Transcript Векторное произведение

Динамическая
метеорология.
Векторные операции
Кто изобрел вектора?
Мёбиус ввел в
математику операции с
направленными
отрезками
Гамильтон ввел слово
вектор и определил
скалярное и векторное
произведение
Гиббс ввел
основные
обозначения А·В и
АВ
В автором
первого русского
учебника по
векторному
анализу был
Н.Е.Кочин
Чтобы понимать дальнейшее
вспомни тригонометрию!
Для чего нужны вектора?- 1
Для сокращения записи уравнений
Для чего нужны вектора?- 2
Вихрь в декартовых прямолинейных координатах
Вихрь в ортогональных криволинейных координатах
Чтобы не зависеть от системы координат при
записи фундаментальных законов и понятий
Эти вектора и равенства с
ними нужно знать и уметь
употреблять
Векторная запись формул и уравнений применяется для
краткости.
Но для расчетов необходимо переходить к координатной
записи.
Следует уметь читать векторную запись
и знать правила перехода к координатной!
Вектор это величина, которая характеризуется не
только размерами, но и направлением.
Обозначаем жирными прописными буквами!
 Вектора – это реальные
объекты, их можно
складывать (по правилу
параллелограмма)
 Примеры векторов:
перемещение r, скорость
v, ускорение a, сила f
 Обозначения: Скорость
V={u,v,w}={u1, u2, u3}= ui
(i=1,2,3)
НЕ все есть ВЕКТОР!
Если хочешь быть вектором, то
складывайся по правилу
параллелограмма
• Контрпример 1: Скаляры: длина -l,
масса -m, температура-t. Объединив их
в одно множество {l,m,t} получим
формальный , а не реальный вектор не
получить! Почему?
• Контрпример 2: Набор {T,P,e} – не
вектор, т.к. компоненты а) зависимы и б)
не характеризуют единый
геометрический объект
Операции с векторами осуществимы
практически, так же, как и в случае скаляров.
Пример: Сложение и вычитание
• Сумма векторов –
вектор, который имеет
начало в начале
первого и конец в
конце последнего
• Введя вектор (–N),
равный по величине
вектору N и
противоположный ему
по направлению,
можно определить
операцию вычитания
Проекции вектора на оси
• Проекции вектора на
координатные оси
вычисляются по
формулам
• P1=|P|cosax
• P2=|P|cosay
• P3=|P|cosaxz
Замечание 1: если модуль вектора равен 1 (единичный
вектор), то его координаты – это косинусы углов между им
и осями.
Т.Е. единичный вектор определяет направление вектора в
пространстве
Обратно: вектор направления s
для вектора P(P1,P2,P3)
•
•
•
•
определяется формулой: s= P/|P|
Сos(s,x)=P1/|P|,
сos(s,y)=P2/|P|,
сos(s,z)=P3/|P|
– Пример: направление нормали к
поверхости f(x,y,z)=0 или z=h(x,y)
определяется по вектору градиента поля
f (см.ниже)
Скалярное произведение – это
операция проектирования
• Оно представляет собой результат операции
проектирования одного из векторов на другой
Координатное представление
• Основная теорема: любой вектор D может быть разложен
по трем некомпланарным (aA+bB+cC
 0)
• D=mA+nB+pC
• На ней основано разложение вектора по трем единичным
взаимно перпендикулярным векторам (ортам)-i,j,k
• V=vxi+vyj+vzk
Важные вектора 1(знать!)
Радиус-вектор точки:
r = xi+yj+zk или r = {x,y,z}
Единичный вектор направления:
е = x/|x| i+y/|x| j+z/|x k
или e = {x/|x|, y/|x|, z/|x|}=
={cos(r,X)= x/|x|,cos(r,Y) = y/|x|,cos(r,Z) = z/|x|}=
= {cos(a,cosb ,cosg }
Радиус-вектор точки
Важные вектора 2 (знать!)
Направленный элемент кривой:
dl = dx i+dy j+dz k или dl = {dx,dy,dz}
Важные вектора 2 (знать!)
Направленный элемент площади:
dS =ndS
= dScos(n,X)i+dScos(n,Y)j +dScos(n,Z) k =
= dydz i+dxdz j+ dxdy k
n – единичный вектор
нормали к поверхности
(Для памяти: Направление
нормали совпадает с
направлением вектора
градиента функции, задающей
поверхность)
Направленный элемент
поверхности
Важные вектора 3 (знать!)
• Формальный вектор градиент
• или оператор Гамильтона
• или набла-оператор:
 =

