (Cas V)
Les rapports restent des nombres naturels jusqu’au moment
de l’identification finale. Alors les calculs peuvent ignorer la
nature mathématique des objets.
La troisième partie étudie les situations des différentes
conceptions des opérations arithmétiques, (cas IV)
La quatrième fait l’identification de toutes les conceptions,
abstraction et introduit à l’algèbre (cas VI et VII)
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1. Rationnels pour
Mesurer
a) L’épaisseur d’une feuille de
papier
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L’épaisseur d’une feuille de
papier… Le dispositif
A
B
C
Jeanne
Nicolas
A Jeanne est attribué le papier C
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Nicolas ne voit pas
Jeanne
31
L’épaisseur d’une feuille de
papier… la consigne 1
A
B
C
Jeanne
Jeanne doit exprimer l’épaisseur de la feuille C
(sans lettres) et l’écrire sur le message bleu
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32
L’épaisseur d’une feuille de
papier… la consigne 2
A
B
C
Jeanne
Nicolas
Elle envoie le message à Nicolas
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33
L’épaisseur d’une feuille de
papier… la consigne 3
A
B
C
Jeanne
Nicolas
?
Nicolas doit deviner quelle sorte de papier a Jeanne
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34
L’épaisseur d’une feuille de
papier… la consigne 4
A
B
C
Jeanne
Nicolas
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Ils gagnent si Jeanne a bien « représenté » le
papier C par son épaisseur et si Nicolas a su lire
35
cette représentation…
L’épaisseur d’une feuille de
papier… la consigne 5
A
B
C
Jeanne
Nicolas
Rq. Un autre élève pourrait contester le résultat
et montrer qu’avec ce message on pouvait
choisir une autre feuille de papier
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Dès qu’ils ont compris le jeu…
… Jeanne et
Nicolas
étudient
ensemble la
façon de
représenter
l’épaisseur
d’une feuille de
papier
A
B
C
La solution
25 f ; 3mm
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Solutions trouvées par les
élèves






Le message
25;3
indique qu’il a fallu empiler 25
feuilles pour atteindre 3 millimètres. Il s’agit bien d’une
commensuration, Elle représente la mesure 3/25 de mm.
le partage d’une si petite unité était inconcevable…
Il y a plusieurs méthodes : fixer une épaisseur entière ou non
ou fixer un nombre de feuilles
Toutes les équipes trouvent une solution. Mais il suffirait qu’il
y ait deux ou trois réussites. Il y a plusieurs variantes (fixer
une épaisseur entière, ou le nombre de feuilles).
Les résultats sont affichés dans un tableau,
les élèves y relèvent les incohérences et des erreurs en
utilisant des arguments de proportionnalité:
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Les comparaisons de couples







Exemples du tableau
30 f ; 2 mm
Type C
30 f ; 3mm, Type C
“ça ne va pas : pour un même type de feuilles, au même
nombre de feuilles doit correspondre la même épaisseur
30 f ; 3 mm
Type C
15 f ; 1 mm Type C
“ça ne va pas” , s’il y a 2 fois plus de feuilles, l’épaisseur doit
être 2 fois plus grande.
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Les épaisseurs d’une feuille






Pour un même type de papier
:
19 f ; 3 mm
20 f ; 4 mm
« ça ne va pas parce qu’une feuille ne peut pas mesurer 1
mm »
Des différences sur le nombre de feuilles ne doivent pas
correspondre à des différences égales de mesures.
Les élèves finissent par identifier les classes de couples
représentant une même épaisseur;
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(45;3) et 3/45
Il leur faut bien distinguer
l’épaisseur d’un tas de 45 feuilles qui mesure 3 mm
et
l’épaisseur (45; 3) en mm d’une feuille,
(couple et classe)
 Alors le professeur introduit une convention
 (45;3) représente un tas de 45 feuilles et l’épaisseur du tas
 3/45 représente l’épaisseur d’une feuille

