Teoria i exercicis. Espais vectorials i geometria a lespai
Download
Report
Transcript Teoria i exercicis. Espais vectorials i geometria a lespai
GEOMETRIA EN L’ESPAI
PUNTS, RECTES I PLANS DE
L’ESPAI
Sistema de Referència
R O; i , j , k
O: origen de coordenades
B: base de l’espai V3
Vector de posició i coordenades d’un punt
r
r xi yj zk
Vectors: notació matricial
• Notació matricial d’un vector: donat un vector podem
expressar les seves components en una determinada base
com una matriu fila o una matriu columna:
x
r xi yj zk x, y, z y
z
Vectors: notació matricial
• Suma de vectors:
v w vx , vy , vz wx , wy , wz vx wx , vy wy , vz wz
• Producte per un escalar:
·v ·vx , vy , vz ·vx , ·vy , ·vz
wx
v w v x , v y , v z wy v x wx v y wy v z wz
w
Producte vectorial
z
• Producte escalar:
•
i
v w vx
wx
j
vy
wy
k
vz v y wz vz wy , vz wx vx wz , vx wy v y wx
wz
Vectors: notació matricial
• Tres vectors de l’espai V3 formen base de l’espai si i només si
són linealment independents, és a dir, si no són coplanaris
• Per comprovar que tres vectors són linealment independents és
suficient comprovar que el determinant de les seves components és
diferent de zero:
vx
vy
vz
V , U i W base u x
uy
uz 0
wx
wy
wz
Vectors: notació matricial
• Donats 3 vectors que formen base de V3 qualsevol vector es
pot expressar com a combinació lineal d’ells.
• Sigui
volem expressar V en aquesta base:
vx ·u1x ·u2 x ·u3 x
v vx , v y , vz ·u1 ·u2 ·u3 v y ·u1 y ·u2 y ·u3 y
vz ·u1z ·u2 z ·u3 z
B u1 , u2 , u3
Matricialment:
u1x
u1 y
u
1z
u2 x
u2 y
u2 z
u3 x v x
u3 y · v y
u3 z v z
Vectors: notació matricial
• La matriu del canvi de base és la matriu inversa:
u1x
u1 y
u
1z
Exemple
u2 x
u2 y
u2 z
u3 x
u3 y
u3 z
1
vx
vy
v
z
Rectes
Una recta queda completament determinada si en coneixem:
• Un punt P i un vector. En aquest cas el vector s’anomena vector director
• Dos punts P i Q
Q
Equacions de la recta
• Equació vectorial:
( x, y, z) ( x p , y p , z p ) v
• Equacions paramètriques:
• Equació contínua:
x xp
vx
x x p v x
y y p v y
z z p v z
y yp
vy
z zp
vz
Equacions de la recta
• Equacions implícites: si en l’equació contínua prenem dues
de les igualtats i les multipliquem en creu, obtenim dues
equacions lineals amb incògnites x, y i z
x x p v y y y p v x
y y p v z z z p v y
Agrupant i reanomenant:
Ax By Cz D 0
A' x B' y C ' z D' 0
Exemple tipus: equacions de la recta
• Sigui la recta r que passa pel punt A(1,3,0) i té vector director
determina les equacions vectorial, paramètriques i contínua.