x
i

y
j

z
k
сокращенно
или
i
     
 =
;
;
 j 
 x y z  
k 
    
 =
;
;

 x y z 
Применение вектора набла
Градиент скалярного поля f
Дивергенция векторного
поля B
f
 f =i
 B =
B x
x
x

 j
f
y
B y
y
k

f
z
B z
z
= grad f
= div B
Вихрь (ротор) векторного поля B
rot  B =   B =
i
j


x
y
Bx
By
k
B y
 B z
= i


z
z
 y
Bz


 

 B y
B x
B z 
 B x
j


k



 x
x 
y
 z




Определение скалярного произведения векторов a и b
Через скалярное произведение определяется длина (норма) в
a =
(a  a =
a a a a a a
x x
y y
z z
=
2
2
2
x
y
z
a a a
Определение косинуса угла между векторами по координа
Условие перпендикулярности (ортогональности) векторов:
Поскольку орты – единичные взаимно перпендикулярные вектор
Определение скалярного произведения
совпадает с определением
коэффициента корреляции
r
xy
~ cos( Z , Z )
x
y
Смысл к-та корреляции – это угол между двумя многомерными вектора
Если он равен нулю, то вектора перпендикулярны
Если он +1– они сонаправлены
Если он -1 – они противоположны по направлению
Важные скалярные произведения
• Кинетическая энергия единицы массы - (V·V)/2
•
•
•
•
•
•
Элементарная работа силы (циркуляция) - F·dl
Элементарный поток вектора А - A·dS
Спиральность скорости - V·
Градиент скалярного поля f - f
Адвекция скаляра f - V·f
Дивергенция вектора DivV:
Индексная (тензорная) форма
записи вектора
D iv V =   V =
=
V
1
x
x
V
2

x
1
=
u
2

i = 1, 2 , 3
=
V
x
i

y
V
3

x
V
x
i
=
i
= V
i
i
v
i
3

=
w
z
=
Особенности тройного
скалярного произведения
• Определение АВС смысла не имеет!
• Обязательно указать пару, образующую
скаляр: (АВ)С или А(ВС)
• Почему?
– (АВ)С – это вектор С, длина которого
увеличена в (АВ) раз
– А(ВС) – это вектор А, длина которого
увеличена в (ВС) раз
• Различие важно в преобразованиях
Пример использования тройного
скалярного произведения
a
1