Aucun élève ne fait allusion au fait que ce nombre pourrait
représenter le résultat du partage de 3 mm entre les 45
feuilles.
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41
Leçons suivantes…


Pourriez vous trouver d’autres écritures pour désigner
l’épaisseur de chaque différent type de papier ?
Les élèves finissent par identifier les classes de couples
représentant une même épaisseur;
Le processus se poursuit par l’étude de ce qu’on peut
savoir avec la représentation écrite des épaisseurs de
feuilles de papier, sur les papiers eux-mêmes
Chaque défi prend du temps mais les élèves proposent et
discutent des solutions. De temps à autre des jeux
opposent des équipes où chaque joueur doit effectuer
une part de travail. Ce procédé conduit les élèves à à
s’aider et à s’encourager a apprendre.

42
1. Rationnels pour Mesurer
b) Les résultats des mesurages
sont ils des nombres ?
cours de Sao Paolo 2009
43
Est-ce que 3/25 est un nombre?

E: Oui disent les élèves, il y en a deux …

P: Est que 3/25 est UN nombre

E: … ???

P : Si on peut faire avec ces mesures tout ce que
l’on fait habituellement avec les nombres, nous
dirons que ce sont des nombres, d’accord?
44
Pour Compter ?






P: Est-ce qu’on peut compter avec ? Quel est le
premier de ces nombres? …
E: ???
P : On ne peut pas compter avec les fractions.
Les fractions ne sont pas des nombres entiers
Est-ce qu’on peut les ajouter? Que faudrait-il faire
pour que l’on doive ajouter deux épaisseurs
E: … ah oui, il faudrait « ajouter les feuilles », …
coller deux feuilles pour en faire une
45
On peut les additionner ?



P: Et bien voilà, je colle une feuille du paquet (50,
6) avec une feuille de (100; 10),
quelle sera l’épaisseur de la nouvelle feuille?
Si on sait le faire ce sera l’épaisseur somme de
(50, 6) et de (100; 10) :
6/50 + 10/100
• E. il faut le même nombre de feuilles de chaque sorte !
• P: oui, et combien, pour que vous connaissiez l’épaisseur du
tas ?
• E : 100 ! Qui mesureront 10 + 6 + 6 mm = 22 mm
• E : 50 !
Qui mesureront 5 + 6 = 11 mm
• P: alors
(50, 6) collée avec (100; 10)  (100; 22)
• E: ou encore (50, 6) collée avec (100; 10)  (50;11)
• P: l’épaisseur 6/50 + 10/100 = 22/100
46
Il faut que les enfants distinguent bien :
«ajouter » deux tas de feuilles :
on obtient bien un paquet de 150 feuilles qui
mesure une épaisseur de 16 mm, mais les feuilles
n’ont pas toutes la même épaisseur et aucune
n’est collée avec aucune.
Et …
et « ajouter deux épaisseurs de feuilles ».
On colle une feuille de chaque sorte et on veut
mesurer l’épaisseur de cette nouvelle feuille.
47
Le tas (45;3) et l’épaisseur 3/45
Le professeur leur fait bien distinguer à nouveau
 La description d’un tas de 45 feuilles qui mesure 3 mm et
 l’épaisseur en mm d’une seule feuille qu’il écrit 3/45
Et que les élèves lisent : « une feuille d’épaisseur : 3 mm pour
45 feuilles »
 Il introduit une convention
 (45;3) représente, un tas de 45 feuilles et l’épaisseur de ce
tas
 l’épaisseur seule d’une feuille s’écrira alors 3/45

Évidemment aucun élève ne fait allusion au fait que ce nombre pourrait
représenter le résultat du partage de 3 mm entre les 45 feuilles.
48
Et les multiplier ?