• Equació vectorial:
v 2,3,1
( x, y, z) (1,3,0) 2,3,1
x 1 2
• Equacions paramètriques:
y 3 3
z
• Equació contínua:
• Equació implícita:
x 1 y 3
z
2
3
3x 1 2 y 3
x 1 y 3
z
2
3
y 3 3z
ordenant i agrupant
3x 2 y 3 0
y 3z 3 0
Equació de la recta que passa per 2 punts
• Expressa les equacions paramètriques i l’equació contínua de la
recta que passa per A(4,-1,-6) i B(-5,3,0)
Vector director:
V 5,3,0 4,1,6 9,4,6
Equacions paramètriques:
Equació contínua:
x 4 9
y 1 4
z 6 6
x 4 y 1 z 6
9
4
6
Punts alineats
• Determina si els punts A(4,-1,-6), B(-5,3,0) i C(2,-1,2) estan alineats
A,B i C estan alineats si pertanyen a la mateixa recta:
x 4 y 1 z 6
9
4
6
Si C pertany a la recta que determinen A i B ha de
complir la seva equació:
xc 4 yc 1 zc 6
C r
9
4
6
2 4 ? 1 1 ? 2 6
9
4
6
No estan alineats
Equació del pla
• Un pla queda completament determinat si en coneixem:
Un punt P i dos vectors linealment independents. Els vectors s’anomenen
vectors directors
• Tres punts P, Q i R no alineats:
•
Equació vectorial:
OX OP v u
Equació del pla
• Equació vectorial:
( x, y, z) ( x p , y p , z p ) vx , vy , vz ux , u y , uz
• Equacions paramètriques:
x x p vx u x
y y p v y u y
z z p vz u z
, R
Equació del pla
• Equació general o cartesiana:
• partim de l’equació vectorial
OX OP v u OX OP v u
• Per tant el vector
OX OP
és combinació lineal dels altres dos
x xp
v1
u1
OX OP, v i u l.d . y y p
v2
u2 0
z zp
v3
u3
Equació general
Ax By Cz D 0
Equació del pla
Equació canònica: partint de la general
A
B
C
Ax By Cz D
x
y
z 1
D
D
D
Anomenem:
D
D
D
l
,m
in
A
B
C
x y z
1
l m n
Equació del pla que passa per 3 punts
Siguin A(a1,a2,a3), B(b1,b2,b3) i C(c1,c2,c3) tres punts no alineats de
l’espai, llavors les equacions paramètriques es poden escriure:
x a1 (b1 a1 ) (c1 a1 )
y a2 (b2 a2 ) (c2 a2 )
z a (b a ) (c a )
3
3
3
3
3
, R
On P(x,y,z) és un punt qualsevol del pla.
I com que AP, AB i AC són
linialment dependendents:
x a1
b1 a1
c1 a1
y a2
z a3
b2 a2
b3 a3
c2 a 2 0
c3 a3
Desenvolupant aquest determinant s’obté l’equació general del pla.
Punts coplanaris
Siguin A(a1,a2,a3), B(b1,b2,b3), C(c1,c2,c3) i D(d1,d2,d3)
quatre punts no alineats de l’espai, direm que són
coplanaris si pertanyen al mateix pla:
d1 a1
b1 a1
c1 a1
A, B, C i D són coplanaris d 2 a2
d 3 a3
b2 a2
b3 a3
c2 a 2 0
c3 a3
Vector normal a un pla
El vector
perpendicular al pla.
és un vector normal al pla, és a dir,
Si P(x0, y0, z0) és un punt del pla, el vector
és
perpendicular al vector
, i per tant el producte escalar és zero.
Exemples
• Veure exemples 2 i 3 pàgs 264 i 266
Exemple a la xarxa
Posicions relatives de 2 plans
Posicions relatives de 2 plans
Les seves equacions són proporcionals:
A B C D
A' B' C ' D'
3 incògnites – 1 equació = 2 graus de
llibertat
Les seves equacions són incompatibles:
A B C D
A' B' C ' D'
Posicions relatives de 2 plans
Les seves equacions són linealment
independents:
A B C D
A' B' C ' D'
3 incògnites – 2 equacions = 1 grau de
llibertat
Posició relativa de 3 plans
Considerem 3 plans donats per les seves equacions generals:
Ax By Cz D
A' x B ' y C ' z D '
A' ' x B ' ' y C ' ' z D ' '
De manera que la matriu dels coeficients i la matriu ampliada:
A B C
M A' B' C '
A' ' B' ' C ' '
A B C D
M ' A' B' C ' D'
A' ' B' ' C ' ' D' '
Posició relativa de 3 plans: es tallen en un punt
rang(M ) rang(M ' ) 3
Les seves equacions són
linealment independents
3 incògnites – 3 equacions = 0 graus de llibertat
És un sistema compatible determinat i la solució és el punt de tall
Posició relativa de 3 plans: es tallen 2 a 2
segons 2 rectes paral·leles
rang(M ) 2 rang(M ' ) 3
La matriu de coeficients té dues files
proporcionals i l’altra no:
A B C D A
B
i
A' B' C ' D' A' ' B' '
És un sistema incompatible
Posició relativa de 3 plans: es tallen 2 a 2
segons rectes paral·leles
rang(M ) 2 rang(M ' ) 3
La matriu de coeficients no té
files proporcionals, hem
d’estudiar-los 2 a 2.