) a
v
v
(V  ) A = ( v
2
3
2
1
x
x
x

3
2
1
a
 3

a 
a
a
1
1
1
v
v

 v
3
2
1
x 
x
x

3
2
1


a

a

a


2 
2
2
v
v
= v
3
2
 1 x
x 
x
3 
2
1

 a
a 
a
3
3
3
v
v

v
3
2
1

x 
x
x
3 
2
1



=



Скалярное
произведение
в рамке –
неразделимо
в операциях
((V  U )  ) A = (V    ( U   A
Контролируй себя:
Справка: вычисление
определителя 3-его порядка
Метод разложения по первой
строке (нам нужен!):
Метод получения
числового значения (для
теории нам не нужен!)
Векторное произведение– это
описание поворота!
(вектор С перпендикулярен плоскости, в которой лежат a и b
и образует с ними правовинтовую систему и численно равен
площади параллелограмма, построенного на них, как на
сторонах)
Векторное произведение двух
векторов А и В определяется
как вектор С с величиной |А||B|
sin β и с направлением,
перпендикулярным плоскости,
проходящей через А и В так,
чтобы вращающийся вправо
винт, который поворачивал бы А
(первый вектор) к В (второй
вектор) и перемещался
(ввинчивался) в направлении С.
Помнить, что ab= -ba
Вычисление векторного произведения
Запись не точна!
Направление?
c = c i  c  j c k = a b
x
i
ab = a
x
b
.
c
y
b
x
x
j
a
=
a
b
y
y
y
y
k
a
y
a = i
z
b
y
b
z
a
b
z
 j
z
a
b
a
x
b
x
z
b
z
a
b
z
z
c
y
= 
a
b
x
x
a
b
z
z
c
z
Условие колинеарности
(параллельности) двух векторов
Векторное
произведение ортов:
(доказать
самостоятельно)
k
z
a
=
a
b
x
x
a
b
y
y
x
x
a
b
y
y
Важные векторные произведения
• Линейная скорость вращения точки относительно оси
V=r
• Сила Кориолиса, отнесенная к единице массы
К = 2 V
• Момент импульса , отнесенный к единице массы
Vr
• Момент силы F
M = Fr
• Вихрь вектора V=rotV:
rotV =   V =
i

j

x
u
y
v
k


= i  y
z
v
w


z  j  z
w
w


x  k  x
u
u
 w v 
 v u 
 u w 
=



j 
i  
k
z 
x 
 z
 y
 x y 

y =
v
Смешанное произведение (скалярновекторное произведение)
Оно является скалярной
величиной и для векторов
A, B, C вычисляется по
формуле:
C· (A  B)
c
C (A  B = a
b
x
x
x
c
a
b
y
y
y
c
a
b
z
z
z
Интерпретация-объем соответствующего параллелепипеда
Свойства смешанного произведения (четные и
нечетные перестановки векторов)
A  (B  C  = B  (C  A  = C  ( A  B 
но
A  (B  C  = B  ( A  C 
Помнить: Вектора лежат в одной
плоскости (компланарны), если: A · (B 
C)=0
Векторно-векторное
произведение- это вектор
A (B C)
Применение к примеру.
Вычисляется по
правилу:
A (B C)=B·(A·C)-C· (A·B)
Мнемоника:
«БАЦ минус ЦАБ»
Если n единичный вектор (n·n)=1 , перпендикулярный данному
вектору X, то векторно-векторное произведение осуществляет поворот
вектора X на 1800:
n  ( n  X  = n (n  X )  X ( n  n  =  X
т.к. ( n  X ) = 0 , ( n  n  = 1
С помощью A (B C) решается важная
задача :
• Разложить вектор B по двум направлениям:
параллельно и перпендикулярно заданному вектору A
• Решение – заменить в формуле С на А:
A  (B  C  = B ( A  C   C ( A  B , C = A A  (B  A  = B (A  A   A (A  B 
B ( A  A  = A (A  B   A  (B  A 
B = B

B ,
гд е
B

=
A  (B  A 
(A  A
,
B
=
(A B
A
(A  A 
Два важных примера из ДМ:
К лекции 11 и 10
В ы ч и сл ен и е в и хр я от в ек тор н ого п р ои зв еде н и я
в ек тор ов в и хр я и ск ор ости :
  ( Ω  V ) =  Ω  div V  ( Ω   V    ( V 
О бозн ач ен и я
( V  =
div V и
Ω
(V  Ω
 V  div Ω 