Le processus se poursuit par l’étude de ce qu’on peut savoir
avec la représentation écrite des épaisseurs de feuilles de
papier, sur les papiers eux-mêmes
Comment peut on savoir avec les écritures si une feuille est plus
épaisse qu’une autre?
Et si je colle plusieurs feuilles différentes, est-ce que je peux
prévoir l’épaisseur du carton obtenu?  addition
Si les feuilles que je colle sont toutes semblables ? 
multiplication par des entiers
épaisseur
(17; 3)
1f
5f
?
49
A quoi sert la représentation?



Comment peut on savoir avec les écritures si une feuille est
plus épaisse qu’une autre?
Et si je colle plusieurs feuilles différentes, l’addition me permet
de prévoir l’épaisseur du carton obtenu?
Et si je colle des feuilles sont toutes semblables ? La
multiplication par le nombre de feuilles me donne le résultat
3/17
5f
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15/17
50
« Peut-on » aussi les diviser ?





Comment diviser 23/17 par 5 ?
L’épaisseur 23/17 d’une plaque est telle que 17
feuilles mesurent 23 unités
Pour pouvoir diviser pas 5 il faudrait pouvoir diviser
le nombre de plaques par 5
En prenant une écriture équivalente où le nombre
de feuilles est divisible par 5 on trouve l’épaisseur…
On ne sait pas partager en une feuille dont
l’épaisseur est 23/17 mm. On saurait peut être pour
une plaque de 23/17 cm ?
51
La commensuration
avec d’autres grandeurs
A
=
A
verre
u
11 A
7u
Verre unité
Représentation de la
définition et des
opérations avec…
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7/11 u
des capacités …
52
… avec des masses…
L’unité est U
Que pèse B ?
B Pèse 3/5 de U
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53
1. Rationnels pour Mesurer
c) La mesure des longueurs
L’équivalence entre fraction
et commensuration
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54
Avec des longueurs plus
grandes…





Le matériel est constitué de bandes de papier de longueurs de
1cm à plus d’un mètre. La « bande-unité » mesure environ 20
cm.
Pour mesurer les bandes plus courtes que l’unité les élèves
pratiquent la commensuration
Pour mesurer les bandes longues les élèves reportent
spontanément la bande- unité, puis s’approchent en la repliant
pour obtenir des demis des quarts d’unités Ils doivent ensuite
calculer la somme de ces longueurs.
Le professeur leur demande de mesurer directement cette
longueur par commensuration en la reportant sur une longue
bande ou le long du mur.
Les mesures sont elles égales ?
Équivalence des définitions



Pour le savoir les élèves comparent les
fractions obtenues : elles sont presque
égales
Après avoir observé les résultats de plusieurs
groupes qui avaient travaillé avec des
longueurs différentes les élèves sont
« convaincus »
Le professeur entretient le doute et demande
« une preuve ». Il faut montrer que les
résultats ne devraient pas être différent.
Une première expérience

Considérons deux définitions des fractions comme mesure (il
en existe d’autres) :
 La partition de l’unité :


La commensuration :