És un sistema incompatible
Posició relativa de 3 plans: es tallen en una recta
La matriu de coeficients no té
files proporcionals
rang(M ) rang(M ' ) 2 sistema compatible indeterminat
3 incògnites – 2 equacions = 1 grau de llibertat
Posició relativa de 3 plans: no es tallen
rang(M ) 1 rang(M ' ) 2
La matriu ampliada té 2 files
proporcionals i l’altre és paral·lel
La matriu ampliada no té 2
files proporcionals
És un sistema incompatible
Posició relativa de 3 plans: coincidents
rang(M ) rang(M ' ) 1
sistema compatible indeterminat
3 incògnites – 1 equacions = 2 graus de llibertat
Posicions relatives de dues rectes
Considerem 2 rectes determinades per les seves equacions
generals:
Ax By Cz D
A' ' x B' ' y C ' ' z D' '
r:
s:
A' x B' y C ' z D'
A' ' ' x B' ' ' y C ' ' ' z D' ' '
De manera que la matriu dels coeficients i la matriu ampliada:
B
C
A
A' B' C '
M
A' ' B' ' C ' '
A' ' ' B' ' ' C ' ' '
B
C
D
A
A' B' C ' D'
M '
A' ' B' ' C ' ' D' '
A' ' ' B' ' ' C ' ' ' D' ' '
Posicions relatives de dues rectes
rang(M ) rang(M ' ) 2
rang(M ) rang(M ' ) 3
rang(M ) 2 rang(M ' ) 3
rang(M ) 3 rang(M ' ) 4
Posicions relatives d’una recta i un pla
Considerem 1 recta i un pla determinats per les seves
equacions generals:
Ax By Cz D
r:
: A' ' x B' ' y C ' ' z D' '
A' x B' y C ' z D'
De manera que la matriu dels coeficients i la matriu ampliada:
A B C
M A' B' C '
A' ' B' ' C ' '
A B C D
M ' A' B' C ' D'
A' ' B' ' C ' ' D' '
Posicions relatives d’una recta i un pla
rang(M ) rang(M ' ) 2
rang(M ) rang(M ' ) 3
rang(M ) 2 rang(M ' ) 3
Feixos i radiacions de rectes
Radiació de rectes que passen pel punt P(p1,p2,p3):
Exemple P(1,2,-1)
x 1 y 2 z 1
vx
vy
vz
Feix de rectes paral·leles a un vector V=(vx,vy,vz):
Exemple V=(1,2,-1)
x p1 y p2 z p3
1
2
1
Feixos i radiacions de plans
Radiació de plans que passen pel punt P(p1,p2,p3): en l’equació
general del pla substituint (x,y,x) per les coordenades del punt
trobarem el valor de D que han de complir tots els plans que
passen per aquest punt:
Exemple P(2,3,-1)
2 A 3B C D 0 D 2 A 3B C
Ax By Cz (2 A 3B C ) 0
Donant valors a A,B i C trobarem els diferents plans que passen per P
Feixos i radiacions de plans
Feix de plans paral·lels: si coneixem les coordenades d’un
vector normal n, substituint les coordenades en l’equació
general obtindrem tots els plans amb la mateixa orientació
Exemple n=(2,3,-1)
2x 3 y z D 0
Feix de plans secants: conjunt de plans que passen per una recta.
Si dos plans es tallen en una recta r, qualsevol altre pla que contingui
aquesta recta ha de ser combinació lineal de les seves equacions
x y z 3 0
r:
( x y z 3) (2 x y z 1) 0
2 x y z 1 0
Exemples:
1. Donada la recta
x 2 y 1 z 1
3
5
2
a) Esbrina si el punt P(4,9,-5) pertany a r
b) Troba l’equació d’una recta s que passi per Q(3,2,-7) i sigui
paral·lela a r.
4 2 9 1 5 1
Pr
3
5
2
x 3 y 2 z 7
s // r
3
5
2
direcció
Exemples:
2. Donades les rectes
I el punt P(0,1,0)
x 2 y 4
x y z 1
r:
s:
2 x z 1
y z 0
a) Troba el pla que passa per P i conté r.
b) Troba l’equació d’una recta t que passa per P i talla a r i s.
El feix de plans secants que contenen r s’escriu com:
x 2 y 4 2x z 1 0
Les coordenades del punt P han de complir l’equació:
0 2·1 4 2·0 1·0 1 0 2 0 2
x 2 y 4 22 x z 1 0
eq.
pla : 3x 2 y 2 z 2 0
Exemples:
2. Donades les rectes
I el punt P(0,1,0)
x 2 y 4
x y z 1
r:
s:
2 x z 1
y z 0
a) Troba el pla que passa per P i conté r.
b) Troba l’equació d’una recta t que passa per P i talla a r i s.
El feix de plans secants que contenen r s’escriu com:
x 2 y 4 2x z 1 0
Les coordenades del punt P han de complir l’equació:
0 2·1 4 2·0 1·0 1 0 2 0 2
x 2 y 4 22 x z 1 0
eq.
pla : 3x 2 y 2 z 2 0