= V  Ω
Р еш ен и е у р ав н ен и я геостр оф и ч еск ого бал ан са
 1

k     p  k  lU g = 0 
 


(
k  k  lU g
(
= k  0  lu g  0  lv g
 1

 k    p   lU g = 0 


 1

Ug = k   p
 l

 = k  ( k  lU g )  lU g ( k  k ) =
 1  0   lU g  ( 0  0  0  0  1  1  =  lU g
Упражнение:
• Упростить выражение:
• (R)=?
• R –радиус вектор точки, вращающейся
вокруг оси
•  - вектор угловой скорости вращения
• Подсказка: R= R┴ + R║
• Сделать чертеж и применить правило
• A(BC)=B(AC)-C(AB)
Упражнение
• Выполнить преобразование:
I
I
I
I
(V  V )  (V  V ) = (V  V )  V  (V  V )  V
I
= V V  V V  V V
I
I
 V V
I
I
=
Дифференцирование вектора по
скалярному аргументу.
dA
=
dA x
dt
df ( t )  A ( t )
dt
=
dt
d A (t )  B (t )
i
dt
df ( t )
=
d A (t )  B (t )
d A (t )
=
dt
k
dt
d A (t )
dt
d A (t )
dt
j
dA z
A (t )  f (t )
dt
dt
dt
dA y
 B (t )  A (t ) 
d B (t )
dt
 B (t )  A (t ) 
d B (t )
dt
Примеры дифференцирование вектора
по скалярному аргументу.
Скорость и направление, касательная
v (t ) =
d r (t )
=
dt
ds d r ( t )
dt
= Vτ,
где
ds
V =
ds
;
dt
τ =
d r (t )
ds
Ускорение, нормаль, кривизна и ее радиус
a (t ) =
d v (t )
dt
=
dV τ
dt
=
dV
τ V
dt
d τ ds
ds dt
=
dV
dt
τ 
V
2
 n,
где
n = R
R
Касательная и нормаль перпендикулярны
(τ  τ = 1 
d (τ  τ
dt
dτ 
dτ 
 dτ

=
τ τ
 = 2 τ 
= 0
ds 
ds 
 ds

dτ
ds
Примеры дифференцирование вектора
по скалярному аргументу.
• В подвижной системе координат орты
изменяются и их следует дифференцировать
аб солю тная
dA
dt абс
=
систем а
dA x
i
dA y
dt
коорд инат
j
dA z
dt
относительная(под виж ная)
dt
систем а
dA y
 dA x
dA z 
=
i
j
k


dt от н  dt
dt
dt

dA
переносное д виж ение
k =
Аx
di
dt
коорд инат
 Аy
dj
dt
 Аz
dk
dt
вращ ательное д ви ж ение
Теорема Эйлера о вращении точки с
постоянной угловой скоростью 

 ω  A 
= lim
= lim  A  sin g 



dt

t

t
ω

A
t  0
t  0 

dA
A
ω  A = ω A  sin g ,
dA
ω =

t
= ω A
dt
Здесь M2 , М1 , M0 – конечное,
среднее и начальное положения
точки
A = M2-M0 - вектор малого
перемещения точки,
q - угол поворота
e – единичный вектор,
определяющий направление
перемещения
Применение теоремы Эйлера – вращение подвижных ортов
dr
V=r 
dr/dt = r
= r
dt
если
если
если
r = i,
r = j,
r =k ,
di
то
dt
dj
то
= i
= j
dt
dk
то
= k
dt
Полное
изменени
е вектора
во вращ.
системе
координат
dA
=
dt
dA x
dt
dA x
i
dt
i
dA y
dA y
j
dt
j
dt
dA
dt аб с
dt
dA z
dt
=
dA z
k  Аx
di
dt
 Аy
dj
dt
 Аz
dk
=
dt
k  А x (   i )  А y (   j)  А z (   k )
dA
dt отн
=
dA
dt перен ос
A
Применение вектора набла
Градиент скалярного поля f
Дивергенция векторного
поля B
f
 f =i
 B =
B x
x
x

 j
f
y
B y
y
k

f
z
B z
z
= grad f
= div B
Вихрь (ротор) векторного поля B
rot  B =   B =
i
j


x
y
Bx
By
k
B y
 B z
= i


z
z
 y
Bz


 

 B y
B x
B z 
 B x
j


k



 x
x 
y
 z




Градиент векторного поля определяется иначе и
порождает новые математические объекты
–
тензора.
Дифференцирование вектора по вектору порождает три новых в
Теорема Гаусса (A=Pi+Qj+Rk)
Векторная запись:
   dV =  A  dS
V
Координатная запись:
S
Теорема Стокса (A=Pi+Qj+Rk)
Векторная запись:
 (  A )  dS =  A  dL
S
Координатная запись:
L
Математика – это
легко и просто.
/проф.
Д.Л.Лайхтман –
мой учитель/