3/7 est la part obtenue en « partageant » l’unité en
7 unités secondaires et en prenant 3 de ces unités
secondaires
3/7 est la mesure d’une grandeur qui « reportée » 7
fois coïncide avec 3 unités
mathématiquement équivalentes: (U : 7) x 3= (Ux3) : 7
 le sont elles conceptuellement ?
 Est-ce une représentation (cas IV) ?
cours de Sao Paolo 2009
57
Des conceptions différentes…
Pour réaliser une longueur de 3/7 u
unité
Par partition de l’unité:
1/7 u
3/7 u
unité
Par commensuration :
3u
3u : 7
cours de Sao Paolo 2009
58
… ne permettent pas…
Quelle est la mesure de a ?
a
Par partition de l’unité
unité
??
Par commensuration
cours de Sao Paolo 2009
59
… de résoudre…
Quelle est la mesure de a ?
a
unité
Partition de l’unité
?
Commensuration
cours de Sao Paolo 2009
60
… les mêmes problèmes…
Quelle est la mesure de a ?
a
Partition de l’unité
Essais avec ½ u : échec
unité
Commensuration
cours de Sao Paolo 2009
61
…
Quelle est la mesure de a ?
a
Partition de l’unité
puis avec 1/3 u, échec
unité
puis 1/4 u…
Commensuration
cours de Sao Paolo 2009
62
…
Quelle est la mesure de a ?
a
unité
Partition de l’unité
Essais avec ½ u, puis 1/3 u,
puis 1/4 , puis 1/5 etc.
Commensuration
cours de Sao Paolo 2009
63
… aussi facilement !
Quelle est la mesure de a ?
a
unité
Partition de l’unité
Il faut recommencer
l’opération à chaque fois
Commensuration
S’il y a une solution on la trouve plus vite
cours de Sao Paolo 2009
64
Et si on ne trouve pas de coïncidence ?
Partition de l’unité
A
L’erreur est visible, elle
est de plus en plus
petite (inférieure à 1/n).
Concrètement, le
processus doit
s’arrêter
U
p/n U
Commensuration
p fois U
L’erreur est multipliée par p
n fois A
Il est plus visible qu’il n’y a
pas égalité, l’ordre de
grandeur de l’erreur n’est
plus visible
A mesure
moins de p/n U
65
La première démonstration



Le comptage de parties de l’unité et la
commensuration ont des avantages différents
suivant les questions et ils semblent donner
des résultats voisins.
Sont-ils équivalents?
Comment être sûrs que les différences sont
dues aux « erreurs » de manipulations et
qu’ils devraient donner le même résultat ?
La preuve de l’équivalence
Regardez et comprenez !
cours de Sao Paolo 2009
67







La première ligne porte 3 unités (segments bleus)
La troisième ligne porte 7 segments rouges
Chaque segment rouge mesure 3/7 unités.
Chaque unité est partagée en 7 segments jaunes
qui mesure 1/7 u
Un segment rouge comprend 3 segments jaune et
mesure donc 3/7 u. Les deux résultats sont
identiques. On le voit. Mais pourquoi ?
La ligne oblique mesure 21 segments de 1/3 u
7 segments de 3 sont égaux à 3 segments de 7 !
Une conception qui fait
obstacle à une autre…

Il s’agissait entre autres
 1. de savoir si l’usage de la commensuration rendait
difficile l’apprentissage de la partition et dans quelles
circonstances
 2. d’étudier les situations favorables à l’une, à l’autre et au
changement de point vue
 3. De savoir si la connaissance des deux était bénéfique

Tout dépendait de la possibilité de créer les conditions
adéquates.

Voici un peu plus en détail les situations retenues pour les
expériences
cours de Sao Paolo 2009
69
… révèle le fonctionnement
caché des connaissances




Ces deux notions mathématiques équivalentes n’offrent pas
les mêmes facilités. Chacune est supérieure à l’autre dans
certaines conditions: par ex. attribuer une mesure à une
quantité est beaucoup plus facile avec la commensuration (il
n’y a pas à diviser) par contre, les fractions permettent de
mieux contrôler les approximations.
Elles mobilisent les mêmes opérations et les mêmes objets
mais avec des connaissances différentes.
Par conséquent leur utilisation simultanées créée des
méprises, des difficultés et provoque des erreurs persistantes.
Leur étude nous a conduit à découvrir que l’histoire des
mathématiques et l’enseignement pouvaient présenter aussi
des obstacles épistémologiques ou didactiques.
cours de Sao Paolo 2009
70
La fraction est une division…
qu’on n’a pas effectuée





Le professeur demande l’épaisseur que l’on trouve
en divisant une bande de 7 unités en 3 bandes
égales:
3 fois ce qu’on trouve mesure 7 unités, ce qu’on
trouve est donc 7/3 d’unités
Si on divise 7 par 3 le résultat est 7/3
7/3 est la part obtenue en « partageant » l’unité en 3
unités secondaires (de 1/3) et en prenant 7 de ces
unités secondaires
Ce qui, multiplié par 3, égale 7 U peut se dire :
7/3 U ou 7 x 1/3 U ou 1/3 de 7U
Résultats de cette 1ère
expérience



Cette première phase du processus à duré 15 séances
Finalement nous avons montré dans cette première
expérience :
 que les élèves utilisaient facilement la commensuration et
l’utilisaient pour établir les relations et les calculs dans Q :
(< , +, -, x et : par un nombre naturel)
 qu’effectivement cette première conception était un
obstacle épistémologique pour la partition surtout pour les
professeurs (moins pour les élèves)
 Et aussi qu’une représentation n’enrichit une connaissance
que sous certaines conditions
Et nous pouvons observer que la plupart des représentations
ont des propriétés importantes qui leur sont spécifiques. Les
considérer comme cognitivement équivalentes conduit à des
méprises
cours de Sao Paolo 2009
72
À cette étape du curriculum, le problème ci-dessous
est encore inintelligible pour les élèves. Pourquoi ?
Attention ! Ici pas de balance !
5 Kg de fruits pour 3Kg de sucre
10 Kg de fruits pour 6 Kg de sucre
15 Kg de fruits pour 9 Kg de sucre
8 kg de mélange avant la cuisson
5/8 de fruits et 3/8 de sucre
Et seulement 6 Kg de confiture moitié fruits moitié sucre ! …
pourquoi?
cours de Sao Paolo 2009
73
2. Structure topologique de Q+
L’invention des décimaux
74
L’invention des décimaux

Le jeu de devinette : encadrer plus étroitement la fraction
secrètement choisie par l’adversaire. (17/5)
3
?
4
Les premiers encadrements se font seulement entre deux
entiers consécutifs (100/7)
14
?
15
75
Pour resserrer l’encadrement entre deux entiers, il faut
intercaler une fraction entre deux autres
4
3

8/2
6/2
6/2
?
7/2
Trouver le
milieu est facile
(Le procédé a été découvert pour comparer les épaisseurs)
• Le jeu peut continuer par des dichotomies successives
• Lorsque le jeu s’arrête (temps limité à l’avance
l’équipe qui tient la fractions de l’adversaire dans le
plus petit intervalle a gagné.
76
Division décimale des intervalles

Assez rapidement pour ne pas avoir à refaire des calculs pour
chaque question, nouvelles les élèves choisissent les intervalles
en utilisant des dizaines puis des centaines.
30/10
30/10
?
40/10
40/10
30/10 < ? < 35/10
77
30/10
30/10 < ? < 35/10
?
35/10
OUI
32/10 < ? < 35/10
OUI
34/10 < ? < 35/10
NON
32/10
35/10
33/10 < ? < 34/10
30/10
NON…!...?
40/10
17/5 = 34/10

La fraction 17/5 est « attrapée » avec les
décimaux … 100/7 ne l’est pas
78
Les décimaux représentent les rationnels




Finalement, pour faciliter cette recherche et éviter
de fastidieux calculs avec les fractions générales,
les élèves découpent les intervalles en 10, 100 ou
1000 et utilisent par conséquent les décimaux pour
« approcher » les rationnels.
Pour cela la méthode conduit les élèves à inventer
une opération qui « ressemble » à une division
classique.
Un rationnel peut être ainsi « représenté » par un
décimal voisin plus commode pour les calculs et
pour les comparaisons
Les opérations avec les décimaux sont celles
définies sur les rationnels. L’écriture habituelle est
alors introduite
cours de Sao Paolo 2009
79
Conclusions




Les élèves retrouvent et édictent les règles des
opérations sur les écritures qu’ils pratiquaient avec
le système décimal de mesures connues depuis
deux ans.
- « Oui, les décimaux sont des nombres mais dans
la division l’unité peut changer si on en a besoin »
??
- La division sert à chercher un nombre décimal
aussi près qu’on veut pour remplacer (représenter)
la fraction
- Mais diviser, c’est mesurer le dividende en prenant
le diviseur comme unité
3. Applications linéaires
rationnelles
a) Agrandissement d’un puzzle
cours de Sao Paolo 2009
81
3. Une application linéaire

C’est la situation bien connue « de l’agrandissement du
puzzle (présentée la semaine dernière).

Remarquez que les élèves n’ont pas besoin de décrire
l’application ni de la nommer, seules les intéressent les
valeurs correspondant aux dimensions qu’ils veulent
agrandir…

Un problème d’agrandissement d’une autre figure posée deux
jours plus tard soulève encore des difficultés similaires : une
rencontre, même « critique » avec une situation ne suffit pas
aux élèves pour construire une connaissance

Le professeur lui, peut croire que la situation exemplaire suffit!
cours de Sao Paolo 2009
82
L’agrandissement du puzzle
L’enseignant :
« Vous devez découper un puzzle pour l’école
maternelle. Il doit être semblable à celui-là mais plus
grand
Le côté de cette pièce du modèle mesure 4
centimètres
Il doit mesurer 7 centimètres sur la reproduction”
Chaque groupe n’agrandit qu’une seule pièce ».
Vous les assemblerez après
cours de Sao Paolo 2009
83
6
5
2
6
A
7
7
9
7
5
2
4
Figure
cours de Sao1
Paolo 2009
2
5
84
cours de Sao Paolo 2009
85
cours de Sao Paolo 2009
86
Première idée

2 
4 
6 

Et ce qui en résulte…


cours de Sao Paolo 2009
2+3 = 5
4+3 = 7
6+3 = 9
87
A
B
C
F
Résultat
E
D
Figure 2
cours de Sao Paolo 2009
88
Les élèves s’accusent mutuellement
 d’avoir mal mesuré,
 d’avoir mal découpé (ils demandent à la
maîtresse de découper à leur place)
 d’avoir mal calculé
 Ils recommencent… ça ne va toujours pas
 Certains finissent par incriminer leur méthode
89
cours de Sao Paolo 2009
90
Autres idées
4 --> 7, donc 8 -->14 et aussi 12 --> 21
(la proportionnalité, comme unique modèle
familier, mais empirique, sans justification)

4 --> 2 x 4 – 1 = 7
 6 --> 2 x 6 – 1 = 11
 2 --> 2 x 2 – 1 = 3
Qui parait satisfaisant
Comme aussi des découpages « à l’œil »

cours de Sao Paolo 2009
91
a
c
b
Figure 3a
cours de Sao Paolo 2009
92
A
a
Figure 3b
cours de Sao Paolo 2009
93
b
B
Figure 3c
cours de Sao Paolo 2009
94
c
C
Figure 3d
cours de Sao Paolo 2009
95
a
c
b
Figure 3e
cours de Sao Paolo 2009
96
A
C
B
Figure 3f
cours de Sao Paolo 2009
97
Pourquoi ?


+


2 
4 
6 
2+3 = 5
4+3 = 7 +
6+3 = 9
2 + 4 = 6 mais
5 + 7  9 !!
cours de Sao Paolo 2009
98
Figure 4
Modèle
La somme des images
doit être l’image
de la somme !
Image
cours de Sao Paolo 2009
99
cours de Sao Paolo 2009
100
 Le
calcul final
7
 1  7/4
 7/4 = 7x25/100 = 175/100 = 1.75
4
cours de Sao Paolo 2009
101

i)
ii)
iii)
Nous pouvons voir ici des exemples de situations
des trois principaux types la TSM
Action – Les élèves jouent le jeu spécifique qui
leur est proposé et essaient des connaissances
Formulation – Ils doivent utiliser le vocabulaire
dans leurs communications ordinaires avec les
autres élèves pour échanger leurs projets.
Validation – Lorsqu’ils ont conçu un modèle ils
doivent le justifier et le prouver auprès de leur
camarades.
cours de Sao Paolo 2009
102

Remarquez que les élèves n’ont pas besoin de
décrire l’application ni de la nommer, seules les
intéressent les valeurs correspondant aux
dimensions qu’ils veulent agrandir…

Un problème d’agrandissement d’une autre figure
(un élément de mosaïque) posée quelques jours
plus tard soulève encore des difficultés similaires :
une rencontre même « critique » avec une situation
ne suffit pas aux élèves pour construire une
connaissance

Et voici un nouvel objet à reproduire, à agrandir ou à
rapetisser
103
3. Applications linéaires
rationnelles
b) L’agrandissement de
« l’optimist »
cours de Sao Paolo 2009
104
« L’optimist »
Un bateau vraiment utilisé par les enfants
105
Un agrandissement …




Les élèves ont, à leur banc, le dessin d’un bateau. Ils
peuvent mesurer et nommer tous les segments qui le
composent : la hauteur du mât, la longueur de la bôme etc.
Son « agrandissement » est affiché au tableau. Le professeur
indique la mesure d’un segment sur la reproduction : le mat
mesure 30 cm
Les élèves doivent calculer les dimensions des autres
segments du tableau depuis leur place en mesurant leur
dessin. Ils peuvent aller vérifier leurs prévisions au tableau.
L‘application linéaire est cette fois-ci l’objet d’une étude
systématique, occasion d’utiliser les rapports naturels sur un
même dessin ou entre deux dessins. Mais l’application n’a
pas besoin d’être nommé ou identifiée.
cours de Sao Paolo 2009
106
3. Les applications
linéaires rationnelles
c) Toute une collection de
dessins de l’optmist…
c)
cours de Sao Paolo 2009
107
puis beaucoup d’autres

Le professeur introduit d’autres agrandissements ou même
des « rapetissements » de ce dessin (obtenus par
photographie). Et même des images qui ne sont linéaires que
sur une dimension (une affinité obtenue en soulevant le
papier sensible)

Il s’agit bientôt pour les élèves de distinguer et nommer ces
agrandissements

Ils voient l’utilité de désigner les agrandissements par l’image
de 1 cm sur le dessin original

Comment remplacer l’expression « rapetisser de 2 » par
« agrandir de 0,5 » ?
cours de Sao Paolo 2009
108
1,2
1
0,8
0,2
0,5
5
109
Original
1,2
1
0,8
0,5
0,2
5
Et que se passe-t-il si c’est l’image 0,8 qui prend le
rôle d’original?
cours de Sao Paolo 2009
110
Original
1,2
X 1,2
1
0,8
X 0,2
X5
X 0,5
0,5
0,2
5
Et que se passe-t-il si c’est l’image 0,8 qui prend
le rôle d’original?
111
Usages et formulations des
applications linéaires

Après l’étude de nombreux problèmes et formulations
diverses pour les applications linéaires (pourcentages,
échelles, taux, titre, vitesse…) dans lesquels la représentation
fait l’objet d’études spécifiques : par exemple l’invention du
dessin à l’échelle pour mesurer un segment inaccessible
Il faut l’inclure dans une
figure indéformable que l’on
peut reproduire en mesurant
les segments accessibles
pour calculer la longueur
entre les drapeaux
cours de Sao Paolo 2009
112
4. Les produits de
rationnels
Les compositions
d’applications linéaires
c)
cours de Sao Paolo 2009
113
Le pantographe
cours de Sao Paolo 2009
114
1. Phase d’étude du pantographe





On peut "agrandir" ou "rapetisser" en échangeant la pointe et le
crayon.
L'image ne change pas de forme, quelle que soit la manière dont
on dispose le pantographe… mais l’image d’un cercle se ferme
rarement, à cause de petites erreurs.
Il vaut mieux savoir ce qu’il faut obtenir et le dessiner que
l’obtenir avec votre pantographe
L'"agrandissement" ou le "rapetissement" varie suivant le réglage
des pantographes.
- Les nombres qui sont en face des trous indiquent les
agrandissements et les rapetissements obtenus en y plaçant les
axes….
115
Après quelques utilisations…
Mesure
Dessin (cm)
3,2
Reproduction (cm)
5,4
Calcul
3,2
5,25
Résultats: « Tous les enfants » savent utiliser le
pantographe. Tous aussi ont compris les remarques qui
ont été faites. Tous savent calculer le résultat attendu.
Tous ont éprouvé des difficultés à obtenir ce qu’ils
pensent que l’on doit obtenir.
116
COMPOSITION d'APPLICATIONS




"Derrière cette feuille blanche, j'ai fait un dessin.
Puis, avec ce pantographe, j'ai reproduit ce dessin qui m'a servi
de modèle, sur cette feuille bleue.
Enfin, j'ai reproduit le dessin de la feuille bleue sur cette feuille
jaune à l'aide de cet autre pantographe (Les enfants ne voient
pas les dessins qui sont au verso des feuilles)…
Dans un moment, vous allez vous aussi, faire la même chose :
vous ferez un dessin sur la feuille blanche, vous le reproduirez
sur la feuille bleue avec le premier pantographe, puis vous
reproduirez ce dernier dessin sur la feuille jaune avec l'autre
pantographe.
117
Pour réussir l’agrandissement,
il vaut mieux …




Mais avant, je vous donne 2 dimensions du modèle
4
2,5
Pouvez-vous prévoir les dimensions
correspondantes sur la feuille jaune ?" Les enfants
disent alors qu'il leur faut d'autres renseignements
et demandent :
soit de combien agrandissent les pantographes
soit une dimension correspondante sur la feuille
jaune.
118
1ère Méthode :
Feuille
Blanche
Feuille
Bleue
Feuille
Jaune
les rapports
2ème Méthode :
les applications
119
…prévoir d’abord son résultat
Le pantographe sert à vérifier
3ième méthode
La composition
L'enseignant écrit alors sur le tableau la conclusion
des élèves :
(x3)
S (x1,5)
x3 suivi de x 1,5
=
(x4,5)
et dit :
fait comme x4,5
120
La composition

"Pouvez-vous prévoir quel agrandissement feront
deux pantographes réglés sur 3,5 et sur 2 ? Vous
réfléchirez et vous donnerez le résultat dans la
prochaine séance".
121
• La COMPOSITION D'APPLICATIONS LINÉAIRES :
• La DÉSIGNATION DES APPLICATIONS LINÉAIRES
COMPOSÉES
122
Le produit de deux rationnels

Finalement le produit de deux rationnels est défini comme la
composition de deux agrandissements effectués « à l’aide »
d’un pantographe. Pour dessiner correctement l’image les
élèves doivent calculer la composée (parce que le matériel
est imprécis).
X3
X2
X3
X 1/3
X6
cours de Sao Paolo 2009
123
Bibliographie



Nadine et Guy Brousseau « Rationnels et décimaux
dans la scolarité obligatoire », 1987, sur HAL :
http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00610769/fr/
Voir une bibliographie complète sur ce sujet dans le
Dossier n°8 : « Les expériences sur l’enseignement des
rationnels et des décimaux 1973-1998 » dans
http://www.guy-brousseau.com
BROUSSEAU G., (2004) Les représentations, étude
en théorie des situations didactiques », Revue des
sciences de l’éducation Volume XXX n°2, 2004, 499536, Montréal, Québec, Canada (Ed. Gisèle Lemoyne)
Bons et mauvais usages des
représentations dans
les processus didactiques
un bon sujet de réflexions !!
cours de Sao Paolo 2009
125